Cho tam giác ABC AB ≠ AC nội tiếp trong đường tròn O.. Một đường thẳng song song với tiếp tuyến của O tại A cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D, E và cắt đường thẳng BC tại F.. 1 Chứn
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này có 01 trang)
-Câu 1 (2 điểm)
1) Giải phương trình: x2−6x+ +9 x2 − +8x 16 7= ;
2) Giải hệ phương trình: 2 2 3
17
x y xy
x y xy
Câu 2 (1 điểm) Chứng minh rằng biểu thức A = 370− 4901+3 70+ 4901 là số nguyên
Câu 3 (4 điểm) Cho tam giác ABC (AB ≠ AC) nội tiếp trong đường tròn (O) Một đường thẳng song song với tiếp tuyến của (O) tại A cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D, E và cắt đường thẳng BC tại F
1) Chứng minh BDEC là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh:
a) AB.AD = AC.AE;
b) FB.FC = FD.FE
3) Đường thẳng FD cắt (O) tại I và J Chứng minh rằng FI.FJ = FD.FE
Câu 4 (2 điểm) Giải các phương trình nghiệm nguyên (x, y là các ẩn số):
1) x2+2y2−2xy+3x−3y+ =2 0
2) x2+y2 =2015
Câu 5 (1 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn a b c+ + =1 Chứng minh rằng:
a b c
a b c
b + c + a ≥ + +
-Hết -Ghi chú:
+ Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN
1.1 x2 −6x+ +9 x2− +8x 16 7= ⇔ (x−3)2 + (x−4)2 = ⇔ − + − =7 |x 3 | |x 4 | 7 (1) 0.25
TH1: x≤ 3
TH2: 3 < <x 4
TH3: x≥ 4
(1) ⇔ − + − = ⇔ =x 3 x 4 7 x 7 (thỏa mãn)
Vậy: Nghiệm của phương trình đã cho là: x∈{0; 7}. 0.25
1.2
x y xy x y xy
⇔
Đặt x + y = u, xy = v ta được hệ phương
trình: 2 3
17
u v
u v
+ =
0.25
Giải hệ (1) ta được: 5
8
u v
= −
=
hoặc
4 1
u v
=
= −
Với 5
8
u v
= −
=
ta được hệ
5 8
x y xy
+ = −
=
Với 4
1
u v
=
= −
ta được hệ
4 1
x y xy
+ =
= −
Giải ra ta được
x y
= −
= +
hoặc
x y
= +
= −
A A
2 (A 5)(A 5A 28) 0
5
A
⇔ = (vì phương trìnhA2+5A+28 0= vô nghiệm)
0.25 A
y
x
J
C
I D
E
Trang 30.25
Ta có ·AED EAx=· (so le trong) và ABC EAx· = · (có số đo bằng nửa số đo cung
AC) ⇒ ·AED = ·ABC 0.5
Mà ·AED + ·DEC = 1800 ⇒ ·ABC + ·DEC = 180 0 ⇒ BDEC là tứ giác nội tiếp 0.25
3.2
a) XÐt hai tam giác ADE vµ ACB cã: ·BAC chung vµ ·AED = ·ABC (theo chứng
Suy ra tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB 0.25
.AD AC AE AB
AB
AE AC
AD
=
⇒
=
b) XÐt hai tam giác FBD và FEC có: ·CFE chung và ·FBD = ·FEC (vì đều là góc bù
Suy ra tam giác FBD đồng dạng với tam giác FEC 0.25
.FC FD FE FB
FC
FD FE
3.3 XÐt hai tam giác FBI và FCJ có: ·CFJ chung và ·FBI = ·FJC (đều là góc bù của góc
FC FB FJ FI FJ
FB FC
FI
⇒
=
Tõ (1) vµ (2) suy ra FI.FJ =FD.FE 0.25
4.1 x2+2y2−2xy+3x−3y+ = ⇔2 0 x2+ −(3 2 )y x+2y2−3y+ =2 0 (*) 0.25
Để phương trình (*) có nghiệm (ẩn x) ta phải có 2
1 4y 0
Vì y∈¢ nên y = 0 Thay vào (*) ta được x = -1 hoặc x = -2 0.25 Vậy: phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là: (-1; 0), (-2; 0) 0.25
4.2 Với mọi số nguyên n ta có n2 ≡0,1(mod 4) 0.25
A y
x
J
C
I D
E
A y
x
J
C
I D
E A y
x
J
C
I D
E
Trang 4Do đó x2+y2 ≡0,1, 2(mod 4) với mọi x, y nguyên 0.25
Vậy: phương trình đã cho không có nghiệm nguyên 0.25
5
Vì a b c+ + = 1 nên
a b c a b c
0.25
a b b c c a
a b b c c a
0.25
( 1)(a b) ( 1)(b c) ( 1)(c a) 0
⇔ − + − + − ≥ (luôn đúng vì a, b, c là các
số dương)
0.25
Ghi chú: Thí sinh làm bài không giống đáp án (nếu đúng) vẫn được điểm tối đa theo quy định.