Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kì trên cạnh BC M không trùng với B và C.. a Chứng minh các điểm A, P, M, Q cùng nằm trên một đường tròn.. a Chứng minh các điểm O, A
Trang 1KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi: TOÁN (Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Văn, sử, địa, anh)
Thời gian 120 phút không kể thời gian phát đề
Bài 1(1,0điểm)
Rút gọn biểu thức A =
4
36 28
3 7
−
Bài 2(2,0điểm) Cho đường thẳng (d): y 2x m= + 2+4 (m là tham số)
a Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm M(- 1; 6)
b Tìm m để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số y = x2 tại hai điểm phân biệt có hoành
độ x ;x1 2 thỏa mãn 2 2
x x +x x = −10
Bài 3(2,0đ).
a Giải phương trình:
3 4
2
x 1 x− = − +
b Giải hệ phương trình:
2 2
x x 3 y x 1 2x y y 1 y 6
Bài 4(1,0điểm).
Một xe lửa dự định đi từ ga A đến ga B cách nhau 60 km với vận tốc không đổi Thực tế, xe khởi hành muộn 10 phút nên để đến ga B đúng giờ, thì xe đã tăng thêm vận tốc
5 km/h Tính vận tốc dự định của xe lửa
Bài 5(3,0điểm) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kì trên cạnh BC
(M không trùng với B và C) Gọi P và Q theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến
AB và AC, O là trung điểm của AM
a Chứng minh các điểm A, P, M, Q cùng nằm trên một đường tròn
a) Chứng minh tứ giác OPHQ là hình thoi
b) Xác định vị trí của M trên BC để đoạn PQ nhỏ nhất
Bài 6(1,0điểm) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy yz zx xyz+ + = Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức : P =
x 2y 3 y 2z 3 z 2x 3+ +
-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề gồm có: 01 trang)
Trang 2Hướng dẫn Bài 5
b) Khi M thuộc đoạn BH (các trường hợp khác tương tự) tam giác AQM, tam giác AMH, tam giác AMP là 3 tam giác vuông và O là trung điểm cạnh huyền AM => OQ = OM =
OH = OP và ∠QOM= 2∠ QAM, ∠HOM=2∠HAM Cộng vế với vế ta được ∠QOH = 2
∠QAH= ∠BAC=600 Từ đó suy ra tam giác QOH đều Tương tự ta cũng suy ra được tam giác HOP đều, nên OP=OQ=HQ=HP => tứ giác OPQH là hình thoi
c) Gọi K là trung điểm PQ
OQ=AM,OK=OH=AM
PQ=2QK=2AM Do AM
=> PQ AH Dấu bằng xảy ra khi M trùng H
Bài 6
Bổ đề: Với a, b dương ta có (a+b)( (dễ cm)
Áp dụng bổ đề ta có: Tương tự cho hai phân thức còn lại ta có:
Pxy +yz+zx = xyz suy ra
Mà khi x = y = z = 3 thì ta có P = và
Nên max P =
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi: TOÁN (Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Toán, tin, lí, hóa, sinh)
Thời gian 120 phút không kể thời gian phát đề
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề gồm có: 01 trang)
Trang 3Bài 1(1,0điểm)
Rút gọn biểu thức A = 27 − 48+ 4 2 3−
Bài 2(2,0điểm).
Cho Parobol (P): y x= 2 và đường thẳng (d): y mx m 2= − + (m là tham số)
a) Với m = 2 Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ;x1 2
đều lớn hơn
1
2
Bài 3(2,0đ).
a) Giải hệ phương trình:
2 2
x y 1
y x 1
= +
= +
b) Giải phương trình x 3 4x+ = 2 +5x 1−
Bài 4(1,0điểm).
Hai người thợ cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ Nếu mỗi người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất ít hơn người thứ hai
là 6 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc
Bài 5(3,0điểm) Cho (O;R) và đường thẳng d cố định, khoảng cách từ tâm O đến đường
thẳng d là 2R Điểm M thuộc đường thẳng d, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O) (A,
B là tiếp điểm)
a) Chứng minh các điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn
b) Gọi D là giao điểm đoạn OM với (O) Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABM
c) Điểm M di động trên đường thẳng d Xác định vị trí điểm M sao cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 6(1,0điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: abc 1≥ Chứng minh:
a b c + b c a +c a b ≤a b c
-Hết -HƯỚNG DẪN
Bài 3
Trang 4a) Giải hệ pt
2 2
x y 1
y x 1
= +
Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta có: x2 −y2 = − ⇔y x (x y x y 1− ) ( − + =) 0 Nên
x y
x y 1
=
= − −
Với x = y ta tính được nghiệm là
1 5 1 5
;
1 5 1 5
;
Với x = - y – 1 ta tính được nghiệm là (-1; 0) và (0; -1).
b) Giải phương trình: x 3 4x+ = 2 +5x 1−
ĐK: x≥ −3
PT
2
x 3 2x
⇔
Giải lần lượt các trường hợp ta được nghiệm của phương trình là
Bài 5
c) Khi M di động trên d xác định vị trí của M để diện tích tam giác AMB nhỏ nhất Gọi H là giao điểm của MO và AB, K là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d
Ta có MH vuông góc với AB, HA = HB, OK = 2R
Trang 5AM = OM2 −OA2 = OM2 −R2 ;
2
AM.AO R OM R AH
−
;
MH
−
Khi đó:
OM R R OM R 1
S MH.AB MH.HA
3
Với M thuộc đường thẳng d ta có: OM ≥OK 2R=
2
Suy ra
3
2 AMB
3 3 3R
S R.2R
(đvdt)
Vậy diện tích tma giác AMB nhỏ nhất khi M trùng với K
Bài 6
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho bộ số ( a ;b;c5 )
và
1
;b;c a
ta có:
2
1
b c
Chứng minh tương tự ta có:
2
1
c a
b c a a b c
+ +
≤
2
1
a b
c a b a b c
+ +
≤
Do đó:
2
1 1 1
2 a b c
Mặt khác ta có:
abc 1 bc; ac; ab ab bc ac
Mà ab bc ac a+ + ≤ + +2 b2 c2
Suy ra
2
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1
Trang 6KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi: TOÁN (Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Toán, tin)
Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề
Bài 1(2,0điểm)
a) Đặt a = 2;b= 3 2 Chứng minh rằng:
a b b− = + + + +b a
−
b) Cho x = 3 28 1+ − 3 28 1 2− + Tính giá trị của biểu thức P = x3 −6x2 +21x 2016+
Bài 2(2,0điểm).
