Phân tích bài toán cơ nhiệt bằng phân tích đẳng hình học cho dạng kết cấu sử dụng vật liệu phân lớp chức năng

Mục đích của bài báo này là ứng dụng phương pháp đẳng hình học (IGA) để phân tích ứng xử cơ nhiệt cho kết cấu làm từ vật liệu phân lớp chức năng (FGM). Phương pháp đẳng hình học được xây dựng trên nền tảng hàm cơ sở NURBS với ưu điểm mô tả hình học chính xác cùng với việc xấp xỉ hàm bậc cao một cách hiệu quả.

Tạp chí Phát triển Khoa học và Cơng nghệ, tập 20, sớ K3-2017 53 Phân tích tốn nhiệt phân tích đẳng hình học cho dạng kết cấu sử dụng vật liệu phân lớp chức Nguyễn Duy Khương, Nguyễn Mạnh Tiến, Võ Trung Chiến, Nguyễn Xuân Hùng, Vũ Cơng Hòa  Tóm tắt— Mục đích bài báo này là ứng dụng phương pháp đẳng hình học (IGA) để phân tích ứng xử nhiệt cho kết cấu làm từ vật liệu phân lớp chức (FGM) Phương pháp đẳng hình học xây dựng tảng hàm sở NURBS với ưu điểm mô tả hình học xác với việc xấp xỉ hàm bậc cao cách hiệu Vật liệu FGM dạng vật liệu composite tiên tiến có thuộc tính vật liệu theo đổi liên tục theo quy luật phân bố hàm mũ phương bề dày Các kết thu kiểm chứng với kết công bớ trước và kết từ phần mềm thương mại COMSOL nhiệt vật liệu FGM vấn đề quan trọng vật liệu thường làm việc mơi trường áp lực nhiệt độ cao Hình minh họa FGM hệ tọa độ Đề-các (x, y, z) Từ khóa— FGM, IGA GIỚI THIỆU ật liệu phân lớp chức (Functionally Graded Materials – FGM) vật liệu composite có vi cấu trúc khơng đồng mà thay đổi liên tục tính lớp vật liệu Vật liệu FGM kết hợp từ kim loại gốm nên có ưu điểm kết hợp tính dẻo kim loại tính cách nhiệt cách điện gốm FGM sử dụng ngành công nghiệp đại như: hàng không vũ trụ, công nghệ hạt nhân, truyền thông, lượng, … Phân tích ứng xử V Bài báo nhận vào ngày 15 tháng năm 2017, phản biện chỉnh sửa vào ngày 01 tháng 11 năm 2017 Nguyễn Duy Khương, Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM, Việt Nam (e-mail: ndkhuong@ hcmut.edu.vn) Nguyễn Mạnh Tiến, Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQGHCM, Việt Nam (e-mail: nguyenmanhtien94@ gmail.com) Võ Trung Chiến, Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQGHCM, Việt Nam (e-mail: votrungchien94@ gmail.com) Nguyễn Xuân Hùng, Trường Đại học Công nghệ Tp.HCM, Việt Nam (e-mail: ngx.hung@hutech.edu.vn) Vũ Cơng Hòa, Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM, Việt Nam (e-mail: vuconghoa@ hcmut.edu.vn) Hình Mơ hình hình học FGM Hiện có nhiều nghiên cứu phân tích tốn Cơ nhiệt vật liệu FGM cơng bố tạp chí Các phương pháp số sử dụng cũng đa dạng phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM), phương pháp không lưới (Meshless), lý thuyết cắt bậc (the third-order shear deformation theory) Các tác giả Afsar Go sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để phân tích tốn nhiệt cho mơ hình đĩa tròn xoay làm từ FGM [1]; nhóm tác giả Hosseini, Sladek, áp dụng phương pháp khơng lưới (MLPG) phân tích nhiệt cho ống trụ rỗng làm từ vật liệu FGM dựa mơ hình Green–Naghdi [2], nhóm tác giả A.H Akbarzadeh, M Abbasi, M.R Eslami sử dụng lý thuyết cắt bậc để phân tích tốn nhiệt cho hình vng FGM [3] Đẳng hình học (Isogeometric Analysis- IGA) phương pháp tính tốn đại giới thiệu Hughes [4] Phương pháp đẳng hình học kết hợp thiết kế với hỗ trợ máy tính (Computer Aided Science and Technology Development Journal, vol 20, no.K3- 2017 54 Design-CAD) phân tích phần tử hữu hạn (Finite Element Analysis-FEA) Phương pháp đẳng hình học (IGA) sử dụng hàm sở NonUniform Rational B-Splines (NURBS) để có hình học xác Nó sử dụng hàm sở cho mơ hình hình học xác xấp xỉ hữu hạn Ngồi ra, IGA có lợi tăng hay giảm bậc lưới hiệu với kỹ thuật chèn knot để kiểm sốt độ liên tục cách linh hoạt Bài báo có bố cục sau: phần mơ tả chi tiết vật liệu phân lớp chức phương trình sử dụng phân tích toán nhiệt, kết số thể phần phần phần kết luận CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Vật liệu phân lớp chức (FGM) Vật liệu phân lớp chức (FGM) vật liệu composite cấu tạo từ hai hay nhiều lớp vật liệu mà thuộc tính vật liệu thay đổi liên tục theo kích thước cấu trúc tính chất vật liệu FGM có quy luật hàm số theo phương bề dày cấu trúc lớp vật liệu Ta có hàm biểu diễn tính chất vật liệu [3] P ( z )  ( Pc  Pm )  Vc ( z )  Pm (1) đó: Pc , Pm thuộc tính vật liệu gốm kim loại mặt mặt P đại diện cho mô-đun đàn hồi, hệ số Possion, hệ số giãn nở nhiệt, hệ số dẫn nhiệt nhiệt … Với Vc ( z ) hàm vị trí theo bề dày i  1, 2, , n  p  1, p bậc B-Spline, n số hàm sở sử dụng để xây dựng B-Spline Hàm sở B-Spline liên tục C  khoảng knot [  i ,  i 1 ) liên tục C p 1 knot riêng biệt Một giá trị knot xuất nhiều lần số lần giá trị knot xuất knot vector gọi bội knot Cụ thể knot có bội k độ liện tục C p  k 2.2.2Hàm sở Hàm sở B-spline N i , p ( ) định nghĩa công thức đệ quy Cox-de Boor bắt đầu với số [5] 1 neu  i     i 1 N i ,0 ( )    cac truong hop lai (3) Hàm sở B-Spline định nghĩa theo công thức đệ quy Cox-de Boor [5] N i , p ( )   i , p 1     i N i , p 1 ( )  N i 1, p 1 ( ) i , p  i  i , p 1   i 1 (4) 2.2.3Đường cong B-Spline đường cong NURBS Đường cong B-Spline NURBS bậc p biểu diễn sau [5] n C B ( )   N i , p ( ) Bi (5) i 1 n  R   B C N    (6) p i i i 1 1 z Vc ( z )     2 h n (2) đó: z chiều sâu phân lớp vật liệu; h chiều dày tấm; n số mũ hàm Vc ( z ) 2.2 Phương pháp đẳng hình học Để tìm hiểu hàm NURBS trước tiên ta tìm hiểu số khái niệm hàm B-Spline hàm NURBS xây dựng từ hàm B-Spline 2.2.1Véctơ knot Véctơ knot tập số thực không giảm không gian tham số, viết   1 ,  , ,  n  p 1  , i  thứ i, i số véctơ knot knot, N i , p hàm sở B-Spline với i  1, 2, , n điểm điều khiển Bi hàm sở NURBS Rip biễu diễn sau [5] Ri p Rip     N i , p    wi (7) n  N   w i, p i i 1 2.2.4Khối B-Spline Khối NURBS Khối B-Spline NURBS biểu diễn sau [5] Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ, tập 20, số K3-2017 n m l S B   , ,       N i , p    M j , q   Lk , r    Bi , j , k i 1 j 1 k 1 (8) n m l S N   , ,       Rip, j, q, k, r   , ,   Bi , j , k (9) i 1 j 1 k 1 N i , p    M j , q   Lk , r    ba hàm sở B-Spline với i  1,2, , n, j  1,2, , m , k  1,2, , l Bi , j , k tọa độ điểm điều khiển m  n  l hàm sở NURBS Rip, j, q, k, r biễu p,q,r i, j ,k R diễn sau [5] Rip, j, q, k, r   , ,   N i , p    M j , q   Lk , r    wi , j , k n m l    N   M   L   w i, p j ,q k ,r i , j ,k i 1 j 1 k 1 (10) 2.2.5Trường chuyển vị trường nhiệt độ dựa xắp xỉ hàm NURBS IGA lấy ý tưởng từ FEM dùng phần tử đẳng tham số biến xỉ đẳng hình học biểu diễn u u; t t (11) Khác với FEM IGA sử dụng hàm sở NURBS để xây dựng hình học xác đồng thời dụng hàm sở NURBS làm cơng cụ tính tốn trực tiếp mơ hình hình học xác Trong IGA, trường chuyển vị trường nhiệt độ biểu diễn theo [5] n u   Ri ui n (14) Trong  , T , T , q n , h Ta là, ma trận dẫn nhiệt, véctơ gradient nhiệt độ, Nhiệt độ biên Dirichlet, Tải nhiệt (HeatFlux), hệ số đối lưu nhiệt độ môi trường đối lưu Trường học ảnh hưởng tải nhiệt độ biểu diễn sau: [6]   σ  b  W phy     C : (ε  ε th ) W phy   T  ε  ( u  ( u ) ) W phy  th  ε   (T  T0 ) I W phy  u  u  elD   σ  n  t  elN  (15)  , b, C ,  ,  th ,  , T0 , u tˆ tensor ứng suất, tải áp đặt lên mơ hình, tensor vật liệu, tensor biến dạng tổng, tensor biến dạng nhiệt, hệ số giãn nở nhiệt, nhiệt độ tham chiếu, chuyển vị biên Dirichlet, tải kéo biên Neumannn Phương trình dạng yếu dùng phân tích tốn trường cặp đơi nhiệt biểu diễn sau: K u    K u u  F u  K ut T K ut   u   F u          K t  T   F t  K tT  F t  (16) (12) i 1 T   RiTi  q   κ  T W phy  T  T  thD   T  κ  q n  thH n   T  κ  h (T  Ta )  th C n  55 (13) đó: K u ma trận độ cứng phần tử K u biểu diễn sau: i 1 đó: Ri hàm sở NURBS, u i , Ti chuyển vị nhiệt độ điểm điều khiển i , n số lượng điểm điều khiển 2.3 Các phương trình sử dụng phân tích tốn nhiệt Trường nhiệt độ ảnh hưởng nhiệt độ, hệ số đối lưu tải nhiệt biểu diễn sau [5] K u   Bu T Du Bu (17) Với Bu , Du ma trận gradient hàm sở ma trận số vật liệu đàn hồi (ma trận gradient ma trận số vật liệu đàn hồi mô tả rõ công thức 5.32 công thức 5.71 tài liệu [5] trang 251 trang 263) K t ma trận hệ số dẫn nhiệt phần tử K t biểu diễn sau: Science and Technology Development Journal, vol 20, no.K3- 2017 56 Kt   W BtT Dt Bt d W   N tT hN t d  (19)  kết với lời giải từ báo [3] biểu diễn hình 2.b Với Bt , Dt , N t , h ma trận gradient nhiệt hàm sở, ma trận số vật liệu nhiệt, ma trận hàm dạng hàm sở hệ số đối lưu (tương tự ma trận gradient ma trận số vật liệu đàn hồi ma trận gradient