Các phương pháp số trong tính toán kết cấu

PP PTHH là kỹ thuật tính toán sử dụng lời giải xấp xỉ của bài toán giá trị biêntrong kỹ thuật. Nói một cách đơn giản, bài toán giá trị biên là bài toán mà trong đó một hay nhiều biến phụ thuộc phải thỏa mãn một phương trình vi phân ở bất cứ đâu trong một miền xác định của các biến độc lập và phải thỏa mãn các điều kiện trên biên của miền.Các bài toán giá trị biên còn được gọi là bài toán trường. Trường là miền xác định củacác cấu trúc vật lý. Biến trường là các biến phụ thuộc cân bằng bởi các phương trình viphân. Điều kiện biên là các giá trị xác định của biến trường (hoặc các biến liên quan nhưđạo hàm của nó) trên các biên của trường. Phụ thuộc vào bài toán cụ thể, các biến trường có thể là chuyển vị, nhiệt độ, vận tốc dòng chảy, …

Chương 1 Giới thiệu các phương pháp số trong tính toán kết cấu

1 Khái niệm chung về phương pháp số giải bài toán CHKC

2 Các khái niệm về phương pháp PTHH

PP PTHH là kỹ thuật tính toán sử dụng lời giải xấp xỉ của bài toán giá trị biên trong kỹ thuật Nói một cách đơn giản, bài toán giá trị biên là bài toán mà trong đó một hay nhiều biến phụ thuộc phải thỏa mãn một phương trình vi phân ở bất cứ đâu trong một miền xác định của các biến độc lập và phải thỏa mãn các điều kiện trên biên của miền Các bài toán giá trị biên còn được gọi là bài toán trường Trường là miền xác định của các cấu trúc vật lý Biến trường là các biến phụ thuộc cân bằng bởi các phương trình vi phân Điều kiện biên là các giá trị xác định của biến trường (hoặc các biến liên quan như đạo hàm của nó) trên các biên của trường Phụ thuộc vào bài toán cụ thể, các biến trường

có thể là chuyển vị, nhiệt độ, vận tốc dòng chảy, …

2

b Phần tử tam giác xác định trong miền

c Thêm các phần tử tam giác trong miền

Các kỹ thuật và thuật ngữ cơ bản của PP PTHH được giới thiệu qua hình 1 Hình

vẽ miêu tả một khối vật liệu với các đặc tính vật lý xác định Khối vật liệu đại diện cho miền xác định của bài toán giá trị biên cần giải Để đơn giản, ở đây xem xét trường hợp bài toán hai chiều với một biến Φ(x,y) được xác định tại mỗi điểm P(x,y) bằng một phương trình (hoặc hệ phương trình) vi phân đã biết và thỏa mãn chính xác tại mọi điểm trong miền Tại các điểm P trên biên của miền, biến Φ có các giá trị xác định đã biết Trong thực tế, các miền thường có hình dạng phức tạp và lời giải giải tích đối với hệ phương trình vi phân cân bằng rất khó nhận được Do đó, lời giải xấp xỉ dựa trên các phương pháp số thường được áp dụng trong các bài toán kỹ thuật Phương pháp PTHH là một phương pháp mạnh mẽ cho kết quả xấp xỉ với độ chính xác cao

Một phần tử tam giác giới hạn một miền nhỏ có kích thước hữu hạn được gọi là PTHH Phần tử này khác với phần tử vi phân có kích thước dx, dy Tại các góc của phần

tử có các điểm nút Có 2 loại nút: Nút ngoài là nút nằm trên biên và liên kết giữa các phần tử, nút trong là nút thuộc phần tử và không liên kết các phần tử với nhau Tại vị trí nút của PTHH, giá trị của biến trường được tính toán chính xác Với các điểm khác thuộc phần tử và không phải là nút, giá trị của các biến trường được nội suy từ giá trị tại các nút Với ví dụ phần tử tam giác, các biến trường được xấp xỉ dưới dạng:

Trong đó, Φ 1 , Φ 2 , Φ 3 là các giá trị của biến trường tại các nút 1, 2, 3 của phần tử tam giác và N1, N2, N3 là các hàm nội suy hay hàm dạng của phần tử Trong phương pháp PTHH, các giá trị của biến trường tại các nút là các ẩn số Các hàm nội suy thường

có dạng đa thức và thỏa mãn các điều kiện xác định tại các nút Các điều kiện này được xác định với từng loại phần tử Các hàm nội suy được xác định trước, là hàm đã biết của các biến độc lập và làm miêu tả sự thay đổi của các biến trường trong phạm vi phần tử

Trên toàn miền, các phần tử được liên kết với nhau tại các nút và tại đó, các biến trường có chung giá trị cho tất cả các phần tử được liên kết vào Như vậy, tính liên tục của trường được đảm bảo tại các nút

3 So sánh phương pháp PTHH với lời giải chính xác

4 So sánh phương pháp PTHH với phương pháp sai phân hữu hạn

5 Quá trình phân tích bài toán kỹ thuật bằng phương pháp PTHH

Kết cấu thực

Mô hình toán

(Các phương trình cân bằng)

Lời giải PTHH Lựa chọn:

4

Chương 2

Cơ sở phương pháp PTHH

1 Các nguyên lý năng lượng sử dụng trong phương pháp PTHH

Trong PP PTHH mô hình chuyển vị, phương trình cân bằng được xây dựng từ nguyên lý công khả dĩ hoặc nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần Do PP PTHH biểu diễn dưới dạng ma trận, nên cần biểu diễn hai nguyên lý này dưới dạng ma trận

A - Năng lượng biến dạng có giá trị bằng diện tích phía dưới đường cong σ - ε

1 Độ biến thiên công ngoại lực và năng lượng biến dạng

Tr¹ng th¸i 2

1

2

dV 2

1 dV

2 Biểu thức công khả dĩ và năng lượng biến dạng khả dĩ

Chuyển vị { }δ và biến dạng q { }δε gọi là chuyển vị và biến dạng khả dĩ khi với sự thay đổi nhỏ của chúng thì { }R và { }σ không thay đổi giá trị, nên:

{ } { } { }δR = δσ = 0 (1.20)

Chú ý:

1/ Chuyển vị khả dĩ và biến dạng khả dĩ là chuyển vị và biến dạng ảo, không tồn tại trong thực tế

2/ Thoả mãn điều kiện liên tục về động học nghĩa là được các liên kết cho phép

Từ (1.18), (1.19) chú ý đến (1.20), biểu thức công khả dĩ δW và năng lượng biến dạng khả dĩ δA có dạng:

Trong các biểu thức (1.21), (1.22) yêu cầu:

* { }δε và { }δq thoả mãn điều kiện liên tục

* { }R và { }σ thoả mãn điều kiện cân bằng

6

{ } { } { } { }δ =∫ δε σ

V

T T

dV R

q (1.24)

4 Nguyên lý công khả dĩ áp dụng cho hệ đàn hồi tuyến tính

Đối với hệ đàn hồi tuyến tính, véc tơ biến dạng { }ε phụ thuộc tuyến tính với véc tơ

chuyển vị { }q :

{ }ε =[ ]D q{ } (1.25)

Do đó: { }δε =[ ]D { }δq (1.26) Trong đó, [ ]D là ma trận chuyển đổi biến dạng - chuyển vị

R (1.27) Biểu thức (1.27) biểu diễn điều kiện cân bằng theo nguyên lý công khả dĩ

1.4.2 Nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần

Thế năng toàn phần Π của hệ đàn hồi là tổng thế năng của ngoại lực V và thế

năng biến dạng A Song, thế năng của ngoại lực chính là công của ngoại lực Wlấy với

dấu ngược lại, nên: V = −W Do đó, thế năng toàn phần của hệ:

"Trong tất cả các trường chuyển vị (trạng thái chuyển vị) khả dĩ động (thoả mãn

các điều kiện tương thích và điều kiện biên động học) thì trường chuyển vị thực (tương

ứng với trạng thái cân bằng của hệ) sẽ làm cho thế năng toàn phần Π đạt giá trị dừng"

Nếu hệ ở trạng thái cân bằng ổn định thì thế năng toàn phần có giá trị cực tiểu

j 0

j j

q q

Chương 3 Phương pháp PTHH tính toán tĩnh kết cấu hệ

thanh

3.2 Kết cấu khung

I Giới thiệu

II Phần tử thanh

1 Hệ khung phẳng và Phần tử thanh phẳng

L – Chiều dài phần tử

I – Mô men quán tính tiết diện

E – Mô đun đàn hồi của vật liệu

– độ võng (hay chuyển vị theo phương vuông góc với trục thanh)

– góc xoay của tiết diện – Véc tơ chuyển vị nút;

2 Hệ khung không gian và Phần tử thanh không gian

3 Các ma trận PTHH của phần tử thanh

b Phương pháp hình thức

Phương trình đường độ võng (đường đàn hồi) của thanh chịu uốn:

(1) Ứng suất trên tiết diện

Ma trận độ cứng:

(3) Các hàm dạng:

;

(4)

Độ võng của dầm tại tọa độ x:

Nếu kể đến các thành phần chuyển vị dọc trục:

(7)

3.2 Phần tử thanh không gian

(8)

4 Chuyển đổi giữa các hệ tọa độ

(9) 4.1 Thanh phẳng

(10)

(11)

4.2 Thanh không gian

(12)

(13)

(14)

(15)

Véc tơ đơn vị của x

(16)

III Véc tơ lực quy nút tương đương

x x

p(x) Q 1

e

Q 1 M1

IV Các dạng phần tử thanh có liên kết đặc biệt ở đầu

1 Các loại liên kết đầu phần tử thanh

V Ví dụ tính toán

Ví dụ 1:

Ví dụ 2:

Chương 4 Phương pháp PTHH giải bài toán

phẳng

1 Giới thiệu

Bài toán biến dạng phẳng Các thành phần ứng suất:

xx yy xy

σ σ σ

xx yy xy

ε ε ε

Phần tử hữu hạn bài toán phẳng:

1 Xây dựng ma trận hàm dạng (hàm nội suy) N

2 Xác định ma trận chuyển vị - biến dạng B từ N

3 Tính các ma trận phần tử Ke, fe từ B và N

2 Phần tử tam giác tuyến tính

Lưới phần tử tam giác

Phần tử tam giác tuyến tính

2.1 Hàm nội suy chuyển vị

de – Véc tơ chuyển vị nút

1 1 2 2 3 3

e

u v u v u v

1 1

2 2

3 3

1 1 1

2 3 1

3 2 1

2 2 2

x y x y a

A

y y b

A

x x c

N x y x y y y x x x y

A

y y x x x x y y A

Tương tự như vậy, nhận được các hàm dạng còn lại

N x y x y y y x x x y

A

y y x x x x y y A

N x y x y y y x x x y

A

y y x x x x y y A

2.3 Ma trận liên hệ biến dạng – chuyển vị

Thay biểu thức (7) vào (10) ta nhận được:

1 1 2 2 3 3 4 4

e

u v u v u v u v

4 1

4 1

khi i j

≠

3.3 Ma trận liên hệ biến dạng – chuyển vị

0 0

Chương 5

PHƯƠNG PHÁP PTHH GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC

KẾT CẤU

5.1 Phương trình động lực học kết cấu:

Phương trình cân bằng tĩnh của kết cấu theo PP PTHH có dạng:

trong đó: [ ]K - Ma trận độ cứng của kết cấu; { }q - Véc tơ chuyển vị nút của kết cấu; { }P -

Véc tơ lực nút qui đổi

Theo nguyên lý D'alembert, tại thời điểm bất kỳ t, bài toán động được xét như bài

toán tĩnh khi bổ xung lực quán tính và lực cản vào phương trình cân bằng tĩnh

Khi xét trong hệ toạ độ chung, lực quán tính bằng:

Với:{ }P qt - Véc tơ lực quán tính của khối lượng; [ ]M - Ma trận khối lượng của hệ; { }q -

Véc tơ gia tốc chuyển vị nút

Tương tự, lực cản nhớt bằng:

Với:{ }P - Véc tơ lực cản nhớt; c [ ]C - Ma trận cản; { }q - Véc tơ vận tốc chuyển vị nút

Theo nguyên lý D'alembert, thay (2), (3) vào (1), nhận được phương trình cân bằng động

của kết cấu có dạng:

[ ]M { }q +[ ]C q{ } +[ ]K { } { }q = P (4) Trong phương trình (4) các ma trận [ ]M , [ ]C có cùng kích thước n×n như ma trận [ ]K

Véc tơ { }P là véc tơ lực nút qui đổi của hệ do tải trọng động tác dụng trong phần tử, có

kích thước n×1 (n là số chuyển vị nút của kết cấu trong hệ toạ độ chung)

Nếu bỏ qua lực cản, ta có phương trình dao động cưỡng bức không cản của kết cấu:

5.2 Ma trận khối lượng tương thích và ma trận khối lượng tập trung:

Ma trận khối lượng tương thích là:

e

T e

V

trong đó: [ ]N là ma trận các hàm dạng chuyển vị phần tử

⇒ Mô hình xấp xỉ của chuyển vị được sử dụng để tính [ ]M e

Ví dụ: Với phần tử thanh dàn chỉ có các thành phần chuyển vị dọc trục thì:

l

T e

Để đơn giản, có thể sử dụng ma trận khối lượng bằng cách đặt các khối lượng tập

trung tại các điểm nút và xem phần còn lại không tham gia vào chuyển động ⇒ Đó là ma

trận khối lượng tập trung và là ma trận đường chéo

5.3 Ma trận khối lượng tương thích trong hệ tọa độ tổng thể:

Trong hệ tọa độ địa phương xyz , có [ ] ,{ } { },

e e e

311

l l

M Fl

l l

5.3.3 Ma trận khối lượng của phần tử thanh phẳng:

Với thanh phẳng, các bậc tự do của phần tử là:

{ } 1 1 2 2

T e

210 105

13

5.3.4 Ma trận khối lượng tương thích của phần tử dạng tam giác và chữ nhật

trong bài toán phẳng:

Với phần tử dạng tam giác, như đã biết ở chương 4, trong bài toán phẳng, các phần

tử dạng tam giác có 6 bậc tự do là các chuyển vị nút

{ } { 1 1 2 2 3 3}

T e

trong đó các hàm dạng N x y đã được trình bày trong chương 4 i( ),

Vậy có thể tính ma trận khối lượng tương thích của phần tử này như sau:

[ ]

22

V

e

M N N dV

At M

Cũng làm tương tự với phần tử dạng chữ nhật của bài toán phẳng, có 8 bậc tự do các

chuyển vị nút theo các phương x , y

[ ]

8 8

44

ở đây: A là diện tích phần tử chữ nhật, t là bề dày phần tử

Chú ý là các công thức (20) và (23) cũng là ma trận khối lượng theo tọa độ tổng thể x’, y’

5.4 Dao động tự do – Bài toán trị riêng xác định tần số dao động tự do:

Phương trình dao động tự do có cản:

[ ]M { }q +[ ]C q{ } +[ ]K { } { }q = 0 (24) Nếu xem lực cản bằng không, kết cấu sẽ dao động liên tục với biên độ phụ thuộc vào

chuyển vị hay độ lệch ban đầu gây ra bởi lực kích thích

[ ]M { }q +[ ]K { } { }q = 0 (25) Nếu xem các dao động là điều hòa với tần số góc ω :

Phương trình (27) được gọi là bài toán trị riêng Nó là phương trình tuyến tính thuần

nhất và sẽ có nghiệm không tầm thường (khác không) đối với { }q khi và chỉ khi định thức

của ma trận hệ số là bằng không; tức:

Điều kiện (28) cho ta 1 phương trình đại số bậc N đối với ω2

Giải ra → được N nghiệm thực dương, tức N giá trị của ω2

Tương ứng với mỗi tần số riêng ωi ta có thể tìm được 1 vectơ riêng { }q tương ứng i

Chu ý: vì (27) là hệ phương trình thuần nhất nên ta chỉ có thể tìm thấy độ lớn tương đối

của các thành phần { }q ⇒ cho ta dạng dao động tương đối của các nút i → Vì vậy, { }q i

còn được gọi là dạng dao động (mode shape) của kết cấu tương ứng với tần số dao động

riêng thứ i

Thí dụ: Tìm tần số riêng và các dạng dao động tương ứng của một thanh biến dạng dọc

trục như hình vẽ:

L 2

24

L E

u3

u =01

1 0,5775

2 2

2

βωα

ξ

ω

βωα

5.6 Dao động cưỡng bức – Phương pháp chồng mode

Phương trình cân bằng động theo PP PTHH có dạng tổng quát:

[ ]M { }q( )t +[ ]C q{ }( )t +[ ]K { } { }q( )t = R( )t (31)

Khi giải hệ phương trình (3.4) bằng phương pháp phân tích theo các dạng dao động riêng,

chuyển vị nút { }q( )t được biểu diễn dưới dạng:

Trong đó, { }X( )t - Véc tơ phụ thuộc thời gian có kích thước nx1 - gọi là chuyển vị khái

quát; [ ]φ - Ma trận vuông kích thước nxn

5.6.1 Xác định ma trận [ ]φ

Ma trận [ ]φ được chọn là ma trận mà các cột của nó là các véc tơ riêng { }ϕk Ma trận [ ]φ

có dạng:

[ ]φ = ⎡⎣{ } { } { } { }ϕ1 ϕ2 ϕk ϕn ⎤⎦ (33) Với { }ϕk là véc tơ riêng thứ k đã chuẩn hoá tương ứng với tần số dao động riêng ωk (k=1,

2, n) Véc tơ riêng chuẩn hoá được xác định bằng công thức:

2 2

5.6.2 Phương trình xác định chuyển vị khái quát { }X( )t

Thay (32) vào (31) và nhân trái với [ ]T

X M q

X M q

φφ

k t k k t k t

X +ω X =r ; Với k =1 n (46) Trong đó: ( ) { } { }( )

Với quan hệ (50), phương trình (42) phân ly thành n phương trình vi phân độc lập dạng:

2 ( ) 2 ( ) ( ) ( )

k t k k k t k k t k t

X + ω ξ X +ω X =r Với k = 1, 2, n (51) Phương trình (51) có dạng như phương trình dao động của hệ một bậc tự do có xét lực cản với khối lượng bằng đơn vị

5.7 Dao động cưỡng bức – Phương pháp tích phân trực tiếp

Khi tích phân trực tiếp phương trình (31) trong khoảng thời gian từ 0 đến t*, chia khoảng

thời gian làm N khoảng Δt bằng nhau:

*

t t N

Δ = (52)

và tính tích phân theo từng bước với khoảng thời gian Δt Giả sử biết điều kiện ban đầu tại

thời điểm t = 0:

{ } { }q = q0 ; { } { }q = q và 0 { } { }q = q (53) 0thì sau từng bước tích phân sẽ lần lượt nhận được nghiệm của (31) tại các thời điểm

*

0, ,2 ,Δ Δt t t t+ Δ + Δt t, 2 , t t Độ ổn định nghiệm của các phương pháp tích phân trực tiếp

phụ thuộc vào độ lớn của khoảng thời gian tΔ

Phương pháp tích phân trực tiếp không những hiệu quả cho các bài toán tuyến tính mà rất

hiệu quả cho cả bài toán phi tuyến

5.7.1 Phương pháp sai phân trung tâm

Gia tốc và vận tốc tại thời điểm t được biểu diễn bằng các biểu thức sai phân:

Như vậy, chuyển vị nút { }q t+Δt được tính từ điều kiện cân bằng tại thời điểm t Phương

pháp tích phân trực tiếp này gọi là phương pháp tích phân tường minh Mặt khác,

{ }q t+Δt được tính từ { }q và t { }q t−Δt Bởi vậy để tính chuyển vị tại thời điểm tΔ , cần xác

định { }q tại thời điểm −Δ so với thời điểm ban đầu t t = Từ (54) và (55): 0

A Các phép tính ban đầu

1 Xác định ma trận độ cứng [ ]K , ma trận khối lượng [ ]M , ma trận cản [ ]C và véc tơ

tải qui nút của hệ đã xét đến điều kiện biên

2 Xác định các điều kiện ban đầu { }q , 0 { }q và 0 { }q Nếu điều kiện ban đầu cho dưới 0

dạng chuyển vị và vận tốc ban đầu { }q , 0 { }q thì gia tốc ban đầu được xác định từ 0

Với { }R là véc tơ lực nút qui đổi tại thời điểm o t = 0

3 Chọn số gia khoảng thời gian Δt của một bước tích phân và tính các hằng số tích

B Đối với từng bước tích phân

1 Xác định véc tơ tải ảnh hưởng qui nút tại thời điểm t

bước thời gian tΔ cần phải thoả mãn:

5.7.2 Phương pháp Newmark (1959)

Phương pháp Newmark là phương pháp phát triển của phương pháp gia tốc tuyến tính,

nghĩa là sự thay đổi gia tốc tại thời điểm t đến t + Δ là tuyến tính Sử dụng các giả thiết t

δ = tương ứng với phương pháp gia tốc trung bình không đổi Giả sử

biết nghiệm tại thời điểm t, phương trình cân bằng động tại thời điểm t + Δ có dạng: t

[ ]M { }qt+Δt +[ ]C q{ }t+Δt +[ ]K { } {q t+Δt = R t+Δt} (70) Thuật toán tích phân theo từng bước thời gian bằng phương pháp Newmark như sau:

A Các phép tính ban đầu

1 Xác định ma trận độ cứng [ ]K , ma trận khối lượng [ ]M , ma trận cản [ ]C và véc tơ

lực nút qui đổi { }R của hệ t

2 Xác định giá trị ban đầu { }q , 0 { }q và 0 { }q 0

3 Chọn bước thời gian tΔ và các tham số 1