Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên tỉnh quảng ngãi năm học 2017 2018(có đáp án)

2.Cho tam giác AB không cân ,có ba góc nhọn .Một đường tròn đi qua B,C cắt các cạnh AC,AB lần lượt tại D,E .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BD,CE... a.Chứng minh rằng các tam giác ABD

Tên : Trương Quang An

Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi

Điện thoại : 01208127776 Nguồn sưu tầm trên mạng và ảnh chụp đề của học sinh thi chuyên Quảng Ngãi 2017-2018

Bài 1(2 điểm )

(x 1)(x  2) 2 x   x 1 0

2.Cho x,y là các số thực dương Chứng minh rằng

Đẳng thức trên còn đúng hay không nếu x,y là các số thực âm Tại sao ?

Bài 2(2 điểm )

1.Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 2

3

n  n là số nguyên tố Chứng minh rằng n chia 3 dư 1 và 2

7n  6n 2017không phải số chính phương 2.Tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa mãn phương trình 2 2

2x  4y  4xy 2x  1 2017

Bài 3(2 điểm )

1.Cho đa thức 3 2

( ) 6 15 11

P x x  x  x và các số thực a,b thỏa mãn P(a)=1 ,P(b)=5.Tính giá trị của biểu thức a+b

2.Gỉa sử x,y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện

2

( 1) 2

x xy  y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 44 4 2

y H

y y x x



Bài 4(3 điểm )

1.Cho hai điểm A,B phân biệt nằm trong góc nhọn xOy sao choxOAyOB Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tia Ox,Oy và P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên các tia Ox,Oy Gỉa sử M,N,P,Q đôi một phân biệt .Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn

2.Cho tam giác AB không cân ,có ba góc nhọn Một đường tròn đi qua B,C cắt các cạnh AC,AB lần lượt tại D,E Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BD,CE

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI

-

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC: 2017-2018 Môn thi: Toán Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề)

a.Chứng minh rằng các tam giác ABD ,ACE đồng dạng với nhau và MABNAC b.Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB ,K là hình chiếu vuông góc của N lên AC và I là trung điểm của MN Chứng minh rằng tam giác IHK cân

Bài 5(1 điểm )

Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt ,các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố gồm 2,3,5 Chứng minh rằng trong 9 số đã cho tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương

Bài làm Bài 1(2 điểm )

(x 1)(x  2) 2 x   x 1 0

2.Cho x,y là các số thực dương Chứng minh rằng

Đẳng thức trên còn đúng hay không nếu x,y là các số thực âm Tại sao ?

Bài làm Bài 1(2 điểm )

(x 1)(x 2)   2 x  x 1

Cách 1:Đến đây ta có điều kiện: −2 ≤ x ≤1

Bình phương hai vế và thu gọn ta được

2

0 1

1 33

2

1 33 2

x x

x





  



  

     



  







Giải ra so sánh với điều kiện ta được nghiệm: x = 0 ; x = −1

Cách 2: Đặt 2

1 0

t  x   x .Phương trình đã cho trở thành 2 1

2 3 0

3

t

t t

t





      

 Đối chiếu với điều kiện thì ta có t = 1 (nhận ).Với 2 0

1

x

x





        

Giải ra so sánh với điều kiện ta được nghiệm: x = 0 ; x = −1

2 Ta có

(Vì x,y là các số thực dương )

Đặt x a y;  b a b; ;  0.Ta có

Nên ta có

Hay

     (do a ,b dương )

Vậy đẳng thức trên còn đúng nếu x,y là các số thực âm

Bài 2(2 điểm )

1.Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 2

3

n  n là số nguyên tố Chứng minh rằng n chia 3 dư 1 và 2

7n  6n 2017không phải số chính phương 2.Tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa mãn phương trình 2 2

2x  4y  4xy 2x  1 2017

Bài làm

1.Vì n là số nguyên dương nên 2

3

n  n >3

Gọi r là số dư khi chia n cho 3 , r0,1, 2

Nếu r 0hoặc r  2 thì 2

3 3

n  n Mâu thuẫn với giả thiết 2

3

n  n là số nguyên tố

Do đó r 1 hay n chia dư 1 Khi đó 2

7n  6n 2017 chia 3 dư 2

Mà một số chính phương có só dư khi chia cho 3 là 0 hoặc 1 Nên

2

7n  6n 2017không phải số chính phương

2x  4y  4xy 2x  1 2017   (x 2 )y   (x 1)  2017  9  44

( 1) 9

10

x x

x





     



Với x=8 thì ta có 2 2 2 2 2 2 18

(8 2 ) (8 1) 2017 9 44 (8 2 ) 44

26

y

y

 





Với x=-10 thì ta có

( 10 2 ) ( 10 1) 2017 9 44 ( 10 2 ) 44

17

y

y

 





( 1) 44

45

x x

x





     



(43 2 ) (43 1) 2017 9 44 (43 2 ) 9

26

y

y







( 45 2 ) ( 45 1) 2017 9 44 ( 45 2 ) 9

18

y

y

 





Vậy nghiệm nguyên của phương trình là : (8;-18);(8;26);(-10;-27);

(-10;17);(43;17);(43;26);(-45;-27);(-45;-18)

Bài 3(2 điểm )

