Mô hình xích markov và ứng dụng trong thuật toán xếp hạng (LV02073)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THANH BÌNH MÔ HÌNH XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG THUẬT TOÁN XẾP HẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học TS Hà Bình Minh HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hà Bình Minh, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng sau Đại học, thầy, cô giáo dạy Cao học chuyên ngành Toán ứng dụng, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2016 TÁC GIẢ Lê Thanh Bình LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn "Mô hình xích Markov ứng dụng thuật toán xếp hạng" hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Hà Bình Minh Các số liệu, kết luận nghiên cứu trình bày luận văn trung thực, kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 10 năm 2016 TÁC GIẢ Lê Thanh Bình Mục lục Mở đầu Chương Mô hình xích Markov rời rạc 1.1 Xích Markov ma trận chuyển 1.1.1 Định nghĩa xích Markov ma trận chuyển 1.1.2 Phân phối xác suất xích Markov 1.2 Xích Markov quy 11 1.2.1 Định nghĩa xích Markov quy 12 1.2.2 Vector trạng thái dừng xích Markov quy 15 1.2.3 Các toán áp dụng có chứa xích Markov 19 Chương Áp dụng mô hình xích Markov cho thuật toán xếp hạng PageRank 25 2.1 Mô hệ thống trang web đơn giản dạng đồ thị 25 2.1.1 Đồ thị có hướng 25 2.1.2 Mô tả hệ thống trang web đơn giản dạng đồ thị 26 2.1.3 Ma trận biểu diễn đồ thị có hướng 26 2.1.4 Mô hình xích Markov cho đồ thị có hướng 27 2.1.5 Hạn chế ma trận chuyển xích Markov 28 2.2 Thuật toán PageRank dựa xích Markov 30 2.2.1 Ma trận Google 30 2.2.2 Tính toán phân phối dừng ma trận Google xếp hạng trang web 31 Chương Áp dụng với ví dụ thực tế 34 3.1 Đặt toán 34 3.2 Mô dạng đồ thị Mô hình hóa xích Markov 38 3.3 Tính toán ma trận chuyển, trạng thái dừng xếp hạng chuyên đề phần mềm Matlab 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Thuật toán xếp hạng tiếng PageRank Google phát triển tảng toán học mô hình xích Markov Gần đây, ý tưởng thuật toán PageRank ứng dụng việc xếp hạng tạp chí khoa học, dẫn đến đời số Eigen-Factor, bên cạnh số thông dụng khác Impact-Factor, H-Index, Việc hiểu rõ ý tưởng, sở toán học thuật toán xếp hạng mục tiêu luận văn Cấu trúc luận văn: Luận văn chia làm 03 chương, chương luận văn dành để giới thiệu mô hình xích Markov rời rạc với khái niệm liên quan Chương trình bày chi tiết việc áp dụng mô hình xích Markov cho thuật toán xếp hạng PageRank Chương trình bày áp dụng vào toán Sắp xếp chuyên đề toán chương trình toán bậc trung học sở Việt Nam Mục đích nghiên cứu Sử dụng mô hình xích Markov thuật toán xếp hạng Nhiệm vụ nghiên cứu Sử dụng mô hình xích Markov thuật toán xếp hạng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Mô hình xích Markov ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Sử dụng mô hình xác suất rời rạc, ngôn ngữ lập trình MATLAB, Đóng góp luận văn Luận văn trình bày cách hệ thống, chi tiết mô hình xích Markov rời rạc áp dụng mô hình vào thuật toán xếp hạng trang web Google Luận văn trình bày số ví dụ cụ thể mặt lập trình, thực thuật toán Luận văn tài liệu tham khảo tốt cho quan tâm tới mô hình xích Markov thuật toán xếp hạng trang web Google Chương Mô hình xích Markov rời rạc Trong chương này, trình bày khái niệm kết quả, ví dụ mô hình xích Markov Nội dung chương viết dựa chương 10 tài liệu tham khảo [5] 1.1 Xích Markov ma trận chuyển 1.1.1 Định nghĩa xích Markov ma trận chuyển Để đưa định nghĩa mô hình xích Markov, trước tiên ta xét mô hình sau Trong hình 1.1 gồm bốn phòng, phòng có màu khác đánh số theo thứ tự 1, 2, 3, Ta thả chuột vào phòng quan sát Vì hành vi chuột dự đoán được, ta dùng xác suất để mô tả chuyển động chuột Ta coi Hình 1.1: phòng trạng thái, trạng thái thứ i, (i = 1, 2, 3, 4) tương ứng với chuột phòng thứ i, (i = 1, 2, 3, 4) kí hiệu pij xác suất di chuyển từ trạng thái i tới trạng thái j khoảng quan sát Chẳng hạn, xác suất p12 mà chuột di chuyển từ trạng thái tới trạng thái p12 = 21 , xác suất di chuyển từ trạng thái tới trạng thái phải p13 = 41 Ta có p14 = đường trực tiếp từ phòng tới Khi p11 = 41 xác suất mà chuột lại phòng khoảng quan sát Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi ma trận  p11  p21 P = p  31 p41 p12 p22 p32 p42 p13 p23 p33 p43  p14  p24   p34   p44 ma trận chuyển phép thử nghiệm Trong ví dụ trên, với trạng thái P ma trận kích thước × Ta có cách điền giá trị xác suất, ma trận P là:   1  41 22    6 P = 1 1 3 3 1 4 Ta biểu diễn phần tử P cách sử dụng sơ đồ Ở hình 1.2 đây, phần tử P xác suất có điều kiện biểu diễn xác suất mà chuột tới phòng cho trước mà ta biết chuột Đây ý tưởng cốt yếu di chuyển từ trạng thái tới trạng thái khác với xác suất tạo thành sở xích Markov Định nghĩa 1.1.2 (Xích Markov) Một xích Markov dãy phép thử nghiệm mà kết phép thử nghiệm số trạng thái ta đánh số 1, 2, , m Xác suất trạng thái riêng phụ thuộc vào trạng thái trước chiếm giữ Nếu pij xác suất di chuyển từ trạng thái i tới trạng thái j, ma trận chuyển P = [pij ] xích Markov ma trận kích thước: m × m   p11 p12 p1m    p21 p22 p2m   P =     pm1 pm2 pmm Hình 1.2: Lưu ý rằng, ma trận chuyển P ma trận vuông với phần tử xác suất, giá trị phần tử pij (1 ≤ i, j ≤ m) Hơn nữa, tổng phần tử dòng Ma trận chuyển xích Markov chứa thông tin cần thiết cho phép ta dự đoán điều xảy ta biết điều xảy trước Như vậy, để biết điều ta cần đặc biệt hóa tình lúc bắt đầu phép thử nghiệm Nghĩa ta cần phải có giá trị xác suất ban đầu lúc bắt đầu phép thử nghiệm Chẳng hạn, ta cần phải đặc biệt hóa phòng mà chuột lúc bắt đầu phép thử dòng vector sử dụng để biểu diễn mục đích Định nghĩa 1.1.3 (Phân phối xác suất ban đầu) Trong xích Markov với m trạng thái, phân phối xác suất ban đầu × m dòng vector v (0) , có phần tử thứ i xác suất phép thử trạng thái i lúc bắt đầu Chẳng hạn, chuột có khả đặt phòng lúc bắt đầu, ta có v (0) = [ 14 41 14 14 ] Nếu chuột luôn vị trí ban đầu phòng số 1, ta có v (0) = [1 0 0] 1.1.2 Phân phối xác suất xích Markov Trong mục ta trình bày cách tìm phân phối xác suất xích Markov Ta minh họa qua ví dụ sau: Ví dụ 1.1.1 Trong hình 1.1, giả sử ta điền xác suất chuyển từ phòng tới phòng 1, 2, 3, là: 1 { 0} 3 Ở đây, chuột bắt đầu phòng 1, xác suất 13 lần lại phòng thời gian khoảng quan sát, 13 xác suất vào phòng 2, xác suất vào phòng Vì chuột tới phòng trực tiếp từ phòng 1, xác suất Tương tự, xác suất chuyển từ phòng 2, phòng phòng tương ứng sau: 1 { }; 3 1 { }; 3 1 } {0 3 Ta tìm: Ma trận chuyển P ; Nếu vị trí ban đầu chuột phòng 4, tìm phân phối xác suất ban đầu; Phân phối xác suất sau hai lần quan sát, giả thiết vị trí ban đầu chuột phòng 4? Lời giải: Ma trận chuyển P  1  3 1 3 3  0 1 3 ; 1  3 3  sử dụng giá trị p = 0.85 cho ma trận Google Trong mô hình trang web, từ (2.2.1) ma trận Google tính sau   0 0 0   1/2 0 1/2 0     1/3 1/3 1/3      G = 0.85 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7     1/2 0 1/2     1/3 1/3 1/3  1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7   1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7   1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7   1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7     +0.15 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7   1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7     1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7   021429 021429 84429 142857 021429 021429 021429   .446429 021429 304762 142857 446429 021429 021429   .021429 304672 021429 304672 021429 304762 021429     = .142857 142857 142857 142857 142857 142857 142857   .021429 446429 021429 021429 021429 446429 021429     .021429 021429 304762 021429 304762 021429 304762 142857 142857 142857 142857 142857 142857 142857 Tiếp theo, ta tính toán trạng thái dừng v∞ cho ma trận G cách dựa vào công thức sau đây: v∞ = 1(I − G + Q)−1 32 (2.2.2)    1      1  , I =  = 1 , Q =        1 Áp dụng công thức (2.2.2) với ma trận G trên, ta thu được: 0       v∞ = 116293 168567 191263 098844 164054 168567 092413 Ta tới định nghĩa sau hạng trang web: Định nghĩa 2.2.1 Hạng trang web i thứ hạng tần i suất v∞ vectơ v∞ Như vậy, theo định nghĩa thứ hạng trang web, trang web quan trọng theo thuật toán PageRank trang ứng với giá trị lớn vector v∞ Như vậy, ta xếp hạng trang web theo thứ tự 3, 6, 5, 1, 33 Chương Áp dụng với ví dụ thực tế 3.1 Đặt toán Trong mục xét toán Xếp hạng chuyên đề tập chương trình toán Trung học sở (THCS) sau: Giả sử chương trình toán bậc THCS Việt Nam chia thành 100 chuyên đề tập theo bảng STT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tên Chuyên đề Tập hợp; Các tập hợp số: Tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, số thực, Các phép tính (cộng, trừ, nhân chia, ) tập hợp số tính chất; Lũy thừa, phép tính lũy thừa; Thứ tự thực phép tính; Quy tắc phá dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế; Các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 8, 9, Ước bội; Số nguyên tố, hợp số; Số phương; Phân số; Giá trị tuyệt đối; Tỉ lệ thức, tính chất tỉ lệ thức; Dãy tỉ số nhau, tính chất dãy tỉ số nhau; Số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn (không tuần hoàn); Đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch; Hàm số đồ thị (mức độ đơn giản); Thống kê; Đơn thức, phép tính đơn thức; Đa thức, phép tính đa thức; 34 STT 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Tên Chuyên Đề Nghiệm đơn thức, đa thức biến; Những đẳng thức đáng nhớ; Phân tích đa thức thành nhân tử; Phân thức đại số, phép toán phân thức đại số; Biến đổi biểu thức hữu tỉ; Rút gọn phân thức; Phương trình bậc nhất; Phương trình tích; Phương trình chứa ẩn mẫu; Phương trình nghiệm nguyên; Phương trình hàm; Giải toán cách lập phương trình; Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; Phương trình vô tỉ; Phương trình bậc cao; Bất phương trình; Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; Căn bậc 2; phép biến đổi thức; Biến đổi biểu thức vô tỉ (chứa bậc hai); Hàm số bậc nhất, đồ hàm số bậc nhất; Hệ phương trình bậc ẩn cách giải; Hệ phương trình bậc ẩn cách giải; Giải toán cách lập hệ phương trình; Phương trình bậc cách giải; Hệ thức Vi-et ứng dụng; Bất đẳng thức; Các toán tìm GTLN, GTNN biểu thức; Các phép toán chia hết số nguyên; Hoán vị; Sơ đồ Horno (phép chia đa thức); 35 STT 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Tên Chuyên đề Đoạn thẳng, đường thẳng; Ba điểm thẳng hàng, trung điểm đoạn thẳng; Góc, tia phân giác góc; Hai đường thẳng vuông góc, song song; Quan hệ vuông góc, song song, tiên đề Ơ-Clit đường thẳng song song; Hai tam giác nhau; Các trường hợp hai tam giác; Các trường hợp hai tam giác vuông; Tam giác vuông, định lý Py-ta-go; Tam giác cân, tam giác đều; Diện tích; Công thức tính diện tích số hình đơn giản: Tam giác, HCN, HV, Quan hệ cạnh, góc tam giác; BĐT tam giác; Tính chất đường trung tuyến tam giác; Tính chất đường phân giác tam giác; Tính chất đường cao tam giác; Tính chất đường trung trực tam giác; Hình thang, hình thang cân; Đường trung bình hình thang, tam giác; Hình bình hành: Tính chất, dấu hiệu nhận biết, ; Hình thoi: Tính chất, dấu hiệu nhận biết, ; Hình chữ nhật: Tính chất, dấu hiệu nhận biết, ; Hình vuông: Tính chất, dấu hiệu nhận biết, ; Định lý Talet; Tam giác đồng dạng; Các trường hợp đồng dạng hai tam giác; Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông; Hình hộp chữ nhật; Hình lăng trụ; Hình chóp, hình chóp cụt, hình chóp đều; 36 STT 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Tên Chuyên Đề Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông; Tỉ số lượng giác góc nhọn; Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuông; Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác góc nhọn; Đường tròn: Định nghĩa, tính chất bản; Đường kính dây đường tròn; Vị trí tương đối đường tròn; Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây; Quan hệ góc dây cung; Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn; Góc nội tiếp; Cung chứa góc; Góc có đỉnh bên trong, bên đường tròn; Tứ giác nội tiếp đường tròn; Đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp; Tiếp tuyến đường tròn; Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau; Độ dài đường tròn, cung tròn; Hình trụ, hình nón, hình cầu; Diện tích xung quanh, thể tích hình trụ, hình nón, hình cầu; Bảng 3.1: Bảng Chuyên đề tập toán THCS Việt Nam 37 3.2 Mô dạng đồ thị Mô hình hóa xích Markov Để xếp hạng chuyên đề, ta áp dụng thuật toán PageRank trình bày chương Ở đây, hệ thống chuyên đề tập mô hình hóa đồ thị có hướng, đỉnh chuyên đề tập, mũi tên (ứng với cạnh) từ chuyên đề j tới chuyên đề i chuyên đề có liên hệ với Với 100 Chuyên đề cho Bảng (3.1) trên, ta giả sử có Đồ thị (của 15 Chuyên đề đầu) sau: Hình 3.1: Đồ thị 15 Chuyên Đề tập toán THCS Theo thuật toán PageRank, tầm quan trọng chuyên đề hiểu sau: "Tầm quan trọng chuyên đề đo kích thước tương đối 38 thành phần tương ứng vector trạng thái dừng q cho xích Markov chọn cách phù hợp." Ta thấy rằng, với người làm tập toán chuyên đề, họ bắt đầu tập thuộc chuyên đề đó, người di chuyển từ chuyên đề tới chuyên đề khác ngẫu nhiên Vì việc chọn chuyên đề ngẫu nhiên nên dẫn tới chuyên đề liên hệ với chuyên đề khác Do việc người làm tập lựa chọn chuyên đề coi xích Markov 3.3 Tính toán ma trận chuyển, trạng thái dừng xếp hạng chuyên đề phần mềm Matlab Dựa vào bảng 3.1 ta tính ma trận biểu diễn đồ thị chuyên đề toán xếp hạng chuyên đề là: Hình 3.2: Ma trận biểu diễn đồ thị chuyên đề tập toán THCS Để tìm trạng thái dừng a = (a1 , a2 , , a100 ) ta áp dụng công thức: a = (I − G + Q)−1 39 = (1, 1, , 1)t I ma trận đơn vị cấp 100, Q = [1]100×100 ma trận vuông cỡ 100 × 100 có tất phần tử Ta chạy đoạn code sau phần mềm Matlab: clear clc A=xlsread(’matranchuyen.xls’, 1, ’C3:CX102’); A(isnan(A)) = 0; n=size(A,1); D=sum(A,2); D=diag(1./D); P=D*A; %Xu ly cac nut Darling, tuc tim Pstar tu P Pstar=P; for i=1:n if P(i,i)==1 for j=1:n Pstar(i,j)=1/n; end end end p=0.85; K=ones(n)./n; G=p*Pstar+(1-p)*K;%Tim ma tran Google matrix1=ones(1,n); I=eye(n); Q=ones(n); vinf=matrix1/(I-G+Q);%vinf=matrix1*(I-G+Q)^{-1} xlswrite(’vinf.xls’, vinf);%Ghi du lieu file vinf.xls 40 Ta thu trạng thái dừng ma trận G a = (a1 , a2 , , a100 ) : a1 = 0.030860827 a4 = 0.021832491 a7 = 0.015494826 a10 = 0.013705984 a13 = 0.005800773 a2 = 0.028296884 a5 = 0.02636117 a8 = 0.012609652 a11 = 0.014731892 a14 = 0.004455174 a3 = 0.038549000 a6 = 0.030264486 a9 = 0.018491812 a12 = 0.022814807 a15 = 0.009993797 a16 = 0.003865517 a19 = 0.012882629 a22 = 0.023049985 a25 = 0.011640084 a28 = 0.01633141 a17 a20 a23 a26 a29 a18 a21 a24 a27 a30 a31 a34 a37 a40 a43 = 0.012837794 = 0.013050851 = 0.013342948 = 0.009726534 = 0.020867602 a32 = 0.024503909 a35 = 0.012800563 a38 = 0.013580465 a41 = 0.0123331 a44 = 0.012102175 a33 = 0.015979369 a36 = 0.014094322 a39 = 0.01433111 a42 = 0.013525539 a45 = 0.007571697 a46 = 0.010977126 a49 = 0.004840473 a52 = 0.003529128 a55 = 0.00451498 a58 = 0.004229177 a47 = 0.023379965 a50 = 0.003313183 a53 = 0.005259712 a56 = 0.00449298 a59 = 0.006680989 a48 = 0.0105098 a51 = 0.007267486 a54 = 0.004905842 a57 = 0.004325533 a60 = 0.004596884 a61 a64 a67 a70 a73 a62 = 0.003675113 a65 = 0.004538723 a68 = 0.003091106 a71 = 0.003783624 a74 = 0.00347617 a62 = 0.00473702 a66 = 0.004619478 a69 = 0.003591321 a72 = 0.004763779 a75 = 0.004257751 = 0.003427071 = 0.004031101 = 0.004619478 = 0.003321527 = 0.004628262 = 0.013066011 = 0.015367055 = 0.016915702 = 0.010669241 = 0.016675956 41 = 0.003478552 = 0.021167104 = 0.009929711 = 0.032304371 = 0.018703909 a76 = 0.004615935 a79 = 0.002695793 a82 = 0.003020173 a85 = 0.00883734 a88 = 0.004555535 a77 a80 a83 a86 a89 = 0.004973995 = 0.003169199 = 0.004223217 = 0.003779464 = 0.003921481 a78 a81 a84 a87 a90 = 0.003242604 = 0.003856452 = 0.002816169 = 0.004128702 = 0.004612052 a91 = 0.004794334 a92 = 0.004657174 a93 = 0.00464142 a94 = 0.004691103 a95 = 0.004883045 a96 = 0.004881715 a97 = 0.004735675 a98 = 0.004547065 a99 = 0.002761444 a100 = 0.002615339 Như vậy, dựa vào kết tính toán ta thấy giá trị a3 = 0.038549000 lớn hay chuyên đề (các phép tính (cộng, trừ, nhân chia, ) tập hợp số tính chất) quan trọng Giá trị a100 = 0.002615339 nhỏ nhất, hay chuyên đề 100 (hình chóp, hình chóp cụt, hình chóp đều) quan trọng Bảng 3.2 bảng 15 chuyên đề quan trọng bảng 3.3 15 chuyên đề quan trọng 42 STT Tên chuyên đề Giá trị Các phép tính (cộng, trừ, nhân chia, ) tập hợp số tính chất a3 = 0.038549000 Phương trình bậc a27 = 0.038549000 Tập hợp a1 = 0.030860827 Quy tắc phá dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế a6 = 0.030264486 Các tập hợp số: Tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, số thực, a2 = 0.028296884 Thứ tự thực phép tính a5 = 0.02636117 Giải toán cách lập phương trình a32 = 0.024503909 Các toán tìm GTLN, GTNN biểu thức a47 = 0.023379965 Những đẳng thức đáng nhớ a22 = 0.023049985 10 Giá trị tuyệt đối a12 = 0.022814807 11 Lũy thừa, phép tính lũy thừa a4 = 0.021832491 12 Nghiệm đơn thức, đa thức biến a21 = 0.021167104 13 Giải toán cách lập hệ phương trình a43 = 0.020867602 14 Phương trình nghiệm nguyên a30 = 0.018703909 15 Số nguyên tố, hợp số a9 = 0.018491812 Bảng 3.2: 15 chuyên đề quan trọng 43 STT Tên chuyên đề Giá trị Đường trung bình hình thang, tam giác a69 = 0, 003591321 Ba điểm thẳng hàng, trung điểm đoạn thẳng a52 = 0, 003529128 Thống kê a18 = 0, 003478552 Định lý Talet a74 = 0, 00347617 Diện tích a61 = 0, 003427071 Hình bình hành: Tính chất, dấu hiệu nhận biết, a70 = 0, 003321527 Sơ đồ Horno (phép chia đa thức) a50 = 0, 003313183 Hình hộp chữ nhật a78 = 0, 003242604 Hình chóp, hình chóp cụt, hình chóp a80 = 0, 003169199 10 Hình thang, hình thang cân a68 = 0, 003091106 11 Tỉ số lượng giác góc nhọn a82 = 0, 003020173 12 Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác góc nhọn a84 = 0, 002816169 13 Hình trụ, hình nón, hình cầu a99 = 0, 002761444 14 Hình lăng trụ a79 = 0, 002695793 15 Diện tích xung quanh, thể tích hình trụ, hình nón, hình cầu a100 = 0, 002615339 Bảng 3.3: 15 chuyên đề quan trọng 44 III KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Trình bày chi tiết mô hình xích Markov rời rạc với khái niệm liên quan ma trận chuyển, vector trạng thái dừng, cách tìm vector trạng thái dừng vài ví dụ thực tế; Trình bày chi tiết việc áp dụng mô hình xích Markov cho thuật toán xếp hạng PageRank, tính toán ma trận chuyển tìm vector trạng thái dừng qua ví dụ cụ thể; Áp dụng lập trình phần mềm Matlab qua ví dụ, toán xếp hạng chuyên đề toán THCS Việt Nam bao gồm phần đại số hình học với số chuyên đề nhiều Trong thời gian tới, tiếp tục quan tâm tới toán xếp hạng chuyên đề xét riêng chuyên đề đại số hình học toán độc lập Do lực nghiên cứu trình độ thân hạn chế nên luận văn tìm hiểu, xếp trình bày kết theo mục đích luận văn đề Luận văn chắn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong góp ý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chân thành cảm ơn! 45 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Nguyễn Thái Sơn, (2010) LATEX - Sắp chữ - Vẽ hình & Đại số máy tính, NXB Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh [B] Tiếng Anh [2] Olle Haggstrom (2002), Finite Markov Chains and Algorithmic Applications, Cambridge University Press [3] R Kumar P, K wang Leng, A K Singh (2011), Application of Markov chain in the PageRank algorithm, Conference paper [4] David C Lay, Steven R Lay, Judi J McDonald, (2015) Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition, Verlag [5] M Sullivan, (), Finite mathematics an applied approach, Chicago state University, Eleventh edition, John wiley & sons, Inc [6] Matlab The language Of Technical Computing - Coppyright 1984 2004, The Mathwords, Inc 46 ... chuyên đề toán chương trình toán bậc trung học sở Việt Nam Mục đích nghiên cứu Sử dụng mô hình xích Markov thuật toán xếp hạng Nhiệm vụ nghiên cứu Sử dụng mô hình xích Markov thuật toán xếp hạng Đối... thiệu mô hình xích Markov rời rạc với khái niệm liên quan Chương trình bày chi tiết việc áp dụng mô hình xích Markov cho thuật toán xếp hạng PageRank Chương trình bày áp dụng vào toán Sắp xếp chuyên... dừng xích Markov quy 15 1.2.3 Các toán áp dụng có chứa xích Markov 19 Chương Áp dụng mô hình xích Markov cho thuật toán xếp hạng PageRank