Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Bài : Vị trí tơng đối hai mặt phẳng Chùm mặt phẳng ( tiết 41) Kiểm tra cũ: 1/ Cho hai mặt phẳng : () Ax + By + Cz + D = (’) A’x + By + Cz + D = a Xác định toạ độ véc tơ pháp tuyến mặt phẳng b Khi điểm Mo=(x0; y0; z0) thuộc mặt phẳng () Trả lời: a Ta có : n ( A; B; C ); n ' ( A '; B '; C ') b §iĨm Mo= (xo; yo; zo) thuộc mặt phẳng () toạ độ điểm Mo thoả mÃn phơng trình mặt phẳng () Hay: Ax0 + By0 + Cz0 + D = Bµi míi Mét sè qui íc: a/ Hai bé n sè (A1; A 2; A3; ; A n) Vµ (A’ 1; A’ 2; A’ 3; ; A’ n) : đợc gọi tỷ lệ với cã sè t 0 cho A1 = t A’ 1; A = tA’ ; A = tA’ ; ; A n = tA’ n Ký hiÖu : A : A2 : A : : A n = A’ : A’ : A’ : : A’ n số t đợc gọi hệ số tỉ lệ VÝ dô: Cho bé ba sè : (2; 4; 6) vµ (1; 2; 3) hai bé sè nµy cã tû lệ hay không? Trả lời: Hai số: (2; 4; 6) vµ (1; 2; 3) lµ tû lƯ víi Ta viÕt : 2: 4: = 1: 2: Ngoài ký hiệu khác: An A1 A2 A3     A1' A2' A3' An' Chó ý : Nếu A i= Thì hiển nhiên A i = Hai bé sè : (A1 ; A2 ; A ; ; A n) vµ ( A’ ; A’ ; A’ ; ; A’ n ) Kh«ng tû lƯ ta ký hiƯu: A1 : A : A : : An A’ : A’ : A’ : : A’ n   ' NhËn xÐt Hai véc tơ n ( A; B; C ) n ( A '; B '; C ') cïng ph¬ng vµ chØ : A : B : C = A’: B’ : C’ hay A B C  '  ' ' A B C VÞ trÝ tơng đối hai mặt phẳng Trong không gian cho hai mặt phẳng () () nêu vị trí tơng đối hai mặt phẳng? Trả lời: Vị trí tơng đối () () là: () cắt (’) () trïng víi (’) () song song với () ãTrong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho hai mặt phẳng () () lần lợt có phơng trình () Ax + By + Cz + D = ; (’) A’x + B’y + C’z + D = Xác định toạ độ véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng Quan sát vị trí tơng đối hai mặt phẳng n ' n  n ’  () trïng víi (’)  ' n ' n  n ’ () song song víi (’)  () c¾t (’) ’ ' n  n ' n n không phơng () cắt () Em có nhận xét gí vị trí tơng đối hai véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng? Trả lời: Hai véc tơ A:B:C ' n n không phơng A: B’ : C’  n ' n  ’ M   n ' cïng ph¬ng víi n M0 ()  M0  (’) () trïng víi (’) Em hÃy tìm điều kiện cần đủ để () trùng với () ? Trả lời: Điều kiện cần đủ ®Ĩ () trïng víi (’) lµ:     n ' cïng ph¬ng víi n M0 ()  M0  (’) A B C   t A' B' C' ( t 0) Ax0 + By0 + Cz0 + D = A’x0 + B’y0 + C’z0 + D’ =         A B C   t ( t 0) A' B' C' Ax0 + By0 + Cz0 + D = A’x0 + B’y0 + C’z0 + D’ = A B C   t ( t 0) A' B' C' tA’x0 + tB’y0 + tC’z0 = - D A’x0 + B’y0 + C’z0 = - D’ A B C   t ( t 0) A' B' C' t(A’x0 + B’y0 + C’z0) = - D A’x0 + B’y0 + C’z0 = - D’ A B C   t ( t 0) A' B' C' tD’ = D  D t D'  A B C D    A' B' C' D'  n  ' n ’ A B C D    A' B ' C ' D ' () song song với () Em hÃy tìm điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng song song? Trả lời : A B C D    A' B ' C ' D ' Ví dụ: Xét vị trí tơng đối hai mặt phẳng: () 2x - y + z + = (’) x+y+z -2 =0 Tr¶ lêi:   Ta cã : n (2;  1;1) ; n' (1;1;1) Hai véc tơ không phơng dó hai mặt phẳng đà cho cắt Chùm mặt phẳng Cho hai mặt phẳng () () cắt lần lợt có phơng trình: () Ax + By + Cz + D = (’) A’x + B’y + Cz + D = a Định lý: Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến có ph ơng trình d¹ng:  ( Ax  By  Cz  D)   ( A' x  B' y  C ' z  D' ) 0 Víi 2   (*) Ngợc lại phơng trình dạng (*) phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến () () b Định nghĩa: Tập hợp mặt phẳng qua giao tuyến () () gọi chùm mặt phẳng Phơng trình đợc gọi phơng trình chùm mặt phẳng áp dụng: Sử dụng phơng trình chùm mặt phẳng để viết ph ơng trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng thoả mÃn thêm tính chất nh: qua điểm, song song với mặt phẳng, góc với mặt có phẳng Ví dụ: Cho haivuông mặt phẳng ()một () phơng trình: () 2x - y + z + = (’) x+y+z -2 =0 Chứng minh () () cắt Viết phơng trình mặt phẳng (1) qua giao tuyến () () qua M= (1; 1; 1) Trả lêi: Ta cã : n (2;  1;1) ; n' (1;1;1) Hai véc tơ không phơng dó hai mặt phẳng đà cho cắt Mặt phẳng (1) qua giao tuyến () () nên có ph ơng trình: (2 x y z  1)   ( x  y  z  2) 0 víi 2   0  (2   ) x  (    ) y  (   ) z  Mặt khác ( ) qua M (1; 1; 1) nª n : (2   ).1  (    ).1  (   ).1     0  3   0 Chän  -1 thi  3 Ta đợc : x + 4y + 2z = Tóm lại, qua học em cần nắm đợc vấn đề sau: Vị trí tơng đối hai mặt phẳng: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho hai mặt phẳng () () lần lợt có phơng trình () Ax + By + Cz + D = ; (’) A’x + B’y + C’z + D’ = a ( ) c¾t ( ' )  A : B : C A' : B' : C' A B C D b ( ) trïng víi ( ' )     A' B' C ' D ' A B C D c ( ) song song víi ( ' )     A' B' C ' D ' áp dụng phơng trình chùm mặt phẳng : Cho hai mặt phẳng () () cắt lần lợt có phơng trình: (): Ax + By + Cz + D = ; (’): A’x + B’y + C’z + D = Mặt phẳng qua giao tuyến () () có phơng trình dạng: ( Ax  By  Cz  D)   ( A' x  B' y  C ' z  D' ) 0 víi 2   0 ... hay A B C  ''  '' '' A B C VÞ trÝ tơng đối hai mặt phẳng Trong không gian cho hai mặt phẳng () () nêu vị trí tơng đối hai mặt phẳng? Trả lời: Vị trí tơng đối () () là: () cắt (’) () trïng víi... 0xyz cho hai mặt phẳng () () lần lợt có phơng trình () Ax + By + Cz + D = ; (’) A’x + B’y + C’z + D = Xác định toạ độ véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng Quan sát vị trí tơng đối hai mặt phẳng n... phẳng để viết ph ơng trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng thoả mÃn thêm tính chất nh: qua điểm, song song với mặt phẳng, góc với mặt có phẳng Ví dụ: Cho haivuông mặt phẳng ()một () phơng trình: