Phương trình và bất phương trình mũ

Phương trình bất phương trình mũ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương trình mũ bản: a f ( x) =a g( x) 0 < a ≠ ⇔ ;  f ( x ) = g ( x ) [ A ( x )] f ( x) = [ A ( x )] g ( x)  A ( x) =  ⇔   A ( x ) >    f ( x ) = g ( x ) Phương trình mũ đưa số: 2.1 Phương trình mũ đưa số số: Bài mẫu GPT: x − x ( 5) +1 = (5 x ( 9) −2 ) ( ) = ( 53 ) −1 2 (1) ⇔ − x = − x ⇔ x +10 x − 3x (1) ⇔ x2 = ⇔ x = ± x +5 x +5 x +17 Bài tập 16 x −10 = 0,125.8 x −15 ; x −1 = 18 x −2 x x +1 ; 243 x − = ⋅ 2187 x −3 ; x −1 − x = x −1 − x + ; x + 9.5 x = x 9x − x+ =2 x+ − 32 x −1 ; ( + 9.7 x ; ⋅ x −3 x  = ( + x ) 1+ x x +1 10 + 3) x −1 = ( 10 − 3) x +3 ; x x +1 = ( )   x+2 x ; ; 3.4 x + ⋅ x + = 6.4 x +1 − ⋅ x +1 ; x + x −1 + x − = x + x − − x −1 ; 2.2 Phương trình mũ đưa số hàm số: Bài mẫu GPT: 1x x2 (1) ⇔ =x xx = x x −3 ( ( x2 − ) x +1 x + 1) = ( 2 x +1 4− x (1) x =1 x =1 x =1    ⇔ ⇔   x > ⇔ x =  x = 2x − >    x =    x = ( x − 3) x2 −4 Bài tập ( x − x + ) 2 x +1 x −3 1− x ) x = 1; ( x + 4) −5 x + ; ( x − 2x + 2) 9− x = x − x + ; ( cos x + x ) =1; x x =( x) x = x − 2x + ; x +1 = cos x + x ; 181 Chương VI Phương trình bất phương trình đại số – Trần Phương Phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc 2, bậc 3: Bài mẫu GPT: 32 x ( ⋅ 32 x + x −5 ) ( ) ⇔3 25 + 4.15 x x + x −5 + x −9 + x −5 () +4 + 4.15 x +3 x −5 ( = 15 ⋅ x x + x −5 = 3.5 x +3 x −5) + x −9 ⇔ ⋅ 9x +3 x −5 + 4.15 x + x −5 () − 15 = ⇔ 3u + 4u − 15 = 0; u = () ⇔ ( 3u − ) ( u + 3) = ⇔ u = ⇔ 3 x + x −5 () = = 15 ⋅ 25 x + x −5 x + x −5 >0 x =1 ⇔ x + 3x − = ⇔   x = −4 −1 2 Bài tập x + + x +1 = ; x + + x + − 17 = ; 51+ x − 51− x = 24 ; − 53− x − 20 = ; x − 41+ x 2 = 3.2 x + x 1+1 2 x −5 − 12.2 x −1− x −5 1 ; 49 x − 35 x = 25 x ; 125 x + 50 x = x+1 ; 2.49 x − 9.14 x + 7.4 x = ; 25 x x− x 1+ x + 3.10 x − x −1 x −1 + = ; 3.2 x +1 − 8.2 x −2 = ; x+ − 5.2 x −1+ + = 0; 8x + x +3 x x2 −2 ; − 20 = ; 32 x + + 45.6 x − 9.2 x + = ; 2 x x − 2.6 x −1 + x −1.3 x − = ; x + 18 x = 2.27 x ; ( 16 ) x −3 1 x = 5− x − 12 ; 2.4 x + x = x ; x = + ; 2 x − 3.2 x+ + 32 = ; 53 x + 9.5 x + 27 ( −3 x + − x ) = 64 ; x − 6.2 x − 3(1− x ) + 12.2 − x = ; ( x 2+ ) +( 2− ) x x x = ; ( + 15 ) + ( − 15 ) = 62 ; x x x x (2 + ) + ( + )( − ) = ( + ) ; ( + ) − ( − ) + = ; (5 − 21 ) + ( + 21 ) = x+ ; ( + ) + 16 ( − ) = x+ ; (3 + ) + ( − ) = 7.2 x ; ( + 1) − ( − 1) = x+1 ; x x x x x x x x x x  3+   −1  = 71− x ;   + 6 98   14   ( + 1) x− x2 + 21+ x − x = ( − 1) ( x− x2 7+4 ) cos x + ( 7−4 x ) cos x ; 3.25 x − + ( 3x − 10 ) x − + − x = ; x + ( x − ) x + x − = ; x − ( − x ) x + (1 − x ) = ; ( x + ) x − + ( x + 1) x − − 16 = ; − x.2 x + 3− x − x = ; x x GBL: ( + ) + m ( − ) = x +3 ; (5 + ) 182 tg x + (5 − ) tg x =4; = m ; (3 + 2 ) tg x + (3 − 2 ) tg x =m; Phương trình bất phương trình mũ Đặt thừa số chung đưa phương trình tích: Bài mẫu GPT: x +1 + x = x + (1)  a = x x = a = Đặt  (1) ⇔ 2a + b = ab + ⇔ ( a − 1) ( b − ) = ⇔  ⇔ x  x = log b = b = Bài tập 15 x − 3.5 x + x = ; x +1 + 3.2 x = + x x + x.3 x + x +1 = 2.x x + x + ; 2x −3 x + 22x −5 x + 2 x +1 + x = x + ; ; + 24 x 2 −8 x + + x −1 = + ( x −1) ; 34 x −3 + x − = + 35 x −7 ; 53− x + x x 2 x + 6x + 12 = 6x + x.2 x + x+1 ; = + 26x + x −1 −13 x + ; = + 51+ x − x ; x 3x + 27 x = x.3x+1 + 9x ; x 2 x+1 + x−3 +2 = x 2 x−3 + + x−1 ; ( ) x +1 + 7x −2 = 7x + x−4 +7 Phương pháp lôgarit hoá: Dạng 1: a u ( x ) = m ⇔ log a a u ( x ) = log a m ⇔ u ( x ) = log a m (0 < a ≠ 1) Dạng 2: a u( x ) = b v( x ) ⇔ log a a u( x ) = log a b v( x ) ⇔ u ( x ) = v ( x ) log a b (0 < a, b ≠ 1) Bài mẫu GPT: x (1) ⇔ x.2 3( x −1) x x −1 x = 500 (1) = 53 ⋅ 2 ⇔ x −3.2 x −3 x ( = ⇔ log x −3.2 x −3 x ) = log 21 ) ( ⇔ ( x − 3) log + x − = ⇔ ( x − 3) log + = ⇔ x = ∨ x = − log x x Bài tập x x −4 x = 25.125 x ; 3( x + ) = 36.3 + x ; x 3x x x +1 = 36 ; x − 2.2 x +1 = ; x tg x = 1600 ; −2 x x tg x = 1, ; x x = 2.9 x ; x = 100 ; log 25 ( x )−1 = x log Phương trình mũ đơn điệu ( ) ( ) ( ) ( ) Dạng 1: a1u x + a2u x + + anu x = b u x với < a k , b ≠ ; Max {a1 , a2 , , an } < b Dạng 2: a1u( x ) + a2u( x ) + + anu( x ) = b u( x ) với < a k , b ≠ ; Min {a1 , a2 , , a n } > b x Bài Giải phương trình: + = x (1) x x  3 (1) ⇔ ( ) + x = x ⇔ f ( x ) =   +   () x x  3 = Do y =   ;y=   () x giảm nên f ( x ) giảm, f ( x ) = ⇔ f ( x ) = f ( ) ⇔ x = 183 Chương VI Phương trình bất phương trình đại số – Trần Phương Bài Giải phương trình: x (4 + x 15 ) + ( − 15 ) = ( 2 ) x x (1) x  + 15   − 15  + 15 > 1;0 < − 15 < (1) ⇔ f ( x ) =   +  = Ta có 2 2  2   2  x x  + 15   − 15  nên y =   tăng y =   giảm Xét khả sau:  2   2  x x x x  + 15   − 15   + 15  Nếu x ≥ f ( x ) =   +  >  + =1  2   2   2   + 15   − 15   − 15  Nếu x ≤ f ( x ) =   +  >0+  =1  2   2   2  Vậy phương trình cho vô nghiệm Bài Giải phương trình: 2009 sin (1) ⇔ 2009sin x − 2009cos x x − 2009 cos x = cos x (1) = cos x − sin x ⇔ 2009sin x + sin x = 2009cos x + cos x Đặt f ( u ) = 2009 u + u ⇒ f ( u ) tăng nên (1) ⇔ f ( sin x ) = f ( cos x ) cos x = sin x ⇔ cos x − sin x = ⇔ cos x = ⇔ x = π + k π ; k ∈ » Bài tập dành cho bạn đọc tự giải x x x x x = + ; x − = ; x + x + x + 14 = x ; − − x = 39 ; x + x + x = ( 0, ) (2 − x x +1 x ; 15.2 x + 4.7 x = 23,5.10 x − 6.5 x − 4.3 x ; x + x = 29 ; x x x x ) + ( + ) = x ; ( − ) + (17 − 12 ) + ( 34 − 24 ) = ; x + x + x + x = 1x + 1x + 1x − x + 5x − x + 17 ; ( x x x − ) + ( + ) = ( ) ; x + x log = x log ; ( − ) x + (17 − 12 ) x + (34 − 24 ) x = ; x + x log = x log − ; x − ( − x ) x + (1 − x ) = ; x.2 x = x ( − x ) + ( x − 1) ; − x.2 x + 3− x = ; ( x + ) x −2 + ( x + 1) x − − 16 = ; 3.25 x−2 + ( 3x − 10) x −2 + − x = x +1 − x = x − ; 2 x −1 + 32 x + x +1 = x + x +1 + x + ; x x = 184 ; Phương trình bất phương trình mũ x x  + a2   − a2    −  = ( a > 0) ; x + ( x − 2) 3x + 2x − = ;  2a   2a  x x x x + x + x = 10 x ; x + ( 3 ) + 12 x = 14 x ; ( + 2 ) = ( − 1) + ; ( − 3) x + ( − (3 + 5) x x2 +3 2x x x 15 ) = ( − ) ; log (2 x ) − x log = 2.3log x ; + (3 − ) x =2 +4 x2 2x = 2 x +3 ; x + − x + = log (15 + x − x ) ; ; (2 + ) tg x + cotg x = sin x ; π sin 1− x 2 e x −e 1−2 x x2 sin x x = − ; x −1 − x x − (2 + ) cos x + (2 − ) cos x   = 1 +    = cos x ; − x = ( x + + x − ) ; x x = 2 2 −x = ( x − 1) ; 5x +2mx+2 − 52 x +4mx+m+2 cos x ; ; = x + 2mx + m Phương trình mũ phương pháp đánh giá: 7.1 Sử dụng bất đẳng thức Côsi:  Bài mẫu  x   x − 8x + + x − 8x −  +  x  x − 8x + − x − 8x −  = x+1 Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có VT = ( x x − 8x + + x − 8x − ) + ( x ( x − 8x + + x − 8x − ) ( x x x − 8x + − x − 8x − ) ≥ x x − 8x + − x − 8x − ) x = ( x − x + ) − ( x − x − )  = 16 = 2.2 x = x +1 Phương trình cho có nghiệm ⇔ Dấu xảy bất đẳng thức  x − x + + x − x − = x − x + − x − 8x −  ⇔  x − 8x + + x − 8x − x − x + − x − 8x − =  ( )( )  x − x + =  x = −1 ⇔ ⇔ x − 8x − = ⇔  x =  x − x − = 185 Chương VI Phương trình bất phương trình đại số – Trần Phương 7.2 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli: Cho t > 0, đó: t α + (1 − t ) α ≥ ∀α ≤ ∨ α ≥   t α + (1 − t ) α ≤ ∀0 ≤ α ≤ Bài Giải phương trình: x + x = 3x + Giải Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: 3 x + (1 − 3) x ≤ 3 x ≤ x + • Nếu ≤ x ≤  x ⇔ x 2 + (1 − ) x ≤ 2 ≤ x + ⇒ x + x ≤ x + Dấu xảy ⇔ x = 0; x = x x x ≤ 3 + (1 − 3) x ≥ 3 ≥ x + • Nếu   x ⇔ x x ≥  + (1 − ) x ≥  ≥ x + ⇒ x + x ≥ x + Dấu xảy ⇔ x = 0; x = Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 0; x = Bài Giải phương trình: x + x = x + Giải 5 x + (1 − ) x ≤ 5 x ≤ x + • Nếu ≤ x ≤  x ⇔ x 3 + (1 − 3) x ≤ 3 ≤ x + ⇒ x + x ≤ x + Dấu xảy ⇔ x = 0; x = x x x ≤ 5 + (1 − ) x ≥ 5 ≥ x + • Nếu   x ⇔ x x ≥ 3 + (1 − 3) x ≥ 3 ≥ x + ⇒ x + x ≥ x + Dấu xảy ⇔ x = 0; x = Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 0; x = Bài tập x + x + x = 12 x + ; x + x = x + ; 27 x = ( x − x + 1) x Phương trình mũ sử dụng định lý Lagrange: Định lý Lagrange: Nếu f liên tục [a, b] có đạo hàm (a, b) tồn f (b) − f ( a ) x ∈ (a, b) cho f ′ ( x0 ) = b−a Bài tập 3.2 x + − x = 17 ; 2004 x + 2007 x = 2005 x + 2006 x ; x + 11x = x + 10 x ; x +1 = 2.3 x ; x 186 −x + 12 x −x = 2.7 x −x Phương trình bất phương trình mũ II BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bất phương trình mũ bản: Sử dụng: a α ( x) a>0  a > 0 < a <  ( ) > aβ x ⇔  ∨ ⇔ α ( x ) > β ( x ) α ( x ) < β ( x ) ( a − 1) [ α ( x ) − β ( x )] > Bất phương trình mũ đưa số: x −1 x Bài Giải BPT: x +1 ≤ ⋅ 32 x −1 2( x −1) x +1 5x ≤ −2 ⋅ x −1 = 3x+2 x −1 ⇔  x ≤ −9 ; x > x ( x + 9) ( x − 1) 3x + ≤ ⇔ ≥0⇔ ( x − 1) ( x + 1) x +1 x −1 −  1< x ≤ Bài Giải BPT: ( x + x + 1) x2 −x > (1)  4 x + x + >   x ( x + 1) >   x >1   x − x >   x ( x − 1) >  (1) ⇔  ⇔ ⇔   x ( x + 1) <   x < − < x + x + <      x − x <   x ( x − 1) <    Bài tập x + − x +3 − x + > x +1 − x + ; x + x +1 ≤ x + x −1 ; ( + 2) x −2 x x −1 x x () ≥ x −1 ≤ ( − ) x +1 ; x −7 x +3 ( x + 3) x lg x x −1 −5 x + x − x −1 ( < ; 3x +2 ≥ 6⋅9 + 3x ≤ ⋅ 5x > ; ( x − x + 16 ) () ; x x +1 ≥ ( − 1) x −1 ; ; x − ≤ ( x − 1) lg x < ; x lg x ≥ 10 x ; x−1 + 1) x − x +1 x −6 x log () < 1− x x +2 x +1 x −3 x +1 10 + 3) x −1 < ( 10 − 3) x +3 ; x +3 x −2 ; ( x − x + 1) x −1 > ( x − x + 1) x +5 ; x x ( ) ( 13 ) ; 72 < ; lg x + < lg x x ( +5 > ; log x ⋅ log x < 400 ; − ; x lg x x − lg x +1 > 1000 ; ≥2 ; ; 2 x −1 + 2 x −3 − 2 x −5 > − x + 5− x − 3− x ; 187 Chương VI Phương trình bất phương trình đại số – Trần Phương Phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc 2, bậc 3: 2 Bài mẫu Giải BPT: ⋅ 49 x − ⋅ 14 x + ⋅ x ≥ (1) ( ) (1) ⇔ 49 x2 () −9 Bài Giải BPT: (1) ⇔ + 21− x + x2 u ≥ x ≥  x ≥1  + ≥ ⇔ 2u − 9u + ≥ ⇔ ⇔ ⇔    x = x ≤ u ≤ (1) + < − x + −1 x −1 − ( x −1 + 21− x ) 2 x −1 u = 21− x + >  uv − = v − u Đặt < ⇒  − ( x −1 + 21− x ) v = x −1 − > −1 u + v > 2 ( v − u ) + 4uv  − 5uv ( u + v ) − 5uv (1) ⇔ + < ⇔ 3x − ; x x x ( x + ) − x − ≤ x + ; ( 26 + 15 ) + ( + ) − ( − ) < ; Đặt thừa số chung đưa phương trình tích: Bài mẫu Giải BPT: x (1) ⇔ 2 x +2 x 2 +x + 21− x ≥ x 2 + 21− x ≥ + x +1 ( x +1) + (1) + Đặt a = 2 x +2x ; b = 21− x ⇒ ab = x  a ≥ 1; b ≤  x ≥ (1) ⇔ ab + − a − b ≤ ⇔ (a − 1) ( b − 1) ≤ ⇔  ⇔  a ≤ 1; b ≥  x ≤ 188 + x +1 Phương trình bất phương trình mũ Bài tập x + x ⋅ x + 31+ < 2x ⋅ x x + 2x + ; x + − x > + ( x − x ) x + x ⋅ x +1 − x ; − x − x + x > x ⋅ x − x − 3x + x ⋅ x ; x ⋅ 2 x + ( x + ) ⋅ x + x ≤ ( x + ) 2 x + x ⋅ x + x + 16 ; Bất phương trình mũ đơn điệu Bài Giải BPT: x +1 + x +1 < x − (1) x x () () () (1) ⇔ f ( x ) = +2 x +3 () () Bài Giải BPT: + x