Phương trình, bất phương trình hệ phương trình mũ và lôgarit ( phần 2)

Phương trình, bất phương trình hệ phương trình mũ và lôgarit ( phần 2)

GIẢI ĐÁP TOÁN CẤP 3 PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT PHẦN 2 Trang A. PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. PHƯƠNG TRÌNH ( 2 – 74 ) ….LOẠI 1 : ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ …………………………………. 2 – 9 ….LOẠI 2 : LÔGARIT HÓA VÀ MŨ HÓA…………………………… 10 – 14 …. LOẠI 3 : ĐẶT ẨN PHỤ…………………………………………… 14 – 47 …. LOẠI 4 : PHƯƠNG TRÌNH TÍCH…………………………………. 47 – 54 …. LOẠI 5 : SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU……………………………. 54 – 69 …. LOẠI 6 : ĐÁNH GIÁ……………………………………………… 70 – 72 …. LOẠI 7: LƯỢNG GIÁC HÓA………………………………………. 73 – 74 II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH ( ? – ? ) B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( ? – ? ) GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 2 CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT A. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT LOẠI 1: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI *) Phương pháp: Tìm cách đưa phương trình về một trong các dạ ng sau +) ( ) ( ) f x g x a a  ( ) ( ) f x g x   (a là hằng số và 0 1 a   ) +) ( ) ( ) f x g x a a  (2*)  1 D 0 ( ), ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) \ 0 ( ) ( ) a x a f x g x f x g x a f x g x a f x g x                                              với Tập xác định : D (a chứa biến hoặc chứa tham số) +) log ( ) log ( ) a a f x g x    0 1 a   ( ) ( ) f x g x  ( ) 0 f x  (hoặc ( ) 0 g x  ) *) Chú ý : +) Ở phương trình (2*) nếu 0 a  thì ( ) ( )f x g x a a   1 D ( ) ( ) a x f x g x            +) Các công thức để chuyển về các dạng trên (giả sử các biểu thức đều có nghĩa): 1) . m n m n a a a   2) : m n m n a a a   3) m n m n a a  4) log a b b a 5) log b a b a  6) log log log ( ) a a a b c bc   7) log log log a a a b b c c   8) log log k a a k b b  2.CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 1) 0,5 1 (0,2) 5.(0,04) 5 x x    2)     3 1 1 3 10 3 10 3 x x x x        3) 1 1 3 .2 24 x x   4) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 3 3 x x x x       5)     2 1 25 log 2 5 1 3 5 3 5 x x x x      6)     2 2 4 3 5 2 2 3 6 9 x x x x x x x         GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 3 Giải: 1) 0,5 1 (0,2) 5.(0,04) 5 x x    1 0,5 2 1 2 3 1 2 (5 ) 5.(5 ) 5 5 2 3 3 5 x x x x x x x                   Vây phương trình có nghiệm: 3 x  . 2)     3 1 1 3 10 3 10 3 x x x x        Điều kiện: 1 x  và 3 x   . Ta có : 1 1 ( 10 3)( 10 3) 1 10 3 ( 10 3) 10 3           Khi đó phương trình tương đương:     3 1 1 3 10 3 10 3 x x x x         3 1 1 3 x x x x        2 2 9 ( 1) x x      2 5 5 x x      thỏa mãn điều kiện . Vây phương trình có nghiệm:   5; 5 S   3) 1 1 2 3 3 .2 24 .2.2 24 3 .2 36 6 6 2 3 x x x x x x x x            . Vây phương trình có nghiệm: 2 x  4) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 2 2 1 1 9 4 2 2 2 2 3 3 2 2 3 1 2 . 3 . 3 3 2 3 2 3 3 3 x x x x x x x x x x x                                            Vây phương trình có nghiệm: 3 x   . 