Phân tích giới hạn và thích nghi của kết cấu sử dụng các phương pháp số mới và tối ưu nón bậc hai (Limit And Shakedown Analysis Of Structures Using Advanced Discretisation Methods And Second Order Cone Programming)

Trong đề tài nghiên cứu này, các phương pháp phần tử hữu hạn PTHH và phần tử hữu hạn trơn, cùng với kỹ thuật tối ưu nón bậc 2, quả cầu nhỏ nhất, đã được phát triển cho đường lối tiếp cận

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN TRUNG DŨNG

LIMIT AND SHAKEDOWN ANALYSIS OF STRUCTURES USING ADVANCED DISCRETISATION METHODS AND SECOND

ORDER CONE PROGRAMMING

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn

Mã số chuyên ngành: 62 44 21 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tp Hồ Chí Minh - 2018

Công trình được hoàn thành tại :

Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

Người hướng dẫn khoa học

1 PGS.TSKH Phạm Đức Chính

2 PGS.TS Lê Văn Cảnh

Phản biện 1: GS.TS Phạm Chí Vĩnh

Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Trung Kiên

Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Văn Hiếu

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện :

- Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM

- Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

1

TÓM TẮT

Phân tích giới hạn và thích nghi đóng vai trò quan trọng trong tính toán kết cấu Trong đề tài nghiên cứu này, các phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) và phần tử hữu hạn trơn, cùng với kỹ thuật tối ưu nón bậc 2, quả cầu nhỏ nhất, đã được phát triển cho đường lối tiếp cận thích nghi động học giản yếu và giải quyết thành công các bài toán ứng suất phẳng cho các kết cấu từ vật liệu đàn dẻo lý tưởng và cả rộng hơn là vật liệu đàn dẻo tái bền động học giới hạn Các kỹ thuật riêng đã được phát triển để giải quyết các dạng hỏng dẻo phân tách: biến dạng dẻo tăng dần, và biến dạng dẻo quay lặp lại Lần đầu tiên cho được ví dụ cụ thể kết cấu có thể hỏng do biến dạng dẻo quay lặp lại trước khi nó có thể bị hỏng do biến dạng dẻo đổi chiều lặp lại – là dạng hỏng đã được biết đến rộng rãi Các tiếp cận thích nghi động học từ trên và tĩnh học từ dưới đều được áp dụng và cho các kết quả hội tụ phù hợp Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) đã được phát triển cho bài toán phân tích giới hạn kết cấu có vết nứt, trong đó đóng góp nổi bật là xây dựng hàm làm giàu phù hợp với trường vận tốc ở trạng thái giới hạn

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN

Giới thiệu

Phân tích giới hạn và thích nghi là xác định hệ số tải trọng giới hạn để tránh cho kết cấu không bị phá hủy khi tăng dần tải trọng đến trạng thái giới hạn hoặc hư hỏng biến dạng dẻo tăng dần, và biến dạng dẻo quay lặp lại khi chịu tải trọng lặp thay đổi Việc phân tích các kết cấu đến trạng thái giới hạn dẻo là một quá trình phức tạp do phải tiến hành từng bước với những gia tăng nhỏ của tải trọng (step-by-step method) Một hướng tính toán khác dựa trên lý thuyết phân tích trực tiếp tải trọng giới hạn (limit and shakedown analysis), tải trọng giới hạn (phá hoại) của kết cấu có thể xác định một cách trực tiếp, không cần thông qua các giai đoạn phân tích trung gian như trong phương pháp từng bước (step-by-step method) Trong hướng tính toán này, dựa trên các tiêu chuẩn chảy dẻo của vật liệu (tiêu chuẩn von Mises, Mohr-Coulomb…) kết hợp với các định lý cơ bản về cận trên hoặc cận dưới và các phương pháp số (như phần tử hữu hạn, không lưới, đẳng hình học…), việc xác định tải trọng giới hạn có thể được thiết lập với dạng tối ưu toán học

