Các Phương Pháp Số - Hoàng Xuân Huấn

Việc ưỏclượng sai số hợp lý cho phép ta đánh giá được chất lượng của quátrình tính toán, quyết định sô chữ số giữ lại trong các phép tính trung gian và trong kết quả.. 1.1 Sai số tuyệt đ

H O À N G X U Â N H U Ấ N

GIÁO TRÌNH

HOÀNG XUÂN HUÂN

G IÁ O T R ÌN H

C Ắ C PH Ư Đ N G P H Á P S Ố

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI• * m

M ụ c l ụ c

Chương 1 Tính gẩn đúng và sai số 3

§ 1 Khái niệm số gần đúng 3

1.1 Sai số tuyệt đối vầ sai số tương đối 3

1.1.1 Sai số tuyệt đối 3

1.1.2 Sai số tương đối 4

1.2 Các loại sai số khác 5

1.2.1 Ví dụ 5

1.2.2 Các loại sai số 5

§2 Biểu diễn số gần đúng 6

2.1 Chữ số có nghĩa 6

2.2 Chữ số đảng tin 7

2.3 Số thu gọn 7

§3 Một SỐ bầi toán ước lượng sai số 8

3.1 Sai số hàm một biến 8

3.1.1 Bài toán thuận 8

3.1.2 Bầi toán ngược 9

3.2 Sai số qua các phép toán số học 9

3.2.1 Sai số của tổng hoặc hiệu 9

3.2.2 Sai SỐ của tích hoặc thương 10

3.3 Sai số hàm nhiéu biến 11

3.3.1 Bâi toán thuận 11

3.3.2 Bài toàn ngược 11

Bài tập chương 1 13

Chương 2 Tính giá trị và xấp xì hàm số 15

§1 Tính giá trị hàm số 15

Lời nói đầu 1

1.1 Thuật toản Homer (tính giá trị đa thức) 15

1.1.1 Giới thiệu thuật toán 15

1.1.2 Sơ đó tính bằng tay 16

1.2 Tíntí hàm số nhở chuỗi luỹ thừa 16

1.3 Tinh hàm số nhờ giải phương trình bằng phương pháp lặp 17

§2 Nội suy hàm số 18

2.1 Bài toán nội suy tổng quát 18

2.1.1 Phát biểu bài toán 18

2.1.2 Lược đố giải quyết 18

2.2 Đa thức nội suy Lagrange 19

• 2.2.1 Xây dựng đa thức nội suy 19

2.2.2 Sai số nội suy 21

2.3 Đa thức nội suy với mốc cách đéu 21

2.3.1 Còng thức tổng quát 22

2.3.2 Sai phân hữu hạn 23

2.3.3 Công thức nội suy Newton 23

2.4 Nội suy Spline 23

2.4.1 Hàm Spline 24

2.4.2 Xây dựng hàm nội suy Spline bậc m 24

2.5 Nội suy hàm nhiéu biến 26

2.5.1 Phát biểu bài toán 26

2.5.2 Phương pháp k-lân cận gán nhát 26

§3 Xấp xì binh phương tối thiểu 27

3.1 Xấp xì thực nghiệm 27

3.1.1 Bài toán tổng quát 27

3.1.2 Xấp xỉ bằng đa thức 29

3.1.3 Xấp xì bậc nhát 29

3.2 Xấp xỉ hàm khả tích 30

3.2.1 Bài toán ước lượng tham số tổng quát 30

3.2.2 Xấp xì bằng đa thức 31

3.2.3 Xáp xỉ nhờ hệ trực chuẩn 32

§4 Xấp XỈ bằng mạng nơron nhân lạo 33

4.1 Kiến trúc của mạng truyén tới 33

iv

4.1.1 Mô hinh của một nơron 33

4.1.2 Kiến trúc của mang nơron nhiéu táng truyén tới 35

4.1.3 Huấn luyện mạng nơron nhiéu táng truyén tới 35

Bài tập chương 2 39

Chương 3 Giải phương trinh và hệ phương trinh 41

§ 1 Giải phương trinh 41

1.1 Giải sơ bộ 41

1.1.1 Một số định lý cơ sở 42

1.1.2 Phương pháp đổ thị 42

1.1.3 Giải sơ bộ đa thức 43

1.1.3.1 Miền nghiệm dương 43

1.1.3.2 Mién nghiệm âm 43

1.1.3.3 Giảm bậc phương trinh khi biết một nghiệm 44

1.2 Các phương pháp giải chinh xác 44

1.2.1 Phương pháp chia đôi 45

1.2.1.1 Mô tả phương pháp 45

1.2.1.2 Ước lượng sai số 45

1.2.2 Phương pháp lặp đơn giản 46

1.2.2.1 Mô tả phương pháp 46

1.2.2.2 Sự hội tụ và sai số 46

1.2.2.3 Đặc tả thuật toán 48

1.2.3 Phương pháp tiếp tuyến (Newton) 49

1.2.3.1 Mô tả phương pháp 49

1.2.3.2 Sự hội tụ 49

1.2.3.3 Ước lượng sai số 49

1.2.3.4 Đặc tả thuật toán 49

1.2.4 Phương pháp dày cung 51

1.2.4.1 Mô tả phương pháp 51

1.2.4.2 Sự hại tụ và sai số 51

1.2.4.3 Đặc tả thuật toán 53

§2 Hệ phương trình tuyến tính 53

2.1 Phương pháp Gauss 54

2.1.1 Mô tả phương pháp 54

2.1.2 Sơ đó Compac Gauss 56

2.1.3 Phương pháp Gauss- Jordan 57

2.1.4 ứng dụng phương pháp Gauss 57

2.1.4.1 Tính định thức 57

2.1.4.2 Tim ma trận nghịch đảo 58

2.2 Các phương pháp lập 59

2.2.1 Phương pháp lặp đơn 59

2.2.1.1 Giới thiệu phương pháp 59

2.2.1.2 Sự hội tụ và sai sổ 59

2.2.1.3 Trường hợp đường chéo trội 60

2.2.2 Phương pháp lặp Seidel 61

§3 Hệ phương trinh phi tuyến 62

3.1 Phương pháp lặp đơn 62

3.1.1 Mô tả phương pháp 62

3.1.2 Sự hội tụ và sai sổ 63

3.2 Phương phảp Newton 64

Bài tập chương 3 66

Chương 4 Tính đạo hàm và tích phân 69

§1 Tính gán đúng đạo hàm 69

1.1 Đặt vấn đé 69

1.2 Đạo hàm cấp 1 70

1.2.1 Đạo hầm tại điểm biên 70

1.2.2 Đạo hầm tại điểm trong 70

1.3 Đạo hàm cáp 2 70

§2 Tính tích phân xác định 71

2.1 Công thức hinh thang 72

2.1.1 Xây dựng công thức 72

2.1.2 Ước lượng sai số 73

2.2 Công thức Simpson (Công thức paraboi) 74

2.2.1 Xây dựng công thức 74

2.2.2 Ước lượng sai số 75

2.3 Phương phảp Monte - Carlo 76

2.3.1 Phương pháp thứ nhất 76

2.3.2 Phương phàp thứ hai 77

Bầi tập chương 4 79

Chương 5 phương trinh vi phân và tích phân 80

§1 Phương pháp sỗ trị giải bầi toán Côsi 80

1.1 Phát biểu bài toán 80

1.2 Phương pháp ơle (Euler) 80

1.3 Phương pháp ơle cải tiến 82

1.3.1 Phương pháp cải tiến thứ nhất 82

1.3.2 Phương pháp cải tiến thứ hai 82

1.4 Phương pháp Runge-Kutta 83

§2 Phương pháp giải tích giải bài toán Cốsi 84

2.1 Bài toán Cốsi tổng quát 84

2.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp 85

2.3 Phương pháp hệ số bất định 86

§3 Bài toán biên tuyến tính 87

3.1 Phát biểu bài toán biẻn 2 điểm 87

3.2 Phương pháp sai phàn 88

3.3 Phương pháp vượt 89

§4 Phương trinh đạo hàm riẻng 92

4.1 Phân loại phương trinh tuyến tính cấp hai 92

4.2 Phương pháp lưới giải phương trinh đạo hàm riêng 94

4.2.1 Giải bài toán Dirichlet 94

4.2.2 Phương trinh parabolic 94

4.2.3 Phương trinh hypecbolic 95

§5 Phương trinh tích phân 95

5.1 Phương trinh Fredholm 95

5.2 Phương pháp tổng hữu hạn 96

Bài tập chương 5 98

Chương 6 Giới thiộu vé quy hoạch toán học 100

§1 vận trù học và quy hoạch toán học 100

1.1 Vận trù học là gi ? 100

1.2 Phương pháp luận cùa vận trù học 100

1.3 Mô hinh hoá và quy hoạch toán học 101

§2 Một số bài toàn Quy hoạch điển hinh 103

2.1 Đầi toản lập kế hoạch sản xuất với tài nguyén hạn chế 103

2.1.1 Ví dụ 103

2.1.2 Bâi toán tổng quảt 104

2.2 Bài toán vận tải 105

2.3 Bài toản điéu khiển tối ưu 106

§3 Phân loại cảc bài toán quy hoạch 107

3.1 Bải (oàn tổng quát 107

3.2 Phân loại bài toán 108

Bài tập chương 6 110

Chương 7 Quy hoạch tuyến tính 111

§ 1 Bài toán tổng quát 111

1.1 Dạng tổng quát cùa bài toàn 111

1.2 Các tính chát cơ bản 112

1.2.1 Một số khái niêm 112

1.2.2 Cảctính chất 112

1.3 Dạng chinh tắc 113

1.4 Đưa bài toán tổng quát vé dạng chính tắc 114

§2 Phương phảp đơn hinh 115

2.1 Mô tả hinh học cùa phương pháp 115

2.2 Co sở toán học 116

2.2.1 Cơ sở của phương án 116

2.2.2 Các định lý cơ sở 117

2.2.3 Công thức đệ quy 121

2.3 Phương pháp giải bài toán dạng chuẩn 123

2.3.1 Giới thiệu thuật toán đơn hinh 123

2.3.2 Bài toán dạng chuẩn 125

2.4 Giải bài toán dạng chính tắc 128

2.4.1 Tìm phương án xuất phát 128