5)     2 1 25 log 2 5 1 3 5 3 5 x x x x      Điều kiện: 2 5 3 5 0 5 5 33 3 3 2 2 5 0 5 33 5 33 2 2 x x x x x x                          Khi đó phương trình tương đương:   1 2 2 5 1 log 2 5 2 (3 5) (3 5) x x x x          2 2 2 5 5 2 3 5 1 3 6 2 5 13 log 2 5 1 log 5 2 5 5 5 3 0 2 x x x x x x x x x x x                                     kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là : 2 x  và 5 13 2 x   6)         2 2 2 2 4 3 5 2 3 5 2 2( 4) 2 3 6 9 3 3 x x x x x x x x x x x x x                  22 2 2 2 2 2 22 2 22 2 3 1 4 3 3 0 7 10 03 5 2 , 2( 4) 3 5 2 3 5 2 2( 4) 33 0 7 10 0; 3 5 2 \ 3 5 2 2( 4) \ 3 3 0 73 5 2 2( 4) x x x x x xx x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x x x                                                                                          4 3 2 5 10 0 x x x x x                                Vây nghiệm của phương trình là:   2;3;4;5 S  GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 4 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 1)     2 1 2 2log 2 2 log 9 1 1 x x     2) 2 3 3 1 1 1 4 4 4 3 log ( 2) 3 log (4 ) log ( 6) 2 x x x      3) 3 3 2 3 2 3 1 log .log log log 2 3 x x x x          4)   2 2 9 3 3 1 1 log 5 6 log log 3 2 2 x x x x       5)     2 2 2 2 3 2 3 log 1 log 1 6 x x x x         6) 2 3 lg lg 3 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x         7) 2 3 4 2 3 4 log log log log .log .log x x x x x x    8) 2 2 1 log (4 15.2 27) 2log 0 4.2 3 x x x      (2007D) 9) 2 2 1 2 log (8 ) log ( 1 1 ) 2 0 x x x        (2011D) 10)     2 1 2 2 1 2log log 1 log 2 2 2 x x x x      ( 2013D) Giải: 1)     2 1 2 2log 2 2 log 9 1 1 x x     Điều kiện: 1 2 2 0 1 1 9 1 0 9 9 x x x x x                   Khi đó phương trình tương đương:       2 2 2 2 2 2 2 2 log 2 2 log 9 1 1 log log 2 9 1 x x x x           2 2 1 2 2 2 2 5 3 0 3 9 1 2 x x x x x x                .Vậy nghiệm của phương trình là: 1 x  và 3 2 x  2) 2 3 3 1 1 1 4 4 4 3 log ( 2) 3 log (4 ) log ( 6) 2 x x x      Điều kiện: 6 4 2 x x         Khi đó phương trình tương đương: 2 2 2 3 3 3 3 log 2 .2 log (4 ) log ( 6) 2 2 2 2 x x x         2 2 2 log 2 2 log (4 ) log ( 6) x x x            2 2 log 4 2 log (4 )( 6) x x x     4 2 (4 )( 6) x x x      (*) TH1: 6 2 x     2 0 x    Khi đó (*) 4( 2) (4 )( 6) x x x       2 2 32 0 1 33 x x x       (thỏa mãn) hoặc 1 33 x   (loại) TH2: 2 4 2 0 x x       , Khi đó (*) 4( 2) (4 )( 6) x x x      2 6 16 0 x x      2 x  (thỏa mãn) hoặc 8 x   (loại) Vậy nghiệm của phương trình là:   2;1 33 S   . GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 5 3) 3 3 2 3 2 3 1 log .log log log 2 3 x x x x          (3) Điều kiện: 0 x  Khi đó (3)    3 2 3 2 2 3 2 3 1 1 1 1 1 log .log 3log log log log .log 3log 0 2 2 2 2 x x x x x x x x                2 3 3 2 3 3 2 2 1 1 log 3.log log .log 3log 0 log log 3 log 3 2 2 x x x x x x              0  3 3 3 2 2 2 2 1 log log 1 log 0 8 1 8 8 3 log log log 3 log 3 32 3 3 x x x x x x                          thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm của phương trình là: 1 x  và 8 3 3 x  . 