Tình hình nghiên cứu

Phân tích giới hạn và thích nghi đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu, mục đích chủ yếu là để tăng tính hiệu quả về độ chính

2

xác và giảm chi phí tính toán Các hướng nghiên cứu tập trung nhiều vào các lý thuyết chảy dẻo, kỹ thuật tối ưu toán học và ứng dụng các phương pháp số

Đối với bài toán phân tích thích nghi của kết cấu, công thức thích nghi động học hợp nhất của König (1987) được phát triển dựa trên các định lý của Koiter (1953, 1960) thường được sử dụng rộng rãi Tuy nhiên công thức này không xác định được dạng phá hoại của kết cấu để có hướng xử lý phù hợp Gần đây, Pham (2003b) đề xuất công thức thích nghi động học giản yếu có thể xác định được hai dạng phá hoại của kết cấu (phá hủy do biến dạng dẻo tăng dần, và phá hủy do biến dạng dẻo giới hạn lặp lại – gồm biến dạng dẻo đổi chiều hay biến dạng dẻo quay lặp lại) Một vài nghiên cứu ứng dụng công thức này đã được công bố tuy nhiên chỉ dùng lại ở các kết cấu cơ bản đặc thù

Về kỹ thuật tối ưu toán học, các thuật toán tối ưu tuyến tính (Anderheggen & Knopfel, 1972; Nguyen-Dang, 1984; Sloan, 1988) hoặc phi tuyến (Gaudrat, 1991; Andersen, 1996) có thể được sử dụng để giải bài toán tối ưu toán học trên Tuy nhiên, các hạn chế tồn tại là: (i) Để dùng thuật toán tuyến tính thì tiêu chuẩn dẻo phải được tuyến tính hóa, do đó số

ẩn số và điều ràng buộc sẽ rất lớn dẫn đến chi phí tính toán rất lớn; (ii) Thuật toán tối ưu phi tuyến có thể dùng để giải bài toán tối ưu phi tuyến – liên quan đến hàm dẻo phi tuyến Tuy nhiên, hàm mục tiêu (tiêu tán chảy dẻo) không tồn tại đạo hàm tại những điểm không có biến dạng dẻo (non-differential), trong khi các thuật toán tối ưu phi tuyến mạnh đều đòi hỏi hàm mục tiêu phải tồn tại đạo hàm mọi nơi Gần đây, thuật toán tối ưu nón bậc hai Andersen et al (2001, 2003) đã được phát triển để khắc phục các vấn đề trên Hơn nữa, phần lớn các tiêu chuẩn chảy dẻo đều có thể chuyển

về dạng hình nón bậc hai Do đó, hiện nay thuật toán tối ưu nón bậc hai thường được áp dụng để giải bài toán phân tích giới hạn (Le et al., 2010c; Bisbos et al., 2005; Makrodimopoulos, 2006; Weichert and Simon, 2012) Bên cạnh đó, nhiều phương pháp số mới hiện nay như phần tử hữu hạn trơn (Tran et al., 2009; Nguyen-Xuan et al (2012), không lưới (Le et al., 2009; Le et al., 2012), đẳng hình học (Nguyen-Xuan et al., 2014) đã được ứng dụng và giải quyết khá tốt nhiều lớp bài toán liên quan đến vấn đề xác định tải trọng giới hạn Tuy nhiên, phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) với phần tử bậc thấp vẫn được xem là phương pháp tính toán và mô phỏng

số hiệu quả và rộng rãi nhất trong Khoa học – Kỹ thuật Tuy nhiên, phần tử này vẫn còn tồn tại những hạn chế liên quan đến kỹ thuật phần tử khi giải quyết các bài phân tích giới hạn Điều đó đã ảnh hưởng đáng kể đến độ chính xác của phương pháp số thông dụng này

3

Mục tiêu nghiên cứu

Ta có thể thấy các hướng nghiên cứu về phân tích giới hạn và thích nghi tuy đã được quan tâm nhiều trên thế giới, tuy nhiên vẫn còn những khía cạnh mà các nghiên cứu trước đây chưa thật sự giải quyết triệt để và hiệu quả Vì vậy, trong luận án này sẽ tập trung giải quyết các nội dung sau nhằm nâng cao kiến thức học thuật và giải quyết hiệu quả, chính xác các bài toán phân tích giới hạn và thích nghi với mức độ phức tạp ngày càng cao để đáp ứng nhu cầu thực tế

- Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) và phần tử hữu hạn trơn, cùng với các kỹ thuật tối ưu nón bậc 2, sẽ được phát triển cho đường lối tiếp cận thích nghi động học giản yếu để giải quyết các bài toán phẳng cho các kết cấu từ vật liệu đàn dẻo lý tưởng và cả rộng hơn là vật liệu đàn dẻo tái bền động học giới hạn Ngoài ra, các kỹ thuật riêng sẽ được phát triển để giải quyết các dạng hỏng dẻo phân tách: biến dạng dẻo tăng dần, và biến dạng dẻo quay lặp lại

- Phát triển phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) cho bài toán phân tích giới hạn kết cấu có vết nứt, trong đó chủ yếu là so sánh để xây dựng hàm làm giàu phù hợp với trường vận tốc ở trạng thái giới hạn

Cấu trúc của luận án

Luận án gồm 7 chương Nội dung chủ yếu của các chương được tóm tắt như sau:

- Chương 1: giới thiệu tổng quan về đề tài, nội dung và mục tiêu nghiên cứu

- Chương 2: trình bày các kiến thức nền tảng về lý thuyết chảy dẻo, các định lý của phương pháp phân tích giới hạn

- Chương 3: trình bày công thức thích nghi động học giản yếu dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn và tối ưu nón bậc 2 Các ví dụ số

để minh họa tính chính xác và hiệu quả của phương pháp

- Chương 4: trình bày công thức phân tích giới hạn cho kết cấu có vết nứt dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng và tối ưu nón bậc 2 Các ví dụ số để minh họa tính chính xác và hiệu quả của phương pháp

- Chương 5: phát triển thuật toán phân tích thích nghi tách mode cận trên và cận dưới cho các kết cấu tái bền, đề xuất kỹ thuật riêng để giải quyết dạng hỏng dẻo biến dạng dẻo quay lặp lại

- Chương 6: phát triển công thức thích nghi động học giản yếu dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn trơn và tối ưu nón bậc 2 Các ví

dụ số để minh họa tính chính xác và hiệu quả của phương pháp

4

- Chương 7: thảo luận một số vấn đề lần đầu tiên được phát hiện Sau cùng là các kết luận và kiến nghị để nêu bật những đóng góp khoa học và các vấn đề cần được nghiên cứu phát triển của đề tài

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ KHOA HỌC TỔNG QUAN

Tổng quát về lý thuyết dẻo

Đối với vật liệu đẳng hướng, tiêu chuẩn chảy dẻo có thể biểu diễn theo các ứng suất chính

( ) ( 1, ,2 3) 0,

trong đó J J J1, 2, 3là các bất biến của tenxơ ứng suất Theo tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises, sự chảy dẻo xảy ra khi ứng suất tiếp bát diện đạt tới giá trị ứng suất cắt giới hạn kv bằng 1 3 của ứng suất giới hạn chịu kéo

Các lý thuyết cơ bản của thích nghi

Xét hệ kết cấu chịu n tải trọng độc lập theo thời gian 0( )

k

P t và mỗi tải trọng có giá trị thay đổi trong khoảng sau

Công thức thích nghi động học của Koiter, định lý 2.2 :

