2.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.2.1. Cho ∆ ⊂ Rn là một tập lồi, đĩng, khác rỗng, một ma trận M ∈ Rn×n, một véc tơ q ∈ Rn. Bài tốn bất đẳng thức biến phân nửa a-phin xác định bởi (M, q,∆) mà được kí hiệu là V I (M, q,∆), là bài tốn đi tìm một véc tơ x sao cho
x ∈ ∆, hM x+ q, y−xi ≥ 0, (2.47)
với mọi y ∈ ∆. Ở đây h., .i là kí hiệu tích vơ hướng trong Rn. Tập nghiệm của V I (M, q,∆) được kí hiệu là Sol(V I(M, q,∆)).
Khi ∆ là một nĩn trong Rn thì (2.47) tương đương với bài tốn tìm một
x sao cho
và
hM x+q, xi = 0, (2.49)
được kí hiệu là GLCP(M, q,∆). Đây là bài tốn bù tuyến tính tổng quát được nhắc đến trong chương I.
Định nghĩa 2.2.2. Tập tất cả các véc tơq ∈ Rn sao choSol(V I (M, q,∆))
khác rỗng kí hiệu là R(∆, M).
Khi ∆ là một nĩn thì R(∆, M) cũng là một nĩn, nhưng khơng cần lồi.
Kí hiệu Fx(∆) là nĩn các phương chấp nhận được của ∆ tại điểm
x ∈ ∆; tức là; v ∈ Fx(∆) nếu và chỉ nếu x+τ v ∈ ∆ với mọi τ > 0 đủ nhỏ.
2.2.2. Sự tồn tại nghiệmĐịnh lý 2.2.1. Giả sử rằng Định lý 2.2.1. Giả sử rằng (i) M là đồng dương cộng trên ∆,
(ii) ánh xạ x 7→ hM x, xi là nửa liên tục dưới yếu trên ∆, (iii) ∆ là mỏng,
(iv) {δ ∈ ∆ : M δ ∈ ∆∗,hM δ, δi = 0,hq, δi = 0}= {0}.
Nếu bài tốn GLCP(M, q,∆) là chấp nhận được, thì tập nghiệm của
GLCP(M, q,∆) là khác rỗng và compact yếu.
Chứng minh. Trước tiên ta chỉ ra rằng tồn tại một nghiệm. Cho x0 là chấp nhận được đối với GLCP(M, q,∆), ta cĩ thể giả sử rằng x0 6= 0 và
là khác rỗng và tách được theo (iii). Cho {ξ0, ξ1, ...} là một tập con trù mật của {x ∈ ∆ : kxk = 1} với ξ0 = x0/kx0k và cho ∆n là một nĩn lồi đĩng tạo ra bởi {ξ0, ξ1, ...ξn}; mỗi ∆n là một đa diện và chứa x0. Vì
∆n ⊂ ∆, M là đồng dương cộng trên ∆n với mỗi n = 1,2, ..., theo (i). Cố định một n. Vì x0 là chấp nhận được đối với GLCP(M, q,∆n), Định lý 1.4.1 cho một xn ∈ ∆n sao cho
hM xn+q, δi ≥ 0,(δ ∈ ∆n) và hM xn+ q, xni = 0 (2.50) Ta địi hỏi rằng dãy {xn} bị chặn khi n → ∞. Nếu khơng, thì ta cũng cĩ (với một dãy con) kxnk → ∞, từ (2.50),
hM un +qn, uni = 0,(n= 1,2, ...) (2.51) với un = xn/kxnk và qn = q/kxnk → 0. Vì {u ∈ ∆ : kuk ≤ 1 là lồi, đĩng, bị chặn trên Rn, {un} (hoặc một dãy con) hội tụ yếu tới một phần tử
d ∈ ∆. Theo (ii), và (2.51), ta cĩ hM d, di ≤ 0, theo (i)
M d = −M∗d. (2.52)
Bây giờ (2.50) kéo theo rằng hq, xni = −hM xn, xni ≤ 0 (theo (i)). Điều này cho ta
hq, di ≤ 0 (2.53)
Vì bất kỳ δ ∈ ∆ cĩ thể viết như limn→∞δn với δn ∈ ∆n, từ (2.50) ta cĩ
hM d, δi ≥ 0 với mọi δ ∈ ∆, tức là,
M d∈ ∆∗ (2.54)
Tính chấp nhận được của GLCP(M, q,∆n) kéo theo rằng
Dùng (2.52), (2.54) ta được,
hq, di ≥ −hM x0, di = −hx0, M∗di = hx0, M di ≥ 0.