4)   2 2 9 3 3 1 1 log 5 6 log log 3 2 2 x x x x       (4) Điều kiện: 1 2; 3 x x x       Khi đó (4)   2 2 3 3 3 3 3 1 3 1 log 5 6 log log 3 log 5 6 log 2 2 x x x x x x x x                          2 2 2 2 2 2 5 6 1 3 6 9 0 1 3 5 6 2 3 14 15 0 2 5 6 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x x                                  3 x  hoặc 5 3 x  , kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: 5 3 x  5)     2 2 2 2 3 2 3 log 1 log 1 6 x x x x         Vậy nghiệm của phương trình là: 6) 2 3 lg lg 3 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x         (6) Điều kiện: 0 x  Khi đó (6)    2 3 2 3 2 3 lg lg 3 lg lg 3 lg lg 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x                      1 2 3 2 2 1 1 1 lg lg10 lg lg 3 1 lg 3lg 2 0 lg lg10 x x x x x x x x x                            1 x   hoặc 1 10 x  hoặc 1 100 x  Vậy phương trình có nghiệm: 1 1 1; ; 10 100 S                1 1 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2log 1 log 1 6 3log 1 6 x x x x x x                       2 2 2 2 2 3 log 1 2 1 2 3 1 7 4 3 x x x x x x                    2 2 7 4 3 0 7 4 3 7 4 3 4 3 2 7 4 3 96 56 3 1 7 4 3 4 3 x x x x x x x x                                    4 3 x  GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 6 7) 2 3 4 2 3 4 log log log log .log .log x x x x x x    (7) Điều kiện: Khi đó (7)  2 2 3 3 2 1 1 log 1 log 2 log 2.log 2 2 x x          2 2 2 2 3 2 log 108 2 2 2 2 log 108 3 log 0 1 3 log 0 1 log 2 2 log log 108 log log 108 2 1 log 2 2 2 x x x x x x x                                Vậy phương trình có nghiệm : 2 2 log 108 log 108 1 1;2 ; 2 S        8) 2 2 1 log (4 15.2 27) 2log 0 4.2 3 x x x      (8) (D – 2007) Điều kiện: (8)    2 2 4 15.2 27 4.2 3 5.4 13.2 6 0 2 5 x x x x x x            (loại) hoặc 2 2 3 log 3 x x   Vậy phương trình có nghiệm: 9) 2 2 1 2 log (8 ) log ( 1 1 ) 2 0 x x x        (9) (D – 2011) Điều kiện (9) 2 log 1  (9*) Đặt . Khi đó (9*) có dạng: Với khi đó (9*) thỏa mãn điều kiện . Vậy phương trình có nghiệm 10)     2 1 2 2 1 2log log 1 log 2 2 2 x x x x      ( 2013D) Điều kiện: 0 1 x   Phương trình tương đương:     2 2 2 2 log log 1 log 2 2 x x x x        2 2 2 log log 2 2 1 x x x x      2 2(1 ) 1 x x x x       2 2 2 (1 ) 1 x x x x     . Đặt 1 x t x   với 0 t  Phương trình có dạng: 2 2 2 2 0 t t t t        1 t   (loại) hoặc 2 t  suy ra 1 3 2 2 2 0 1 3 4 2 3 1 1 3 x x x x x x x x                         thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có nghiệm 4 2 3 x   . 0 x  2 3 2 2 2 3 2 2 1 1 log log 2.log .log log .log 2.log . log 2 2 x x x x x x     3 2 4 x        1 2 2 2 2 2 log 4 15.2 27 2log 4.2 3 0 log (4 15.2 27) log 4.2 3 x x x x x x             2 log 3 x  2 8 0 1 0 1 1 1 0 x x x x                  2 2 2 2 2 2 8 log (8 ) log ( 1 1 ) log 4 0 log 0 4 1 1 x x x x x x                       2 2 2 2 2 8 1 4 1 1 8 16 2 2 1 8 4 1 1 x x x x x x x x                  2 1 0 t x t    2 2 1 x t            2 2 2 4 2 2 16 2 2 7 14 32 17 0 1 2 17 0 1 t t t t t t t t t                1 t  2 1 1 0 x x      0 x  GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 7 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:   