Phân tích giới hạn và thích nghi của kết cấu sử dụng các phương pháp số mới và tối ưu nón bậc hai (Limit And Shakedown Analysis Of Structures Using Advanced Discretisation Methods And Second Order Cone Programming)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN TRUNG DŨNG LIMIT AND SHAKEDOWN ANALYSIS OF STRUCTURES USING ADVANCED DISCRETISATION METHODS AND SECOND ORDER CONE PROGRAMMING Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số chuyên ngành: 62 44 21 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Tp Hồ Chí Minh - 2018 Cơng trình hồn thành : Khoa Tốn - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Người hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Phạm Đức Chính PGS.TS Lê Văn Cảnh Phản biện 1: GS.TS Phạm Chí Vĩnh Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Trung Kiên Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Văn Hiếu Phản biện độc lập 1: GS.TS Phạm Chí Vĩnh Phản biện độc lập 2: TS Châu Đình Thành Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Vào lúc……… giờ……… ngày……tháng……năm……… Có thể tìm hiểu luận án thư viện : - Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM - Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TĨM TẮT Phân tích giới hạn thích nghi đóng vai trò quan trọng tính tốn kết cấu Trong đề tài nghiên cứu này, phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) phần tử hữu hạn trơn, với kỹ thuật tối ưu nón bậc 2, cầu nhỏ nhất, phát triển cho đường lối tiếp cận thích nghi động học giản yếu giải thành cơng tốn ứng suất phẳng cho kết cấu từ vật liệu đàn dẻo lý tưởng rộng vật liệu đàn dẻo tái bền động học giới hạn Các kỹ thuật riêng phát triển để giải dạng hỏng dẻo phân tách: biến dạng dẻo tăng dần, biến dạng dẻo quay lặp lại Lần cho ví dụ cụ thể kết cấu hỏng biến dạng dẻo quay lặp lại trước bị hỏng biến dạng dẻo đổi chiều lặp lại – dạng hỏng biết đến rộng rãi Các tiếp cận thích nghi động học từ tĩnh học từ áp dụng cho kết hội tụ phù hợp Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) phát triển cho toán phân tích giới hạn kết cấu có vết nứt, đóng góp bật xây dựng hàm làm giàu phù hợp với trường vận tốc trạng thái giới hạn CHƯƠNG GIỚI THIỆU TỔNG QUAN Giới thiệu Phân tích giới hạn thích nghi xác định hệ số tải trọng giới hạn để tránh cho kết cấu không bị phá hủy tăng dần tải trọng đến trạng thái giới hạn hư hỏng biến dạng dẻo tăng dần, biến dạng dẻo quay lặp lại chịu tải trọng lặp thay đổi Việc phân tích kết cấu đến trạng thái giới hạn dẻo trình phức tạp phải tiến hành bước với gia tăng nhỏ tải trọng (step-by-step method) Một hướng tính tốn khác dựa lý thuyết phân tích trực tiếp tải trọng giới hạn (limit and shakedown analysis), tải trọng giới hạn (phá hoại) kết cấu xác định cách trực tiếp, khơng cần thơng qua giai đoạn phân tích trung gian phương pháp bước (step-by-step method) Trong hướng tính toán này, dựa tiêu chuẩn chảy dẻo vật liệu (tiêu chuẩn von Mises, Mohr-Coulomb…) kết hợp với định lý cận cận phương pháp số (như phần tử hữu hạn, khơng lưới, đẳng hình học…), việc xác định tải trọng giới hạn thiết lập với dạng tối ưu tốn học Tình hình nghiên cứu Phân tích giới hạn thích nghi nhiều tác giả ngồi nước nghiên cứu, mục đích chủ yếu để tăng tính hiệu độ xác giảm chi phí tính tốn Các hướng nghiên cứu tập trung nhiều vào lý thuyết chảy dẻo, kỹ thuật tối ưu toán học ứng dụng phương pháp số Đối với tốn phân tích thích nghi kết cấu, cơng thức thích nghi động học hợp König (1987) phát triển dựa định lý Koiter (1953, 1960) thường sử dụng rộng rãi Tuy nhiên công thức không xác định dạng phá hoại kết cấu để có hướng xử lý phù hợp Gần đây, Pham (2003b) đề xuất cơng thức thích nghi động học giản yếu xác định hai dạng phá hoại kết cấu (phá hủy biến dạng dẻo tăng dần, phá hủy biến dạng dẻo giới hạn lặp lại – gồm biến dạng dẻo đổi chiều hay biến dạng dẻo quay lặp lại) Một vài nghiên cứu ứng dụng công thức công bố nhiên dùng lại kết cấu đặc thù Về kỹ thuật tối ưu toán học, thuật toán tối ưu tuyến tính (Anderheggen & Knopfel, 1972; Nguyen-Dang, 1984; Sloan, 1988) phi tuyến (Gaudrat, 1991; Andersen, 1996) sử dụng để giải toán tối ưu toán học Tuy nhiên, hạn chế tồn là: (i) Để dùng thuật tốn tuyến tính tiêu chuẩn dẻo phải tuyến tính hóa, số ẩn số điều ràng buộc lớn dẫn đến chi phí tính tốn lớn; (ii) Thuật tốn tối ưu phi tuyến dùng