viii

2.4.2 Phương phảp phạt 129

§3 Bài toán đối ngẫu 133

3.1 Thiết lặp bài toán đổi ngẫu 133

3.1.1 Bài toán đối ngẫu dạng đổi xứng 133

3.1.2 Thiết lập bài toán đối ngẫu tổng quát 134

3.2 Quan hệ giữa cặp bài toán đỗi ngẫu 139

3.2.1 Các định lỹ đối ngẫu 139

3.2.2 Đânh giá độ nhạy cảm 144

§4 Bài toán vận tải 146

4.1 Bầi toán vận tài tổng quát 146

4 1.1 Bài toán cân bằng thu phát 146

4.1.2 Đưa bài toán bất kỳ vé dạng cân bằng thu phát 148

4.2 Cảc tính chất cơ bản của bài toán cản bằng thu phát 148

4.3 Lập phương ản cơ bản xuất phát 151

4.4 Thuật toán “Quy không cước phr 152

Bài lập chương 7 160

Chương 8 Quy hoạch phi tuyến 164

§1 Các diéu kiện cực tri 164

1.1 Cực tri không điéu kiên 164

1.2 Cực tri cốdiéu kiện 166

§2 Phương pháp Gradient 168

2.1 Giới thiệu phương pháp 168

2.2 Sự hội tụ 169

2.3 Các dạng khác cùa phương pháp 171

2.3.1 Phương pháp với bước dịch chuyển cố định 171

2.3.2 Phương pháp cực tiểu hàm theo hướng chuyển động 172

§3 Phương pháp hàm phạt 172

3.1 Mô tả phương pháp .172

3.2 Sự hội tụ 173

§4 phương pháp Monte'Carlo 175

4.1 Bài toán ấp dụng 175

4.2 Thuật toán 175

phương pháp giải phương trinh vi phân và tích phân trong chương 5 Chương 6 dành cho tổng quan vé quy hoạch toán học dể sau dỏ trinh bày về quy hoạch tuyến tính trong chương 7 và quy hoạch phi tuyến trong chương 8 Để không làm nhiẻu các vấn

đé trọng tâm, một số khái niêm cẫn thiết vé giải tích lói được đưa vào phán phụ lục ở cuối cuốn sảch để khi cán sinh viên có thể tham khảo

Do hạn chế vé thời gian và trình độ, chắc chắn giáo trinh còn nhiéu thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được góp ý để cuốn sách ngày càng hoàn chỉnh hơn

Tác glả

2

Chương 1

T í n h g ầ n đ ú n g v à s a i s ố

§1 K hái n iệ m sô g ần đ ú n g

Trong thực tế chúng ta thường phải xử lý, tính toán vối các đại lượng gần đúng như các số đo vật lý các dữ liệu ban đầu, các

số làm tròn với sai số nào đó, tức là các số gần dúng Việc ưỏclượng sai số hợp lý cho phép ta đánh giá được chất lượng của quátrình tính toán, quyết định sô chữ số giữ lại trong các phép tính trung gian và trong kết quả Vì vậy, đầu tiên ta cần nghiên cứu về sai số

1.1 Sai số tuyệt đổì và sai số tương đối

được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

Sai số tuyệt đối nhỏ nhất có thể biết được gọi là sai số tuyệt dối giới hạn của a Thông thường ước lượng sai số tuyệt đối giới hạn là khó và nhiều khi không cần thiết nên người ta chỉ cần ưốc lượng sai sô tuyệt đối đủ nhỏ và dùng từ 1 đến 3 chữ sô có nghĩa

(là sô* chữ số bắt đầu từ chữ sô' khác không đầu tiên từ trái sang phẳi - xem mục 2.1) để biểu diễn sai số tuyệt đôì của số gần đúng.Thay cho (1.2) người ta còn dùng cách biểu diễn sau để chi sai

số tuyệt đối của

Trong thực tế thì sai số E„ không thể biết được nên khi

không có sự hiểu lầm người ta còn dùng từ sa i sô' để chỉ sai sò'

tuyệt đối Aa

V í dụ: Căn phòng có chiểu dài d = 5,45m và chiểu rộng

r = 3,94 m với sai số 1 cm Khi đó ta hiểu là:

1 1 2 S a i s ố tương đ ối

Hai số gần đúng có cùng sai số tuyệt đối sẽ có “m ức độ chính xác" khác nhau nếu độ lốn của chúng khác nhau, số bé hơn sẽ có độ chính xác kém hơn Để biểu diễn độ chính xác này ngưòi ta dùng sai số gọi là sai số tương đối

Đ ịn h nghĩa-. Sai sô' tương đối của số gần đúng a là tỷ số giữa sai số tuyệt đối và giá trị tuyệt đối của nó, được ký hiệu là Sa

rThường sai sô' tương đối được biểu diễn dưới dạng phần trăm với 2 hoặc 3 chữ số

4

Từ (1.4) ta thấy nếu biết ôa thì

nên ta chỉ cần biết một trong hai loại sai số của nó là được

V í dụ: Nếu a = 57 và Aa = 0,5 thì ôa = 0,0087719 hoặc 0,88% (gọn hơn 0,9%)

Nếu gọi ngoại lực tác động vào vật thể là F(t) (gồm lực hút trọng trường và lực cản), khối lượng vật thể là m thì H(t) là nghiệm của phương trình vi phân cấp hai

mvới điểu kiện ban dầu H(o)= H0; H'(o)= - v 0

Ta chọn một phương pháp gần đúng để giải phương trình này,

số sau

1.2.2 Các lo ạ i s a i số

S a i s ô 'd ữ liệu (còn gọi là sai số của số liệu ban đầu) Trong ví

dụ trên là sai số khi đo H0 và v0

S a i s ố g iả thiết: Sai số này gặp phải khi ta đơn giản hoá bài toán thực tiễn để thiết lập mô hình toán học có thể giải được Trong thí dụ trên có thể giả thiết ngoại lực chỉ là trọng lực.

S a i s ố p h ư ơ n g pháp-. Là sai số của phương pháp giải gần đúng bài toán theo mô hình được lập Trong thí dụ trên là phương pháp giải phương trình vi phân (1.6)

S a i s ố tín h toán: Là sai số tích luỹ trong quá trình tính toán theo phương pháp được chọn

S a i sô là m tròn: Khi tính toán ta thường phải làm tròn các sô nên ảnh hưởng tới kết quả nhiều khi rất đáng kể

S a i sô' n g ẫ u nhiên: Là sai số chịu các quy luật chi phối ngẫu nhiên không tránh được

v ể sau ta quan tâm tối sai sô'tính toán và sai số phương pháp

§2 B iểu d iễ n số g ầ n đ ú n g

Trong mục này ta xét các số được biểu diễn dưới dạng thâp phân Khi các số' là gần đúng, vấn đề đặt ra là nên biểu diễn chúng với bao nhiêu chữ số? Thu gọn chúng như thê nào?

2 1 C h ữ s ố c ó n g h ĩa

Trong biểu diễn thập phân, các chữ số kể từ chữ số khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải gọi là chữ số có nghĩa, các chữ số 0 bên trái là không có nghĩa

Nếu a được viết dưới dạng

thì các chữ số 0 bên trái không có ở biểu diễn này, ý nghĩa của các chữ sô" 0 bên phải liên quan tới cách biểu diễn sô” gần đúng sẽ xétdưới đây

Vỉ' dụ Số a = 03,4050 thì chữ số 0 đầu tiên là không có nghĩa

(người ta có thể điển để tránh viết thêm) còn các chữ sô 3; 4; 0; 5; 0

là có nghĩa Số b = 0,034 thì các chữ số 3; 4 là có nghĩa, hai chữ số

0 bên trái không có nghĩa vì nếu biểu diễn theo dạng (1.7) thì các chữ số này không cần đến

n

(1.7)

6

Đ ịn h n g h ĩa Nếu a có biểu diễn (1.7) với sai số Aa áO.õ.lO1" thì ak là chữ số đáng tin v k > m (theo nghĩa hẹp dùng trong tính toán) còn khi Aa < 10 m thì ak với k > m gọi là đáng tin theo nghĩa rộng.

V i d ụ a = 2 1,4 7 3 và Aa = 0,094 thì

Các chữ số 2; 1 là đáng tin theo nghĩa hẹp và chữ số 4 là đáng lin theo nghĩa rộng Còn các chữ số 7; 3 là không đáng tin

Khi cho sô' gần đúng ta có thể cho theo hai cách

Cách 1: Viết kèm vối sai số tuyệt đối

Cách 2: Chì viết các chữ sô đáng tin Nếu ta có số gần đúng

mà không cho sai số thì luôn ngầm hiểu các chữ số có nghĩa là các chữ số đáng tin Như vậy các chữ số không ớ bên phải cho ta biết

nó là chữ số đáng tin

Trong quá trình tính toán, người ta thường để lại vài chữ sô không dáng tin và trong kết quả thì giữ lại các chữ sô” đáng tin theo nghĩa rộng

2.2 C h ữ sô đ á n g tin

2 3 S ố th u g ọ n

Khi số a có nhiều chữ sô' không đáng tin hoặc có quá nhiều

chữ số có nghĩa thì người ta thường thu gọn thành số a có ít chữ

số có nghĩa hơn Nếu a có biểu diễn (1.7) và số thu gon được giữ lại

đến a m (m>p) thì a có biểu diễn

n

(1.8)k=m

nhờ bỏ đi các chữ số ak (k < m) theo quy tắc sau:

a = £ a k 1 0 k + 1 0 m (1.10)

Nếu n = 0,5 lữ " thì theo (1.9) nếu a m chẵn còn theo (1.10 ) nếu

am lẻ

Khi a < 0 ta thu gọn giá trị tuyệt đôì và giữ nguyên dấu

Khi thu gọn a thành a ta có sai sô' thu gọn r„ <, 0 ,5.10 '” Để

nó ít ảnh hưỏng tỏi sai số tuyệt đối ta thu gọn số và giữ lại một hoặc hai chữ số không đáng tin

Nếu a có biểu diễn (1.7) và ak đáng tin vối k ă m thì Aa <, 10™

nên

Như vậy sai số tương đối của số gần đúng có thế ước lượng bởi nghịch đảo của số gồm các chữ số đáng tin của a không có dấu phảy

§3 M ột số b à i to á n ước lư ợ ng sa i số

Trong bài này ta xét các bài toán ưóc lượng sai số tính toán khi thực hiện các phép toán số học và tính giá trị hàm số

3.1 Sai số hàm một biến

Cho hàm số y = f(x) và X là số gần đúng của Xoi K ý hiệu Ax và

Ay là sai số tuyệt đốì tương ứng của đổi số và hàm số Ta sẽ xét các bài toán ước lượng sai số của hàm hoặc của đối 8ố khi biết một trong hai sai số’

3 Ỉ 1 B à i to án th u ậ n

Bài toán này ta ước lượng Ay khi biết X và Ax

Theo công thức số gia hữu hạn ta có

|y - y0| = M x - x 0

8

ỏ đây y„ là giá trị đúng của y và c là điểm thuộc miền (x, Xo) nếu

X < x„ và thuộc (x,„ x) nếu Xo < X

Khi Ax bé, X gần x<, ta có ước lượng

3.1.2 Bài toán ngược

Trong bài toán này, ta biết giá trị gần đúng X ta cần xác định phải tính X với Ax là bao nhiêu để đảm bảo Ay < A Với giá trị A cho trước, từ công thức ( 1 1 1 ) ta thấy nếu

thì đủ để Ay < A

V í d ụ : y = ex với X ss 3 để có Ay < 0,01 ta tính X với ủx < — là

3.2 Sai số qua các phép toán số học

Khi tính toán với các số gần đúng thì sai số sẽ tích luỹ qua các phép toán cơ bản Sau đây ta ước lượng sai số khi cộng, trừ, nhân chia các số gần đúng

a 0 + b 0 - (Aa + Ab) < a + b < a 0 + b 0 + (Aa + Ab)

a 0 - b 0 - (Aa + A b ) < a - b < a 0 - b 0 + (Aa + Ab)

Nên a„ ± b0 - (Aa + Ab) < a ± b < a 0 ± b 0 + (Aa + Ab) đpcm

Trường hợp có nhiều số hạng được xét tương tự.

V í dụ. Cho a = 50,5; b = 50,9 vối Aa = Ab = 0,05 và u = a - b

Ta có u = 0,4 với Au = 0,05 + 0,05 = 0,1

Vậy Su = — = 25% Từ đó ta thấy khi trừ hai số gần bằng

nhau thì hiệu số sẽ có sai số tương đối lốn.

Ta xét hàm nhiêu biến u = f( x ,, ,x n) với giá trị gần đúng

X, , ,x n và y đã biết ta xét các bài toán ước lượng sai số hàm số

3.3 Sai sô' h àm nhiều biến

với ỉị' là đạo hàm riêng của u theo biến Xj.

V í dụ. Xét u = a2b vối a = 2,0; b = 25,0; Aa = Ab = 0,1

Ta có u = 100

Vói Au = 2abAa + a2Ab = 100.0,1 + 4.0,1 = 10,4

3.2.2 Bài toán ngược

Bây giò ta đã biết các số gần đúng Xj, ta phải tính chúng vối

sai số tuyệt đối như thế nào để có Ay < A; ở đây A là số cho trước.

Các phương pháp xử lý bài toán này đều dựa trên công thức(1.14 ) một cách linh hoạt Sau đây ta xét hai phương pháp thông dụng

Sai số của đối sô như nhau: Axk = Ax v k < n

Bây giò ta xét khi |f'(x, x ^ A X ị = |fi(x j x n]jAxk Vi,k

là đủ để AS < 0 ,1 m2

12

B à i t ậ p c h ư ơ n g 1

1 Cho các số g ầ n đ ú n g a = 3,7495 và b = 2,547 VỚI Aa = 5.10 1 và

Ab = 10 u = a.b

a Tìm sai số tương đôi của ôa, ỗb

b Tính u và ước lượng sai sô Au, 8u

2 Cho a = 2 13 5 7 ; ôa = 0,1% ; b = 35,65; 8b = 0,8% Xác định sai

số tuyệt đôi và các chữ số đáng tin

3 Tính diện tích hình chữ nhật có cạnh d = 40,0; r = 24,0 và ưỏc lượng sai số tuyệt đối, tương đối nếu các chữ số biêu diễn d và

r đêu là chữ số đáng tin

4 Cho hình hộp có cạnh d ss 10m; r « 5m; h as 3,5m; thế tích V

a Tính V và ước lượng sai sô" nếu Ad = Ar = Ah = 0,005m

b Cần tính các cạnh với sai sô như thê nào để sai SÔ AV < 0 ,1

5 Hình trụ tròn xoay có bán kính R = 10 cm, chiều cao h = 20 cm

a Tính thế tích V nếu AR = Ah = 0,5 cm; 7t = 3,14 16 ; An = 0 5 10 4

b Với 71 cho như trên, cần tính R và h như thê nào để AV < 1

6 Cho u = a-.b với a = 56,23; b = 56,20; Aa = Ab = 0,005

1 2 Cho y = e*cosx với x = >/3 Đặt X = 1,732 Ước lượng sai số

tuyệt đối và tương đối của y

14

a 0x n + - + a n_,x + a n = b 0x n + £ ( b k - b k_,x0)x"’ k

k-0

Đồng n h ấ t hệ sô' của xm (m < n ) hai v ế ta có b0 = a0; bk - bk.ịXo

= a k Vk = l,n (ký hiệu này có nghĩa k bằng 1 đến n) hay bk = ak +

bk lx0 Thuật toán Horner thực hiện như sau:

Chẳng hạn để tính V = -j= X > 0 ta đưa về giai phương trình

VX

F(x.y) = — - x = 0 của biến V theo phương pháp Newton trong

chương 3 như sau

2.1 Bài toán nội suy tổng quát

2 1 1 P h á t b iể u b à i to án

Bài toán nội suy tổng quát được đặt ra như sau

Một hàm số y = f(x) chỉ xác định được tại các điểm x0 = a < Xj < < x n = b : yi=f(xi) V i < n Ta cần tìm một biểu thứcgiải tích đủ đơn giản g(x) để xác định giá trị gần đúng của y:

y as g(x) tại các điểm X € [a,b] sao cho tại các điểm X; ta có g(Xj)=y,.Hàm f thường là hàm thực nghiệm hoặc các hàm khó tính giá trị hàm số nên chỉ xác định ỏ các điểm nhất định Các điểm {x, }”=0 được gọi là các mốc nội suy

Về phương diện hình học, ta cần tìm hàm g có đồ thị đi qua các điểm (x„ f(x,)) như trong hình 2.1

§2 Nội su y h à m s ố

Lược đ ồ g iả i quyết

Giả sử đã biết các giá trị yj của hàm số tại các mốc nội suy X,

tương ứng Cho trước hàm phụ thuộc (n + 1) tham sô độc lập {cj}"0 O(c0,c j, ,c n,x) thoả mãn các điều kiện nhất định Người

ta xác định các Cj cho biểu thức nội suy nhò hệ phương trình

18

Hệ phương trình (2.3) nói chung khó giải quyết nên người ta thường chọn <t> có dạng.

<ỉ>(co.c, c „ , x ) = £ c k<pk(x) (2.4)

k=0trong đó {<pk (x)}Ị^ 0 là họ hàm độc lập tuyến tính cho trước thoả mãn điểu kiện định thức

Dưới đây ta sẽ xét phương pháp nội suy nhò đa thức

2.2 Đa thức nội suy Lagrange

Lagrange đã xét trường hợp <pk(x)= x k v k < n khi đó hàm nội suy là đa thức bậc n Trong trường hợp này định thức |<f>,(xk)|

là định thức Vandermon nên thoả măn (2.5) Tuy vậy việc giải hệ(2.3) với n lớn vẫn khó khăn nên Lagrange đã xây dựng đa thức nội suy đơn giản sau đây

Dễ dàng thấy

iok

i»k

như vậy L n(x) là đa thức nội suy cần tìm

V i d ụ l: Nếu y = f(x) đo được tại x„ và X, tương ứng y 0 = f(x„)

V í d ụ 2. Hàm y = f(x) đo được như sau

- 3 / V x(x -Q lXx -0 3 ) X1 - 0 ,4 x 2 + 0,03x 3' x ' " 0,5.0,4.0.2 “ ÕÕ4

y, = 0 nên ta không tìm L'|(x)

Vậy

là đa thức nội suy cần tìm.

2 0

2.2.2 S a i số nội su y

Với X 6 Ịa,b] ta ước lượng sai sô f(x) — L,t(x)

trong dó X cho trước, dặt con(t) = (t - x „ ) ( t - x „ ) Khi dó nêu Xkhông là mốc nội suy thì (x) / 0 nên tìm dược hằng số k đổ

f ( x ) - L n(x)=k.co„(x) (2.8)Xét hàm sỏ

F (t) = f( t) -L „ ( t) -k o ,„ (t) (2.9)

Hàm này có n + 2 nghiệm phân biệt t = Xị (i = 0,n) và t = X.

Bằng quy nạp đễ dàng chứng minh được rằng tồn tại điểm

c e [a.b] sao cho F<n+I*(c) = 0

Vì L „ là đa thức bậc n nên đạo hàm đến cấp (n + 1) biêu thức

(2.9) Ta có

F < -‘ >(c)= f"*1 (c) - 0 - k(n + 1) = 0r(n+l

h

là đa thức theo t chỉ phụ thuộc vào số mốc n và có nhiều cách biểu diễn đơn giản, dễ sử dụng

pnk(t) = ( - l)"‘ k —7"t(t- _ k + l Xt - k - - n) (2.14)

n!

là hàm không phụ thuộc vào các mốc nội suy Tùy theo các hoàn cảnh khác nhau, người ta có các công thức biểu diễn hàm nội suy thích ứng Để giới thiệu công thức như vậy, ta cần xác định sai phân hữu hạn của hàm số

2.3.2 Sai p h ân hữu h ạn

Trường hợp mốc cách đểu: xi+, -Xi =A x,= h= const (i=l,2, ,n -l) Các sai phân hữu hạn của hàm y = f(x) được xác định như sau.Sai phân cấp một: Ayj = y l+1 - y j

Sai phản cấp h a i : A2yj = AyUj - Ay;

Sai phân cấp k : Akyi = Ak - Ak‘ l yị

Để tính sai phân bằng tay người ta dùng bảng, chẳng hạn nếu n=5 ta có:

22

V i d ụ Với hàm y = e* ta có bảng sai phân với bốn mốc tưrtng ứng:

0.007

2 3.3 C ô n g thức nôi su y N ew ton

Với các sai phân được xác định như trên ta có công thức nội suy Newton (thường được gọi là công thức Newton tiến hoặc Newton Lhứ nhất)

Với phép đổi biến X - x 0 = th như trên ta có

u,(x) = p,.(0 = y» + <Av„ + a2Vo + • + — - n — A"y„ (2.15)

Với biểu diễn sai số

R n(x)= hn+1 tit ~ ^ A l n) f(")(c)

(n + 1 ;Nếu thêm vào mốc x n+1 thì có ước lượng

2.4 Nội suy Spline

Khi có nhiều mốc nội suy, hàm nội suy sẽ là đa thức bậc cao, chúng thuộc loại hàm không ổn định (xem bài tập 1 1 chương I) Để khắc phục nhược điểm này người ta dùng các đa thức bậc thấp trên mỗi đoạn con và nối trơn đến mức cần thiết trên toàn đoạn làm hàm nội suy, các hàm này có tên gọi là hàm Spline

2 4 1 H àm S p lin e

Đ ịnh nghĩa. Hàm Spline bậc (m,k) trên đoạn [a,b] là hàm số

có cáo tính chất sau

1 Tồn tại p h â n h o ạ c h a = x 0 < X, < ••• < x n = b c ủ a [a.b] sao cho

trên mỗi đoạn Aj = [x j,x J+1] Vj = 0,n - 1 , nó là đa thức bậc m

2 Trên [a,b] nó có đạo hàm cấp k liên tục

Từ định nghĩa ta thấy dể hàm thoả mãn điều kiện '2 thì chi cần đạo hàm các cấp < k ở hai phía của mỗi điếm chia x,(i = l.n - l ) bằng nhau là đủ Vì vậy, nó còn được gọi là hàm ghéptrơn

Tập các hàm Spline bậc (m,k) trên đoạn [a,b] được ký hiệu là

s p ;|a ,b ] nếu k = m - 1 ta gọi là Spline bậc m và ký hiệu là

Khi đó Pk là đa thức bậc m nên cần xác định m + 1 hệ số của

đa thức Vì có n đoạn nên số hệ số cần tìm là n(m + 1) ẩn số Tại

mỗi điểm ghép XịỊi = l,n - l ) ta có m phương trình:

Pị-,)(xi ) = Pi(k)(xi) Vk = 0 , l , , m - 1 (2.17)Bởi vì có n - 1 điểm ghép nên có (n -l)m phương trình như vậy Ngoài ra ta có thêm n + 1 phương trình từ số liệu ban đầu:

S m(xi ) = y i Vi = 0,n nên ta có (n + l)+ (n - l)m phương trình Vậy còn n(m + 1 ) - (n + 1 ) - (n - l)m = m - 1 bậc tự do Do đó đê S m được xác định ta cần có thêm m - 1 điểu kiện nữa

Trong thực hành ta có thể tìm Spline nội suy bậc m đựa trênmệnh đề sau

24

M ệnh để. Nội suy bậc m của hàm V = f(x) với các mốc nộĩ suy

a = x 0 < X, < < x n = b ; y k = f(xk) hoàn toàn xác định nếu biết đathức nội suy của nó trên đoạn tuỳ ý Aj = ( x J, x )+1)