x < = f ( ) ⇔ x > (do f ( x ) giảm) > 29 (1) 10 () Nếu x < giảm ( −∞; ) nên y = x x () () f ( x) = + x () x () () + x tăng ( −∞; ) , đó: tăng ( −∞; ) (1) ⇔ f ( x ) > f ( −1) = 29 ⇔ −1 < x < 10 Nếu x > giảm ( 0; +∞ ) nên y = x f ( x) = x x tăng ( 0; +∞ ) , đó: tăng ( 0; +∞ ) (1) ⇔ f ( x ) > f (1) = 29 ⇔ x > 10 x +1 Bài Tìm nghiệm x > BPT: − > 10 (1) x 2x − (1) ⇔ − x +1 > 10 x ⇔ − 10 x = x − > x +1 ⇔ f ( x ) = x − > x +1 = g ( x ) 2x − 2x − 2x − 2x − Nếu < x ≤ f ( x ) = x − ≤ < x +1 nên (1) vô nghiệm 2x − ( ) Nếu < x < dễ thấy f ( x ) , g ( x ) tăng 0; , ta có: 2 () f ( x ) > f ( ) = > 3 = g > g ( x ) ⇒ Nghiệm (1) < x < 2 Nếu x > dễ thấy f ( x ) , g ( x ) tăng ( 3; +∞ ) , ta có: f ( x ) = x − = − < < 81 = g ( 3) < g ( x ) ⇒ (1) vô nghiệm 2x − 2x − 189 Chương VI Phương trình bất phương trình đại số – Trần Phương Bài tập () 21− x − x + ≤ ; 2− x + − x ≥ ; x +1 − ⋅ x < ; ⋅ x −2 > + 2x −1 4x − 2 x − x +1 3x − x 2 x ; x + x ⋅ 21+ x + ⋅ x > x ⋅ x + x + 12 ; ( 2a ) x − x +6 + (1 − a ) x −4 x +6 ≥ (1 + a x ) ( < a < 1) −4 x +6 ; Bất phương trình mũ chứa tham số Bài Tìm m để BPT sau có nghiệm: sin () (1) ⇔ sin x + 31−2 sin x () ≥m⇔ sin x x + cos () +3 u x ≥ m ⋅ sin x (1) sin x ( ) + ( 19 ) Đặt u = sin x ∈ [ 0;1] , ycbt ⇔ f ( u ) = ≥m u ≥ m có nghiệm u ∈ [ 0;1] ⇔ Max f ( u ) = f ( ) = ≥ m u∈[0;1] Bài Tìm m để BPT sau ∀x ∈ »: m ⋅ x + ( m − 1) x + + ( m − 1) > (1) Đặt u = x > , đó: (1) ⇔ mu + ( m − 1) u + ( m − 1) > ⇔ m ( u + 4u + 1) > 4u + ⇔ f ( u ) = f ′ (u ) = −4u − 2u ( u + 4u + 1) ycbt ⇔ f ( u ) = 4u + < m Ta có u + 4u + < ∀u ∈ [ 0; +∞ ) ⇒ f ( u ) giảm [ 0; +∞ ) 4u + < m , ∀u > ⇔ Max f ( u ) = f ( ) = ≤ m u >0 u + 4u + Bài tập Tìm m để BPT sau có nghiệm: 49 x − ⋅ x + m ≤ ; x − m ⋅ x + ( m + 3) ≤ ; Tìm m để bất phương trình sau ∀x > 0: ( 3m + 1) 12 x + ( − m ) x + x < x x Tìm m để BPT sau ∀x ≤ 0: m ⋅ x +1 + ( 2m + 1) ( − ) + ( + ) < Tìm m để BPT sau ∀ x ≥ : m ⋅ x 190 −x − ( 2m + 1) x −x + m ⋅ 42x −x ≤0 Phương trình bất phương trình mũ 191 ... 11x = x + 10 x ; x +1 = 2.3 x ; x 186 −x + 12 x −x = 2.7 x −x Phương trình bất phương trình mũ II BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bất phương trình mũ bản: Sử dụng: a α ( x) a>0  a > 0 < a <  ( ) > aβ... VI Phương trình bất phương trình đại số – Trần Phương 7.2 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli: Cho t > 0, đó: t α + (1 − t ) α ≥ ∀α ≤ ∨ α ≥   t α + (1 − t ) α ≤ ∀0 ≤ α ≤ Bài Giải phương trình: ...Chương VI Phương trình bất phương trình đại số – Trần Phương Phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc 2, bậc 3: Bài mẫu GPT: 32 x ( ⋅ 32 x + x −5