Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương Chun đề 01 Hình học khơng gian BÀI GIẢNG 04 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP (Phần I) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật với SA vng góc với đáy, G trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC M, cắt SD N Tính thể tích khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a góc hợp đường thẳng AN mp(ABCD) 300 Lời giải: + Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC M, mp(SBD) kẻ BG cắt SD N + Vì G trọng tâm tam giác ABC nên dễ có SG suy G trọng tâm tam giác SBD SO Từ suy M, N trung điểm SC, SD 1 + Dễ có: VS ABD VS BCD VS ABCD V 2 Theo công thức tỷ số thể tích ta có: VS ABN SA SB SN 1 1.1 VS ABN V VS ABD SA SB SD 2 VS BMN SB SM SN 1 1 VS ABN V VS BCD SB SC SD 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương Chun đề 01 Hình học khơng gian Từ suy ra: VS ABMN VS ABN VS BMN V + Ta có: V SA.S ABCD ; mà theo giả thiết SA ( ABCD) nên góc hợp AN với mp(ABCD) góc , lại có N trung điểm SC nên tam giác NAD cân N NAD NDA 300 NAD AD SA 1 3 a V SA.dt ( ABCD) a.a.a a tan 30 3 VMNABCD VS ABCD VS ABMN 5 3a3 V V V 8 24 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a Gọi H K hình chiếu vng gãc A lên SB, SD Chứng minh SC (AHK) tính thể tích khối chóp OAHK Lời giải: + BC vng góc với (SAB) BC vng góc với AH mà AH vng với SB AH vng góc với (SBC) AH vng góc SC (1) + Tương tự AK vng góc SC (2) (1) (2) SC vng góc với (AHK ) Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương Chun đề 01 Hình học khơng gian SB AB SA2 3a SB a AH.SB SA.AB AH a 2a 2a SH SK 3 (do tam giác SAB SAD vuông A) Ta có HK song song với BD nên HK SH 2a HK BD SB Kẻ OE// SC OE ( AHK )(doSC ( AHK )) suy OE đường cao hình chóp OAHK OE=1/2 IC=1/4SC = a/2 Gọi AM đường cao tam giác cân AHK ta có AM AH HM 4a 2a AM= 1a a3 VOAHK OE.S AHK HK AM 32 27 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SA=a Gọi M,N trung điểm SB SD;I giao điểm SD mặt phẳng (AMN) Chứng minh SD vng góc với AI tính thể tích khối chóp MBAI Lời giải: Ta có AM BC,( BC SA, BC AB) AM SB,(SA AB) AM SC (1) AN SC (2) Tương tự ta có Từ (1) (2) suy AI SC Vẽ IH song song với BC cắt SB H Khi IH vng góc với (AMB) Suy VABMI S ABM IH Ta có S ABM a2 IH SI SI SC SA2 a2 1 IH BC a 2 BC SC SC SA AC a 2a 3 Vậy VABMI a a a3 36 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương Chun đề 01 Hình học khơng gian Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = a , mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM Lời giải: Tính thể tích hình chóp SBCMN ( BCM)// AD nên mặt phẳng cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD BC AB Ta có : BC BM Tứ giác BCMN hình thang vng có BM đường cao BC SA MN SM MN Ta có SA = AB tan600 = a , AD SA 2a Suy MN = 2a 4a BM = 3 a 3 2 a a 3 Diện tích hình thang BCMN : 4a 2a 2a 10a BC MN BM S = 2 3 Hạ AH BM Ta có SH BM BC (SAB) BC SH Vậy SH ( BCNM) SH đường cao khối chóp SBCNM Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM = SB MS Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương Chun đề 01 Hình học khơng gian 300 SH = SB.sin300 = a Vậy BM phân giác góc SBA SBH Gọi V thể tích chóp SBCNM ta có V = 10 3a SH (dtBCNM ) = 27 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) (SCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải: S M A B D C Gọi M hình chiếu vng góc B lên SC Chứng minh góc DMB = 