Mô hình xích Markov và ứng dụng trong thuật toán xếp hạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2LÊ THANH BÌNH MÔ HÌNH XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG THUẬT TOÁN XẾP HẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THANH BÌNH

MÔ HÌNH XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG THUẬT TOÁN XẾP HẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 60 46 01 12

Người hướng dẫn khoa học

TS Hà Bình Minh

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hà Bình Minh, thầy đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luậnvăn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng sau Đại học, cácthầy, cô giáo dạy Cao học chuyên ngành Toán ứng dụng, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quátrình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 10 năm 2016

TÁC GIẢ

Lê Thanh Bình

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn "Mô hình xích Markov và ứng dụng trong

thuật toán xếp hạng" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Hà Bình Minh.

Các số liệu, những kết luận nghiên cứu được trình bày trong luận vănnày là trung thực, các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồngốc

Hà Nội, tháng 10 năm 2016

TÁC GIẢ

Lê Thanh Bình

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Mô hình xích Markov rời rạc 3

1.1 Xích Markov và ma trận chuyển 3

1.1.1 Định nghĩa xích Markov và ma trận chuyển 3

1.1.2 Phân phối xác suất của một xích Markov 6

1.2 Xích Markov chính quy 11

1.2.1 Định nghĩa xích Markov chính quy 12

1.2.2 Vector trạng thái dừng của một xích Markov chính quy 15

1.2.3 Các bài toán áp dụng có chứa xích Markov 19

Chương 2 Áp dụng mô hình xích Markov cho thuật toán xếp hạng PageRank 25

2.1 Mô phỏng một hệ thống các trang web đơn giản dưới dạng đồ thị

25 2.1.1 Đồ thị có hướng 25

2.1.2 Mô tả một hệ thống các trang web đơn giản dưới dạng đồ thị 26

2.1.3 Ma trận biểu diễn đồ thị có hướng 26

2.1.4 Mô hình xích Markov cho đồ thị có hướng 27

2.1.5 Hạn chế của ma trận chuyển của xích Markov 28

2.2 Thuật toán PageRank dựa trên xích Markov 30

2.2.1 Ma trận Google 30

2.2.2 Tính toán phân phối dừng của ma trận Google và xếp hạng trang web 31

Chương 3 Áp dụng với các ví dụ thực tế 34

3.1 Đặt bài toán 34

3.2 Mô phỏng dưới dạng đồ thị và Mô hình hóa bởi xích Markov 38 3.3 Tính toán ma trận chuyển, trạng thái dừng và xếp hạng chuyên đề bằng phần mềm Matlab 39

Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 45

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Thuật toán xếp hạng nổi tiếng PageRank của Google được phát triển trênnền tảng toán học là mô hình xích Markov Gần đây, ý tưởng của thuật toánPageRank được ứng dụng trong việc xếp hạng các tạp chí khoa học, dẫn đến

sự ra đời của chỉ số Eigen-Factor, bên cạnh những chỉ số thông dụng khácnhư Impact-Factor, H-Index, Việc hiểu rõ ý tưởng, cũng như cơ sở toánhọc của các thuật toán xếp hạng như vậy sẽ là mục tiêu của luận văn này

Cấu trúc luận văn:

Luận văn sẽ được chia làm 03 chương, chương 1 của luận văn sẽdành để giới thiệu mô hình xích Markov rời rạc với những khái niệm liênquan Chương 2 sẽ trình bày chi tiết việc áp dụng mô hình xích Markov chothuật toán xếp hạng PageRank Chương 3 chúng tôi trình bày áp dụng vào bàitoán Sắp xếp chuyên đề toán trong chương trình toán bậc trung học cơ sở ởViệt Nam

2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng mô hình xích Markov trong thuật toán xếp hạng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Sử dụng mô hình xích Markov trong thuật toán xếp hạng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mô hình xích Markov và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các mô hình xác suất rời rạc, ngôn ngữ lập trình MATLAB,