Chứng minh dưới đáy của mệnh dê này cho ta một phương pháp xây dựng Spline bậc m Nếu biết thu hẹp p, của nội suySpline trên Aj ta luôn có thế thác triển liên tiếp hàm nội suy racác đoạn kể, chẳng hạn AJtl theo phương pháp sau

Bước 1 Tính các đạo hàm P-k*(xJ+1) v k = l,n - 1

Bước 2. Giả sử p J(x) = a„ + a ,x + + a „ x n ; lập hệ phương trình tuyến tính sau để xác định các a,

pJ-.(x J i ) = y , +ip,.i(x j*a)=yj*2pi»i(*j*i ) = Pỉ(*h )

V i dụ. Nếu y = f(x) đo được

Ta tìm Spline bậc ‘2 của y trên [-1,2] Vì m - 1 = 1 nên nếu có

thêm một điểu kiện nữa thì hàm nội suy hoàn toàn xác định Do không biết điểu kiện này ta có thể xét 3 mốc đầu để tìm thu hẹp

của S 2 trên [- l l ] Ta có thu hẹp của S2 trên đoạn này là:

Nếu P2(x) = a x 2 + bx + c ta tìm a,b,c qua các giá trị tại các mốc

X = 1 , 2 v à đ ạ o h à m c ủ a n ó t ạ i x = l

Với X = 1: p.2 (l) = a + b + c = 2

Vối X = 2 : P2 ( 2 ) = 4a + 2 b + c = 3

p ;( l)= 2 a + b = - l ,5 Giải hệ này ta có a = 2,5; b = -6,5; c = 6

Vậy nội suy Spline bậc 2 của y trên (- 1,2] là

2.5 Nội suy hàm nhiều biến

Mặc dù các phương pháp nội suy hàm một biến đã được nghiên cứu tương đối đầy đủ nhưng các hàm thường gặp trong thực tê lại là hàm nhiều biến Đến nay các công cụ toán học đế nội suy hàm nhiều biến vẫn rất hạn chế Dưái đây sẽ giới thiệu phương pháp k-lân cận gần nhất Phương pháp này đơn giản và hiện nay được nhiều người sử dụng

2.5.2 Phươ ng p h áp k -lâ n cận g ần nhâ't

Chọn trước số tự nhiên k, với mỗi xeD, ta xác định giá trị g(x) qua giá trị của f tại k mốc nội suy gần nó nhất

26

Ký hiệu Z | zk là k mốc nội suy gần X nhất và d(u,v) làkhoảng cách của hai điểm u,v bất kỳ trong D, khi đó g(x) xác định như sau.

Dễ thấy rằng, khi X dần tới các mốc nội suy thì g(x) xác định như trên dần tới giá trị của f tại mốc nội suy tương ứng Tuy sai số của phương pháp không đánh giá chặt chẽ được nhưng vẫn được

ưa dùng trong thực nghiệm

Ví dụ Giả sử f là hàm hai biến, chọn k=4, tại điểm

X = — có 4 mốc nội suy gần X nhất là Zj=(0,l); z2= ( l,l) ; Z;i=(l,0)

3.1 Xấp xỉ thực nghiệm

3 1 1 B à i to á n tổ n g q u á t

Hàm y = f(x) đo được tại n điểm thuộc đoạn [a,b]:

kg(x) = £ p , f ( z , )trong đó p, xác định bởi: pj = —

1 1

= 2,375

X, < x 2 < ••• < x n; yj =f (xi )Với k < n - 1 , ta tìm hàm

<p(x)= <D(c1 , ,c k,x) (2.19)trong đó, là hàm cho trước, cj là các tham số cần tìm sao cho sai

1 "

số trung bình phương ^ a ~ y , M x ị ) ~ y j ) 2 nhỏ nhất khi các

n Uitham số Cj thay đổi

Khi đó ta nói (p(x) là hàm xấp xỉ tốt nhất của y trong lớp hàm

có dạng (2.19) theo nghĩa bình phương tối thiểu, v ề mặt hình học

đồ thị hàm y=<p(x) không đòi hỏi phải đi qua các điểm (x„f(x,)) nhưtrong phép nội suy (xem hình 2.2)

Thường thì bài toán tìm cực tiểu toàn cục của sai số trung bình phương là bài toán khó Trong trường hợp <J>CÓ dạng:

ta xét trường hợp <J> là đa thức

28

Với k < n - 2 ta sẽ tìm xấp xỉ tốt nhất của y dưới dạng đa thức

bậc k

3.Ỉ.2 Xấp xỉ bằng đa thức

Px(x) = X a )x '

j=0Khi đó sai số trung bình phương là

K í hiệu tập các hàm bình phương khả tích trên đoạn [a,b]là

L 2[a,b] Giả sử f là hàm tuỳ ý thuộc L 2[a,b], ta muốn xấp xỉ y bỏ]hàm <p(x) có dạng:

30

S l

ÔC; = 0 Vj = l.khay

f(x) = £ ( ( p ,,f ) ( p j(x) Vx G [a,b]

i-1

(2.30)

32