Bai 5.Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNGCHÙM MẶT PHẲNG 1... VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNGCHÙM MẶT PHẲNG 2... VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNGCHÙM MẶT PHẲNG 2... VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI

Trang 1

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG

CHÙM MẶT PHẲNG

1 Một số quy ước và kí hiệu

Hai bộ n số (A1 ; A2; ; An) và (A’1; A’2; ; A’n) được gọi là tỉ

lệ với nhau nếu có số t  0 sao cho A1 = tA’1, A2 = tA’2,

An = tA’n

Khi hai bộ số (A1 ; A2; .; An) và (A’1; A’2; .; A’n) tỉ lệ với nhau ta kí hiệu: A1 : A2 : : An = A’1 : A’2 : : A’n

Ngoài ra ta còn dùng kí hiệu sau: 1 2 n

= = =

Ví dụ: hai bộ 4 số (2 ; 4; 0; -6) và (1; 2; 0; -3) là tỉ lệ với

nhau (giá trị t trong trường hợp này là t = )

Ví dụ: 2 : 4: 0: -6 = 1: 2: 0: -3.

Nếu hai bộ số (A1 ; A2; ; An) và (A’1; A’2; ; A’n) không tỉ lệ,

ta kí hiệu: A1 : A2 : : An  A’1 : A’2 : : A’n

2

Trang 2

2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ()

và (’) có phương trình tổng quát lần lượt là:

() : Ax + By + Cz + D = 0 (1)

(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’)

vtpt n  ( ; ; )A B C

' ( ; ; )A' B' C'

n 

vtpt ()

(’)

()  (.’) () (’) không gian thì giữa chúng có Cho hai mặt phẳng trong

những vị trí tương đối nào?

Trang 3

() : Ax + By + Cz + D = 0 (1)

(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’)

vtpt n  ( ; ; )A B C

' ( ; ; )A' B' C'

n 

vtpt

() (’)

()  (.’)



()

(’)

n

'

n

Trang 4

() : Ax + By + Cz + D = 0 (1)

(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’)

vtpt n  ( ; ; )A B C vtpt ' ( ; ; )n  A' B' C' + () cắt (’)  A : B : C  A’ : B’ : C’

+ ()  (’)  A B C D

A' B' C' D'

+ () // (’)  A B C D

A' B' C' D'

Ta có:

Trang 5

Ví dụ Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:

a) x + 2y – z + 5 = 0 và 2x + 3y – 7z – 4 = 0

b) x - 2y – z + 3 = 0 và 2x - y + 4z – 2 = 0

c) x + y + z - 1 = 0 và 2x + 2y - 2z + 3 = 0

d) 3x - 2y - 3z + 5 = 0 và 9x - 6y - 9z - 5 = 0

e) x - y + 2z - 4 = 0 và 10x - 10y + 20z - 40 = 0

cắt nhau cắt nhau

cắt nhau song song

trùng nhau

Có: 1: 2: -1  2: 3: -7

Có: 1: -2: -1  2: -1: 4

Có: 1: 1: 1  2: 2: -2

Trang 6

3 Chùm mặt phẳng

() : Ax + By + Cz + D = 0 (1)

(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’)

Cho hai mặt phẳng () và (’) cắt nhau có phương trình :

a) Định lí Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của () và (’) đều

có phương trình dạng:

(Ax + By + Cz + D) + (A’x + B’y + C’z +D’) = 0, 2 + 2 0 (2)

Ngược lại mỗi phương trình dạng (2) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao tuyến của () và (’).

b) Định nghĩa Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của

hai mặt phẳng () và (’) gọi là một chùm mặt phẳng.

Phương trình (2) gọi là phương trình của chùm mặt phẳng

Trang 7

c Ví dụ

Cho ba mặt phẳng (1), (2), (3) lần lượt có phương trình:

(1) : 2x – y + z + 1 = 0 (2) : x + 3y – z + 2 = 0 (3) : -2x + 2y + 3z + 3 = 0 1) Chứng minh rằng (1) cắt (2)

Giải:

(1) cắt (2) vì 2 : -1 : 1  1 : 3 : - 1

Nhận xét mối quan hệ của hai vec tơ pháp tuyến của

hai mặt phẳng?

+ Có vtpt của mp (1) là: n  1 (2; 1;1)

+ Có vtpt của mp (2) là: n 2 (1;3; 1)



Trang 8

c Ví dụ

(1) : 2x – y + z + 1 = 0 (2) : x + 3y – z + 2 = 0 (3) : -2x + 2y + 3z + 3 = 0 2) Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (1) và (2) và qua điểm M0(1 ; 2 ; 1)

Giải: Phương trình mặt phẳng () có dạng:

(2x – y + z + 1) + (x + 3y – z + 2) = 0 (2 + 2  0 )

 (2 + )x + (- + 3)y + ( - )z +  + 2 = 0

Điểm M0= (1 ; 2; 1)  () nên:

(2 + )1 + (- + 3)2 + ( - )1 +  + 2 = 0

Chọn  = 4,  = -1 ta được phương trình của () là:

7x – 7y + 5z + 2 = 0

 2 + 8 = 0

Phương trình mặt phẳng () có dạng như thế nào?

Trang 9

c Ví dụ

(1) : 2x – y + z + 1 = 0 (2) : x + 3y – z + 2 = 0 (3) : -2x + 2y + 3z + 3 = 0 3) Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (1) và (2) và song song với trục Oy

Giải: Phương trình mặt phẳng () có dạng:

(2x – y + z + 1) + (x + 3y – z + 2) = 0

 (2 + )x + (- + 3)y + ( - )z +  + 2 = 0 (*)

Vì () song song với Oy nên hệ số của y trong (*) phải bằng 0, hay - + 3 = 0

Chọn  = 3,  = 1 ta được phương trình của () là:

7x + 2z + 5 = 0

Trang 10

c Ví dụ

(1) : 2x – y + z + 1 = 0 (2) : x + 3y – z + 2 = 0 (3) : -2x + 2y + 3z + 3 = 0 4) Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (1) và (2) và vuông góc với mặt phẳng (3)

Giải: Phương trình mặt phẳng () có dạng:

(2 + )x + (- + 3)y + ( - )z +  + 2 = 0 (*)

+ mp() có vtpt n   (2    ;    3 ;     ).

+ mp(3) có vtpt n    ' ( 2; 2;3).

()  (3)  n n     ' 0

 -3 +  = 0

5x + 8y – 2z + 7 = 0

 (2 + ).(-2) + (- + 3).2 + ( - ).3 = 0 Chọn  = 1,  = 3 ta có pt mp ():

Trang 11

CỦNG CỐ

Qua bài này các em cần nắm được:

+ Các vị trí tương đối của hai mặt phẳng và cách xét

+ Khái niệm chùm mặt phẳng và ứng dụng trong bài toán viết phương trình mặt phẳng

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Xem lại các ví dụ đã chữa và làm các bài tập trong GSK trang 87 – 88

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	219 KB