1.Cho đa thức 3 2

( ) 6 15 11

P x x  x  x và các số thực a,b thỏa mãn P(a)=1 ,P(b)=5.Tính giá trị của biểu thức a+b

2.Gỉa sử x,y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện

2

( 1) 2

x xy  y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 44 4 2

y H

y y x x



Bài làm

( ) 1 6 15 11 1

P a  a  a  a  (1)

( ) 1 6 15 11 5

P b   b b  b  (2)

Lấy (1) cộng (2) ta được :

(a b  4) (  a b )   (a 2)   (b 2)  6  0 (vì 2 2 2

(a b )   (a 2)   (b 2)   6 0) Lúc này ta suy ra a+b=4

Cách 2: Ta có 3

( ) 1 ( 2) 3( 2) 2

P a   a  a   (1)

( ) 1 ( 2) 3( 2) 2

P b   b  b  (2)

(a b  4) (  a 2)   (a 2)(b   2) (b 2)  3  0

(a 2)   (a 2)(b   2) (b 2)   3 0 nên suy ra a+b=4

2 Cách 1:

4

2

2 4 4 2

4 2

y H

x x

y y x x

x x

Mà giả thiết ta suy ra 2

( 1) 2

x xy  y 2x2 2x2 2

y y

Thay vào ta suy ra

4

2

2 4 4 2

4 2

y H

x x

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là 1

4khi x y 1

Cách 2:

4

2 4 4 2

2 4

4 2

1

1 1

y H

Đặt z 1 y 1 x x( 1 1) 2. 12 xz x( z) 2

2 4

4 2

1 1

y H

Ta có

z x z x    z x  x z  

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là 1

4khi x y 1

Cách 3 : Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có :

1 y y x( x )   (1 x y ) (  y x y )  2xy  2x y

Ma ta lại có : 2 2 3 2 4

2xy  2x y  2xy (1 xy)  4y

Do đó

4

2 4 4 2

1

y H

y y x x

   Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là

1

4khi

1

x y .

Bài 4(3 điểm )

1.Cho hai điểm A,B phân biệt nằm trong góc nhọn xOy sao choxOAyOB Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tia Ox,Oy và P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên các tia Ox,Oy Gỉa sử M,N,P,Q đôi một phân biệt .Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn

2.Cho tam giác AB không cân ,có ba góc nhọn Một đường tròn đi qua B,C cắt các cạnh AC,AB lần lượt tại D,E Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BD,CE

a.Chứng minh rằng các tam giác ABD ,ACE đồng dạng với nhau và MABNAC b.Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB ,K là hình chiếu vuông góc của N lên AC và I là trung điểm của MN Chứng minh rằng tam giác IHK cân

Bài làm

1 Cách 1 :

y

A

B

P

Q

N

M

Ta có ΔOAM ഗ ΔOBQ (g.g) nên suy ra OM OA

OQ OB (1)

Ta có ΔOAN ഗ ΔOBP (g.g) nên suy ra ON OA

OP OB (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra OM OA

OQ OB OM OA

OQ OB

  suy ra OP.OM=ON.OQ

⇒ 4 điểm M;N;P;Q cùng thuộc 1 đường tròn

Cách 2 : Tứ giác OMAN nội tiếp nên ONM  OAM (1).

Tứ giác OPBQ nội tiếp nên OPQ  OBQ (2)

Mà các tam giác OAM và OBQ đồng dạng nên suy ra OAM OBQ  (3)

Từ (1) , (2) và (3) ta suy ra ONM OPQ  ⇒ 4 điểm M;N;P;Q cùng thuộc 1 đường tròn 2.a/

D

C

A

B

E

M

N I

K H

Ta có xét ΔABD và ΔACE có :

BADEAC (góc chung ) và ABD ACE(tứ giác BEDC nội tiếp )

Nên suy ra ΔABD ഗ ΔACE (g.g)

Ta có M,N lần lượt là trung điểm của BD ,CE nên ta suy ra ΔMAB ഗ ΔNAC (g.g) Từ ΔMAB ഗ ΔNAC (g.g) suy ra MABNAC

2.b/

D

C

A

B

E

M

N I

K H

P Q

Gọi P là hình chiếu vuông góc của M lên AC ,Q là hình chiếu vuông góc của N lên

AB Theo câu 1 ta có bốn điểm H,K,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn Hơn nữa ,tâm của đường tròn đó là giao điểm các đường trung trực của các đoạn thẳng PK,QH nên I là trung điểm của MN Do đó ,tam giác IHK cân tại I

Bài 5(1 điểm )

Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt ,các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố gồm 2,3,5 Chứng minh rằng trong 9 số đã cho tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương

Bài làm

Theo đề ,tất cả 9 số nguyên dương đôi một phân biệt ,các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố gồm 2,3,5 có dạng 2 3 5x y z(với x, y, z  ).Xét tính chẵn -lẻ của các bộ số (x,y,z) ,ta có tất cả 8 trường hợp Theo nguyên lý Dirichlet ,phải có ít nhất 2 số trong 9 số đã cho có bộ số mũ trong phân tích nguyên tố cùng tính chẵn –

lẻ Do đó ,tích của 2 số đó có dạng 2a 3b 5c

2 3 5 (a, b, c  ) Lúc này ta suy ra tích của 2 số đó

là số chính phương