để giải toán tối ưu phi tuyến – liên quan đến hàm dẻo phi tuyến Tuy nhiên, hàm mục tiêu (tiêu tán chảy dẻo) không tồn đạo hàm điểm khơng có biến dạng dẻo (nondifferential), thuật tốn tối ưu phi tuyến mạnh đòi hỏi hàm mục tiêu phải tồn đạo hàm nơi Gần đây, thuật tốn tối ưu nón bậc hai Andersen et al (2001, 2003) phát triển để khắc phục vấn đề Hơn nữa, phần lớn tiêu chuẩn chảy dẻo chuyển dạng hình nón bậc hai Do đó, thuật tốn tối ưu nón bậc hai thường áp dụng để giải tốn phân tích giới hạn (Le et al., 2010c; Bisbos et al., 2005; Makrodimopoulos, 2006; Weichert and Simon, 2012) Bên cạnh đó, nhiều phương pháp số phần tử hữu hạn trơn (Tran et al., 2009; Nguyen-Xuan et al (2012), không lưới (Le et al., 2009; Le et al., 2012), đẳng hình học (Nguyen-Xuan et al., 2014) ứng dụng giải tốt nhiều lớp toán liên quan đến vấn đề xác định tải trọng giới hạn Tuy nhiên, phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) với phần tử bậc thấp xem phương pháp tính tốn mơ số hiệu rộng rãi Khoa học – Kỹ thuật Tuy nhiên, phần tử tồn hạn chế liên quan đến kỹ thuật phần tử giải phân tích giới hạn Điều ảnh hưởng đáng kể đến độ xác phương pháp số thơng dụng Mục tiêu nghiên cứu Ta thấy hướng nghiên cứu phân tích giới hạn thích nghi quan tâm nhiều giới, nhiên khía cạnh mà nghiên cứu trước chưa thật giải triệt để hiệu Vì vậy, luận án tập trung giải nội dung sau nhằm nâng cao kiến thức học thuật giải hiệu quả, xác tốn phân tích giới hạn thích nghi với mức độ phức tạp ngày cao để đáp ứng nhu cầu thực tế - Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) phần tử hữu hạn trơn, với kỹ thuật tối ưu nón bậc 2, phát triển cho đường lối tiếp cận thích nghi động học giản yếu để giải toán phẳng cho kết cấu từ vật liệu đàn dẻo lý tưởng rộng vật liệu đàn dẻo tái bền động học giới hạn Ngoài ra, kỹ thuật riêng phát triển để giải dạng hỏng dẻo phân tách: biến dạng dẻo tăng dần, biến dạng dẻo quay lặp lại - Phát triển phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) cho tốn phân tích giới hạn kết cấu có vết nứt, chủ yếu so sánh để xây dựng hàm làm giàu phù hợp với trường vận tốc trạng thái giới hạn Cấu trúc luận án Luận án gồm chương Nội dung chủ yếu chương tóm tắt sau: - Chương 1: giới thiệu tổng quan đề tài, nội dung mục tiêu nghiên cứu - Chương 2: trình bày kiến thức tảng lý thuyết chảy dẻo, định lý phương pháp phân tích giới hạn - Chương 3: trình bày cơng thức thích nghi động học giản yếu dựa phương pháp phần tử hữu hạn tối ưu nón bậc Các ví dụ số để minh họa tính xác hiệu phương pháp - Chương 4: trình bày cơng thức phân tích giới hạn cho kết cấu có vết nứt dựa phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng tối ưu nón bậc Các ví dụ số để minh họa tính xác hiệu phương pháp - Chương 5: phát triển thuật toán phân tích thích nghi tách mode cận cận cho kết cấu tái bền, đề xuất kỹ thuật riêng để giải dạng hỏng dẻo biến dạng dẻo quay lặp lại - Chương 6: phát triển công thức thích nghi động học giản yếu dựa phương pháp phần tử hữu hạn trơn tối ưu nón bậc Các ví dụ số để minh họa tính xác hiệu phương pháp - Chương 7: thảo luận số vấn đề lần phát Sau kết luận kiến nghị để nêu bật đóng góp khoa học vấn đề cần nghiên cứu phát triển đề tài CHƯƠNG CƠ SỞ KHOA HỌC TỔNG QUAN Tổng quát lý thuyết dẻo Đối với vật liệu đẳng hướng, tiêu chuẩn chảy dẻo biểu diễn theo ứng suất f (σ) = f (J 1, J , J ) = 0, (2.1) J 1, J , J bất biến tenxơ ứng suất Theo tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises, chảy dẻo xảy ứng suất tiếp bát diện đạt tới giá trị ứng suất cắt giới hạn kv ứng suất giới hạn chịu kéo J2 − kv = 0, (2.2) Ngoài ra, theo luật chảy dẻo kết hợp, tốc độ biến dạng dẻo vng góc với mặt tải hướng mặt ∂f (2.3) , ep = µ ∂σ từ ta xác định hàm tiêu tán dẻo theo tiêu chuẩn von Mises sau: ( ) D ep = ( 2k v e p : e p ) (2.7) Các lý thuyết thích nghi Xét hệ kết cấu chịu n tải trọng độc lập theo thời gian Pk0 (t ) tải trọng có giá trị thay đổi khoảng sau Pk0 (t ) = Pk−, Pk+  = µk−, µk+  Pk0 k = 1, n     Cơng thức thích nghi động học Koiter, định lý 2.2 : Thích nghi xảy bất đẳng thức sau thỏa mãn T ∫ T   dt ∫ f ⋅ u dV + ∫ g ⋅ u dΓ ≤ ∫ dt ∫ D ep dV V Γt  V  ( ) (2.16) (2.24) Thích nghi khơng xảy thỏa bất đẳng thức sau ∫ T T   dt ∫ f ⋅ u dV + ∫ g ⋅ u dΓ > ∫ dt ∫ D ep dV Γt V  V  ( ) (2.25) + Dựa vào định lý trên, cận hệ số tải trọng