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 đường thẳng ( )d : y1 = − +3x 3 ; ( )2
1 1
d : y x
2 2
và ( ) 3 2
3
1
d : y ax a a
3
= − + − −
Tìm a để 3 đường thẳng đồng quy b) Tìm tất cả nghiệm nguyên dương (x, y, z) của phương trình:
xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 2015 thỏa mãn x y z 8≥ ≥ ≥
Bài 3(2,0đ).
a) Giải hệ phương trình:
x y 2x y 0 2x 4x 3 y
b) Giải phương trình ( 2x 5+ − 2x 2 1+ ) ( + 4x2 +14x 10+ ) =3
Bài 4(0,5điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 1 cm, ·ABC 60= 0 Tính thể tích hình tạo
được khi cho tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh BC
Bài 5(2,5điểm) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O1) và (O2) tại C và D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (O1) và (O2) tại M và N Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E Gọi P là giao điểm của BC và MN, Q là giao điểm của BD và MN Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng AE vuông góc với CD
b)
BD BC MN
BQ + BP = PQ
c) Tam giác EPQ là tam giác cân
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề gồm có: 01 trang)
Trang 7Bài 6(1,0điểm) Trong hình vuông cạnh 10 cm, người ta đặt ngẫu nhiên 8 đoạn thẳng mỗi
đoạn thẳng có độ dài 2 cm Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 điểm trên hai đoạn thẳng khác nhau trong 8 đoạn thẳng đó mà khoảng cách của chúng không vượt quá
14 cm
3 HƯỚNG DẪN
Câu 1.
a) Ta có 1 1 a b a b 1 1 (a b) 1 a b a b 1
VP =
Do a = 2;b= 3 2 nên
b) Ta có: ( ) ( )3
x 2− = 28 1+ − 28 1−
x 6x 21x 28 P 2044
Câu 2
a) Gọi A(x;y) là giao điểm của (d1) và (d2) nên (x;y) là nghiệm của hệ phương trình:
( )
A 1;0
y 0
= − +
Để (d1), (d2) và (d3) đồng quy thì A ∈( )d3
3
−
Vậy 3
1
a
4 1
=
− thì (d1), (d2) và (d3) đồng quy.
b) Ta có xy z 1( + +) (y z 1+ +) (x z 1+ + + =) (z 1) 2016⇔(x 1 y 1 z 1+ ) ( + ) ( + =) 2016
(x 1 y 1 z 1) ( ) ( ) 2 3 75 2
⇔ + + + = do vậy nghiệm (x,y,z) của phương trình là (15;13;8).
Câu 3
a) Hệ phương trình đã cho ( )
2 2
2 3
2x y
x 1
y 2 x 1 1
=
⇔
2
2x
+
Từ (1) và (2) suy ra y = - 1 nên x = 1 Thử lại thì thỏa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1;-1)
Trang 8b) ĐK: x≥ −1 Đặt 2x 5 a; 2x 2 b+ = + = (với a 0;b 0≥ ≥ )
Ta có: a2 − =b2 3; 4x2 +14x 10+ = (2x 5 2x 2+ ) ( + ) =ab
Thay vào phương trình ta được: (a b 1 ab− ) ( + ) =(a2 −b2) ⇔(a b 1 a 1 b− ) ( − ) ( − ) =0
Giải các trường hợp ta được nghiệm của phương trình là:
1 x 2
= −
Câu 4
Ta tính được đường cao AH =
3 cm
2 ; BC = 2 cm.
Hình tạo thành là hai hình nón có bán kính đáy là AH, chiều
cao là HB và HC
Thể tích hình tạo thành là: 1 2 ( )3
BC .AH cm
π
Câu 5.
a) Ta có:
MN // CD nên góc EDC = góc ENA; mà góc CDA = góc DNA (góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung AD) suy ra góc EDC = góc CDA suy ra DC là phân giác góc EDA
Tương tự ta có CD là phân giác góc ECA
Trang 9Suy ra tam giác ACD = tam giác ECD suy ra DA = DE suy ra tam giác ACE cân tại D suy
ra đường phân giác CD là đường cao nên CD vuông góc với AE
b) Ta có DC là trung trực của AE và CD // MN nên CD là đường trung bình của tam giác MEN suy ra CD = ½ MN
Lại có CD//PQ nên
BC BD CD BC BD 2CD MN
BP = BQ = PQ ⇒ BP +BQ = PQ = PQ c) Do PQ//CD nên AE vuông góc với PQ (*)
Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra tam giác AID đồng dạng với DIB suy ra:
2
ID IB
ID IA.IB
IA = ID⇒ =
Tương tự IC2 =IA.IB do đó IC = ID
Do CD//PQ theo định lý Ta lét ta có:
ID IB IC
AP AQ
AQ =AB = AP ⇒ =
(**)
Từ (*) và (**) suy ra tam giác EMP cân tại E
Câu 6