2 5 2 5 2 log 1 log 0 x mx m x        Giải:   2 5 2 5 2 log 1 log 0 x mx m x          2 5 2 5 2 2 0 log 1 log 1 x x mx m x x mx m x                 (*) Cách 1: (*) có nghiệm duy nhất khi phương trình 2 1 x mx m x     hay 2 ( ) ( 1) 1 0 f x x m x m       có nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu hoặc có hai nghiệm trong đó có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương  2 6 3 0 3 2 3 1 0 1 3 2 3 1 0 1 1 (0) 1 0 1 1 0 1 m m m m m m P m m m f m m S m m                                                                 Cách 2: (*) 2 0 1 1 x x x m x             . Xét hàm số 2 1 ( ) 1 x x f x x      với 0 x  . Ta có: 2 2 2 2 '( ) ( 1) x x f x x      CHÚ Ý : *) Với 3 công thức: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ + )  log log log ( ) a a a b c bc            +) log log log a a a b b c c    +) 2 2 log log k a a k b b  ( * k N  )  nếu ta sử dụng chúng qua các bước trung gian để biến đổi phương trình, thì phép biến đổi theo : ++) chiều thuận (từ VT  VP) là phép biến đổi hoàn toàn chính xác (vì giữ nguyên được TXĐ) ++) chiều nghịch (từ VP  VT) là phép biến đổi không chính xác (vì nó thu hẹp lại TXĐ) Nên nếu muốn sử dụng theo chiều nghịch ta sẽ biến đổi như sau: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ +)log ( ) log log a a a bc b c    +) log log log a a a b b c c    +) 2 log 2 log k a a b k b  ( * k N  )  *) Khi gặp bất kì một phương trình có dạng ( ) ( ) ( ),log ( ), 0 ( ) g x u x f h x k x v x        thì ta nên cho điều kiện trước khi bắt tay vào giải (để tìm TXĐ): ( ) 0 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 h x g x k x v x             (****) *) Trong các bài toán ở phần tiếp theo, ghi “+) TXĐ: D x  ” được hiểu là ta đi đặt điều kiện theo (****). GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 8 *) Để làm tốt các bài toán tiếp theo liên quan tới logarit các bạn cần nắm được các công thức biến đổi cơ bản sau: (giả sử các biểu thức đều có nghĩa). 1) log 1 0 a  2) log 1 a a  3) log log m n a a n b b m  4) log log log ( . ) a a a b c b c   5) log log log a a a b b c c         6) log log log a c a b b c  7) log .log log a c a c b b  8) 1 log log a b b a  9) log a b a b  10) log log a a c b b c 3. BÀI LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) 2 7 1 1 3 9 x x          2) 2 1 1 1 2 .4 64 8 x x x     3) 1 1 1 1 2 .4 . 16 8 x x x x     4) 5 17 7 3 32 0,25.128 x x x x      5)   2 3 3 2 2 3 2 2 x x     6) 2 3 3 7.7 49 x x   7) 1 1 1 . 3 3 3 x x              8) 3 1 3 9 3 x x    9) 2 1 2 11 9 5 9 5 . 3 25 3 x x x                      10) 2 5 3 4 9 . 4 3 16 x x               11)   2 1 1 3 2 2. 2 4 x x x            12)   4 3 7 4 5 4 3 27 3 x x x x            13) 31 2 1 3 2 . 4 .8 2 2.0,125 x x x    14) 1 1 3 2.3 2.3 117 x x x     15) 2 1 1 1 7 .7 14.7 4.7 50 7 x x x x       16) 1 2 3 1 6 6 6 5 5 5 x x x x x x          17) 2 2 4 ( 2 2) 1 x x x     18)   2 7,2 3,9 2 3 9 3 log (7 ) 0 x x x      19)     sin 2 3 cos 2 2 2 2 x x x x x x       20)   3 log 1 2 2 2 x x x x           21)     2 1 4 log 1 7 2 1 2 1 2 1 x x x x      22)     9 1 27 2log 1 log 1 5 5 log 27 3 125 . 