thích nghi ks xác định dạng toán tối ưu toán học ( ) T ks+ = ∫ dt ∫ D e p dV V T   e p   ∫0 dt ∫V σ e dV = 1,   T  (2.26)  ∆ε p = ∫ e pdt = (∆ui , j + ∆u j ,i ) in V ,  s.t   T   ∆ui = ∫ uidt in V ,    ∆u = on Γu   i Từ đó, Kưnig (1987) xây dựng lại cơng thức thích nghi động học Koiter dựa lý thuyết hai vòng lồi (two convex-cycle theorem) sau: M ( ) ks+ = ∑ ∫ D ekp dV V k =1 M   σe e pdV = 1,  ∑ k =1 ∫V k k   (2.28) M  p p s.t  ∆ = V ε e in ,  ∑ k  k =1   ∆ = u on Γu ,     Công thức (2.28) khơng tích phân theo thời gian M = 2n số đỉnh tải miền tải trọng Trong đó, cơng thức thích nghi động học giản yếu xác định sau: { } ks ≤ I , R , (2.33) I = e infp ∫ V σ ∈L,ε ∈» ∫ ( ) D ε p dV max σe (x, t ) : ε p (x)dV , (2.34) V 0≤t ≤T R= infp σe ∈L, ε ∈ A0 T ∫ T ∫ ( ) dt ∫ D ep dV V dt ∫ σ : e dV e p0 , (2.35) V với I giá trị tải trọng xác định dạng phá hủy biến dạng dẻo tăng dần R giá trị tải trọng xác định dạng phá hủy biến dạng dẻo giới hạn lặp lại Các biểu thức tương ứng lý thuyết thích nghi cho vật liệu đàn dẻo tái bền động học (Pham, 2017) trình bày chương Lý thuyết phân tích giới hạn Định lý cận trên: Hệ số tải trọng giới hạn λexact nhỏ số hệ số tải + trọng λ tương ứng với trường vận tốc chuyển vị u động λexact ≤ λ + , (2.42) Dựa vào định lý cận ta đưa tốn dạng tối ưu toán học sau: λexact = minWint   ep = ∇s ⋅ u in V ,   (2.43)  s.t u = on Γu ,   W =    ext Tối ưu nón bậc hai Các nghiên cứu đa số tiêu chuẩn chảy dẻo truyền thống biểu diễn dạng ràng buộc nón bậc hai sau:   di    di  Ki =  x ∈ » x ≥ x (2.54)  i ∑ i,j  i ,1  j =2       Trong luận án toán tối ưu rời rạc đưa dạng tốn tối ưu nón bậc hai, sau toán giải phần mềm thương mại Mosek (Mosek, 2010) CHƯƠNG CƠNG THỨC THÍCH NGHI ĐỘNG HỌC GIẢN YẾU Giới thiệu Trong chương này, lý thuyết thích nghi động học giản yếu (Pham, 1992, 2000a,b, 2003a,b, 2008, 2010, 2013; Pham and Stumpf, 1994; ) kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), với kỹ thuật tối ưu nón bậc để giải tốn ứng suất phẳng Cơng thức thích nghi động học giản yếu Từ lý thuyết thích nghi động học Koiter, Pham (1992) Pham Stumpf (1994) đề xuất cơng thức thích nghi động học giản yếu đơn giản { } ks ≤ ksr = I , A , (3.11) I = A= ∫ infp ( ) D ε p dV V maxt σe (x, tx ) : ε p (x) dV x   V ∫ σe ∈L; ε ∈C , (3.12) ( ) 2D ˆε p , (3.13) σe (x, t ) − σe (x, t ) : ˆε p (x)   với I , A dạng phá hoại biến dạng dẻo tăng dần dạng phá hoại biến đổi chiều lặp lại Trong dạng phá hoại biến dạng dẻo tăng dần, trường biến dạng dẻo động học ε p phải tương thích tồn miền V, dạng phá hoại biến đổi chiều lặp lại khơng cần điều kiện Pham inf p e x∈V ; σ ∈ L; ˆε ; t1 ,t2 Stumpf (1994) chứng minh hầu hết trường hợp ks = ksr , chưa có trường hợp cho thấy ks < ksr Cơng thức thích nghi động học giản yếu rời rạc Dạng phá hoại biến dạng dẻo tăng dần I cơng thức (3.12) viết lại dạng chuẩn hóa sau I = inf ∫ D (ε )dV ∫ max σ (x, t ) : ε (x)dV = σe ∈L; εp ∈C s.t p V e p (3.15) V 0≤t ≤T Sử dụng phương pháp rời rạc phần tử hữu hạn tích phân Gauss ta NG I = ∑ σY ξi i =1 (B d ) T i i Θ Bi di NG    ξ max σe B d = 1,  ∑  s.t  i =1 i k =1, ,M ik i i   d =0    i { (3.16) } on ∂Vu , đó, ξi trọng số điểm tích phân thứ i NG tổng số điểm lấy tích phân Bài tốn (3.16) vấn đề khó liên quan đến việc xác định điều kiện công ngoại cực đại điểm toàn miền tải trọng với M đỉnh tải biến di chưa biết Để giải vấn đề này, luận án đề xuất thay giải trực tiếp (3.16), trường tốc độ chuyển vị ảo dik (k = 1,…, M) xác định từ tốn phân tích giới hạn dẻo (plastic limit) sử dụng Trong dik xác định sau : NG kpk = inf ∑ σY ξi (B d ) T i ik Θ Bi dik (3.17)   e  ∑ ξi σik Bi dik = 1, s.t   i =1   on ∂Vu , di =   sau ta tìm giá trị gần I ′ theo công thức sau i =1 NG NG I ≤ I = ' ∑σ ξ (B d ) T i ik ∑ ξi max { i =1 NG k =1, ,M i =1 Y i m =1, ,M Θ B i d ik σeim Bi d ik } (3.18) Trong đó, vấn đề (3.17) biến đổi dạng nón bậc sau NG kpk = ∑ σY ξiti i =1 NG   ξ σe B d = 1,  ∑ i =1 i ik i ik   s.t  on ∂Vu , di =     ρ (dik ) ≤ ti , i = 1, 2, , NG,   (3.19) ρ   1 ρ (d i ) =  ρ2  = CT B i d ik , (3.20)    ρ  Vấn đề (3.19) dạng tối ưu nón bậc chuẩn với điều kiện nón, phương trình bất phương trình giải cách hiệu phần mềm thương mại Mosek theo thuật toán tối ưu điểm Kết luận Cơng thức thích nghi động học giản yếu kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn với kỹ thuật tối ưu nón bậc giải thành cơng tốn ứng suất phẳng Đặc biệt cơng thức thích nghi động học giản yếu, mơ hình phá hoại khác ứng với dạng biến đổi tải trọng xác định, điều giúp cho việc đánh giá ứng xử kết cấu cải thiện đáng kể Mặc dù toán ứng suất phẳng xem xét quy trình tính tốn mở rộng áp dụng với kết cấu phức tạp CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG CHO TÍNH TỐN TẢI GIỚI HẠN CỦA KẾT CẤU CĨ VẾT NỨT Giới thiệu Phân tích giới hạn cho tốn có vết nứt nghiên cứu nhiều tác giả (Yan and Nguyen-Dang, 1999; Hill, 1952; Ewing, 1967; Ewing and Richards, 1974) Trong phương pháp sử dụng chủ yếu phương pháp đường trượt (chỉ giải toán đơn giản) phương pháp phần tử hữu hạn phải kết hợp với kỹ thuật chia lưới phù hợp phức tạp phần tử có vết nứt Gần đây, phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (Belytschko and Black, 1999; Moës at el., 1999) phát triển ứng dụng nhiều cho kết cấu học rạn nứt Trong chương này, phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) kết hợp với tối ưu nón bậc phát triển cho tốn phân tích giới hạn kết cấu có vết nứt Phân tích giới hạn động học Xét hệ cứng dẻo lý tưởng, hàm tiêu tán lượng xác định sau D (ε ) = ∫ Ω σ p εT Θ ε , (4.10) đó,            Θ=            4  1 2 3  1  −1    0 0  1  −1 0 0  1  plane stress, (4.11) plane strain, 10 ∂   ε   ∂x  xx    ε =  εyy  =      γxy   ∂   ∂y     ∂  u ∂y  ∂  ∂x  (4.12) Phân tích giới hạn dựa phương pháp XFEM Trong phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng, hàm xấp xỉ chuyển vị điểm x biểu diễn sau uh ( x ) = ∑ i ∈ N FE N i ( x ) ui + ∑ N (x ) H (x) a j∈NH uhFE ( x) j j + ∑ N (x) ∑ ψ (x) b k ∈Nψ uhH (x) k α =1 α k α k , (4.13) uhψ ( x) h đó, uenr (x) = uhH (x) + uhψ (x) xấp xỉ chuyển vị mở rộng làm giàu gồm phần: phần làm giàu sử dụng hàm Heaviside phần làm giàu sử dụng tập hàm nhánh ψ ( x) đỉnh vết nứt Đối với học rạn nứt đàn hồi tuyến tính, hàm làm giàu đỉnh vết nứt biểu diễn sau {ψ } α k α=1 ( )    θ  θ θ θ = r sin , cos , sin sin θ, cos sin θ ,   2     (4.15) θ,r tọa độ cực địa phương đỉnh vết nứt Trong luận án này, bên cạnh hàm làm giàu (4.15), hàm làm giàu đỉnh vết nứt dựa giải pháp Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR) (Hutchinson, 1968; Rice and Rosengren, 1968) cho vật liệu đàn dẻo bổ sung để đánh giá tính hiệu xác phương pháp XFEM tốn phân tích giới hạn Các hàm làm giàu biểu diễn (4.19) (4.20)   θ θ θ θ θ θ   {ψ } = sin , cos , sin sin θ, cos sin θ, sin sin 2θ, cos sin 2θ , k             {ψ } = sin θ2 , cos θ2 , sin θ2 sin θ, cos θ2 sin θ, sin θ2 sin 3θ, cos θ2 sin 3θ, k (4.19) (4.20) Khi đó, xấp xỉ trường chuyển vị cho tốn phân tích giới hạn trở thành 11 uh ( x ) = ∑ i ∈ N FE N i (x ) u i + ∑ N (x) H (x) a j ∈ NH j j + ∑ N (x ) ∑ ψ (x) b k ∈Nψ k α =1 α k α k (0.1) , Kết hợp với định lý cận (cơng thức động học) phân tích giới hạn, tốn phân tích giới hạn cho kết cấu có vết nứt xác định lại theo (4.29) NG λ + = ∑ σ p ξi i =1 (B d ) T i Θ Bi d (4.29)  d = on Γ u , s t    F d =    ( ) Bằng biến đổi thích hợp, tốn (4.29) đưa dạng tối ưu nón bậc sau NG λ + = ∑ σ p ξiti i =1   d=0 on Γu ,  (4.32)   s.t F (d ) = 1,    ρ ≤ ti i = 1, 2, , NG   i  Cần lưu ý toán biến dạng phẳng điều kiện không nén Λ T B i d = bổ sung vào điều kiện (4.32) Các ví dụ số Mơ hình tính tốn phân tích giới hạn cho kết cấu có vết nứt sử dụng XFEM kết hợp tối ưu nón bậc thực toán ứng suất phẳng biến dạng phẳng chịu kéo vết nứt, chịu kéo vết nứt, ống tròn có vết nứt chịu áp lực, chịu kéo vết nứt xiên Bốn mơ hình hàm làm giàu đỉnh vết nứt khảo sát để đánh giá tính xác hiệu gồm : XFEM1–     (4.37) {ψk } = r sin 2θ , cos 2θ , sin 2θ sin θ, cos 2θ sin θ     XFEM2–     (4.38) {ψk } = sin θ2 , cos θ2 , sin θ2 sin θ, cos θ2 sin θ     XFEM3–         {ψ } = sin θ2 , cos θ2 , sin θ2 sin θ, cos θ2 sin θ, sin θ2 sin 2θ, cos θ2 sin 2θ k (4.39) 12 XFEM4–         {ψ } = sin θ2 , cos θ2 , sin θ2 sin θ, cos θ2 sin θ, sin θ2 sin 3θ, cos 2θ sin 3θ k (4.40) Khi so sánh với kết nghiên cứu công bố trước gồm phương pháp giải tích, phương pháp số sử dụng mơ hình đối xứng chia lưới theo vết nứt , phương pháp đề xuất luận án cho kết phù hợp Trong mơ hình sử dụng hàm làm giàu (4.39) (4.40) cho kết ổn định Ngồi ra, thuận lợi thấy rõ ràng phương pháp việc chia lưới thực dễ dàng so với phương pháp công bố trước Kết