1200 DMB cân M Tính được: DM2 = 2 a SCD vuông D DM đường cao nên 1 = 2+ DM DS DC2 Suy DS = a Tam giác ASD vuông A suy SA = a Vậy thể tích S.ABCD a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB a, AD 2a, cạnh SA vng góc với đáy, cịn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM a Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCMN Lời giải: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương Chun đề 01 Hình học khơng gian Theo giả thiết : SA mp ABCD SBA SB, mp ABCD 60 SA AB.tan 60 a Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD) SD mp BCM N Theo công thức tỉ số thể tích, ta có: VSMBC SM 2 VSMBC VSABC VS ABCD VSABC SA 3 VSMNC SM SN SM 4 VSMNC VSADC VS ABCD VSADC SA SD SA 9 Vậy: 5 10 3 VS BCMN VSMBC VSMNC VS ABCD SA.S ABCD a 9 27 Bài Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh C SA vng góc với mặt phẳng (ABC), SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn Lời giải: S B A C Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương Chun đề 01 Hình học khơng gian Gọi góc hai mp (SCB) (ABC) ; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin Ta có : SCA 1 1 Vậy VSABC SABC SA AC BC SA a sin .cos 2 a sin 1 sin 6 Xét hàm số: f(x) = x – x3 khoảng ( 0; 1) Ta có : f’(x) = – 3x2 f ' x x Từ ta thấy khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục có điểm cực trị điểm cực đại, nên hàm số đạt GTLN hay Max f x f x 0;1 3 3 Vậy MaxVSABC = a3 1 , đạt sin = hay arc sin ( với < ) 3 Bài Cho hình chóp S.ABC, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Đáy tam giác ABC cân A, độ dài trung tuyến AD a , cạnh bên SB tạo với đáy góc tạo với mặt (SAD) góc Tìm thể tích hình chóp S.ABC Lời giải: Thể tích hình chóp S.ABC là: V SA.SABC Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD đường cao tam giác Theo giả thiết: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 01 Hình học khơng gian SA mp ABC SBA SB, mp ABC BD mp SAD BSD Đặt BD = x suy ra: AB a2 x2 SA a2 x2 tan SB BD SA sin sin x sin a x tan sin x2 a sin cos 2 sin a sin sin Do đó: V a x tan a.x cos 2 sin Bài Cho hình chóp S.ABC có SC (ABC) ABC vng B Biết AB = a, AC = a a góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) với tan 13 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Lời giải: Gọi H, K hình chiếu C lên SA, SB Ta chứng minh CK (SAB), SA (CHK) suy CHK vuông K SA KH Do =CHK Từ tan 13 sin 13 CK 13 19 19 CH Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt 1 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương Đặt SC = x >0 Trong tam giác vng SAC có Chun đề 01 Hình học khơng gian CH 3a x CH CA2 CS 3a x 2 Tương tự tam giác vng SAC có CK 2a2 x 2a x 2 1 3a x 13 x 6a Suy VSABC SC.S ABC 2a 3 2a x 19 Giáo viên : Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - ... 8 24 B? ?i Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc v? ?i đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a G? ?i H K hình chiếu vng gãc A lên SB, SD Chứng minh SC (AHK) tính thể tích kh? ?i chóp. .. giao ? ?i? ??m SD mặt phẳng (AMN) Chứng minh SD vng góc v? ?i AI tính thể tích kh? ?i chóp MBAI L? ?i gi? ?i: Ta có AM BC,( BC SA, BC AB) AM SB,(SA AB) AM SC (1) AN SC (2) Tương tự ta... C SA vng góc v? ?i mặt phẳng (ABC), SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích kh? ?i chóp lớn L? ?i gi? ?i: S B A C Hocmai.vn – Ng? ?i trường chung học trị Việt Tổng đ? ?i tư vấn: 1900 58-58-12