Thích nghi sẽ xảy ra nếu bất đẳng thức sau thỏa mãn

1 1

t T V

0 0

0 0

6

với I là giá trị tải trọng xác định dạng phá hủy do biến dạng dẻo tăng dần

và R là giá trị tải trọng xác định dạng phá hủy do biến dạng dẻo giới hạn

u ext

Tối ưu nón bậc hai

Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng đa số các tiêu chuẩn chảy dẻo truyền thống đều có thể biểu diễn dưới dạng ràng buộc nón bậc hai như sau:

d d

CHƯƠNG 3 CÔNG THỨC THÍCH NGHI ĐỘNG HỌC GIẢN YẾU Giới thiệu

Trong chương này, lý thuyết thích nghi động học giản yếu (Pham, 1992, 2000a,b, 2003a,b, 2008, 2010, 2013; Pham and Stumpf, 1994; ) sẽ được kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), cùng với kỹ thuật tối

ưu nón bậc 2 để giải quyết các bài toán ứng suất phẳng

7

Công thức thích nghi động học giản yếu

Từ lý thuyết thích nghi động học của Koiter, Pham (1992) và Pham và Stumpf (1994) đã đề xuất công thức thích nghi động học giản yếu đơn giản hơn

với dạng phá hoại biến đổi chiều lặp lại thì không cần điều kiện này Pham

và Stumpf (1994) đã chứng minh rằng trong hầu hết trường hợp ks = ksr, chưa có trường hợp nào cho thấy ks < ksr

Công thức thích nghi động học giản yếu rời rạc

Dạng phá hoại biến dạng dẻo tăng dần I ở công thức (3.12) có thể được viết lại dưới dạng chuẩn hóa sau

t T V

8

trong đó, ξilà trọng số tại điểm tích phân thứ i và NG là tổng số điểm lấy

tích phân Bài toán (3.16) là vấn đề khó khi liên quan đến việc xác định điều kiện công ngoại cực đại tại mỗi điểm trên toàn miền tải trọng với M đỉnh tải khi biến di chưa biết Để giải quyết vấn đề này, trong luận án này

đề xuất thay vì giải trực tiếp (3.16), các trường tốc độ chuyển vị ảo dik(k = 1,…, M) được xác định từ bài toán phân tích giới hạn dẻo (plastic limit) sẽ được sử dụng Trong đó dikđược xác định như sau :

,

i NG e

i ik i ik i

9

(Andersen et al., 2001, 2003) Ngoài ra bậc tự do trong bài toán (3.19) nhỏ

hơn M (là số đỉnh tải) lần so với bài toán (2.28)

Ví dụ số

Trong nội dung này, mô hình tính toán theo thích nghi động học giản yếu sẽ được thực hiện trên các bài toán biến dạng phẳng và so sánh với các kết quả đã được công bố trước đây Với tiêu chuẩn von Mises được sử dụng, công thức biểu diễn dạng phá hoại biến đổi chiều lặp lại (3.13) có thể được giải quyết bằng công thức sau

2 min

Hình 3.4.1 Biểu đồ tương tác của

tấm vuông lỗ tròn chịu miền tải trọng

10

Kết luận

Cơng thức thích nghi động học giản yếu kết hợp với phương pháp phần

tử hữu hạn cùng với kỹ thuật tối ưu nĩn bậc 2 đã giải quyết thành cơng bài tốn ứng suất phẳng Đặc biệt trong cơng thức thích nghi động học giản yếu, các mơ hình phá hoại khác nhau ứng với các dạng biến đổi của tải trọng đều được xác định, điều này giúp cho việc đánh giá ứng xử của kết cấu được cải thiện đáng kể Mặc dù chỉ các bài tốn ứng suất phẳng được xem xét nhưng quy trình tính tốn này cĩ thể được mở rộng áp dụng với các kết cấu phức tạp hơn

CHƯƠNG 4 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG CHO TÍNH TỐN TẢI GIỚI HẠN CỦA KẾT CẤU CĨ VẾT NỨT Giới thiệu

