Các Phương Pháp Số - Hoàng Xuân Huấn

H O À N G XUÂN HUẤN GIÁO TRÌNH NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI HOÀNG XUÂN HUÂN G IÁ O T R ÌN H C Ắ C PH Ư Đ N G P H Á P S Ố NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI • * m M ục lụ c Lời nói đầu Chương Tính gẩn sai số §1 Khái niệm số gần 1.1 Sai số tuyệt đối vầ sai số tương đối 1.1.1 Sai số tuyệt đối 1.1.2 Sai số tương đối 1.2 Các loại sai số khác 1.2.1 Ví dụ 1.2.2 Các loại sai số §2 Biểu diễn số gần 2.1 Chữ số có nghĩa 2.2 Chữ số đảng tin 2.3 Số thu gọn §3 Một SỐbầi toán ước lượng sai số 3.1 Sai số hàm biến 3.1.1 Bài toán thuận 3.1.2 Bầi toán ngược 3.2 Sai số qua phép toán số học 3.2.1 Sai số tổng hiệu 3.2.2 Sai SỐcủa tích thương 10 3.3 Sai số hàm nhiéu biến 11 3.3.1 Bâi toán thuận 11 3.3.2 Bài toàn ngược 11 Bài tập chương 13 Chương Tính giá trị xấp xì hàm số 15 §1 Tính giá trị hàm số 15 1.1 Thuật toản Homer (tính giá trị đa thức) 15 1.1.1 Giới thiệu thuật toán 15 1.1.2 Sơ tính tay 16 1.2 Tíntí hàm số nhở chuỗi luỹ thừa 16 1.3 Tinh hàm số nhờ giải phương trình phương pháp lặp 17 §2 Nội suy hàm số 18 2.1 Bài toán nội suy tổng quát 18 2.1.1 Phát biểu toán .18 2.1.2 Lược đố giải 18 2.2 Đa thức nội suy Lagrange 19 • 2.2.1 Xây dựng đa thức nội suy 19 2.2.2 Sai số nội suy 21 2.3 Đa thức nội suy với mốc cách đéu 21 2.3.1 Còng thức tổng quát 22 2.3.2 Sai phân hữu hạn .23 2.3.3 Công thức nội suy Newton 23 2.4 Nội suy Spline .23 2.4.1 Hàm Spline 24 2.4.2 Xây dựng hàm nội suy Spline bậc m 24 2.5 Nội suy hàm nhiéu biến 26 2.5.1 Phát biểu toán .26 2.5.2 Phương pháp k-lân cận gán nhát 26 §3 Xấp xì binh phương tối thiểu 27 3.1 Xấp xì thực nghiệm 27 3.1.1 Bài toán tổng quát 27 3.1.2 Xấp xỉ đa thức 29 3.1.3 Xấp xì bậc nhát 29 3.2 Xấp xỉ hàm khả tích 30 3.2.1 Bài toán ước lượng tham số tổng quát 30 3.2.2 Xấp xì đa thức 31 3.2.3 Xáp xỉ nhờ hệ trực chuẩn 32 §4 Xấp XỈ mạng nơron nhân lạo 33 4.1 Kiến trúc mạng truyén tới 33 iv 4.1.1 Mô hinh nơron 33 4.1.2 Kiến trúc mang nơron nhiéu táng truyén tới 35 4.1.3 Huấn luyện mạng nơron nhiéu táng truyén tới .35 Bài tập chương 39 Chương Giải phương trinh hệ phương trinh 41 § Giải phương trinh 41 1.1 Giải sơ 41 1.1.1 Một số định lý sở 42 1.1.2 Phương pháp đổ thị 42 1.1.3 Giải sơ đa thức 43 1.1.3.1 Miền nghiệm dương 43 1.1.3.2 Mién nghiệm âm 43 1.1.3.3 Giảm bậc phương trinh biết nghiệm 44 1.2 Các phương pháp giải chinh xác 44 1.2.1 Phương pháp chia đôi 45 1.2.1.1 Mô tả phương pháp 45 1.2.1.2 Ước lượng sai số .45 1.2.2 Phương pháp lặp đơn giản 46 1.2.2.1 Mô tả phương pháp 46 1.2.2.2 Sự hội tụ sai số 46 1.2.2.3 Đặc tả thuật toán 48 1.2.3 Phương pháp tiếp tuyến (Newton) 49 1.2.3.1 Mô tả phương pháp 49 1.2.3.2 Sự hội tụ .49 1.2.3.3 Ước lượng sai số .49 1.2.3.4 Đặc tả thuật toán 49 1.2.4 Phương pháp dày cung 51 1.2.4.1 Mô tả phương pháp 51 1.2.4.2 Sự hại tụ sai số 51 1.2.4.3 Đặc tả thuật toán 53 §2 Hệ phương trình tuyến tính 53 2.1 Phương pháp Gauss 54 V 2.1.1 Mô tả phương pháp 54 2.1.2 Sơ Compac Gauss 56 2.1.3 Phương pháp Gauss- Jordan .57 2.1.4 ứng dụng phương pháp Gauss 57 2.1.4.1 Tính định thức 57 2.1.4.2 Tim ma trận nghịch đảo 58 2.2 Các phương pháp lập 59 2.2.1 Phương pháp lặp đơn 59 2.2.1.1 Giới thiệu phương pháp .59 2.2.1.2 Sự hội tụ sai sổ 59 2.2.1.3 Trường hợp đường chéo trội 60 2.2.2 Phương pháp lặp Seidel 61 §3 Hệ phương trinh phi tuyến 62 3.1 Phương pháp lặp đơn 62 3.1.1 Mô tả phương pháp 62 3.1.2 Sự hội tụ sai sổ 63 3.2 Phương phảp Newton 64 Bài tập chương 66 Chương Tính đạo hàm tích phân 69 §1 Tính gán đạo hàm 69 1.1 Đặt vấn đé 69 1.2 Đạo hàm cấp 70 1.2.1 Đạo hầm điểm biên 70 1.2.2 Đạo hầm điểm 70 1.3 Đạo hàm cáp 70 §2 Tính tích phân xác định 71 2.1 Công thức hinh thang 72 2.1.1 Xây dựng công thức 72 2.1.2 Ước lượng sai số 73 2.2 Công thức Simpson (Công thức paraboi) 74 2.2.1 Xây dựng công thức 74 2.2.2 Ước lượng sai số 75 2.3 Phương phảp Monte - Carlo 76 2.3.1 Phương pháp thứ 76 2.3.2 Phương phàp thứ hai 77 Bầi tập chương 79 Chương phương trinh vi phân tíchphân 80 §1 Phương pháp sỗ trị giải bầi toán Côsi 80 1.1 Phát biểu toán 80 1.2 Phương pháp ơle (Euler) 80 1.3 Phương pháp ơle cải tiến .82 1.3.1 Phương pháp cải tiến thứnhất 82 1.3.2 Phương pháp cải tiến thứ hai 82 1.4 Phương pháp Runge-Kutta 83 §2 Phương pháp giải tích giải toán Cốsi 84 2.1 Bài toán Cốsi tổng quát 84 2.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp .85 2.3 Phương pháp hệ số bất định 86 §3 Bài toán biên tuyến tính 87 3.1 Phát biểu toán biẻn điểm .87 3.2 Phương pháp sai phàn 88 3.3 Phương pháp vượt 89 §4 Phương trinh đạo hàm riẻng 92 4.1 Phân loại phương trinh tuyến tính cấp hai 92 4.2 Phương pháp lưới giải phương trinh đạo hàm riêng 94 4.2.1 Giải toán Dirichlet 94 4.2.2 Phương trinh parabolic 94 4.2.3 Phương trinh hypecbolic 95 §5 Phương trinh tích phân 95 5.1 Phương trinh Fredholm 95 5.2 Phương pháp tổng hữu hạn 96 Bài tập chương 98 Chương Giới thiộu vé quy hoạchtoán học .100 §1 vận trù học quy hoạch toán học 100 1.1 Vận trù học gi ? 100 1.2 Phương pháp luận cùa vận trù học 100 1.3 Mô hinh hoá quy hoạch toán học 101 §2 Một số toàn Quy hoạch điển hinh 103 2.1 Đầi toản lập kế hoạch sản xuất với tài nguyén hạn chế 103 2.1.1 Ví dụ 103 2.1.2 Bâi toán tổng quảt 104 2.2 Bài toán vận tải 105 2.3 Bài toản điéu khiển tối ưu .106 §3 Phân loại cảc toán quy hoạch 107 3.1 Bải (oàn tổng quát .107 3.2 Phân loại toán 108 Bài tập chương 110 Chương Quy hoạch tuyến tính 111 § Bài toán tổng quát 111 1.1 Dạng tổng quát cùa toàn 111 1.2 Các tính chát 112 1.2.1 Một số khái niêm 112 1.2.2 Cảctính chất 112 1.3 Dạng chinh tắc 113 1.4 Đưa toán tổng quát vé dạng tắc 114 §2 Phương phảp đơn hinh 115 2.1 Mô tả hinh học cùa phương pháp .115 2.2 Co sở toán học 116 2.2.1 Cơ sở phương án 116 2.2.2 Các định lý sở 117 2.2.3 Công thức đệ quy 121 2.3 Phương pháp giải toán dạng chuẩn 123 2.3.1 Giới thiệu thuật toán đơn hinh 123 2.3.2 Bài toán dạng chuẩn 125 2.4 Giải toán dạng tắc 128 2.4.1 Tìm phương án xuất phát 128 viii 2.4.2 Phương phảp phạt 129 §3 Bài toán đối ngẫu 133 3.1 Thiết lặp toán