luận Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM), kết hợp với tối ưu nón bậc phát triển cho tốn phân tích giới hạn kết cấu có vết nứt Bốn mơ hình hàm làm giàu đỉnh vết nứt khảo sát để đánh giá tính xác hiệu phương pháp Kết nghiên cứu cho thấy, phương pháp cho kết tốt, hiệu quả, việc chia lưới thực dễ dàng so với phương pháp công bố trước Các hàm làm giàu sử dụng cho kết phù hợp, nhiên hàm làm giàu đỉnh vết nứt dựa giải pháp Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR) cho kết tốt CHƯƠNG PHÁ HOẠI DẺO QUAY LẶP VÀ DẠNG PHÁ HOẠI KHƠNG THÍCH NGHI CHO KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG LẶP Giới thiệu Trong chương này, kỹ thuật riêng phát triển để giải dạng hỏng dẻo phân tách: biến dạng dẻo tăng dần, biến dạng dẻo quay lặp lại Lần cho ví dụ cụ thể kết cấu hỏng biến dạng dẻo quay lặp lại trước bị hỏng biến dạng dẻo đổi chiều lặp lại – dạng hỏng biết đến rộng rãi Lý thuyết thích nghi dạng phá hoại Cơng thức thích nghi động học cho vật liệu tái bền động học theo (Pham, 2007, 2008, 2013) biểu diễn sau { } ks = U, C , (5.8) đó, 13 U = infe ∫ e p ∈ A ; σ ∈L C= T ∫ ( ) dt ∫ Du e p dV V T inf p x∈V ; e ∈A0 ; σe ∈L (5.9) , dt ∫ σe : e pdV V ∫ T ∫ T ( ) ( ) ( ) Di ep dt , (5.10) σ : e dt e p p p Du e , Di e hàm tiêu tán dẻo tương ứng với ứng suất chảy dẻo tái bền σYU ứng suất chảy dẻo ban đầu σYI Nếu C = < U , kết cấu bị phá hoại biến dạng dẻo quay lặp, ngược lại U = < C kết cấu bị phá hoại biến dạng dẻo tăng dần Một dạng đơn giản (5.8) đến (5.10) cơng thức thích nghi động học giản yếu (Pham and Stumpf, 1994; Pham, 2003b, 2007, 2008, 2013) trình bày chương 3, { } ks ≤ ksA = I , A , (5.11) Bởi A dạng đặc biệt C nên C ≤ A, ksC ≤ ksA Một hướng tiếp cận khác để xác định ks cơng thức thích nghi tĩnh học (Pham, 2007, 2008, 2013) : ks = {U ,C } , (5.18) { ( ) C = sup {k | k (s + σ ) ∈ y , ∀σ } ∈ L } U = sup k | k ρ + σe ∈ yu , ∀σe ∈ L , ρ∈R e e i s Theo hướng C A xác định lại sau σYI C = , S,1≤p ≤N JT (σep − S) A = 1≤p ≠q ≤ N ( 2σYI JT σep − σeq ) , ≤ p ≠ q ≤N (5.19) (5.20) (5.31) (5.32) Trong S tâm mặt chảy dẻo bao miền ứng suất đàn hồi 14 Công thức rời rạc phần tử hữu hạn Công thức xác định dạng phá hoại I , A tương tự trình bày chương 3, khác cơng thức tính I vật liệu tái bền σYU dùng thay cho σYI Trong đó, giá trị U (5.19) biểu diễn sau: U = max k   ∇ρ =     s.t n ρ =   U  E  ψj k σ + ρ, σY  ≤ 0, j = 1, 2, , N × NG   đặt thêm biến r ( in V , on ∂Vt , ) r2→4 = JT k σE + ρ , (5.40) (5.41) Khi hàm chảy dẻo ψj k σ E + ρ, σYU  đưa dạng tối ưu   nón bậc theo dạng sau { } L j = r ∈ » | r1 ≥ r2→4 = r22 + r32 + r42 , r1 = σYU , (5.42) Kết hợp với điều kiện cân ứng suất, toán (5.40) để xác định dạng phá hoại dẻo tăng dần xác định theo (5.45) U = max k  Cρ = 0, (5.45) s.t    r ∈ L j , j = 1, 2, , N × NG,  j Với cơng thức xác định dạng phá hoại dẻo quay lặp C công thức (5.31), dựa phương pháp phần tử hữu hạn viết lại sau σYI C = min , (5.46) i =1, ,NG 1≤p ≤N JT (σeip − Si ) Để giải vấn đề (5.46), cần phải xác định tâm (Si ) mặt chảy dẻo tương ứng với điểm Gauss thứ i Phương pháp cầu nhỏ (Nguyen et al., 2012) sử dụng để tìm giá trị (Si ) 15 Các ví dụ số Hình 5.15 Tọa độ điểm phá hoại dạng dẻo quay lặp (điểm màu đỏ, [x y] = [1.1497, 1.0443 ]) Trong nội dung này, tốn vng có lỗ tròn đồng gia cường xem xét với nhiều trường hợp tải trọng từ đơn giản đến phức tạp, kết hợp với yếu tố vật liệu tái bền động học Kết cho thấy hầu hết trường hợp dạng phá hoại C = A , riêng trường hợp gia cường với vật liệu tái bền chịu miền tải trọng gồm đỉnh tải mục 5.4.2.4 cho kết C < A (hình 5.15 bảng 5.2) Bảng 5.2 Tấm gia cường tái bền: tải trọng phá hoại dạng dẻo quay lặp dạng dẻo đổi chiều lặp lại Kết A12 [x y] = [1.0060, 0.0110 ] 1.4999 [x y] = [1.1497, 1.0443 ] 1.4765 A23 1.0858 1.1627 A13 3.9324 1.6898 A Aij = 1.0858 Aij = 1.1627 Sc [ −0.0914, −17.1955, 0.1930] 1.0858 [3.7628, −7.5640, 0.2288] 1.000 C Aij tải trọng giới hạn đổi chiều lặp lại ứng với đỉnh tải Vi, Vj, Sc tâm cầu bao đỉnh tải đàn hồi Kết luận Thuật tốn phân tích thích nghi tách mode cận cận cho kết cấu tái bền thiết lập Lần cho ví dụ cụ thể kết cấu hỏng biến dạng dẻo quay lặp lại (rotating mode) trước có 16 thể bị hỏng biến dạng dẻo đổi chiều lặp lại (alternating mode) – dạng hỏng biết đến rộng rãi CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN CHO PHÂN TÍCH