VMO2012 Phương trình và hệ phương trình

Nam Định  x + m 1) Tìm để hệ sau có nghiệm nhất:   y + y − = m2 + x − = m2 +  4x + y + 2x + y = 2) Giải hệ phương trình :   2x + y + x + y = Lời giải 1) ĐK: x, y ≥ • Nhận thấy (x0; y0) nghiệm hệ ( y0; x0) nghiệm hệ Do (x0; y0) nghiệm hệ x0 = y0 , hay x0 nghiệm phương trình x + x − = m2 + (1) ) Vì vế trái (1) hàm số đồng biến nhận giá trị  2; +∞ , nên (1) có nghiệm ⇔ m2 + ≥ ⇔ m ≥ • Xét m thỏa m ≥ −1 −1 Trừ hai phương trình hệ ta có: ⇔ x+ y− = y + x− ⇔ Khi hệ trở thành: x− y+ x( y − 2) = y− − x− = y(x − 2) ⇔ x = y x + x − = m2 + Vì phương trình có nghiệm nên hệ cho có nghi ệm Vậy m ≥ − giá trị cần tìm 4x + y = + 2t + t2   4x + y = + t  t = x + y ⇔ 2x + y = − 2t + t2 ⇒ 2x = 4t 2) Đặt , ta có:   2x + y = − t −1 ≤ t ≤  ⇔ 2x = 4(x + y) ⇔ x = −2y Thay vào hệ ta có: y2 + 5y + = ⇔ y = −5 ± 21  x = − 21  So với điều kiện ta có nghiệm hệ là:  −5 + 21 y =  Nhận xét: 1) Câu thuộc hệ đối xứng loại 2, dạng tóan quen thuộc  7x + y + 2x + y = 2) Câu tương tự VMO 2001 sau:   2x + y + x − y = TP HCM  xy+1 = ( y + 1)x  Giải hệ phương trình :  2x2 − 9x + =  −4x + 18x − 20 +  2x − 9x + y+ Lời giải y+ >  Điều kiện:  −4x + 18x − 20 ≥ ⇔  2x − 9x + ≠  y > −1   2 ≤ x ≤  2 Đặt t = −4x2 + 18x − 20 = −  x − ÷ ⇒ ≤ t ≤ Ta có: −4x2 + 18x − 20 + f '(t) = − Suy  2x2 − 9x + 2x2 − 9x + 4 = t + 1+  1 = f (t), t ∈ 0;   2 t2 + 4  1 83 > 0, ∀t ∈ 0;  ⇒ = ff(0) ≤ (t) ≤ f ( ) = < 34  2 (t2 + 4)2 8t y+ ≥ ⇒ y+ ≥ y+1 = ( y + 1) ⇔ Ta có: x x ln x ln( y + 1) = ⇔ g(x) = g( y + 1) (*) x y+1 Trong g(t) = ln t − ln t , g '(t) = ⇒ g '(t) > ⇔ t < e t t2 Vì x < e < y + nên g(x) nghịch biến, g( y + 1) đồng biến Do (*) có nghiệm có cặp nghiệm Mặt khác ta thấy x = 2; y = nghiệm hệ Vậy ( x; y) = ( 2;3) nghiệm hệ Hải Phòng  x3 + 3xy2 = 6xy − 3x − 49 Giải hệ phương trình :   x − 8xy + y2 = 10y − 25x − Lời giải Cách 1: Đặt x = a + b, y = a − b ta có hệ 4a3 + 4b3 − 6a2 + 6b2 + 3a + 3b + 49 = (1)   −6a2 + 10b2 + 15a + 35b + = (2) Lấy (1)x2 + (2)x6 ta có ( 8a ) ( ) − 48a2 + 96a − 64 + 8b3 + 72b2 + 216b + 216 = ⇔ (2a − 4)3 + (2b + 6)3 = ⇔ b = −1 − a thay vào (2) ta có: a2 = ⇔ a = ±2 Từ ta tìm nghiệm hệ là: (x; y) = (−1;5), (−1; −3) Cách Nhân phương trình thứ hai hệ với cộng hai phương trình theo vế ta có x3 + 3x2 + 3y2 (x + 1) − 24xy = 6xy + 30y − 78x − 76 ⇔ (x + 1)(x2 + 2x + 76) + 3y2 (x + 1) − 30y(x + 1) = ⇔ (x + 1)(x2 + 2x + 3y2 − 30y + 76) = (*) Do x2 + 2x + 3y2 − 30y + 76 = (x + 1)2 + 3( y − 5)2 ≥ đẳng thức xảy nên (*) tương đương với x = −1 Thay vào hệ ta tìm y = −3, y =  x3 + 3xy2 = −49 Nhận xét: Bài toán tường tự với VMO 2004:   x − 8xy + y2 = 8y − 17x Hải Phòng  = 13 8(x + y ) + 4xy +  (x + y)2 Giải hệ phương trình  2x + =  x+ y  Lời giải Đặt a = x + y + ,b = x − y x+ y    5 (x + y)2 +  + 3(x − y)2 = 13   (x + y)  Hệ ⇔   nên ta có:  )+ x− y =  (x + y + x+ y  5(a2 − 2) + 3b2 = 13 ⇔   a + b = 5a2 + 3b2 = 23 giải hệ ta tìm   a + b =   a = − a =   b = −3 b =   −1 ± ±   11    ; ÷,  ; − ÷,  ; −2÷ 2 ÷  2    4 Từ ta tìm nghiệm hệ: ( x; y) =  TP Hà Nội 1) Giải phương trình : x4 + − x2 =  x2 + 2) Giải hệ phương trình :   x + y2 = 2xy + y3 + = Lời giải 1) Điều kiện: x ≤ Phương trình ⇔ − x2 = (1 − x2)(1 + x2) ⇔ (1 − x2) = (1 − x2)2 (1 + x2)2  x = ±1 ⇔ ⇔ (1 − x )(1 + x ) =  x = ±1    x = 0, x = ±  −1 2) Từ phương trình thứ nhất, ta có: x − y = ±1 • y = x − thay vào phương trình thứ hai ta có: ( ) x5 + (x − 1)3 + = ⇔ x x4 + x2 − 3x + = ⇔ x = ⇒ y = −1 • y = x + thay vào phương trình thứ hai ta có: x5 + (x + 1)3 + = ⇔ (x + 1)  x4 − x3 + x2 − x + + (x + 1)2  = ⇔ x = −1 ⇒ y =   Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = (0; −1), (−1;0) NGhệ an  8xy = 16 x + y + x+ y  1) Giải hệ phương trình  2x x3 x2 y x + = + −  8y 3y  2) Giải phương trình : 4x2 − x + + 2x = 33 2x2 − x3 + 9x2 − 4x + Lời giải  x2  +  8y 1) Từ phương trình thứ hai hệ ta suy ra:   x +  3y  2 Ta có x + y + 2x y y > + ≥0  ⇔ x+ y≥  ≥0  4 8xy 8xy = 16 ⇔ (x + y)2 − 16 − 2xy + =0 x+ y x+ y ⇔ ( x + y − 4) (x + y)2 + 4(x + y) − 2xy =   ⇔ ( x + y − 4)  x2 + y2 + 4(x + y) = (*)   Do x + y > x + Mặt khác, y ≥ ⇒ (*) ⇔ x + y = thay vào phương trình thứ hệ ta có 2x y   + =  x + y÷ > nên áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 3  x2  2x y  x2  2x y  + + ÷≥ + ÷=  8y   8y   x3 x2 + 3y Suy phương trình thứ hai hệ ⇔ x2 2x y = + 8y x + y =  x + y =  ⇔ Do hệ cho ⇔  x2 2x y ⇔  2 = + 3x − 16xy − 12y =    8y   x = ⇔ y =  x + y =    x = 6y, x = − y  24  x = −8  nghiệm hệ  y = 12 2) Phương trình xác định với x ∈ ¡ Ta thấy x = nghiệm phương trình • Xét x > , chia hai vế phương trình cho x đặt t = ta phương trình x t2 − t + + = 33 2t − + 4t2 − 4t + Đặt a = 2t − Ta được: a6 + 15 + = 3a + a6 + ⇔ 3a + a6 + − a6 + 15 − = (*) Xét hàm số f (a) = 3a + a6 + − a6 + 15 − Ta thấy a < ⇒ f (a) < nên ta xét a >  Khi đó: f '(a) = + 3a    a +8 −  ÷ > nên f (a) hàm đồng biến ÷ a + 15  Mà f (1) = ⇒ a = nghiệm (*) Từ ta tìm x = • Xét x < , làm tương tự ta có phương trình f (a) = a6 + − 3a − a6 + 15 + = với a < −1  Ta có f '(a) = 3a    a +8 −  ÷− < ÷ a + 15  Nên f (a) > f (−1) = Vậy x = 0, x = nghiệm phương trình cho Ninh Bình  x( y3 − x3) = Giải hệ phương trình   x4 + x3 y + 9y = y3x + x2 y2 + 9x Lời giải Từ phương trình thứ nhất, suy x − y ≠ Phương trình thứ hai hệ tương đương với ) ( ( ) x2 x2 − y2 + xy x2 − y2 − 9(x − y) =   3 x + y = ±  y = −x ± ⇔ x (x + y) + xy(x + y) − = ⇔ x(x + y) = ⇔  x⇔ x x > x >   2 3 Do y − x > ⇒ y > x > ⇒ y = − x − Với y = x x loại − x thay vào phương trình thứ hệ ta có     x  − x÷ − x3  = Đặt t =  x     x ta   6 − t − t = ⇔ f (t) = 2t9 − 9t6 + 27t3 + 7t − 27 = (*) ÷  t      t 2 Ta có: f '(t) = 18t8 − 54t5 + 81t2 + ≥ 18t8.81t2 − 54t5 + > f (1) = Nên (*) có nghiệm t = ⇒ x = ⇒ y = Vậy (x; y) = (1;2) nghiệm hệ Nhận xét: Đây toán VMO 1996:  x3 y − y4 = a2 Biện luận số nghiệm hệ:   x2 y + 2xy2 + y3 = b2 Cần Thơ 4 x + y )=2  x( + x+ y  Giải hệ phương trình  4 x + y  y(4 − x + y ) =  Lời giải  x, y ≥ x + y ≠ Điều kiện:  Ta thấy x = ( y = 0) không nghiệm hệ nên hệ cho tương đương với 1 x + y  x+ y 2 =  + = − 2 4 x+ y x+ y 4  x x 4y ⇔  1 x + y 1 = + 4 − x + y = 2 y x 4y   Suy x+ y    ÷ ÷= = − + −  x y ÷ x y ÷ x+ y x y    ⇔ x x − 2x y + 2y x − y y = Đặt t = x ta có: t3 − 2t2 + 2t − = ⇔ t = ⇔ x = y y   x =  Từ ta tìm     y = ( ( ) ) 2+1 2+1 16 Nhận xét: Đây dạng toán quen thuộc, VMO 1996 có nội dung     3x  + ÷= x + y     7y  −  =  ÷  x + y   Hà Tĩnh Cho số thực a, b, c thỏa a > b > c > Chứng minh phương trình sau có nghiệm : x− a − x− b+ a−b x− c = Lời giải Điều kiện: x ≥ a Phương trình ⇔ ⇔ x− a + x− c b− a x− a + x− b + a−b x− c = 0⇔ x− a + x− b− x− c = x− b −1= x− c Xét hàm số f (x) = x− a + x− c x− b − 1, x ≥ a x− c Ta có f hàm đồng biến f (a) = a−b f (x) = > − < , xlim →+∞ a− c Nên phương trình f (x) = có nghiệm Từ ta có đpcm Bình Định 1) Giải phương trình x − + − x = 2x2 − 5x −  x3 − y3 + 3y2 − 3x − =  2) Giải hệ phương trình :   x2 + − x2 − 2y − y2 + = Lời giải 1) Điều kiện: ≤ x ≤ Phương trình ⇔ x − − + − x − = 2x2 − 5x − ⇔ x− x− +1 − x =  ⇔ −  x − + Ta có: x− +1 x− 4− x +1 = (x − 3)(2x + 1) 4− x +1 = 2x + (*) ≤ 1; 4− x+1 ≥ 2+1 = − ⇒ VT (*) ≤ − Mặt khác x ≥ ⇒ VP (*) = 2x + ≥ ⇒ (*) vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm nhất: x = −1 ≤ x ≤ 0 ≤ y ≤ 2) Điều kiện:   x3 − y3 + 3y2 − 3x − =  ⇔ Ta có   x2 + − x2 − 2y − y2 + =   x − 3x − = ( y − 1) − 3( y − 1) − (1)  2  x + − x − − ( y − 1) + = (2) Ta có: y − 1, x ∈  −1;1 ( ) Xét hàm số f (t) = t3 − 3t − 2, t ∈  −1;1 có f '(t) = t − ≤ ⇒ (1) ⇔ x = y − Thay vào (2) ta được: x2 − − x2 + = ⇔ x = ⇒ y = x = y = Vậy nghiệm hệ:  ... Từ ta tìm nghiệm hệ: ( x; y) =  TP Hà Nội 1) Giải phương trình : x4 + − x2 =  x2 + 2) Giải hệ phương trình :   x + y2 = 2xy + y3 + = Lời giải 1) Điều kiện: x ≤ Phương trình ⇔ − x2 = (1... −1 2) Từ phương trình thứ nhất, ta có: x − y = ±1 • y = x − thay vào phương trình thứ hai ta có: ( ) x5 + (x − 1)3 + = ⇔ x x4 + x2 − 3x + = ⇔ x = ⇒ y = −1 • y = x + thay vào phương trình thứ... cho Ninh Bình  x( y3 − x3) = Giải hệ phương trình   x4 + x3 y + 9y = y3x + x2 y2 + 9x Lời giải Từ phương trình thứ nhất, suy x − y ≠ Phương trình thứ hai hệ tương đương với ) ( ( ) x2 x2 −