6 Đóng góp mới của luận văn

Luận văn trình bày một cách hệ thống, chi tiết về mô hình xích Markovrời rạc và áp dụng mô hình này vào thuật toán xếp hạng trang web của Google.Luận văn cũng trình bày một số ví dụ cụ thể về mặt lập trình, thực hiện thuậttoán Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm tới môhình xích Markov và thuật toán xếp hạng trang web của Google

Chương 1

Mô hình xích Markov rời rạc

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cũng như các kếtquả, ví dụ cơ bản về mô hình xích Markov Nội dung chương này sẽ được viếtdựa trên chương 10 của tài liệu tham khảo [5]

1.1 Xích Markov và ma trận chuyển

1.1.1 Định nghĩa xích Markov và ma trận chuyển

Để đưa ra được định nghĩa của mô hình xích Markov, trước tiên ta xét

mô hình sau Trong hình 1.1 dưới đây gồm bốn phòng, mỗi phòng có mộtmàu khác nhau và được đánh số theo thứ tự là 1, 2, 3, 4 Ta thả một con chuộtvào trong một phòng nào đó và quan sát Vì hành vi của chuột là không thể

dự đoán được, ta sẽ dùng xác suất để mô tả sự chuyển động của chuột Ta coi

Ta có p14 = 0 vì không có đường đi trực tiếp từ phòng 1 tới 4 Khi đó p11 = 14

là xác suất mà chuột ở lại phòng 1 trong một khoảng quan sát.

là ma trận chuyển của phép thử nghiệm.

Trong ví dụ trên, với 4 trạng thái và P là một ma trận kích thước 4 × 4 Ta

có thể có các cách điền giá trị các xác suất, ở đây ma trận P có thể là:

1 2

1

4 0

1 6

Ta cũng có thể biểu diễn các phần tử của P bằng cách sử dụng sơ đồ cây Ởhình 1.2 dưới đây, các phần tử của P là các xác suất có điều kiện biểu diễncác xác suất mà con chuột sẽ đi tới phòng kế tiếp cho trước mà ta đã biết bâygiờ con chuột đang ở đó Đây là ý tưởng cốt yếu của sự di chuyển từ trạngthái này tới trạng thái khác với các xác suất tạo thành một cơ sở của một xíchMarkov

Định nghĩa 1.1.2 (Xích Markov) Một xích Markov là một dãy các phép thử

nghiệm mà kết quả của mỗi phép thử nghiệm là một trong số các trạng thái

ta đánh số là 1, 2, , m Xác suất trong mỗi trạng thái riêng chỉ phụ thuộc vào trạng thái trước đó chiếm giữ.

Nếu pij là xác suất di chuyển từ trạng thái i tới trạng thái j, thì ma trận chuyển P = [pij] của một xích Markov là ma trận kích thước: m × m

mà con chuột đã ở lúc bắt đầu phép thử và dòng vector được sử dụng để biểudiễn mục đích này.

Định nghĩa 1.1.3 (Phân phối xác suất ban đầu) Trong một xích Markov với

m trạng thái, phân phối xác suất ban đầu là một 1 × m dòng vector v(0), có

phần tử thứ i là xác suất phép thử đã ở trạng thái i lúc bắt đầu.

Chẳng hạn, nếu con chuột có khả năng được đặt ở bất kỳ một trong cácphòng lúc bắt đầu, thì ta sẽ có v(0) = [14 14 14 14] Nếu con chuột luôn luôn

ở vị trí ban đầu là phòng số 1, thì ta sẽ có v(0) = [1 0 0 0]

1.1.2 Phân phối xác suất của một xích Markov

Trong mục này ta trình bày cách tìm phân phối xác suất của một xích Markov

Ta minh họa qua ví dụ sau:

Ví dụ 1.1.1 Trong hình 1.1, giả sử rằng ta điền các xác suất chuyển khi từ

phòng 1 tới các phòng 1, 2, 3, 4 là:

{13

13

1 3

1

3 0

1 3

2 Vì vị trí ban đầu của con chuột là phòng 4, phân phối xác suất ban đầulà

3 Để tìm các xác suất sau hai lần quan sát, ta sử dụng sơ đồ cây

Cây bắt đầu tại 4 , vì vị trí ban đầu của chuột là ở phòng 4 Khi đó, sử dụngdòng 4 của ma trận chuyển, ta có sự phân nhánh từ 4 , tới các phòng 2 , 3 ,

và 4 Ta bỏ qua phòng 1, vì p41 = 0 Từ các nhánh phòng đó ta sử dụng cácdòng 2, 3 và 4 của ma trận chuyển, thể hiện ở hình 1.3 dưới đây:

1

3].

Sử dụng kí hiệu v(k) là vector biểu diễn các xác suất của trạng thái sau k phépthử Vị trí thứ i của v(k) là xác suất của trạng thái i sau k phép thử Thay vìtheo quá trình tìm v(2) trong Ví dụ 1.1.1 ta có thể tính toán trực tiếp v(k) từ

ma trận chuyển P và phân phối xác suất ban đầu v(0)

Định lý 1.1.1 ([5]) (Phân phối xác suất sau k phép thử) Trong một xích

Markov, phân phối xác suất v(k) sau k phép thử là

Ví dụ 1.1.2 Ta xét lại Ví dụ 1.1.1 Hãy sử dụng phương trình (1.1.1) để tìm

phân phối xác suất sau hai lần quan sát

1 3

1

3 0

1 3

1 3

1

3 0

1 3

29

29

1

3].

Bằng cách này ta vẫn thu được v(2) như đã tính trong Ví dụ 1.1.1 phần 3

Ta thấy rằng, sau một vài tính toán từ (1.1.1) ta có

v(1) = v(0)P

v(2) = v(1)P = [v(0)P ]P = v(0)P2 vì v(1) = v(0)P

v(3) = v(2)P = [v(0)P2]P = v(0)P3 vì v(2) = v(0)P2

v(4) = v(3)P = [v(0)P3]P = v(0)P4 vì v(3) = v(0)P3.Tiếp tục cách này ta thu được kết quả sau

Định lý 1.1.2 ([5]) (Phân phối xác suất sau k phép thử) Trong một xích

Markov, phân phối xác suất v(k) sau k phép thử là

2 9

2 9

2 9 2

9

1 3

2 9

2 9 2

9

2 9

1 3

2 9 2

9

2 9

2 9

1 3

29

291

3].

Tiếp theo, ta xét một vài bài toán áp dụng chứa xích Markov bằng ví dụ về sự

di chuyển dân số sau

Ví dụ 1.1.3 Giả sử rằng thành phố Vĩnh Yên đang trải qua sự chuyển động

dân số đến các vùng ngoại ô Hiện nay, 85% của tổng dân số sống ở thànhphố và 15% sống trong các vùng ngoại ô Nhưng mỗi năm 7% của người dânthành phố di chuyển đến các vùng ngoại ô, trong khi chỉ có 1% người dânngoại ô di chuyển trở lại thành phố Giả sử rằng tổng dân số (của thành phố

và vùng ngoại ô) vẫn không đổi, bao nhiêu phần trăm của tổng số sẽ ở lạithành phố sau 5 năm?

có thể được mô hình bởi một xích Markov như sau

Phân phối ban đầu của xích Markov này là

#

Tức là, mỗi năm có 7% dân số trong thành phố di chuyển tới vùng ngoại ô(còn lại 93% vẫn sống ở trong thành phố) và 1% dân số ở vùng ngoại ô dichuyển vào trong thành phố sống (do đó còn lại 99% dân số vẫn sống ở ngoạiô)

Để tìm phân phối xác suất sau 5 năm, ta cần tính v(5) Ta áp dụng (1.1.1)

năm lần.

v(1) = v(0)P = [0.85 0.15]

"

0.93 0.070.01 0.99

1.2 Xích Markov chính quy

Một câu hỏi quan trọng về xích Markov là: Điều gì xảy ra sau một khoảngthời gian đủ dài? Phân phối của các trạng thái có tiến tới trạng thái ổn địnhtheo thời gian không? Trong mục này ta sẽ đề xuất các điều kiện phù hợp đểdưới các điều kiện đó một xích Markov tiến tới trạng thái cân bằng (hay trạngthái dừng) Ta cũng trình bày quá trình tìm phân phối cân bằng này khi nó tồntại

1.2.1 Định nghĩa xích Markov chính quy

Định nghĩa 1.2.1 (Xích Markov chính quy) Một xích Markov được gọi là

chính quy nếu với một lũy thừa nào đó của ma trận chuyển của xích đó có tất

1 2

1 0

#

Ta có

P2 =

"1 2

1 2

1 0

#2

=

"1 2

1 2

1 0

# "1 2

1 2

1 0

#

=

"3 4

1 4 1 2

1 2

#

có tất cả các phần tử đều dương, do đó xích Markov này là chính quy

Ví dụ 1.2.2 (Xích Markov không chính quy) Xét xích Markov có ma trận

1 4

#

Bằng quy nạp ta thấy rằng, mỗi lũy thừa của P luôn có phần tử p12 = 0,

do đó xích Markov này là không chính quy

Ví dụ tiếp theo cho ta các bước xác định dáng điệu tiệm cận của một xíchMarkov

Ví dụ 1.2.3 (Lòng trung thành của người tiêu dùng) Một công ty rượu vang

đang xúc tiến bán rượu Syrah của công ty đó Kết quả là 75% tổng số nhữngngười đã uống rượu vang Syrah trong một chu kỳ thời gian là 1 tháng tiếptục uống trong tháng tiếp theo; những người uống các loại rượu vang đỏ kháctrong khoảng thời gian 1 tháng, 35% thay đổi sang rượu vang Syrah ở thángtiếp theo

Ma trận chuyển P của phép thử nghiệm này là

a) Tìm xác suất chuyển từ E1 sang hoặc là E1 hoặc E2 trong hai phép thử;b) Tìm xác suất chuyển từ E2 sang hoặc là E1 hoặc E2 trong hai phép thử.Lời giải:

Sơ đồ cây mô tả hai lần thực hiện của phép thử này được cho trong 1.4

a)Xác suất p(2)11 của quá trình chuyển từ E1 sang E1 trong hai lần thực hiệnlà

p(2)11 = (0.75)(0.75) + (0.25)(0.25) = 0.65Xác suất p(2)12 từ E1 sang E2 sau hai lần thực hiện là

p(2)22 = (0.35)(0.25) + (0.65)(0.65) = 0.51

Nếu ta lấy bình phương ma trận chuyển, ta có

P2 =

"

0.75 0.250.35 0.65

# "

0.75 0.250.35 0.65

#

=

"

(0.75)(0.75) + (0.25)(0.25) (0.75)(0.25) + (0.25)(0.65)(0.35)(0.75) + (0.65)(0.35) (0.35)(0.25) + (0.65)(0.65)

#

=

"

0.65 0.350.49 0.51

Điều này có nghĩa là, bình phương của ma trận chuyển cho ta các xác suất dichuyển từ một trạng thái này tới một trạng thái khác trong hai lần thực hiệnphép thử

Điều này vẫn đúng trong trường hợp tổng quát, cụ thể ta có kết quả sauđây

Định lý 1.2.1 ([5]) [Xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j sau n

lần thực hiện] Nếu P là ma trận chuyển của một xích Markov, thì phần tử thứ

(i, j) của ma trận Pn cho ta các xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j sau n lần thực hiện.

Từ định lý này ta có thể thấy dáng điệu của một quá trình Markov sau khichạy một thời gian dài bằng cách nâng lũy thừa ma trận chuyển của quá trình

đó tới lũy thừa cao hơn Chẳng hạn, ta sử dụng ma trận chuyển P trong Ví dụ

1.1.3 và tính từ P2 tới P12.