nhiệt hàm sở, ma trận số vật liệu nhiệt, ma trận hàm dạng hàm sở cũng mô tả rõ tài liệu [5]) K ut ma trận độ cứng phần tử cặp đôi nhiệt K ut biểu diễn sau: K ut    Bu T  N T (18) (a) W Với   Du (   [ x  y  z 0 0]T véctơ giãn nở nhiệt) KẾT QỦA SỐ 3.1 Bài toán nhiệt cho tấm hình vng FGM Để kiểm chứng tính xác phương pháp, tốn hình vng (a=b=0,6m, h=0,03m) làm từ vật liệu Ti–6Al–4V/ZrO2 khảo sát Tấm hình vng có quy luật phân bố vật liệu theo phương bề dày z tuân theo hàm phân bố vật liệu (1) với số mũ n=2 thông số vật liệu cho bảng Điều kiện biên toán bao gồm : điều kiện biên học tựa đơn mặt bên (SSSS) ; điều kiện biên nhiệt : chịu tác động tải nhiệt (heatflux) qh  106 W / m mặt mặt chịu tác động tải đối lưu hc  10 W / m K nhiệt độ môi trường Tc  K BẢNG THƠNG SỐ VẬT LIỆU TI-6AL-4V/ ZRO2 Thơng số Vật liệu Ti-6AL-4V ZrO2 E (Gpa )  k (W / mK ) 66,2 117 0,322 18,1 0,322 2,036  (106 / K ) 10,3 7,11 Trong mục này, mô hình hình vng FGM với thuộc tính vật liệu thay đổi theo phương z, hàm vật liệu Vc ( r ) ứng với số mũ n  khảo sát Kết chuyển vị theo phương z cho tốn sử dụng lưới IGA bậc có 12x12x1 phần tử biểu diễn hình 2.a, đồ thị so sánh (b) Hình Kết chuyển vị theo phương z (a) đồ thị so sánh chuyển vị theo phương z (b) Hình 3.a biểu diễn chuyển vị theo phương z với thông số vật liệu thay đổi theo quy luật phân bố hàm mũ có n hàm Vc ứng với n = (sứ); 0,5; 1; 5; 1010 (kim loại) Tương tự với mô hình hình học điều kiện biên nhiệt tốn trên, FGM hình vng ngàm mặt bên (CCCC) khảo sát hình 3.b biểu diễn chuyển vị theo phương z với số mũ thay đổi n = (sứ); 0,5; 1; 5; 1010 (kim loại) (a) Tạp chí Phát triển Khoa học và Cơng nghệ, tập 20, sớ K3-2017 (b) Hình ứng với hệ số mũ n khác điểm có tọa độ (x, 0.3, 0) SSSS (a) CCCC (b) 3.2 Bài toán ống trụ rỗng 3D FGM Xét tốn ống trụ rỗng 3D FGM với mơ hình hình học có bán kình ngồi ro  m , bán kính ri  0,5 m bề dày h  1m Thuộc tính vật liệu thay đổi theo phương hướng kính với quy luật hàm mũ Quy luật thay đổi thông số vật liệu mô-đun đàn hồi, hệ số giãn nở nhiệt, hệ số dẫn nhiệt hệ số Poisson E  E0 r n ,    r n , k  k0 r n Hình Tốc độ hội tụ ứng suất von-mises mơ hình lưới cho toán ống trụ rỗng 3D FGM BẢNG KẾT QUẢ ỨNG SUẤT VON-MISES TƯƠNG ỨNG VỚI TỪNG MƠ HÌNH LƯỚI TẠI ĐIỂM (0,75; 0; 0) Ứng suất Phương pháp Mật độ lưới Bậc tự von-Mises Bậc - IGA Bậc - IGA v  const với n  , E0  299, 92 GPa ,   3, 24  10 6 K k0  8, 33  10 3 W / mK v  0, 22 Điều kiện biên toán bao gồm: thành chịu tác dụng nhiệt độ Ti  500 K thành chịu tác dụng nhiệt độ To  100 K Để chọn mức lưới phù hợp cho tốn, chúng tơi tiến hành khảo sát giá trị ứng suất vonmises điểm có tọa độ x = 0,75 m, y = m z = m mức lưới có số bậc tự khác Các kết thu so sánh với lời giải xấp xỉ phần mềm COMSOL dùng mơ hình lưới có 540239 bậc tự giá trị ứng suất von-Mises  EQV (0, 75; 0; 0)  6,1683279713580448  10 Pa Hình mơ tả tốc độ hội tụ lưới IGA bậc 2, bậc 3, bậc Bảng mô tả kết ứng suất von-mises vị trí khảo sát với nhiều mơ hình lưới khác Qua kết rằng, lưới bậc cho tốc độ hội tụ tốt với số lượng bậc tự lời giải dùng lưới bậc tốt nhiều so với bậc Vì thế, hàm xấp xỉ bậc dùng để phân tích tốn nhiệt mơ hình ống trụ rỗng 3D FGM 57 Bậc - IGA 1x1x1 3x3x1 5x5x1 9x9x1 12x12x1 1x1x1 3x3x1 5x5x1 9x9x1 12x12x1 1x1x1 3x3x1 5x5x1 9x9x1 12x12x1 1081 300 588 1452 2352 256 576 1024 2304 3600 500 980 1620 3380 5780 61841232,56 61697272,37 61691220,84 61684001,83 61683544,65 61752353,39 61683919,06 61683733,55 61683386,25 61683358,49 61701831,93 61683864,14 61683477,12 61683387,61 61683334,31 Do tốn đối xứng hình học, vật liệu điều kiện biên nên khảo sát 1/4 mơ hình Hình 5.a mơ tả kết phân bố nhiệt độ toán đồ thị so sánh kết phân bố nhiệt IGA so với phần mềm thương mại COMSOL thể hình 5.b Tương tự hình 6.a thể kết ứng suất von-Mises tốn hình 6.b biễu diễn đồ thị so sánh kết ứng suất von-mises với phần mềm thương mại COMSOL (a) Science and Technology Development Journal, vol 20, no.K3- 2017 58 tính liên tục bậc cao phần tử Nhờ vào tính chất mà ta mơ hình tốn với số bậc tự thấp đạt lời giải hội tụ so với nghiệm tham khảo, thể hình Điều giúp ta giảm tài ngun tính tốn Vì thế, IGA hứa hẹn sử dụng hiệu để phân tích tốn nhiệt q độ với mơ hình vật liệu FGM nhiều mơ hình vật liệu có tính chất phức tạp khác, vốn loại tốn đòi hỏi lớn tài nguyên máy tính để lưu trữ kết thay đổi theo thời gian (b) Hình Kết phân bố nhiệt độ (a) đồ thị so sánh phân bố nhiệt độ (b) toán (a) (b) Hình Kết ứng suất von-Mises (a) đồ thị so sánh ứng suất von-Mises (b) tốn KẾT LUẬN Qua việc phân tích số tốn trên, ta nhận thấy phân tích đẳng hình học dựa vào hàm sở NURBS cơng cụ tính tốn hiệu cho việc phân tích tốn nhiệt ba chiều Phương pháp cho phép xây dựng hình học xác, đồng thời điều khiển lưới cách dễ dàng cách nâng bậc (nâng tính liên tục phần tử) cũng tăng mật độ lưới để có kết hội tụ nhanh Phân tích đẳng hình học sử dụng hàm xấp xỉ bậc cao có TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.M Afsar, J Go, "Finite element analysis of thermoelastic field in a rotating FGM circular disk", Applied Mathematical Modelling, no 34, pp 33093320, 2014 [2] S.M Hosseini, J Sladek, V Sladek, "Meshless local Petrov–Galerkin method for coupled thermoelasticity analysis of a functionally graded thick hollow cylinder", Engineering Analysis with Boundary Elements, no 35, pp 827–835, 2011 [3] A.H Akbarzadeh, M Abbasi, M.R Eslami, "Coupled thermoelasticity of functionally graded plates based on the third-order shear deformation theory", Thin-Walled Structures, no 53, pp 141-155, 2012 [4] Hughes et al., "Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, no 194, pp 4135-4195, 2005 [5] N X Hùng, “Phân Tích Đẳng Hình Học”, NXB ĐHQG-TPHCM, Vietnam, 2015, trang 251-263 [6] N Zander, S Kollmannsberger, M Ruess, Z Yosibash and E Rank, "The Finite Cell Method for linear thermoelasticity", Computers and Mathematics with Applications, no 64, p 3527–3541, 2012 Nguyễn Duy Khương tốt nghiệp cao học ngành Cơ học Kỹ thuật Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM vào năm 2010 Là cán giảng dạy trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM từ năm 2011 đến Nguyễn Mạnh Tiến sinh Tây Ninh, Việt Nam năm 1994 Tốt nghiệp đại học chuyên nghành Cơ Kỹ Thuật Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM năm 2017 Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ, tập 20, số K3-2017 Võ Trung Chiến sinh Khánh Hòa, Việt Nam năm 1994 Tốt nghiệp chuyên ngành Cơ Kỹ Thuật Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM năm 2017 Lĩnh vực quan tâm nghiên cứu tối ưu hóa phân tích đẳng hình học Nguyễn Xuân Hùng giữ chức danh Phó Giáo sư vào năm 2013, tốt nghiệp Tiến sỹ ngành Cơ học Tính tốn Đại học Liege (Bỉ), Giám đốc Trung tâm Nghiên cứu liên ngành thuộc 59 Đại học Công nghệ Tp.HCM (HUTECH) cũng thành viên Viện Khoa học phục hồi Sau đại học Đại học Y Đài Loan (Trung Quốc) đầu năm 2015 Vũ Cơng Hòa đạt chức danh Phó Giáo sư vào năm 2016, Chủ nhiệm môn Cơ Kỹ thuật, Khoa Khoa học Ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM Analyze thermo-mechanical problem by isogeometric analysis for structures used functionally graded material Nguyen Duy Khuong, Nguyen Manh Tien, Vo Trung Chien, Nguyen Xuan Hung, Vu Cong Hoa Abstract— The objective of this paper is apply isogeometric analysis (IGA) to analyze thermoelastic behavior of functionally graded material (FGM) structures IGA is built on NURBS basis functions used to model exact geometries with higher-order approached functions The FGM is a type of advanced composite material has material properties is continuous distributed variation through thickness direction The results are verified with other numerical results and results from COMSOL commercial software Index Terms— FGM, IGA ... vật liệu phân lớp chức phương trình sử dụng phân tích tốn nhiệt, kết số thể phần phần phần kết luận CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Vật liệu phân lớp chức (FGM) Vật liệu phân lớp chức (FGM) vật liệu composite... đối xứng hình học, vật liệu điều kiện biên nên khảo sát 1/4 mơ hình Hình 5.a mơ tả kết phân bố nhiệt độ toán đồ thị so sánh kết phân bố nhiệt IGA so với phần mềm thương mại COMSOL thể hình 5.b... composite cấu tạo từ hai hay nhiều lớp vật liệu mà thuộc tính vật liệu thay đổi liên tục theo kích thước cấu trúc tính chất vật liệu FGM có quy luật hàm số theo phương bề dày cấu trúc lớp vật liệu