Bất đẳng thức từ góc nhìn hình học

Sử dụng độ dài trong chứng minh bất đẳng thức 3 1.1 Các bất đẳng thức liên quan tới tam giác.. Mục đích của luận văn này là trình bày phương pháp sử dụng hình học để chứng minh các bất đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mục lục

Chương 1 Sử dụng độ dài trong chứng minh bất đẳng thức 3

1.1 Các bất đẳng thức liên quan tới tam giác 3

1.2 Đường gấp khúc 8

1.3 Trung bình cộng và trung bình nhân 11

1.4 Một số bất đẳng thức về giá trị trung bình 16

1.5 Phép thế Ravi 23

1.6 Bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ số 24

1.7 Một số bài toán khác 28

Chương 2 Sử dụng diện tích và thể tích chứng minh bất đẳng thức 33 2.1 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM) 33

2.2 Bất đẳng thức Chebyshev 36

2.3 Bất đẳng thức AM- GM cho ba số 41

2.4 Bất đẳng thức Guha 47

2.5 Giá trị trung bình của hai phân số a b và c d 50

2.6 Bất đẳng thức Schur 52

2.7 Bất đẳng thức Cauchy -Schwarz 54

2.8 Bất đẳng thức Aczél (János Aczél) 57

2.9 Một số bài toán khác 60

Danh sách hình vẽ

1.1 Minh họa chứng minh phần thuận định lý về bất đẳng thức

tam giác 4

1.2 Minh họa chứng minh phần đảo định lý về bất đẳng thức tam giác 5

1.3 Minh họa bất đẳng thức √a + b < √ a +√ b 6

1.4 Minh họa ứng dụng của bất đẳng thức tam giác 6

1.5 Minh họa ứng dụng của bất đẳng thức tam giác 7

1.6 Hình hộp chữ nhật và bất đẳng thức 8

1.7 Minh họa bất đẳng thức bốn số không âm 9

1.8 Minh họa bất đẳng thức Minkowski 10

1.9 Minh họa bất đẳng thức AM- GM 11

1.10 Hình chữ nhật nội tiếp hình tròn 12

1.11 Minh họa bài toán Dido 12

1.12 Bài toán cực trị đầu tiên 13

1.13 Minh họa bất đẳng thức AM- GM 14

1.14 Minh họa nhận xét 1.2 15

1.15 Minh họa nhận xét 1.5 16

1.16 Minh họa các bất đẳng thức (??) 17

1.17 Hình thang và các giá trị trung bình 18

1.18 σN > σM khi và chỉ khi N nằm “cao hơn” M 20

1.19 Tam giác vuông và trung bình điều hòa 21

1.20 Tam giác vuông và các giá trị trung bình 22

1.21 Minh họa phép thế Ravi 23

1.22 Bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ số 25

1.23 Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ số 27

2.1 Minh họa 1 cho bất đẳng thức AM-GM 34

2.2 Minh họa 2 cho bất đẳng thức AM-GM 34

2.3 Minh họa bất đẳng thức ad + bc < ac + bd 35

2.4 Minh họa bất đẳng thức a2b + ab2 ≤ a3 + b3 35

2.5 Minh họa 1 của bất đẳng thức Chebyshev 37

2.6 Minh họa 2 của bất đẳng thức Chebyshev 37

2.7 Minh họa bất đẳng thức Voicu 40

2.8 Minh họa bổ đề 2.1 41

2.9 Minh họa 1 của bất đẳng thức AM-GM cho ba số 43

2.10 Minh họa 2 của bất đẳng thức AM-GM cho ba số 44

2.11 Hình trụ nội tiếp hình nón 45

2.12 Minh họa bất đẳng thức Guha 47

2.13 Tam giác nội tiếp đường tròn 49

2.14 Minh họa giá trị trung bình của hai phân số 50

2.15 Giá trị trung bình của phân số 51

2.16 Nghịch lý Simpson 52

2.17 Bất đẳng thức Schur 53

2.18 Minh họa 1 bất đẳng thức Cauchy- Schwarz 55

2.19 Minh họa 2 bất đẳng thức Cauchy- Schwarz 56

Mở đầu

Bất đẳng thức đóng một vị trí quan trọng trong toán học Bản thân bấtđẳng thức (và đẳng thức) có ý nghĩa độc lập: Bất đẳng thức (đẳng thức)thể hiện mối quan hệ (lớn hơn, nhỏ hơn, bằng nhau) giữa các đại lượng.Nhiều bài toán tối ưu (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất), giải phương trình

và hệ phương trình, cần đến hoặc thực chất là đánh giá bất đẳng thức.Bất đẳng thức cũng đóng vai trò quan trọng trong giảng dạy và phổbiến toán học trong các trường phổ thông và đại học Phần lớn các bấtđẳng thức được chứng minh và sử dụng thông qua các phép biến đổi đại

số Theo tìm hiểu của tôi, hiện chưa có một tài liệu hoặc một luận văn caohọc nào dành riêng trình bày các phương pháp hình học chứng minh bấtđẳng thức Trong khi đó, nhiều bất đẳng thức có thể minh họa hoặc chứngminh bằng hình học Chứng minh hình học các bất đẳng thức thường đơngiản và trực quan hơn, vì vậy cho phép nhìn bất đẳng thức dưới góc nhìnsinh động hơn Theo một nghĩa nào đó, có thể coi chứng minh hình học làmột phương pháp chứng minh bất đẳng thức khá độc đáo

Trong khuôn khổ luận văn này tôi xin được trình bày đề tài: “Bất đẳngthức từ góc nhìn hình học” Luận văn được tổng hợp từ cuốn sách củaClaudi Alsina, Roger B Nelsen [2] và tham khảo thêm một số tài liệukhác (thí dụ, [4], [5])

Mục đích của luận văn này là trình bày phương pháp sử dụng hình học

để chứng minh các bất đẳng thức

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các tài liệu tham khảo, bố cụccủa luận văn được trình bày trong hai chương.

Chương 1 Sử dụng độ dài trong chứng minh bất đẳng thức Chương 1trình bày sử dụng độ dài trong chứng minh các bất đẳng thức, như bấtđẳng thức tam giác, bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân,trung bình bình phương

Chương 2 Sử dụng diện tích và thể tích chứng minh bất đẳng thức.Nhiều bất đẳng thức có thể được chứng minh nhờ công cụ diện tích và thểtích Chương này trình bày phương pháp diện tích và thể tích chứng minhbất đẳng thức

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Tạ Duy Phượng.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, KhoaToán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm

và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016

Học viênPhạm Thị Lan Anh

Chương 1

Sử dụng độ dài trong chứng minh bất đẳng thức

Chương này gồm bảy mục, trình bày một số bất đẳng thức cơ bản được

sử dụng liên quan tới nội dung nghiên cứu của đề tài và ứng dụng các bấtđẳng thức này để chứng minh, vận dụng vào các hệ quả, ví dụ cụ thể Nộidung của chương dựa chủ yếu theo tài liệu [2] và tham khảo thêm một sốtài liệu khác (thí dụ, [4], [5])

1.1 Các bất đẳng thức liên quan tới tam giác

Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức tam giác) Ba số dương a, b, c tạo thành

độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi a + b > c, b + c > a và

a + c > b

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức thứ hai, hai bất đẳng thứccòn lại chứng minh tương tự Gọi a, b, c là các chiều dài cạnh của tam giác

ABC như trong Hình 1.1 Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho

AD = AC Trong tam giác BCD, ta sẽ so sánh BD với BC

Do tia CA nằm giữa hai tia CB và CD nên

\

BCD > ACD.\ (1.1)

B

C

b c

b

A

D

Hình 1.1: Minh họa chứng minh phần thuận định lý về bất đẳng thức tam giác

Mặt khác, theo cách dựng, tam giác ACD cân tại A nên

AB + AC = BD > BC,

hay c + b > a Tương tự ta cũng chứng minh được a + b > c và a + c > b.Ngược lại, nếu a + b > c, b + c > a, a + c > b ta chứng minh tồn tại tamgiác ABC sao cho AB = c, BC = a, AC = b Thật vậy, dựng đường tròntâm A bán kính bằng b và đường tròn tâm B bán kính bằng a Nếu tồntại tam giác ABC thì hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm (điểm C)

Hình 1.2: Minh họa chứng minh phần đảo định lý về bất đẳng thức tam giác

Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử hai đường tròn này không cắtnhau, khi đó hai đường tròn tiếp xúc hoặc rời nhau

+ Trường hợp 1: Hai đường tròn tiếp xúc

- Hai đường tròn tiếp xúc trong thì b = a + c (nếu đường tròn tâm A

chứa đường tròn tâm B) hoặc a = b + c (nếu đường tròn tâm B chứađường tròn tâm A)

- Hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì c = a + b

+ Trường hợp 2: Hai đường tròn rời nhau

- Hai đường tròn chứa nhau thì b > c + a (nếu đường tròn tâm A chứađường tròn tâm B) hoặc a > c + b (nếu đường tròn tâm B chứa đườngtròn tâm A)

- Hai đường tròn nằm ngoài nhau thì c > a + b

Như vậy, tất cả các trường hợp xảy ra đều mâu thuẫn với giả thiết Do

Từ bất đẳng thức tam giác, có thể suy ra nhiều bất đẳng thức thú vị

Ví dụ 1.1.2 ([2], p.3) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có thể nhìnbất đẳng thức đại số √a + b ≤√a +√

b dưới các cạnh của một tam giácvuông (Hình 1.3, coi a = 0 là trường hợp tam giác suy biến thành đoạnthẳng)

√ b

2 nhân với trung bình cộng, tức là:

√ a2+b

Hình 1.4: Minh họa ứng dụng của bất đẳng thức tam giác

Thật vậy, lấy a và b là độ dài cạnh bên của tam giác vuông (Hình 1.4).Theo công thức Pythagoras, chiều dài cạnh huyền của tam giác vuông cạnh

a,b là √a2 + b2 Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác vuông này,

ta thu được

√

a2 + b2 ≤ a + b hay 2√

a2 + b2 ≤ 2(a + b) (1.3)

Áp dụng công thức Pythagoras cho tam giác vuông cân có cạnh góc

vuông là a+b, ta được độ dài cạnh huyền là √2(a + b)

Bây giờ áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác có cạnh√a2 + b2,√a2 + b2,

√

2(a + b) kéo theo

√2(a + b) ≤ 2√a2 + b2 (1.4)

Từ (1.3) và (1.4), ta suy ra

√2(a + b) ≤ 2√a2 + b2 ≤ 2(a + b)

Chia hai vế bất đẳng thức trên cho 2√

Ví dụ 1.1.4 ([2], p.3) Hoàn toàn tương tự, có thể chứng minh bất đẳng

thức sau cho ba số dương a, b, c:

a

b c

Hình 1.5: Minh họa ứng dụng của bất đẳng thức tam giác

Thật vậy, lấy a, b và c là chiều dài các cạnh bên của tam giác vuông(Hình 1.5) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta được

√2(a + b + c) = AC = AB + BC (1.6)

≤ (AD + DB) + (BE + EC) (1.7)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Biểu thức ở giữa bất đẳng thức trên có thể minh họa như là tổng độ dàicác cạnh của một tam giác tạo bởi ba đường chéo của hình hộp chữ nhật

đẳng thức khác, ví dụ như, cho bốn số dương x, y, u, v ta có bất đẳng thức

√ x 2 + u2

√ y2+v2

Hình 1.7: Minh họa bất đẳng thức bốn số không âm

Thật vậy, lấy x, y, u và v là độ dài các cạnh của tam giác vuông nhưtrong Hình 1.7 Áp dụng công thức Pythagoras cho tam giác vuông lớn,

ta được độ dài cạnh huyền của tam giác này là p(x + y)2 + (u + v)2 Ápdụng công thức Pythagoras cho tam giác vuông có độ dài cạnh góc vuông

là x và u, ta được độ dài cạnh huyền của tam giác này là √x2+ u2 Ápdụng công thức Pythagoras cho tam giác vuông có độ dài cạnh góc vuông

là y và v, ta được độ dài cạnh huyền của tam giác này là py2 + v2 Từ

đó áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác lớn, ta suy ra điều phảichứng minh

Bất đẳng thức trên có thể dễ dàng mở rộng thành Bất đẳng thứcMinkowski (Hermann Minkowski, 1864-1909) cho các bộ số không âmai, bi

(Hình 1.8)

vuu

phải của bất đẳng thức (1.11) là tổng độ dài đường gấp khúc như minhhọa trong Hình 1.8.

Hình 1.8: Minh họa bất đẳng thức Minkowski

Công thức (1.11) có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạpnhư sau Với n = 2, bất đẳng thức (1.11) trở thành bất đẳng thức (1.10),

do đó đúng Giả sử (1.11) đúng với n − 1, tức là

vuu

|a − b|

a + b

2 √ ab

Hình 1.9: Minh họa bất đẳng thức AM- GM.

x R

Giải Gọi x và y là chiều dài cạnh của hình chữ nhật và L là chiều dàicủa sợi dây, khi đó L = 2x + y, ta muốn cực đại diện tích A = xy Ápdụng bất đẳng thức AM- GM, ta có

2

= L

2

8 ,

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = 2x Do đó hình chữ nhật tối ưu nhất

là hình chữ nhật có chiều dài bằng hai lần chiều rộng Nhận xét 1.3.3 ([4]) Trong cuốn sách 100 Great Problems of ElementaryMathematics (100 bài toán khó của toán học sơ cấp), 1965, Heinrich D¨orrie

đã gọi bài toán sau đây là the first extreme problem encountered in thehistory of mathematics since the days of antiquity (bài toán cực trị đầutiên của lịch sử toán học từ thời cổ đại):

Hình 1.12: Bài toán cực trị đầu tiên

Hãy tìm khoảng cách x xa nhất có thể để từ đó có thể nhìn thấy mộtcây gậy đặt thẳng đứng (Hình 1.12)

Giải Gọi khoảng cách từ người quan sát đến cây gậy là x, khoảng cách

từ mực quan sát nằm ngang của mắt đến đỉnh và đáy cây gậy tương ứng

là a và b, góc quan sát là θ Ta cần tìm vị trị x để cực đại góc quan sát

θ Ký hiệu α và β tương ứng là góc nhìn tới đỉnh và đáy của cây gậy hợp

với đường nằm ngang Khi ấy ta có

cot θ = cot(α − β) = cot α cot β + 1

Vì cotan là hàm giảm theo θ trong góc phần tư thứ nhất, để tìm cựcđại cho θ ta tìm cực tiểu của cot θ Áp dụng bất đẳng thức AM- GM kéotheo

cot θ = x

a − b +

ab(a − b)x ≥ 2

s

x

a − b ·

ab(a − b)x =

2√ab

a − b.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x

a − b =

ab(a − b)x, hay x = √

R=

a+

b 2

Hình 1.13: Minh họa bất đẳng thức AM- GM

Nhận xét 1.3.4 ([5], p.63) Cho hình thang ABCD có đáy BC = a và

AD = b (a < b) Đoạn thẳng EF song song với đáy có độ dài bằng x

D H

Nhận xét 1.3.7 ([5], p 63) Nếu diện tích hai hình thang AEF D và

EBCF bằng nhau thì x =

r

a2 + b2

2 Chứng minh (Hình 1.15) Hai hình thang có diện tích bằng nhau nên

B

S2

S 1

S1a

Hình 1.16: Minh họa các bất đẳng thức (1.13)

Thật vậy, ta sẽ lần lượt chứng minh các bất đẳng thức trong (1.13).Cho a, b là các số dương, dựng hình tròn tâm A, bán kính |a − b|

2 Từ A

dựng tia AM nằm ngang, có độ dài a + b

2 Từ M dựng tam giác AMR

vuông tại A Lấy điểm G là tiếp điểm của tiếp tuyến từ M tới đường trònsao cho G nằm ở phía đối diện với R qua tia AM Kẻ GH vuông góc với

AM tại H (Hình 1.16) Ta lần lượt tính độ dài các cạnh sau theo côngthức Pythagoras:

Hai bất đẳng thức đầu và cuối của (1.13) dễ dàng suy ra được từ phươngpháp đánh giá:

2ab

a + b ≥ 2ab

2 max{a, b} =

abmax{a, b} = min{a, b},

Ngoài cách dùng hình tròn và các đường tiếp tuyến để minh họa chocác bất đẳng thức giá trị trung bình, ta có thêm cách giải thích khác làdùng hình thang như sau

Nhận xét 1.4.1 ([3],p 62) Cho hình thangABDC với AB = a, CD = b,

a < b (xem Hình 1.17) Gọi O là giao của AD và BC

• Giá trị trung bình điều hòa 2ab

a + b được biểu diễn bằng đoạn EF songsong với cạnh đáy và đi qua giao điểm O (Nhận xét 1.3.5)

• Giá trị trung bình bình phương

r

a2 + b2

2 được biểu diễn bằng đoạnthẳng MN song song với cạnh đáy và chia hình thang ABDC thànhhai hình thang có diện tích bằng nhau (Nhận xét 1.3.7)

Dễ dàng thấy rằng, bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thứctrung bình nhân-trung bình điều hòa

Nhận xét 1.4.3 ([5], p 64) Cho tam giác ABC vuông ở C, BC = a >

b = AC Ký hiệu σM là khoảng cách từ một điểm M trên cạnh huyền đếnhai cạnh góc vuông Khi ấy σN > σM khi và chỉ khi N nằm “cao hơn” M

A B

Hình 1.18: σ N > σ M khi và chỉ khi N nằm “cao hơn” M

Cho tam giác ABC vuông ởC, BC = a > b = AC (Hình 1.19) Giả sửphân giác góc C cắt cạnh huyền tại H Khi ấy tứ giác CH1HH2 là hìnhvuông có cạnh bằng ab

a + b Thật vậy, gọi x là độ dài cạnh HH1 Xét haitam giác đồng dạng ABC và AHH1, ta có

a +

1b

= 2 ab

a + b = σH ≤ σO = a + b

2 .

A B

Hình 1.19: Tam giác vuông và trung bình điều hòa

Nhận xét 1.4.4 ([5], p 64) Lấy một điểmG trên AB sao cho σG = √

ab.Khi ấy G nằm giữa O và H Suy ra σH ≤ σG ≤ σO hay 2 ab

A B

C

O Q

Hình 1.20: Tam giác vuông và các giá trị trung bình

Ứng dụng 1.4.6 (Bất đẳng thức Mengoli, Pietro Mengoli, 1625-1686, [2,

22x =

2 =

12

c

(a)

x y

z (b)

Hình 1.21: Minh họa phép thế Ravi

Hệ quả 1.5.1 (Bất đẳng thức Padoa, 1925), ([2], p 14) Cho a, b, c là bacạnh của tam giác Khi ấy

abc ≥ (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) (1.16)Chứng minh Sử dụng phép thế Ravi, bất đẳng thức Padoa tương đươngvới

(x + y)(y + z)(z + x) ≥ (2x)(2y)(2z) = 8xyz (1.17)Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta có

Hệ quả 1.5.2 ([2], p.14) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác Khi ấy

2z

1.6 Bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ số

Xét tích

(a2 + b2)(c2 + d2)

Khai triển ra, ta được tích trên bằng

a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2,

và cũng bằng với khai triển của biểu thức

bc − ad = 0 (1.19)Trong trường hợp này, ta thấy hai bộ số (a, b) và (c, d) tỉ lệ với nhau Nếu

c 6= 0 và d 6= 0, điều kiện (1.19) được viết lại thành

Hình 1.22: Bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ số

Xét tam giác trong Hình 1.22 Độ dài đoạn OP, OQ, P Q là

OP = √

a2 + b2, OQ = √

c2 + d2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cos θ = 1, hay khi và chỉ khi θ = 0, tức là

O, P, Q cùng nằm trên một đường thẳng Trong trường hợp này, ta có hệ

số góc của hai đường thẳng PQ và OQ là bằng nhau, nói cách khác, nếu

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ba điểm O, P, Q thẳng hàng, tức là

Hình 1.23: Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ số

Trong trường hợp một chiều, bất đẳng thức được viết dưới dạng

q

x2

2 + y2 2

≥ (x1 + x2)2 + (y1 + y2)2

tương đương với

q

x2

1 + y2 1

b c

C

60 o

60 o O

A

B a

b

c C

60 o E

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng Kẻ BE song songvới OA ta có OBE là tam giác đều Khi đó theo định lý Ta-let, ta có

Ví dụ 1.7.2 ([1], p 297) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh

B ′ 2

B ′ 1

B ′ n−1

2

= 1n

p

n2 − 22