Phân tích giới hạn cho bài tốn cĩ vết nứt đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả (Yan and Nguyen-Dang, 1999; Hill, 1952; Ewing, 1967; Ewing and Richards, 1974) Trong đĩ các phương pháp sử dụng chủ yếu là phương pháp đường trượt (chỉ giải quyết được các bài tốn đơn giản) hoặc phương pháp phần tử hữu hạn nhưng phải kết hợp với kỹ thuật chia lưới phù hợp khá phức tạp tại các phần tử cĩ vết nứt Gần đây, phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (Belytschko and Black, 1999; Moës at el., 1999)đã được phát triển ứng dụng nhiều cho các kết cấu của cơ học rạn nứt Trong chương này, phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) kết hợp với tối ưu nĩn bậc 2 sẽ được phát triển cho bài tốn phân tích giới hạn kết cấu cĩ vết nứt

2 4 03

11

0

xx yy xy

xy

εεγ

Phân tích giới hạn dựa trên phương pháp XFEM

Trong phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng, hàm xấp xỉ chuyển vị tại điểm x được biểu diễn như sau

trong đó ( )θ,r là tọa độ cực địa phương tại đỉnh vết nứt

Trong luận án này, bên cạnh hàm làm giàu ở (4.15), các hàm làm giàu tại đỉnh vết nứt dựa trên giải pháp của Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR) (Hutchinson, 1968; Rice and Rosengren, 1968) cho vật liệu đàn dẻo cũng

sẽ được bổ sung để đánh giá tính hiệu quả và chính xác của phương pháp XFEM đối với bài toán phân tích giới hạn Các hàm làm giàu này được biểu diễn ở (4.19) và (4.20)

{ } sin , cos , sin sin , cos sin , sin sin 2 , cos sin 2 ,

( ) ( )

(4.29)

Bằng các biến đổi thích hợp, bài toán (4.29) có thể được đưa về dạng tối

ưu nón bậc 2 như sau

2 vết nứt, ống tròn có vết nứt chịu áp lực, và tấm chịu kéo vết nứt xiên Bốn

mô hình về hàm làm giàu tại đỉnh vết nứt đã được khảo sát để đánh giá tính chính xác và hiệu quả gồm :

ổn định hơn Ngoài ra, một thuận lợi có thể thấy rõ ràng ở phương pháp này

là việc chia lưới được thực hiện rất dễ dàng so với các phương pháp đã được công bố trước đây

Kết luận

Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM), kết hợp với tối ưu nón bậc 2 đã được phát triển cho bài toán phân tích giới hạn kết cấu có vết nứt Bốn mô hình về hàm làm giàu tại đỉnh vết nứt đã được khảo sát để đánh giá tính chính xác và hiệu quả của phương pháp Kết quả nghiên cứu cho thấy, phương pháp cho kết quả tốt, hiệu quả, việc chia lưới được thực hiện rất dễ dàng so với các phương pháp đã được công bố trước đây Các hàm làm giàu được sử dụng đều cho kết quả phù hợp, tuy nhiên các hàm làm giàu tại đỉnh vết nứt dựa trên giải pháp của Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR) cho kết quả tốt nhất

CHƯƠNG 5 PHÁ HOẠI DẺO QUAY LẶP VÀ DẠNG PHÁ HOẠI KHÔNG THÍCH NGHI CHO KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG LẶP Giới thiệu

Trong chương này, các kỹ thuật riêng sẽ được phát triển để giải quyết các dạng hỏng dẻo phân tách: biến dạng dẻo tăng dần, và biến dạng dẻo quay lặp lại Lần đầu tiên cho được ví dụ cụ thể kết cấu có thể hỏng do biến dạng dẻo quay lặp lại trước khi nó có thể bị hỏng do biến dạng dẻo đổi chiều lặp lại – là dạng hỏng đã được biết đến rộng rãi

Lý thuyết thích nghi và các dạng phá hoại

Công thức thích nghi động học cho vật liệu tái bền động học theo (Pham, 2007, 2008, 2013) có thể được biểu diễn như sau