Từ điểm M nằm ngoài đường trũn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường trũn A, B là cỏc tiếp điểm.. Điểm H thuộc dõy cung AB sao cho HB = 2HA, đường thẳng đi qua H và vuụng gúc với OH cắt đườ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYấN QUANG
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN
NĂM HỌC 2009 - 2010 MễN THI: TOÁN CHUYấN Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
(Đề này cú 01 trang)
-Cõu 1 (2 điểm)
1) Giải phương trỡnh: x3+ − = +x 1 x 1
2) Giải hệ phương trỡnh: |(x x+ +4 | |4)(y y3)− =3 | 56
Cõu 2 (1 điểm) Tớnh tổng sau:
1.4 2.5 ( 1)( 2) 2007.2010
n n S
n n
Cõu 3 (4 điểm). Cho đường trũn (O; R) tõm O, bỏn kớnh R Từ điểm M nằm ngoài đường trũn
kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường trũn (A, B là cỏc tiếp điểm) Điểm H thuộc dõy cung AB sao cho HB = 2HA, đường thẳng đi qua H và vuụng gúc với OH cắt đường thẳng MA tại C và cắt đường thẳng MB tại D
1) Chứng minh rằng:
a OHAC và OHDB là cỏc tứ giỏc nội tiếp
b H là trung điểm CD
c MC.MD = MA2 - AC2
2) Tớnh diện tớch tam giỏc OCD, biết OM = 2R
Cõu 4 (2 điểm).Giải cỏc phương trỡnh nghiệm nguyờn (x, y là cỏc ẩn số):
1) x2−y2 +2x+4y− =8 0
2) x2+ =3 5y
Cõu 5 (1 điểm) Cho tam giỏc ABC cú độ dài ba cạnh là a, b, c Chứng minh rằng:
2
b c c a a b+ + <
-Hết -Ghi chỳ:
+ Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
+ Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu trong khi làm bài.
Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Tuyªn quang chuyªn n¨m häc 2009-2010
Híng dÉn chÊm m«n to¸n CHUYÊN
1.1
3
2
2 2
x x
1.2
| 4 | | 3 | 5
| 4 | | 3 | 5
| 4 | | 3 | 6 ( 4)( 3) 6
( 4)( 3) 0
| 4 | 2
| 3 | 3
( 4)( 3) 0
x y
+ =
+ − <
(1) hoặc
| 4 | 3
| 3 | 2 ( 4)( 3) 0
x y
+ =
− =
+ − <
(2)
0.5
(1) 4 2
x y
+ =
⇔ − = −
hoặc
3 3
x y
+ = −
− =
2 0
x y
= −
⇔ =
hoặc
6 6
x y
= −
=
(2) 4 3
x y
+ =
⇔ − = −
hoặc
3 2
x y
+ = −
− =
1 1
x y
= −
⇔ =
hoặc
7 5
x y
= −
=
2
1.4 2.5 ( 1)( 2) 2007.2010
n n S
n n
+
Ta có: ( 1)( 2) 1 2 1 2 1 1
n n
0.5
Cho n = 2, 3, 4,…, 2008 ta được:
1 2
1 2
1 2 2008.2009 2008 2009
= − − ÷
= − − ÷
Cộng các đẳng thức trên với nhau ta được:
0.5
Trang 3(Hỡnh
D
C
A
B
H
0.5
3.a
Vỡ OA ⊥ MA, OB ⊥ MB (tính chất tiếp tuyến ), OH ⊥ CD (gt) nờn:
OAC OHC= = suy ra tứ giác OHAC nội tiếp đờng tròn đờng kính
OC OBD OHDã +ã =1800 suy ra tứ giác OHDB nội tiếp đờng tròn đờng
kính OD
0.5
3.b
Ta có: OCH OAHã =ã (góc nội tiếp cùng chắn cung OH của đờng tròn đờng
kính OC)
ODH OBH= ( góc nội tiếp cùng chắn cung OH của đờng tròn đờng
kính OD)
OAH OBH= (vì ∆OAB cân đỉnh O)
0.5
Suy ra OCHã =ODHã ⇒∆OCD cân đỉnh O ⇒ H là trung điểm CD 0.5
3.c
Ta có: MC = MA + AC , MD = MB - BD , MA = MB
Xét hai tam giác vuông OAC và OBD có: OA = OB và
AOC=AHC BHD BOD= = nên ∆OAC = ∆OBD ⇒ AC = BD do đó MD =
MA - AC
0.5
Suy ra : MC.MD = (MA + AC)(MA - AC) = MA2 - AC2
(Cú thể chứng minh AC = BD như sau:
Trang 4Gọi I là trung điểm OM thì OI = R nên I ∈ (O,R) ⇒∆OAI đều
Gọi K = OM ∩ AB thì K là trung điểm AB
AH = AB= AK nên H là trọng tâm ∆OAI đều 3
3
R OH
Vì IOAã =600 ⇒OBH OAHã =ã =300 ⇒ ODHã =300 ⇒DOHã =600
3
R
0.5
2
R OCD CD OH DH OH
4.1
x y x y
0.5
1 1
3 5
x y
x y
+ − =
⇔ − + =
1 5
3 1
x y
x y
+ − =
− + =
x y
x y
+ − = −
− + = −
x y
x y
+ − = −
− + = −
2
0
x
y
=
⇔ =
hoặc
2 4
x y
=
=
hoặc
4 4
x y
= −
=
hoặc
4 0
x y
= −
=
0.5
4.2
Đặt x = 5t + r với t∈ Ζ, r ∈{0;1; 2;3;4} Ta cú: x2+ =3 25t2+10tr r+ +2 3
Với mọi r∈{0;1; 2;3;4} , r2+3 khụng chia hết cho 5 Do đú với mọi x∈ Ζ,
2 3
Vậy: Phương trỡnh x2+ =3 5y khụng cú nghiệm nguyờn
0.5
5
Vỡ a < b + c nờn a + b + c < 2(b + c), suy ra a 2a
b c <a b c
Tương tự: b 2b
c a < a b c
2
a b< a b c
Cộng theo từng vế ta được:
2
b c c a a b+ + <
Ghi chỳ: Thớ sinh làm bài khụng giống đỏp ỏn (nếu đỳng) vẫn được điểm tối đa theo quy định.