THÍCH NGHI Giới thiệu Trong chương này, phương pháp phần tử hữu hạn trơn (SFEM – Smoothed Finite Element Method) kết hợp với cơng thức thích nghi giản yếu tối ưu nón bậc để giải tốn phân tích thích nghi kết cấu chịu tải trọng lặp Đây phương pháp Gui Rong Liu (Liu et al., 2010b) đề xuất, dựa kết hợp kỹ thuật mềm hóa biến dạng vào phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống SFEM xây dựng với hướng tiếp cận Trong luận án hai hướng tiếp cận tiếp cận dựa nút (NS-FEM), tiếp cận dựa cạnh (ES-FEM) sử dụng để đánh giá tính hiệu phương pháp Phương pháp phần tử hữu hạn trơn Với phần tử tam giác nút, ma trận tính biến dạng phần tử số nên có bất liên tục biến dạng phần tử Do vậy, phần tử cho kết thường không tốt hội tụ chậm Để cải tiến lời giải, miền biến dạng trung bình lại dựa nút (NS-FEM) cạnh (ES-FEM) Hình 6.1 Phần tử trơn kết hợp với cạnh k (Le, 2013) Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa cạnh ES-FEM, ta Ned chia miền Ω thành miền "trơn" Ωk con, định nghĩa Ω = ∪ Ωk k =1 Ω ∩ Ω = ∅ , i ≠ j , Ned tổng số cạnh phần tử i j (hình 6.1) Sau ta xây dựng lại trường biến dạng dựa miền trơn, kết sau 17 εhk = ∑ B (x ) d , I k (6.5) I I ∈N nk với Nk e j BI (xk ) = (6.6) ∑ AB Ak j =1 e j Tương tự phương pháp làm trơn dựa cạnh ES-FEM, phương pháp làm trơn dựa nút miền hình học Ω chia thành N n Nn miền Ωk liên quan đến nút k, thỏa: Ω ≈ ∑ Ω(k ) Ωi ∩ Ωj = ∅ , k=1 i ≠ j Phần tử Ωk phần tử chứa nút k tạo cách nối trung điểm cạnh biên trọng tâm đa giác có chứa điểm nút k (hình 6.2) Hình 6.2 Miền trơn kết hợp với nút k (Liu, 2010) Từ ta xây dựng trường biến dạng dựa miền trơn εhk = ∑ BI (xk ) dI , (6.9) k I ∈N n BI (xk ) = Ak Nek ∑3A B , j =1 j e j (6.10) Cơng thức thích nghi giản yếu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn vào cơng thức thích nghi động học giản yếu ta kết sau : Đối với phương pháp ES-FEM 18 Ned I ≤ I = ∑ σ A (B d ) i =1 Ned k =1, ,M ' T Y i ∑A Θ Bi dik ik { max σ Bi dik i m =1, ,M i =1 A = i e im (6.11) , } 2σY i =1, ,Ned 1≤k ≠ j ≤N σeik − σeij  + σeik − σeij  − 11  22   11  22 2 σeik − σeij  σeik − σeij  + σeik − σeij  11   22 22  12   11  12 Với phương pháp NS-FEM 2 Nn I ≤ I = ' ∑ σ A (B d ) i =1 Nn k =1, ,M T Y i ∑A i =1 A = min i =1, ,N n 1≤k ≠ j ≤N i ik { e im } σeik − σeij  + σeik − σeij  − 11  22   11  22 2 eik eij eik eij σ − σ  σ − σ  + σeik − σeij  11   22 22  12   11  12 (6.13) , 2σY (6.12) Θ Bi dik max σ Bi dik i m =1, ,M , (6.14) Các trường tốc độ chuyển vị ảo dik (6.11) (6.13) xác định từ toán phân tích giới hạn dẻo (plastic limit) theo (6.15) (6.16) Ned kpk = ∑ σY At i i i =1   Ned A σe B d = 1,  cho ES-FEM ∑ i ik i ik   i =1 s.t  d = on ∂ V ,  i u     ρ (dik ) ≤ ti , i = 1, 2, , NG,   (6.15) Nn kpk = ∑ σY At i i i =1   Nn A σe B d = 1,  cho NS-FEM ∑ i=1 i ik i ik    s.t di = on ∂Vu ,    ρ (dik ) ≤ ti , i = 1, 2, , NG,    (6.16) 19 Các ví dụ số Trong mục này, phương pháp đề xuất xem xét giải tốn có lỗ tròn, kết cấu khung kết cấu dầm Kết toán cho thấy phương pháp đề xuất cho kết tốt hơn, cải thiện đáng kể tính xác so với phương pháp phần tử hữu hạn kiểu chia lưới Kết luận Quy trình tính tốn thích nghi kết cấu dựa phương pháp phần tử hữu hạn trơn (ES-FEM NS-FEM) kết hợp tối ưu nón bậc xây dựng Nghiên cứu cho thấy phương pháp đề xuất cho kết tốt đáng kể so với phương pháp phần tử hữu hạn ma trận độ cứng mềm hóa Ngồi ra, phương pháp này, tính xác tăng lên đáng kể số biến tốn tối ưu khơng tăng nhiều, đảm bảo tính hiệu chi phí tính toán CHƯƠNG THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN Thảo luận 7.1.1 Sự thuận lợi cơng thức thích nghi động học giản yếu Phân tích thích nghi theo tiếp cận động học giản yếu trình bày chương Theo hướng tiếp cận này, dạng phá hoại vật thể tách thành dạng : biến dạng dẻo tăng dần biến dạng dẻo đổi chiều lặp lại Trong dạng phá hoại biến dạng dẻo đổi chiều lặp lại, dạng phá hoại cục bộ, xác định điểm vật thể Dạng phá hoại dễ dàng xác định liên quan đến ứng suất đàn hồi, độ xác xác định theo dạng phá hoại phụ thuộc vào kỹ thuật rời rạc độ mịn chia lưới Trong đó, dạng phá hoại theo biến dạng dẻo tăng dần liên quan đến trường tốc độ biến dạng tương thích tồn vật thể Từ cơng thức (3.15), (3.16) nhận thấy, dạng phá hoại xác định tương tự lý thuyết phân tích giới hạn cận trên, khác biệt chỗ cần phải xác định giá trị công ngoại