5 27 log 243 x x               Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) 5 log (26 3 ) 2 x   2) 2 3 log ( 2014 2012) 1 x x    3) 2 4 1 2 log log log 3 x x  4) 3 9 log 2log ( 6) 3 x x    5) 3 9 27 log log log 11 x x x    6) 2 4 8 11 log log log 6 x x x    7) 3 1 3 3 log log log 6 x x x    8) 2 3 3 log ( 1) log (2 1) 2 x x     9) 2 2 3 3 log ( 2) log 4 4 9 x x x      10) 2 9 3 3 log ( 1) log (4 ) log (4 ) x x x      11) 2 8 1 log (5 ) 2log 3 1 3 x x     12) 3 5 5 2log (3 1) 1 log (2 1) x x     13) 1 1 1 2 2 2 log ( 1) log ( 1) log (7 ) 1 x x x       14) 8 4 2 2 1 1 log ( 3) log ( 1) log (4 ) 2 4 x x x     15) 2 2 2 2 2 log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3 x x x x       16) 2 5 25 log ( 4 5 1) log (3 1) 0 x x x       17) 2 2 2 log ( 3) log (6 10) 1 0 x x      GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 9 18)   3 4 1 3 3 3 log log log 3 3 x x x    19) 2 2 3 1 log (3 1) 2 log ( 1) log 2 x x x       20) 2 1 8 log ( 2) 6log 3 5 2 x x     21) 2 4 1 2 log 2 log 5 log 8 0 x x      22) 2 5 1 5 1 5 25 log ( 1) log 5 log ( 2) 2log ( 2) x x x       23) 3 1 8 2 2 log 1 log (3 ) log ( 1) 0 x x x       24) 2 3 4 8 2 log ( 1) 2 log 4 log (4 ) x x x       25) 4 2 2 1 1 1 log ( 1) log 2 log 4 2 x x x       26) 2 4 15 2 2 2 2 log 36 log 81 log 3 log 4 x x     27) 5 1 2log( 1) log log 2 x x x    28) 2 1 log( 10) log 2 log4 2 x x    29) lg 5 4 lg 1 2 lg(0,18) x x     30) lg6 lg5 lg(2 1) x x x     31) 1 1 1 1 1 lg lg lg lg 2 2 2 2 8 x x x x                         32) lg5 lg( 10) 1 lg(21 20) lg(2 1) x x x        32)     2 2 log 2 4 log 2 12 3 x x x      33) 1 5 5 5 ( 1)log 3 log (3 3) log (11.3 9) x x x       34)     2 5 5 log 4 6 log 2 2 2 x x     35) 2 2 log 2 2log 4 log 8 x x x   36) 2 2 2 1 4 1 4 2 log log ( 2 1) log ( 4 4) log ( 1) 0 x x x x x x          37)         2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 log 1 log 1 log 1 log 1 x x x x x x x x            38) 7 7 3sin 2 2sin log log 2 sin 2 cos x x x x   39) 3 1 3 log sin sin log sin cos2 0 2 2 x x x x                 40) 4 2 4 2 log 4log 2 x x   41) 2 2 3 3 log log 3 x x x x                 42)     2 3 4 log log log 1 x  43) 2 3 4 4 3 2 log (log (log ) log (log (log ) x x  44) 3 4 5 log log log x x x   45) 2 9 .log 27.log 4 x x x x   46) 3 2 1 log (2 6) 3 x x x x      47)   2 1 log 3 2 1 2 x x x     48) 4 log ( 2).log 2 1 x x   49) 3 1 6 3 log 9 log x x x x          50)     2 9 3 3 2 log log .log 2 1 1 x x x    51)     3 3 1 log 1 log 4 3 4 1 0 2 x x x x        Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1) 2 2 log ( 2) log ( ) x mx   2)     2 0,5 2 log 6 log 3 2 0 m x x x      3) lg( ) 2 lg( 1) mx x   Bài 4: Giải và biện luận phương trình theo m: 1) 2 log( 3 ) lg(2 1) x mx m x     2)   3 3 3 2log log 1 log 0 x x m     Bài 5: Cho phương trình     2 2 2 2 4 1 2 2log 2 2 4 log 2 0 x x m m x mx m        (với m là tham số thực) 1) Giải phương trình với 1 m  . 2) Xác định m để phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa mãn 2 2 1 2 1 x x   . LOẠI 1 chỉ là trường hợp đặc biệt của LOẠI 2 (chúng ta sẽ tìm hiểu ngay sau đây) GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 10 LOẠI 2: LOGARIT HÓA VÀ MŨ HÓA 1.Phương pháp Logarit hóa (dành cho phương trình mũ) Với ba phương trình 2 3 3 x x  (1) ; 3 2 x x  (2) và 2 3 2 x x  (3) . Ta đã biết cách giải (1) và (2). Ở phương trình (1) có cùng cơ số 3 khác mũ ( x và 2 x ) , phương trình (2) cùng mũ x , khác cơ số ( 2 và 3 ). Nên ta có cách giải như sau: (1) 2 0 1 x x x x         ; (2) 0 3 3 1 0 2 2 x x                  . Song ở phương trình (3) khác cơ số ( 2 và 3 ) và khác cả mũ ( x và 2 x ). Để giải quyết bài toán này ta sẽ “hóa” nó về dạng logarit (phương pháp Logarit hóa) bằng cách logarit cơ số 2 (hoặc cơ số 3 ) cả hai vế phương trình. Cụ thể: (3) 2 2 2 2 2 2 2 0 log 3 log 2 log 3 (log 3 ) 0 log 3 x x x x x x x x              Chúng ta sẽ hiểu rõ hơn phương pháp LOGARIT HÓA qua các ví dụ minh họa và phương pháp đi kèm. Phương pháp: Khi phương trình có dạng : ( ) ( ) ( ). ( ). f x g x u x a v x b  (*) (hoặc ( ) ( ) . ( ) f x g x a b u x  ) với a b  ; 1; , 0 a a b   Từ (*)  ( ) ( ) log ( ). log ( ). log ( ) ( ) log ( ) ( )log ? f x g x a a a a a u x a v x b u x f x v x g x b x                CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ : Giải các phương trình sau: 1) 2 4 5 4.2 x x   2) 4 3 3 4 x x  3) 4 2 log 32 x x   4) 2 9 log 9. x x x  5) 4 3 log 5 .5 5 x x  6) 2 2 2 1 2 1 3 5 5 5 3 3 3 x x x x x x          7)   6 2 2 log 3log 6 log 3 6 0 x x    Giải: 1) 2 2 4 4 2 5 5 5 5 4.2 log 5 log (4.2 ) 4 (2 )log 2 x x x x x x          5 5 2 ( 2)( 2 log 2) 0 2 log 2 x x x x              Vậy nghiệm của phương trình là : 2 x   và 5 2 log 2 x   . 2) 3 3 3 3 4 3 3 4 3 4 3 4 3 4 log 3 log 4 4 3 log 4 log 4 log (log 4) 3 x x x x x x x x                Vậy nghiệm của phương trình là 4 3 3 log (log 4) x  3) 4 2 log 32 x x   Điều kiện : 0 x  Khi đó phương trình tương đương: 2 4 log 2 2 2 2 log log 32 (4 log )log 5 x x x x      2 2 2 2 5 2 2 log 1 log 4log 5 0 1 log 5 2 32 x x x x x x                     thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm của phương trình là 2 x  và 1 32 x  [...]... 6: Phương trình có dạng : g ( x).a 2 f ( x )  h ( x).a f ( x )  k ( x)  0 (6 ) (hoặc g ( x ).log 2 f ( x )  h( x ).log a f ( x)  k ( x)  0 (6 ’) ) a Cách giải: ể ( ) +) Xét g ( x)  0  x  ? ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ kết luận +) TXĐ: x  D  a f (x) t  0 +) Từ (6 ) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Đặ t g ( x).t 2  h ( x ).t  k ( x )  0 (* )   h( x )  P ( x )  f ( x )  h( x )  P ( x ) 2 2     h ( x )   4 g ( x... 12) 53log5 x  25 x 16) x 6 5 log x 5  55 2 20) 7 log 25 (5 x ) 1  x log5 7 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2 .Phương pháp mũ hóa (dành cho phương trình logarit) Với ba phương trình log 2 x  log 2 ( x 2  6) (1 ) ; log 2 x  log 3 x (2 ) và log 2 x  log 3 (2 x) (3 ) Ta đã biết cách giải (1 ) và (2 ) Ở phương trình (1 ) có cùng cơ số 3 khác biểu thức (. .. g ( x ).k ( x )   P ( x )  t  a xD 2.g ( x) 2.g ( x) +) Từ (* ) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  (2 *) ⎯⎯⎯⎯ x  ?    h( x )  P ( x )  f ( x )  h( x )  P ( x )  t  a 2.g ( x) 2.g ( x )   f (x)  b b  0  x  ? ⎡a ⎢ l ( x) là hàm mũ (quay về 4 Dạng đầu) ( (2 *) thường có : ⎢ f ( x )  l ( x) : tính đơn điệu của hàm số (xem Ạ ) ⎢ a l ( x) là đa thức thì dùng:...  t  ( x  1)  4(2 x  6)  x  10 x  25  ( x  5)   t  1  x  ( x  5)  3  x log 2 x  3  x (2 )   2 1 +) Giải (1 ): (1 )  x  2 2  +) Giải (2 ): (2 )  x  log 2 x  3  0 (* ) 4 1 Xét hàm số f ( x)  x  log 2 x  3 với x  0 Ta có: f '( x )  1   0 , x  0 x ln 2 Suy ra hàm số f ( x ) đồng biến với x  0 Khi đó (* )  f ( x)  f (2 )  x  2 Vậy phương trình có nghiệm x  1 và x...  ( x 2  3) 2  4(2 x 2  2)  x 4  2 x 2  1  ( x 2  1) 2  3  x 2  ( x 2  1) 2 2 t   3x  2 (1 ) 2   2 2 2  3  x  ( x  1) 3x  1  x 2 (2 )   1  x2 t   2 2 +) Giải (1 ) : (1 )  x 2  log3 2  x   log3 2 Để giải (* ) ta dùng: +) Giải (2 ): (2 )  3x  x 2  1  0 (* ) Cách 1: (Hàm số) 2 2 2 Xét hàm số : f ( x)  3x  x 2  1  f '( x)  2 x.3x ln 3  2 x ; f '( x)  0  2 x(3x... 3 (t  1)(t  3)   0 với t   3;9 (t  2) 2 (t  2)2 Suy ra g (t ) đồng biến với t  3;9 ( g '(t )  0  t  1 hoặc t  3 )  f (3 )  g (t )  g (9 )  4  g (t )  16 Vậy để (* ) có nghiệm với t   3;9 thì 4  m  16 CHÚ Ý: Để làm tốt các bài toán liên quan tới phương trình chứa tham số các bạn cần nắm được kiến thức sau: Nếu y  f ( x) là hàm liên tục trên miền D Phương trình f ( x)  g (. .. http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 DẠNG 5: Dùng 2 ẩn phụ chuyển phương trình: f  f1 ( x ), f 2 ( x )   0 (5 ) về hệ phương trình Cách giải: +) TXĐ: x  D u  f1 ( x) ( ) v  f 2 ( x ) Đặ  +) Từ (5 ) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ f (u , v )  0 (suy ra từ (5 ) u  ? x  D ⎯⎯⎯⎯⎯ x  ?  g (u , v)  0 (từ ( ) ta khử ) v  ? CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ: Giải các phương trình sau 2) 32 x  3x  5  5 1) 8 x  1  2 3 2 x 1  1... số 3 khác biểu thức ( x và x 2  6 ) , phương trình (2 ) cùng biểu thức x , khác cơ số ( 2 và 3 ) Nên ta có cách giải như sau:  x  3  x  x2  6  x2  x  6  0  (1 )       x  2  x  3 x  0 x  0 x  0  (2 )  log 2 x  log 3 2.log 2 x  (1  log 3 2) log 2 x  0  log 2 x  0  x  1 Song ở phương trình (3 ) khác cơ số ( 2 và 3 ) và khác cả biểu thức ( x và 2x ) Để giải quyết bài... x  2( x  1).log 2 x  4  0 2 Giải: 1) 25x  2( x  6).5 x  10 x  35  0 Đặt t  5 x ( t  0 ) Khi đó phương trình có dạng: t 2  2( x  6)t  10 x  35  0 Ta có: 't  ( x  6) 2  10 x  35  x 2  2 x  1  ( x  1)2 5 x  5 (1 ) t  6  x  ( x  1)  5   x t  6  x  ( x  1)  7  2 x 5  7  2 x (2 ) +) Giải (1 ) : (1 )  5x  5  x  1 +) Giải (2 ): (2 )  5 x  2 x  7  0 (* ) Xét... lg x Khi đó phương trình có dạng: t 2  (2  log 2 x)t  2 log 2 x  0 2  t  (2  log 2 x ) 2  8 log 2 x  4  4 log 2 x  log 2 x  (2  log 2 x ) 2  (2  log 2 x)  (2  log 2 x)  2 t   lg x  2 (1 ) 2   t  (2  log 2 x)  (2  log 2 x)   log x  lg x   log 2 x (2 ) 2   2 1 +) Giải (1 ): (1 )  x  102  100 +) Giải (2 ): (2 )  lg 2.log 2 x   log 2 x  (1  lg 2) log 2 x  . CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT A. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT. CẤP 3 PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT PHẦN 2