đổi ngẫu 133 3.1.1 Bài toán đối ngẫu dạng đổi xứng 133 3.1.2 Thiết lập toán đối ngẫu tổng quát 134 3.2 Quan hệ cặp toán đỗi ngẫu 139 3.2.1 Các định lỹ đối ngẫu 139 3.2.2 Đânh giá độ nhạy cảm 144 §4 Bài toán vận tải 146 4.1 Bầi toán vận tài tổng quát 146 1.1 Bài toán cân thu phát 146 4.1.2 Đưa toán vé dạng cân thu phát 148 4.2 Cảc tính chất toán cản thu phát 148 4.3 Lập phương ản xuất phát 151 4.4 Thuật toán “Quy không cước phr 152 Bài lập chương 160 Chương Quy hoạch phi tuyến 164 §1 Các diéu kiện cực tri 164 1.1 Cực tri không điéu kiên 164 1.2 Cực tri cốdiéu kiện 166 §2 Phương pháp Gradient 168 2.1 Giới thiệu phương pháp 168 2.2 Sự hội tụ 169 2.3 Các dạng khác cùa phương pháp 171 2.3.1 Phương pháp với bước dịch chuyển cố định 171 2.3.2 Phương pháp cực tiểu hàm theo hướng chuyển động 172 §3 Phương pháp hàm phạt 172 3.1 Mô tả phương pháp 172 3.2 Sự hội tụ 173 §4 phương pháp Monte'Carlo 175 4.1 Bài toán ấp dụng 175 4.2 Thuật toán 175 phương pháp giải phương trinh vi phân tích phân chương Chương dành cho tổng quan vé quy hoạch toán học dể sau dỏ trinh bày quy hoạch tuyến tính chương quy hoạch phi tuyến chương Để không làm nhiẻu vấn đé trọng tâm, số khái niêm cẫn thiết vé giải tích lói đưa vào phán phụ lục cuối sảch để cán sinh viên tham khảo Do hạn chế vé thời gian trình độ, chắn giáo trinh nhiéu thiếu sót, mong nhận góp ý để sách ngày hoàn chỉnh Tác glả nhiên mà tiến hoá qua hệ Trong đó, hậu duệ sinh từ hệ trước thông qua trình sinh sản (di truyển biến dị) cạnh tranh tự nhiên, cá thể có kiểu hình (và kiểu gene) thích nghi cao với môi trường phát triển có khả lốn tồn sản sinh cháu, kiểu gene tiến hoá hoàn thiện Quá trình tiến hoá lặp lặp lại, cá thể có kiểu gene phù hợp sông sót phát triển, cá thể yếu bị loại bỏ Dựa vào tư tưởng trên, để giải toán tối ưu ngưòi ta mã hoá lời giải tiềm dạng thích hợp gọi nhiễm sắc thể Nhờ mô trình chọn lọc tự nhiên quần thể nhiễm sắc thể ta tìm lòi giải toán Để hiểu rô GA, trước hết ta làm quen với GA cổ điển 6.1 T h u ậ t t o n d i t r u y ề n c ổ đ iể n GA cổ điển Holland giới thiệu năm 1975 để tối ưu hoá toán: max{f(x)/ xẽ M c R" ) (8.37) n nhò dạng gene nhị phân, đây, M hình hộp JJ[a,,b i] không gian véctơ thực n chiều R", f nhận giá trị dương M Thủ tục GA thực sau Mỗi X M mã hoá xâu nhị phân độ dài m, z = (z|, ,zm ) gọi nhiễm sắc th ể hay m ột cá thể, Zj gọi gene Xây dựng thủ tục mã hoá, giải mã tương ứng theo mục dưói Xây dựng hàm eval tập nhiễm sắc thể để đánh giả độ thích nghi cá thể: eval(z) = f(x), X véctơ tương ứng với z Với t = 0, ta tạo ngẫu nhiên quần thể ban đầu P(0) gồm N nhiễm sắc thể thực trình tiến hoá theo cấu trúc: Thủ tục chọn lọc quần thể thực theo phương pháp bánh xe xổ s ố mục thủ tục tái tạo thực nhò toán tử di truyền mục 6.1.3 178 Procedure GA Begin t+y i-l 3.3 Đ ịnh nghĩa Tập lồi đa diện Tập X gọi tập lồi đa diện tồn vectơ a1 số thực b* (j=1.2, ,m) cho x={ xe Rn/ +b* < với j= Ta dễ dàng có mệnh đề sau 3.4 M ệnh dể Nếu X tập lồi đa diện có hữu hạn điểm cực biên 189 H m lồi 4.