lớn điểm toàn miền tải ứng với thời gian t Tuy nhiên, vấn đề xác định điều kiện giá trị lớn biến di chưa biết khó khăn Để giải vấn đề này, đồng thời tận dụng tính ưu việt tối ưu nón bậc phần mềm Mosek, trường tốc độ chuyển vị ảo dik xác định từ tốn phân tích giới hạn dẻo (plastic limit) sử dụng để thay trường di Có thể nhiều trường hợp phức tạp, trường chuyển vị ảo khơng thể đảm bảo tính xác, nhiên đạt giá trị ước lượng cận đủ tốt (xem mục 3.4) Tuy nhiên, cần lưu ý 20 theo hướng này, việc tính tốn đơn giản số lượng biến toán tối ưu giảm đáng kể Từ thấy, việc tính tốn xác định tải trọng giới hạn thích nghi theo hướng tiếp cận động học giản yếu đơn giản Đặc biệt công thức thích nghi động học giản yếu, mơ hình phá hoại khác ứng với dạng biến đổi tải trọng xác định, điều giúp cho việc đánh giá ứng xử kết cấu cải thiện đáng kể 7.1.2 Dạng phá hoại dẻo xoay lặp tốn phân tích thích nghi Trong chương 5, dạng phá hoại vật thể chịu tải trọng lặp trình bày Qua ta thấy được, dạng phá hoại dẻo đổi chiều lặp lại (alternating plasticity collapse) trường hợp đặc biệt dạng phá hoại tổng quát dạng đổi chiều quay lặp (rotating plasticity collapse) Bởi tính đơn giản nên dạng phá hoại dẻo đổi chiều lặp lại thường sử dụng hầu hết trường hợp cho kết tốt Trong đó, với dạng phá hoại đổi chiều quay lặp, vấn đề phức tạp cần phải xác định tâm (Si ) không gian ứng suất siêu cầu điểm tương ứng với đỉnh tải toàn miền tải trọng Để giải vấn đề này, phương pháp cầu nhỏ (Nguyen et al., 2012) sử dụng để tìm giá trị (Si ) Trong nghiên cứu này, câu hỏi đặt thay dạng phá hoại đổi chiều quay lặp C trường hợp dạng phá hoại dẻo đổi chiều lặp lại A khơng? Bởi theo (Pham, 2003b), dạng phá hoại C nguy hiểm A , nhiên chưa tìm thấy trường hợp đặc biệt mà C < A Các ví dụ chương cho thấy rằng, hầu hết trường hợp, từ tải trọng phức tạp đến vật liệu tái bền C trùng A Trong nhiều trường hợp cục bộ, vài điểm tìm giá trị C x < Ax (hình 5.13) dạng phá hoại biến dạng dẻo tăng dần I Chỉ trường hợp gia cường với vật liệu tái bền chịu miền tải trọng gồm đỉnh tải mục 5.4.2.4 cho kết C < A (hình 5.15 bảng 5.2) Điều cho thấy, trường hợp đủ phức tạp vật thể hỏng biến dạng dẻo quay lặp lại trước bị hỏng biến dạng dẻo đổi chiều lặp lại 7.1.3 Các phương pháp số cho phân tích giới hạn thích nghi Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phổ biến nhiên tồn hạn chế liên quan đến kỹ thuật phần tử giải 21 lớp tốn phân tích giới hạn Điều ảnh hưởng đáng kể đến độ xác hiệu tính tốn phương pháp số thơng dụng Đối với phân tích giới hạn cho tốn có vết nứt, sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn thơng thường đòi hỏi phải kết hợp với kỹ thuật chia lưới phù hợp phức tạp phần tử có vết nứt Điều dẫn đến làm tăng thêm độ phức tạp chi phí giải lớp tốn Tuy nhiên với phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng, vấn đề giải dễ dàng Kết nghiên cứu chương cho thấy, phương pháp cho kết tốt, hiệu quả, việc chia lưới thực dễ dàng so với phương pháp cơng bố trước Ngồi ra, hàm làm giàu sử dụng cho kết phù hợp, nhiên hàm làm giàu đỉnh vết nứt dựa giải pháp Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR) cho kết tốt Một vấn đề khác là, phương pháp phần tử hữu hạn thường cho kết không tốt sử dụng phần tử bậc thấp (T3) Trong đó, gần đây, phương pháp phần tử hữu hạn trơn (S-FEM) ứng dụng nhiều vấn đề học vật rắn cho kết tốt so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn Kết chương cho thấy, sử dụng kết hợp phương pháp S-FEM vào toán phân tích thích nghi, ma trận độ cứng mềm hóa nên tính xác tốn tăng lên đáng kể Ngồi ra, số biến tốn tối ưu lại khơng tăng nhiều nên đảm bảo tính hiệu chi phí tính tốn Kết luận Trong luận án này, quy trình tính tốn sử dụng tối ưu nón bậc kết hợp cơng thức thích nghi giản yếu phát triển cho tốn phân tích thích nghi kết cấu, đề xuất kỹ thuật riêng để giải dạng hỏng dẻo biến dạng dẻo quay lặp lại Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) phát triển cho tốn phân tích giới hạn kết cấu có vết nứt Quy trình tính tốn thích nghi kết cấu dựa phương pháp phần tử hữu hạn trơn (ES-FEM NS-FEM) kết hợp tối ưu nón bậc xây dựng Các điểm bật rút sau: Cơng thức thích nghi động học giản yếu kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn với kỹ thuật tối ưu nón bậc giải thành cơng tốn ứng suất phẳng Theo hướng này, việc tính tốn đơn giản số lượng biến toán tối ưu giảm đáng kể Đặc biệt cơng thức thích nghi động học giản yếu, mơ hình phá hoại khác ứng với dạng biến đổi tải trọng xác định, điều giúp cho việc đánh giá ứng xử kết cấu cải thiện đáng kể 22 Thuật tốn phân tích thích nghi tách mode cận cận cho kết cấu đàn dẻo tái bền thiết lập Lần cho ví dụ cụ thể kết cấu hỏng biến dạng dẻo quay lặp lại (rotating mode) trước bị hỏng biến dạng dẻo đổi chiều lặp lại – dạng hỏng biết đến rộng rãi Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM), kết hợp với tối ưu nón bậc phát triển cho toán phân tích giới hạn kết cấu có vết nứt Bốn mơ hình hàm làm giàu đỉnh vết nứt khảo sát để đánh giá tính xác hiệu phương pháp Kết nghiên cứu cho thấy, phương pháp cho kết tốt, hiệu quả, việc chia lưới thực dễ dàng so với phương pháp công bố trước Các hàm làm giàu sử dụng cho kết phù hợp, nhiên hàm làm giàu đỉnh vết nứt dựa giải pháp Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR) cho kết tốt Quy trình tính tốn thích nghi kết cấu dựa phương pháp phần tử hữu hạn trơn (ES-FEM NS-FEM) kết hợp tối ưu nón bậc xây dựng Nghiên cứu cho thấy phương pháp đề xuất cho kết tốt đáng kể so với phương pháp phần tử hữu hạn Ngoài ra, phương pháp này, tính xác tăng lên số biến toán tối ưu khơng tăng nhiều, đảm bảo tính hiệu chi phí tính tốn Hướng phát triển Mặc dù mục tiêu luận án phần lớn thực hiện, nhiên nhiều khía cạnh phát triển với hướng nghiên cứu sau: Phát triển cơng thức thích nghi động học giản yếu cho toán chịu uốn, toán chiều Phát triển thuật giải tìm xác dạng phá hủy cho biến dạng dẻo tích lũy tăng dần Áp dụng phương pháp điểm phần mềm Mosek áp dụng cho cơng thức thích nghi động học theo quan điểm Koiter cho toán chịu uốn, toán chiều Áp dụng kỹ thuật rời rạc đẳng hình học thơng qua hàm sở NURBS vào lớp tốn phân tích thích nghi sử dụng tối ưu nón bậc 23 DANH MỤC CÁC BÀI BÁO ĐƯỢC CƠNG BỐ Tạp chí quốc tế: Tran, T.D., Le, C.V., Pham, D.C and Nguyen-Xuan, H (2014), Shakedown reduced kinematic formulation, separated collapse modes, and numerical implementation, International Journal of Solids and Structures, 51: 2893–2899 T.D Tran and C V Le (2015), Extended finite element method for plastic limit load computation of cracked structures, International Journal For Numerical Methods In Engineering, 104: 2–17 Canh V.Le , T.D Tran, D.C Pham (2016), Rotating plasticity and nonshakedown collapse modes for elastic–plastic bodies under cyclic loads, International Journal of Mechanical Sciences, 111112: 55–64 Tạp chí quốc gia: Tran Trung Dung, Le Van Canh, Nguyen Xuan Hung (2012), Computation of limit and shakedown using the NS-FEM and second-order cone programming, Journal of Science Ho Chi Minh City Open University, 2(5): 21–28 Tran Trung Dung, Le Van Canh, Lam Phat Thuan (2013), An XFEM based kinematic limit analysis formulation for plane strain cracked structures using SOCP, Journal of Science Ho Chi Minh City Open University, 3(8): 49-57 Hội nghị quốc tế: Tran Trung Dung, Le Van Canh, Lam Phat Thuan (2012), Limit analysis of cracked structures using XFEM and second – order cone programming, Proceedings of the International Conference on Advances in Computational Mechanics (ACOME) Vietnam, 191-202 Thai Hoang Chien, Tran Trung Dung, Le Van Canh and Nguyen Xuan Hung (2012), Isogeometric limit analysis for plane stress problem, Proceedings of the International Conference on Advances in Computational Mechanics (ACOME) Vietnam, 822-836 Hội nghị quốc gia: Tran Trung Dung, Le Van Canh, Nguyen Xuan Hung, Pham Duc Chinh (2014), Limit analysis of 3-D structures using second – order cone programming, Proceedings of the National Conference on Mechanical Engineering HaNoi, 139-144 ... phần tử giải phân tích giới hạn Điều ảnh hưởng đáng kể đến độ xác phương pháp số thơng dụng Mục tiêu nghi n cứu Ta thấy hướng nghi n cứu phân tích giới hạn thích nghi quan tâm nhiều giới, nhiên... tốn mở rộng áp dụng với kết cấu phức tạp CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG CHO TÍNH TỐN TẢI GIỚI HẠN CỦA KẾT CẤU CĨ VẾT NỨT Giới thiệu Phân tích giới hạn cho tốn có vết nứt nghi n cứu nhiều... Cơng thức thích nghi giản yếu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn vào cơng thức thích nghi động học giản yếu ta kết sau : Đối với phương pháp ES-FEM