P =

"

0.7500 0.25000.3500 0.6500

#

P2 =

"

0.6500 0.35000.4900 0.5100

#

P3 =

"

0.6100 0.39000.5460 0.4540

#

P4 =

"

0.5940 0.40600.5684 0.4316

#

P5 =

"

0.5876 0.41240.5774 0.4226

#

P6 =

"

0.5850 0.41500.5809 0.4191

#

P7 =

"

0.5840 0.41600.5824 0.4176

#

P8 =

"

0.5836 0.41640.5830 0.4176

#

P9 =

"

0.5834 0.41660.5832 0.4168

#

P10 =

"

0.5834 0.41660.5833 0.4167

#

P11 =

"

0.5834 0.41660.5833 0.4167

#

P12 =

"

0.5833 0.41670.5833 0.4167

#

Lưu ý rằng các lũy thừa cao hơn của Pn dường như hội tụ và hội tụ về trạngthái ổn định, tức là bằng với một ma trận trạng thái dừng Cũng vậy, ta thấyrằng các dòng của ma trận P12 là bằng nhau Điều này có nghĩa là xác suất

là 0.5833, tức là một người sẽ uống rượu Syrah bất kể những gì anh ta hay cô

ta đã uống trước đó! Nói cách khác, tình hình đã ổn định, với 58.33% uốngSyrah và 41, 67% uống các rượu vang đỏ khác

Một vector xác suất là một ma trận dòng mà toàn bộ phần tử là các xácsuất có tổng là 1 Vector xác suất t = [0.5833 0.4167] được gọi là vectortrạng thái dừng t của xích Markov có ma trận chuyển là P

1.2.2 Vector trạng thái dừng của một xích Markov chính quy

Như trên ta đã nói về vector trạng thái dừng của một xích Markov chính quy,mục này ta trình bày cách tìm vector này Ta có kết quả sau đúng với mọi xíchMarkov chính quy

Định lý 1.2.2 ([5]) (Dáng điệu tiệm cận của xích Markov chính quy) Cho P

là ma trận chuyển của xích Markov chính quy Khi đó các tính chất sau là đúng:

1 Ma trận Pn tiến tới một ma trận bất động T khi n đủ lớn Khi đó, ta viết

Pn → T (khi n đủ lớn);

2 Các dòng của ma trận T là trùng nhau và bằng với vector xác suất t;

3 t là vector xác suất duy nhất thỏa mãn tP = t;

4 Nếu v(0) là phân phối ban đầu tùy ý, thì v(n) → t khi n đủ lớn.

Chứng minh Các tính chất 1 và 2 đã được chứng minh Để thấy tính chất 3,

#

Vector dòng t thỏa mãn phương trình tP = t

Điều này có nghĩa là không nhất thiết phải tính các lũy thừa cao hơn n của

#,

đây là ma trận chuyển của xích Markov trong Ví dụ 1.1.3 biểu diễn sự dichuyển dân số

Lời giải:

Trước tiên, ta quan sát rằng P là chính quy vì P = P1 có tất cả các phần

tử đều dương Vector trạng thái dừng t có hai tính chất: t = [t1 t2] là mộtvector xác suất nên

t1 + t2 = 1,

and do tính chất 3 của Định lý 1.2.2, ta có tP = t, nên

[t1 t2]

"

0.93 0.070.01 0.99

#

= [t1 t2][0.93t1 + 0.01t2 0.070t1 + 0.99t2] = [t1 t2]Đồng nhất các phần tử ta có

0.93t1 + 0.01t2 = t1 0.070t1 + 0.99t2 = t2,hay

Giải hệ này ta thu được t1 = 18 và t2 = 78 Do đó vector trạng thái dừng là

t = [18 78] Ta giải thích t = [18 78] như sau: sau thời gian đủ dài 18 hay 12.5%tổng số dân sẽ sống ở thành phố trong khi đó 78 hay 87.5% số dân sẽ sống ởngoại ô

Ví dụ 1.2.5 Tìm vector trạng thái dừng t của ma trận chuyển

1

2 0

1 3

1 3

1 3

1 3

5 12 1

2

1 4

1 4 4

9

5 18

5 18

2 0

1 3

1 3

1 3

Định lý 1.2.3 ([5]) Trong một xích Markov chính quy, vector cân bằng t đạt

được không phụ thuộc vào các phân bố xác suất ban đầu.