Ỉ Đ ịnh n g h ĩa H àm lồi Hàm g gọi hàm lồi tập lồi X Vx.y € X , V/ € [0 , ] ta đểu có f^tx + ( l - t ) y j< tf(x )+ (l-t)f(y ) (1.5) H àm lõm Hàm f lõm (~f) hàm lồi 4.2 Đ ịnh lý Nếu X cực tiểu địa phương hàm lồi f tập lồi X cực tiểu toàn cục f X 190 Tài liệu th a m khảo 10 11 12 L Collatz, F u n c t i o n a l a n a l y s i s a n d n u m e r i c a l m a t h e m a t i c s , Academic press, New York and London, 1966, B.p Demiovich, C o m p u t a t i o n a l M a t h e m a t i c s , Mir Publishers, Moscow, 1973 N.v Kopchenova , I.A.Maron, C o m p u t a t i o n a l M a t h e m a t i c s w o r k e d e x a m p l e s a n d p r o b l e m s w i t h e l e m e n t s o f t h e o r y , Mir Publishers Moscow, 1987 w Winston, O p e r r a t i o n r e s e a r c h , Duxbury Press An imprint of Wadsworth publishing company, 1994 z Michalewicz, G e n e r i c algorithm s + d a t a s t r u c t u r e s = e v o l u t i o n p r o g r a m s , Springer-verlag,1992 B.N Pshenichny and Yu.M.Danilin, N u m e r r i c a l m e t h o d s i n e x t r e m a l p r o b l e m s , Mir Publishers, Moscow, 1982 A Schrijver, T h e o r y o f l i n e a r a n d i n t e g e r p r o g r a m m i n g , John Wiley & sons, 1996 Karmanov, Q u y h o c h t o n h ọ c Moscva,1875 (tiếng nga) Phạm Kỳ Anh, G i ả i t í c h s ố , Nhà xuất Đại học Quốic gia Hà Nội, 1996 Tạ Vãn Đĩnh, P h n g p h p t í n h , Nhà xuất Giáo dục, 1998 Nguyễn Đức Nghĩa, T ố i u h o (quy hoạch tuyến tính rời rạc), Nhà xuất Giáo dục, 1997 Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu, C c p h n g p h p t ô ĩ u h o , Nhà xuất Giao thông Vận tải, 1998 191 nha XUấT bAn ĐỌI HỌC QUỐC Glfl hA nội 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: (04) 9715012; (04) 7685236 Fax: (04) 9714899 E-mail: nxb@vnu.edu ★ ★ ★ Chiu trách nhiệm xu ấ t bản: Giám đốc: Tổng biên tập: PHỪNG QUỐC BẢO PHẠM THÀNH HƯNG Chịu trá ch nhiệm nội dung: Hội đồng nghiệm thu giáo trình Khoa Công nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội N gười nhận xét PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HOÁ ThS NGUYỄN CẢNH HOÀNG Biên tập: Đỗ NGỌC SƠN NGUYỄN THƯỶ C hế bản: LÊ THƯỶ Trình bày bìa: NGỌC ANH GIÁO TRÌNH CÁC PHƯƠNG PHÁP SỎ' Mã số: K - 01110-01404 In 1000 cuốn, Khổ 16 X24 Nhà in Đại học Quốc gia Hà Nội S ố xuất bản: 489/113/XB - QLXB, ngày 10/2/2004 Số trích ngang: 253KH/XB In xong nộp lưu chiểu quý IV năm 2004 ... ,3 Xx -0 ,5) _ (- 0,1 i ( - 0.3) (- 0,5) J -I / x(x - ,lX x -0 5) '" 0.3.0.2. {- 0,2) " x :t- x j + x - 0.015 0,015 X* -0 ,6 x J + 0,05x 0,012 - / V x(x -Q lXx -0 ) X1 - ,4 x + 0,03x 3' x ' "... ng pháp- Là sai số phương pháp giải gần toán theo mô hình lập Trong thí dụ phương pháp giải phương trình vi phân (1.6) S a i s ố tín h toán: Là sai số tích luỹ trình tính toán theo phương pháp. .. (2.7) ta có l M v V _ P kM 14 w - p: w t ( t - l) ( t - k + l X t - k - l) ( t - n ) ( - i r l M n"k) • u»k hay pnk(t) = ( - l)"‘ k —7"t(tn! _ k + l Xt - k - - n) (2.14) hàm không phụ thuộc vào