Từ (2.53), ta cĩ hq, di = 0, do đĩ, d thuộc {x ∈ ∆ : M x∈ ∆∗,hM x, xi = 0,hq, xi = 0}.
Theo (iv) kéo theo d = 0 vì vậy 0 ∈ [bao đĩng yếu {x ∈ ∆ : kxk = 1}] mà mâu thuẫn với (iii). Nĩ kéo theo rằng {xn} (hoặc một dãy con) bị chặn. Thì chúng ta cĩ thể giả sử rằng {xn} hội tụ yếu đến mỗi phần tử
¯
x0 ∈ ∆. (2.50) cho ta, theo (ii), rằng hMx¯0 + q,x¯0i ≤ 0. Hơn nữa, viết
δ = limδn với δn ∈ ∆n, (2.50) chỉ ra rằng hMx¯0 +q, δi ≥ 0 với bất kỳ
δ ∈ ∆. Do đĩ x¯0 giải được GLCP(M, q,∆n).
Cuối cùng lí luận tương tự chỉ ra tập nghiệm của GLCP(M, q,∆n) cĩ thể khơng bị chặn; nếu khơng, như trên, cĩ thể xây dựng một phần tử
d ∈ ∆ thỏa mãn (2.52),(2.53),(2.54) dẫn đến một mâu thuẫn (bởi (iii)). Tính compact yếu theo sau, vì tập nghiệm của GLCP(M, q,∆n) là đĩng yếu trên ∆.
Cho q1, q2 ∈ Rn, q2 ⊗q1 kí hiệu tốn tử tuyến tính trong Rn xác định bởi
q2 ⊗q1 = hq1, xiq2.
Định lý 2.2.2. Cho ∆ ⊂ Rn, M là một đồng dương cộng trên ∆. Thì các điều kiện sau là tương đương:
(a) Tập nghiệm của GLCP(M, q,∆) là khác rỗng và compact. (b) {x ∈ ∆ : M x ∈ ∆∗,hM x, xi = 0,hqx, xi ≤ 0} = {0}.
(c) q ∈ int(K∗ −M(K)), tức là, GLCP(M, q0,∆) là chấp nhận được với mọi q0 gần q.
(d) GLCP(M, q,∆) là chấp nhận được và
{x ∈ ∆ : M x∈ ∆∗,hM x, xi = 0,hqx, xi = 0} = {0}.
Chứng minh. Cho M = KerM ∩ {q}. Nếu M = {0}, thì kết quả được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.2.1 vì vậy giả sử rằng M 6= {0}. Kí hiệu P
là phép chiếu trực giao từ Rn tới M⊥ = RanM +Span{q}. Vì
hM x+q, ki = hM P x+q, P ki,(x, k ∈ ∆),
ta thấy rằng tính giả được của GLCP(M, q,∆) tương đương với tính giải được của GLCP(M, q, P(∆)). Theo (iii), tập
∆ +Ker(M +q ⊗q) = ∆ +KerM ∩ {q}⊥ ⊥= ∆ +KerP
là đĩng, do đĩ, P(∆)đĩng. Dễ dàng suy ra từ (ii) rằng M là đồng dương cộng trên P(∆) và, cuối cùng, ta cĩ
P(∆)∩KerM ∩ {q} ⊂ RanP ∩KerP = {0}.
Do đĩ mọi điều kiện của Định lý 2.2.1 đều thỏa mãn vớiGLCP(M, q, P(∆))
vì vậy nĩ giải được. Suy ra GLCP(M, q,∆) giải được.
Định lý 2.2.3. Cho ∆ là một tập lồi đĩng trên Rn. Thì với bất kỳ véc tơ q ∈ Rn, x là một nghiệm của V I(M, q,∆) nếu và chi nếu x ∈ ∆ và
q +M x∈ F(∆)∗. Kéo theo
Chứng minh. Cho R(∆, M), vàx ∈ Sol(V I (M, q,∆)). Ta đi chứng minh
q + M x ∈ Fx(∆)∗. Thật vậy, cho v ∈ Fx(∆); thì x + τ v ∈ ∆ với mọi
τ > 0 đủ nhỏ. Vì vậy nĩ kéo theo
0 ≤(x+ τ v−x)T(q +M x) =τ vT(q +M x),
mà thỏa mãn địi hỏi trên. Ngược lại, lấy q ∈ Fx(∆)∗ − M x, trong đĩ
x ∈ ∆. Với z ∈ ∆, ta cĩ z −x ∈ Fx(∆) bởi tính lồi của ∆. Do đĩ,
0≤ (z −x)T(q +M x)
theo cách chọn q. Thiết lập này đặc trưng các nghiệm của V I(M, q,∆)
và đồng nhất thức (2.55).