Để đơn giản, ta sẽ chứng minh nhận xét này cho ma trận chuyển cỡ 2 × 2,trường hợp ma trận chuyển có cỡ cao hơn được chứng minh hoàn toàn tươngtự

Chứng minh Giả sử v(0) = [a b] là phân phối xác suất ban đầu tùy ý củaxích Markov chính quy với ma trận chuyển cỡ 2 × 2 là P Đặt t = [t1 t2] là

vector bất động của ma trận này Khi đó theo tính chất 1 trong Định lý 1.2.2,

Nhân cả hai vế với v(0) ta có

1.2.3 Các bài toán áp dụng có chứa xích Markov

Mặc dù định nghĩa của vector trạng thái dừng cho phép ta tính trực tiếp vector

đó, nhưng nó cũng có một nhược điểm lớn: Có những xích Markov mà có mộtvector trạng thái dừng q nhưng lim

n→∞xn 6= q, khi đó định nghĩa này của q làchưa đủ để xn hội tụ Thật vậy, ta xét các ví dụ chứng tỏ các cách khác nhau

mà trong đó xn có thể không hội tụ

Ví dụ 1.2.6 Xét người đi bộ ngẫu nhiên trên tập {1, 2, 3, 4, 5} với các biên là

Lưu ý rằng chỉ hai dáng điệu tiệm cận của xác suất là tồn tại với xích này

đó là các trạng thái 0 hoặc trạng thái 4 Do đó xác suất mà xích ở các trạngthái 1, 2 hoặc 3 trở nên nhỏ hơn và nhỏ hơn nữa khi n tăng, khi đó Pn với

Ta thấy rằng Pn hội tụ tới ma trận

vector trạng thái dừng và với 0 ≤ q ≤ 1 là vector

trạng thái dừng của P Ma trận này có vô hạn các vector trạng thái dừng, do

đó xn không thể dự đoán sự hội tụ mà không phụ thuộc vào x0

Ví dụ 1.2.7 Một cộng đồng nhất định có ba cửa hàng tạp hóa Trong cộng

đồng này có tồn tại một sự thay đổi khách hàng từ một cửa hàng tạp hóa nàytới cửa hàng khác Một nghiên cứu được thực hiện vào ngày 01 tháng Một, và

nó đã cho ta thấy rằng 14 số dân đi mua sắm ở cửa hàng I, 13 tại cửa hàng II, và

2

15 tại cửa hàng III Mỗi tháng cửa hàng I giữ lại 90% khách hàng của mình

và mất 10% trong số họ đến cửa hàng II Cửa hàng II giữ lại 5% khách hàngcủa mình và mất 85% trong số họ vì họ mua ở cửa hàng I và 10% trong số họmua ở cửa hàng III Cửa hàng III vẫn giữ được 40% khách hàng của mình vàmất 50% trong số họ tới mua ở cửa hàng I và 10% ở cửa hàng II Giả sử dân

số của cộng đồng vẫn không đổi Hãy tìm

(a) Ma trận chuyển P ;(b) Phân phối xác suất ban đầu;

(c) Tỷ lệ khách hàng mỗi cửa hàng còn lại đến ngày 01 tháng 2;

(d) Tỷ lệ khách hàng mỗi cửa hàng sẽ giữ lại đến ngày 01 tháng 3;(e) Giả sử mô hình vẫn tiếp tục tương tự, khi đó sự phân phối dài hạncủa khách hàng trong số ba cửa hàng sẽ như thế nào

Lời giải: