bất đẳng thức biến phân nửa affine

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————————————— ĐỖ THỊ PHƯƠNG NGA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN NỬA AFFINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————————————— ĐỖ THỊ PHƯƠNG NGA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN NỬA AFFINE Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm Thái Ngun - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Bảng kí hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Khơng gian R n . . . 1 1.2. Giải tích lồi . . . . . 2 1.3. Tính đồng dương cộng . . 5 1.4. Bài tốn bù tuyến tính . . . . . . 7 Chương 2. Bất đẳng thức biến phân nửa a-phin. . . . . . . . . 12 2.1. Bất đẳng thức biến phân a-phin. . 12 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . 12 2.1.2. Sự tồn tại nghiệm . . 21 2.2. Bất đẳng thức biến phân nửa a-phin . . . 38 2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . 38 2.2.2. Sự tồn tại nghiệm . . 39 2.2.3. Tính ổn định . . . . . 43 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Luận văn được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, người đã ln quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn về phương hướng, nội dung và phương pháp nghiên cứu trong q trình thực hiện luận văn. Nhân dịp này tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun, phòng Sau đại học, Trường cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật Phú Thọ, đã tạo điều kiện thuận lợi trong q trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hồn thành bản luận văn này. Thái Ngun, tháng năm 2014 Tác giả iv Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tơi xin cam đoan Luận văn là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm Trong q trình nghiên cứu, tơi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Thái Ngun, tháng năm 2014 Tác giả v Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bảng kí hiệu R tập hợp số thực R n khơng gian thực n - chiều N tập hợp số tự nhiên KerT Hạt nhân của tốn tử T RanT Miền giá trị của tốn tử T SpanP Khơng gian con tuyến tính nhỏ nhất của R n chứa P P r K (.) hoặc P K (.) Phép chiếu metric từ R n vào một tập con lồi đóng K ⊂ R n vi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Bất đẳng thức biến phân là một bài tốn đã được nghiên cứu rất nhiều. Nó có liên quan đến nhiều bài tốn khác của tốn học và của thực tế (bài tốn tối ưu, bài tốn bù, bài tốn cân bằng ). Một trong những bài tốn bất đẳng thức biến phân được nghiên cứu nhiều đó là bài tốn bất đẳng thức biến phân a-phin và bất đẳng thức biến phân nửa a-phin. Tuy chúng khơng phức tạp, nhưng bất đẳng thức biến phân a-phin và nửa a-phin là một trong những bài tốn có cấu trúc đặc thù và chứa một số lớp bài tốn quan trọng. Do đó nghiên cứu về lớp các bài tốn bất đẳng thức biến phân a-phin và nửa a-phin khơng những làm sáng tỏ nhiều vấn đề của bất đẳng thức biến phân tổng qt mà chúng còn cung cấp những cơng cụ mạnh cho các nhánh khác nhau của tốn học.Vì vậy nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà tốn học trên thế giới cũng như ở Việt Nam trong mấy chục năm qua. Đã có nhiều tác giả trong và ngồi nước quan tâm nghiên cứu những khía cạnh khác nhau của bất đẳng thức biến phân a-phin và nửa a-phin. Sau khi được học những kiến thức về Tốn ứng dụng, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ của chúng với những kiến thức chưa biết và ứng dụng của chúng, được sự động viên của các thầy cơ giáo, đặc biệt là sự động viên giúp đỡ của thầy Nguyễn vii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Năng Tâm, tơi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Bất đẳng thức biến phân nửa a-phin”. 2. Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu về một số kết quả liên quan đến bất đẳng thức biến phân a-phin, sự tồn tại nghiệm bất đẳng thức biến phân a-phin. • Tìm hiểu về bất đẳng thức biến phân nửa a-phin, và dạng đặc biệt của nó là bài tốn bù tuyến tính tổng qt. • Tìm hiểu về sự tồn tại và tính ổn định nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân nửa a-phin. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Trình bày khái niệm bất đẳng thức biến phân a-phin và nửa a-phin. • Trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân a-phin. • Trình bày về sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân nửa a-phin và bài tốn bù tuyến tính tổng qt. • Trình bày tính ổn định nghiệm của bất đẳng thức biến phân nửa a-phin. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức biến phân nửa a-phin. viii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và tính ổn định nghiệm của bất đẳng thức biến phân a-phin, nửa a-phin, và bài tốn bù tuyến tính tổng qt. 5. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm, lý thuyết tối ưu. • Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài. 6. Dự kiến các đóng góp của luận văn • Nghiên cứu và làm rõ được sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân a-phin và nửa a-phin. • Trình bày về tính ổn định của bất đẳng thức biến phân nửa a-phin. • Trình bày sự tồn tại nghiệm của bài tốn bù tuyến tính tổng qt. ix Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này giới thiệu và trình bày các kiến thức cơ bản về khơng gian R n , giải tích lồi, các khái niệm về đồng dương cộng, một số kiến thức về bất đẳng thức biến phân a-phin và bài tốn bù tuyến tính, được áp dụng cho chương sau. Các kết quả trong chương này được lấy từ tài liệu [1],[3],[4],[9], [10]. 1.1. Khơng gian R n Tích vơ hướng của hai véc tơ x = (x 1 , , x n ) và y = (y 1 , , y n ) trong R n được biểu thị bởi x, y = x 1 y 1 + + x n y n . Chuẩn của một véc tơ x ∈ R n được định nghĩa bởi x = x, x 1 / 2 . Cho x 0 ∈ R n ,  > 0, ta gọi tập B(x 0 , ) = {x ∈ R n : x − x 0  < }. Là hình cầu mở trong R n có tâm tại x 0 , bán kính . Tập U ⊂ R n gọi là mở nếu với mọi x 0 ∈ U, tồn tại  > 0 sao cho B(x 0 , ) ⊂ U. 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Bất đẳng thức biến phân nửa a-phin Trong chương này ta giới thiệu các khái niệm bài tốn bất đẳng thức biến phân a-phin, nửa a-phin và các tập nghiệm của chúng Bên cạnh đó ta cũng nghiên cứu về điều kiện tồn tại và tính ổn định nghiệm của chúng Các kiến thức trong chương này được lấy từ tài liệu [2],[5], [6], [7], [8], [9], [10] 2.1 Bất đẳng thức biến phân a-phin 2.1.1 Định nghĩa... đúng: (i) Tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân a-phin là một tập đóng (có thể rỗng); (ii) Nếu tập nghiệm của một bất đẳng thức biến phân a-phin khơng bị chặn, thì bài tốn có một nửa đường thẳng nghiệm; (iii) Nếu tập nghiệm của một bất đẳng thức biến phân a-phin vơ hạn, thì bài tốn có một đoạn thẳng nghiệm Chứng minh Phát biểu (i) suy ra trực tiếp từ cơng thức (2.11) bởi vì, với bất kỳ I0 ⊂ I, tập P rRn... Rn Cho ∆ ⊂ Rn là một tập lồi đa diện Bài tốn bất đẳng thức biến phân a-phin là bài tốn: Tìm x ∈ ∆ sao cho ¯ M x + q, y − x ≥ 0, ∀y ∈ ∆ ¯ ¯ (2.1) Được kí hiệu là AV I(M, q, ∆) Định nghĩa 2.1.2 Tập tất cả các x ∈ ∆ thỏa mãn (2.1) được gọi là ¯ tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân a-phin (2.1), và được kí hiệu là Sol(AV I(M, q, ∆)) Định nghĩa 2.1.3 Một nửa đường thẳng w = {¯ + t¯ : t ≥ 0}, trong x... Rn là một tập lồi, đóng, khác rỗng và φ : ∆ → Rn là một tốn tử (ánh xạ) cho trước thì bài tốn tìm x ∈ ∆ ¯ thỏa mãn φ(¯), y − x ≥ 0 ∀y ∈ ∆, x ¯ (1.1) được gọi là bài tốn bất đẳng thức biến phân hoặc, đơn giản, là bất đẳng thức biến phân (viết tắt là VI) Nó được kí hiệu là V I(φ, ∆) Tập tất cả các x ∈ ∆ thỏa mãn (1.1) được gọi là tập nghiệm của bài ¯ tốn V I(φ, ∆) Kí hiệu là Sol(V I(φ, ∆)) Dễ thấy rằng... liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ và bất đẳng thức trước chỉ ra rằng (ii) thỏa mãn Theo (2.15), (2.17) và (ii), với mọi y ∈ ∆ ta có 0 ≤ M u0 + q + tM v, y − u0 − tv = M u0 + q, y − u0 + t M v, y − u0 với mọi t > 0 Điều này kéo theo bất đẳng thức M v, y − u0 < 0 phải sai Vì vậy ta có M v, y − u0 ≥ 0, ∀y ∈ ∆ (2.18) Thay y = u0 + w, trong đó w ∈ δ(A) vào bất đẳng thức trong (2.18) ta được M v, w ≥ 0 với... quy hoạch tồn phương khơng lồi, tập nghiệm của một bài tốn AV I có cấu trúc khá đơn giản 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 2.1.2 Tập nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân a-phin là hợp của hữu hạn các tập lồi đa diện Chứng minh Xét bài tốn AV I tổng qt có dạng (2.1) Vì ∆ là một tập lồi đa diện, tồn tại m ∈ N, A ∈ Rm×n , b ∈ Rm sao cho ∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b}... (iii) Giao của các nón l(M ) và {v ∈ Rn : M v ∈ δ(A)+ } và δ(A) gồm chỉ một phần tử 0 2.1.2 Sự tồn tại nghiệm Phần này trình bày và chứng minh các định lý cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân a-phin 21 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Xét bài tốn (2.1) Vì ∆ là một tập lồi đa diện, tồn tại m ∈ N, A ∈ Rm×n và b ∈ Rm sao cho ∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} (2.19)... b}, {x ∈ Rn | a, x ≤ b} được gọi là các nửa khơng gian đóng liên kết với siêu phẳng đó (cũng được gọi là các nửa khơng gian dương và âm tương ứng) Các tập {x ∈ Rn | a, x > b}, {x ∈ Rn | a, x < b} được gọi là các nửa khơng gian mở liên kết với siêu phẳng đó Định nghĩa 1.2.7 Nón pháp tuyến N∆ (¯) tới một tập lồi ∆ ⊂ Rn tại x một điểm x ∈ Rn được định nghĩa bởi cơng thức ¯   {x∗ ∈ Rn : x∗ , x − x ≤ 0,... chỉ bao gồm 0 Theo Mệnh đề 1.4.3 Sol(M, q) là compact Ngược lại M trong ví dụ trên là một ma trận khơng suy biến, nó kéo theo rằng tập nghiệm Sol(M, q) là một tập hữu hạn Theo định nghĩa ma trận M = (aij ) được gọi là ma trận khơng suy biến nếu, với bất kỳ tập con khác rỗng α ⊂ {1, , n}, định thức của ma trận con chính Mαα gồm các phần tử aij (i ∈ α, j ∈ α) của M là khác khơng 9 Số hóa bởi Trung tâm... AT λ + q = 0,    Ax ≥ b, λ ≥ 0,    T  λ (Ax − b) = 0 (2.9) Cho I = {1, , m} Cho trước một điểm x ∈ Sol(AV I(M, q, ∆)), ta đặt I0 = {i ∈ I : Ai x = bi }, I1 = I − I0 = {i ∈ I : Ai x > bi } Từ bất đẳng thức cuối của (2.9) ta được λi = 0, ∀i ∈ I1 Do đó (x, λ) thỏa mãn hệ   M x − AT λ + q = 0,    A x =bI0 , λI0 ≥ 0,  I0    A x ≥ b , λ = 0 I1 I1 (2.10) I1 Cố định tập con I0 ⊂ I và kí hiệu . bài tốn bất đẳng thức biến phân được nghiên cứu nhiều đó là bài tốn bất đẳng thức biến phân a-phin và bất đẳng thức biến phân nửa a-phin. Tuy chúng khơng phức tạp, nhưng bất đẳng thức biến phân. 2. Bất đẳng thức biến phân nửa a-phin. . . . . . . . . 12 2.1. Bất đẳng thức biến phân a-phin. . 12 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . 12 2.1.2. Sự tồn tại nghiệm . . 21 2.2. Bất đẳng thức biến phân. nghiên cứu: Bất đẳng thức biến phân nửa a-phin”. 2. Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu về một số kết quả liên quan đến bất đẳng thức biến phân a-phin, sự tồn tại nghiệm bất đẳng thức biến phân a-phin. •