Phương pháp lượng giác trong việc giải toán thuộc chương trình trung học phổ thông

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG − − − − − − −− PHAN THỊ ĐỊNH PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG VIỆC GIẢI TOÁN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà nẵng, năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS Lê Hoàng Trí Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng năm 2011 * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Dạy học toán có vai trò quan trọng việc thực mục đích chức giáo dục toán học Đối với học sinh phổ thông, giải toán hình thức chủ yếu hoạt động toán học Đây loại hình hoạt động riêng biệt, phổ biến cần thiết nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức ứng dụng chúng vào thực tiễn cách có hiệu Một nhiệm vụ dạy học toán bồi dưỡng cho học sinh kỹ tìm tòi, phát vận dụng phương pháp vào việc giải toán Vận dụng phương pháp lượng giác vào việc giải toán biện pháp để giải nhiệm vụ Trong chương trình toán học phổ thông, học sinh làm quen với phương pháp lượng giác, nhiên với thời lượng không nhiều mức độ định Hơn sách giáo khoa không việc định hướng, tìm tòi lời giải phương pháp lượng giác chưa trọng đến rèn luyện kỹ Bên cạnh kỳ thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi toán nước thường xuất toán mà lời giải chúng tìm phương pháp lượng giác Với mục đích tìm hiểu phương pháp lượng giác hệ thống cách đầy đủ ứng dụng phương pháp lượng giác chương trình toán trung học phổ thông, chọn đề tài luận văn cho là: "Phương pháp lượng giác việc giải toán thuộc chương trình trung học phổ thông " Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống lớp toán giải phương pháp lượng giác - Đưa quy trình giải cho lớp toán - Định hướng cho học sinh cách nhận biết dấu hiệu toán vận dụng phương pháp lượng giác để giải - Nhằm nâng cao lực tư cho học sinh, cần thiết phải xây dựng Footer Page of 126 Header Page of 126 chuỗi toán từ toán gốc (bằng phương pháp tương tự hóa, tổng quát hóa ) Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Chương trình toán bậc trung học phổ thông, đặc biệt môn lượng giác - Phương pháp lượng giác đại số, giải tích hình học - Các ứng dụng phương pháp lượng giác Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tư liệu: sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo, tạp chí toán học tuổi trẻ tài liệu liên quan - Phương pháp tiếp cận: sưu tầm, phân tích, tổng hợp, hệ thống Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành chương Chương 1, trình bày sơ lược kiến thức lượng giác như: số định nghĩa, tính chất, công thức lượng giác Ngoài để làm sở cho chương sau, bổ đề thường dùng bất đẳng thức lượng giác quen thuộc tam giác giới thiệu chương Chương 2, trình bày phương pháp lượng giác đại số giải tích, bao gồm ứng dụng phương pháp lượng giác chứng minh đẳng thức bất đẳng thức; giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình; toán cực trị; toán tìm nguyên hàm tính tích phân Các ứng dụng phương pháp lượng giác hình học trình bày chương bao gồm ba phần: toán đường tròn; toán elip hypebol; toán hình học phẳng khác Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại sơ lược kiến thức lượng giác như: Một số định nghĩa, tính chất Phần cuối chương trình bày số bất đẳng thức lượng giác tam giác bổ đề dùng chương sau 1.1 Một số định nghĩa 1.1.1 Góc cung lượng giác 1.1.2 Hệ thức Sa-lơ 1.1.3 Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác 1.2 Các tính chất 1.3 Các bổ đề thường dùng Bổ đề 1.1 Cho x, y, z số dương thỏa: x + y + z = xyz , tồn tam giác nhọn ABC cho: x = tan A; y = tan B; z = tan C Bổ đề 1.2 Cho x, y, z ∈ R+ thỏa: xy + yz + zx = Khi tồn tam giác ABC cho: x = tan A2 ; y = tan B2 ; z = tan C2 Bổ đề 1.3 Cho x, y, z ∈ R+ thỏa: x2 + y + z + 2xyz = Khi tồn tam giác nhọn ABC cho: x = sin A2 ; y = sin B2 ; z = sin C2 1.4 Các bất đẳng thức tam giác Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương trình bày phương pháp lượng giác đại số giải tích, cụ thể dùng phương pháp lượng giác để chứng minh hệ thức đại số, chứng minh bất đẳng thức đại số; giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; giải toán cực trị; tìm nguyên hàm tính tích phân 2.1 Phương pháp lượng giác chứng minh đẳng thức bất đẳng thức Để áp dụng phương pháp lượng giác vào chứng minh đẳng thức bất đẳng thức đại số ta cần dựa vào dấu hiệu sau đây: Dấu hiệu 1: Nếu toán có |x| k (với k > 0) đặt x = k sin α (với α ∈ [− π2 ; π2 ]) đặt x = k cos α (với α ∈ [0; π]) Dấu hiệu 2: Nếu toán có biểu thức x2 + y = k (với k > 0) đặt: x = k sin α y = k cos α với α ∈ [0; 2π] Dấu hiệu 3: Nếu toán có điều kiện x k (với k > 0) đặt 2 2 x = cosk α , α ∈ [0; π2 ) ∪ [π; 3π ) Khi x − k = k ( cos2 α − 1) = k tan α, (với tan α > 0) Dấu hiệu 4: Nếu toán có biểu thức x2 + k đặt: x = k tan α, α ∈ (− π2 ; π2 ) Khi x2 + k = k (1 + tan2 α) = cosk2 α (với cos α > 0) Như chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức đại số phương pháp lượng giác ta thực qua ba bước: Footer Page of 126 Header Page of 126 Bước 1: Biến đổi, phân tích để nhận biết dấu hiệu có toán Bước 2: Lượng giác hóa toán, nghĩa chuyển đổi toán chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức đại số thành toán chứng minh đẳng thức lượng giác hay bất đẳng thức lượng giác Bước 3: Chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức lượng giác tương ứng kết luận Bài toán 2.1 Cho a, b thỏa mãn: |b| |a + b| + |a − b| = |a + |a| Chứng minh rằng: a2 − b2 | + |a − a2 − b2 | Giải: Bước 1: Biến đổi, phân tích để nhận biết dấu hiệu có toán Để giải toán ta xét hai trường hợp: Trường hợp a = b = 0: Đẳng thức cần chứng minh Trường hợp a2 + b2 = 0: Không tính tổng quát, giả sử a = 0, toán trở thành: Cho a, b thỏa mãn: | ab | Chứng minh rằng: 1+ b b + 1− = 1+ a a b − ( )2 a + 1+ b − ( )2 a Vì | ab | nên đặt ab = sin α, α ∈ [− π2 ; π2 ] Bước 2: Lượng giác hóa toán 1+ b a + 1− b a = 1+ − ( ab )2 ⇔ |1 + sin α| + |1 − sin α| = + + 1+ − ( ab )2 − sin2 α + − − sin2 α Bước 3: Chứng minh đẳng thức (2.1) kết luận Ta có (2.1) ⇔ |1 + sin α| + |1 − sin α| = |1 + cos α| + |1 − cos α| ⇔ + sin α + − sin α = + cos α + − cos α ⇔ = (hiển nhiên đúng) Vậy đẳng thức cần chứng minh Bài toán 2.2 Chứng minh rằng: 1+ Footer Page of 126 − x2 (1 + x)3 − (1 − x)3 √ 2+ − 2x2 (2.1) Header Page of 126 Giải: Điều kiện: |x| nên đặt x = cos α, α ∈ [0; π] √ + − x2 (1 + x)3 − (1 − x)3 2 + − 2x2 √ √ ⇔ + sin α (1 + cos α)3 − (1 − cos α)3 2 + sin2 α √ √ α α α α ⇔ cos + sin cos3 − sin3 ·2 2(2 + sin α) 2 2 α α α α α α ⇔ cos + sin cos − sin + cos sin 2 + sin α 2 2 2 ⇔ cos α(2 + sin α) + sin α ⇔ (2 + sin α)(cos α − 1) 2.2 0, ∀α ∈ [0; π] Phương pháp lượng giác giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Ngoài dấu hiệu nhận biết trình bày phần "chứng minh đẳng thức bất đẳng thức", có dấu hiệu sau để nhận biết phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình sử dụng phương pháp lượng giác để giải: a = tan α ⇒ X = tan(α + β) b= tan β   x = a sin α 2 2 x + y + z = a đặt y = a sin β cos α   z = a cos β cos α Nếu có biểu thức: X = Nếu có biểu thức: a+b 1−ab , đặt Để chuyển biểu thức đại số thành biểu thức lượng giác tương ứng với nó, ta có bảng 2.1 Như để giải phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình đại số phương pháp lượng giác ta thực qua ba bước: Bước 1: Nhận biết dấu hiệu có toán đặt ẩn phụ Bước 2: Lượng giác hóa toán nghĩa sau đặt ẩn phụ, chuyển phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình đại số thành phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình lượng giác Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình lượng giác tương ứng kết luận Footer Page of 126 Header Page of 126 Bảng 2.1 Biểu thức đại số biểu thức lượng giác tương ứng: Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác cos2 t + x2 + tan2 t = 2x2 − cos2 t − = cos 2t − 2x2 − sin2 t = cos 2t 4x3 − 3x cos3 t − cos t = cos 3t 3x − 4x3 sin t − sin3 t = sin 3t 2x 1−x2 tan t 1−tan2 t = tan 2t 2x 1+x2 tan t 1+tan2 t = sin 2t 1−x2 1+x2 1−tan2 t 1+tan2 t = cos 2t x2 − 1 cos2 t ··· ··· − = tan2 t Bài toán 2.3 Giải phương trình: 1+ − x2 (1 + x)3 − (1 − x)3 = 2+ − x2 Giải: Bước 1: Nhận biết dấu hiệu có toán đặt ẩn phụ 1+x 1−x Điều kiện: ⇔ −1 x Đặt x = cos t; t ∈ [0; π] Bước 2: Lượng giác hóa toán 1+ ⇔ √ − x2 + sin t · (1 + x)3 − (1 + cos t)3 − (1 − x)3 (1 − cos t)3 = 2+ − x2 = + sin t (2.2) Bước 3: Giải phương trình (2.2) kết luận t t t t + cos )2 · (2 cos2 )3 − (2 sin2 )3 = + sin t 2 2 √ + sin t = + sin t ⇔ 2 cos t √ √ ⇔ (2 + sin t)( cos t − 1) = ⇔ cos t = √ ⇔ x = 2 (2.2) ⇔ Footer Page of 126 (sin Header Page 10 of 126 √ 2 Vậy phương trình có nghiệm x = Bài toán 2.4 Với giá trị tham số m bất phương trình sau có nghiệm: m+ √ x + m− √ x Giải: √ - Xét trường hợp m < 0: m − x < nên bất phương trình vô nghiệm - Xét trường hợp m x 0 √ t t + sin 2 0: Điều kiện bất phương trình là: √ x Đặt x = m cos t, t ∈ [0; π2 ] Bất phương trình thành: m(1 + cos t) + m(1 − cos t) ⇔ √ 2m cos m = : bất phương trình có nghiệm √ √ √ t t t π m > : 2m cos + sin ⇔ 2m sin( + ) 2 t π ⇔ sin( + ) √ m π 2] t Vì t ∈ [0; nên: + Hay bất phương trình √ π π ∈ [ ; ] đó: 22 sin( 2t + π4 ) √1m có π √ m sin( 2t + π4 ) √ Vậy bất phương trình cho có nghiệm m    Bài toán 2.5 Giải hệ phương trình: Ta có:      nghiệm khi: ⇔ 0 đặt: x = a sin t, t ∈ [− π2 ; π2 ] x = a cos t, t ∈ [0; π] Footer Page 12 of 126 11 Header Page 13 of 126 Dạng 2: Tính I = R x, √ a2 + x2 dx, với a > đặt: x = a tan t, t ∈ (− π2 ; π2 ) x = a cot t, t ∈ (0; π) √ Dạng 3: Tính I = R x, x2 − a2 dx, với a > đặt: x = t ∈ [− π2 ; π2 ]\{0} x = Dạng 4: Tính I = a cos t , a sin t , t ∈ [0; π]\{ π2 } R x, a+x a−x dx, I = R x, a−x a+x dx với a > đặt: x = a cos 2t Dạng 5: Tính I = R x, (x − a)(b − x) dx, đặt: x = a + (b − a) sin2 t Dựa vào dấu hiệu nêu trên, ta giải toán tìm nguyên hàm tính tích phân phương pháp lượng giác qua ba bước: Bước 1: Nhận biết dấu hiệu có toán để lựa chọn cách đổi biến phù hợp Bước 2: Lượng giác hóa toán nghĩa đổi biến đưa toán gốc toán tìm nguyên hàm tính tích phân hàm lượng giác Bước 3: Tìm nguyên hàm tính tích phân hàm lượng giác tương ứng kết luận Bài toán 2.7 Tìm nguyên hàm √ a) I = − x2 dx ; x b) J = (4 − x2 )3 dx; x6 c) K = x dx 2a − x Giải: a) Bước 1: Nhận biết dấu hiệu có toán đổi biến √ Trong toán có chứa a2 − x2 , (a = 2) nên đặt x = sin t, (t ∈ [− π2 ; π2 ]) ⇒ dx = cos t dt Khi đó: − x2 = π π 4(1 − sin2 t) = 2| cos t| = cos t, (do t ∈ [− ; ]) 2 Bước 2: Lượng giác hóa toán I= Bước 3: Tìm nguyên hàm I = Ta có I = Footer Page 13 of 126 (1 − sin2 t)dt sin t cos t · cos t dt = 2 sin t dt −2 sin t (1−sin2 t)dt sin t kết luận sin t dt = sin t dt + cos t + C1 sin2 t 12 Header Page 14 of 126 Xét sin t dt = sin2 t sin t dt = − cos2 t sin t dt =A (1 − cos t)(1 + cos t) Đặt u = cos t ⇒ du = − sin t dt, đó: A= −du = (1 − u)(1 + u) Suy ra: I = ln Ta lại có: sin t = x 1 u−1 − du = ln + C2 u−1 u+1 u+1 cos t − + cos t + C cos t + nên: cos t = Vậy: − ( x2 )2 = √ 4−x2 √ − x2 − I = ln √ + − x2 + − x2 + C b) Đặt: x = cos t, (t ∈ [0; π]) ⇒ dx = −2 sin t dt Khi đó: [4(1 − cos2 t)]3 (−2 sin t)dt sin4 t J= =− dt 26 cos6 t cos6 t 1 tan4 t · tan4 t d(tan t) dt = − =− cos t √ )2 (4 − x − x2 = − tan t + C = − +C 20 20 x5 (vì: + tan2 t = cos2 t mà cos t = x nên c) Đặt x = 2a sin2 t, t ∈ (0; π2 ) ⇒ K= tan5 t √ (4−x2 )2 4−x2 ) x5 = dx = 4a sin t cos tdt Khi đó: x sin2 t 2a−x = cos2 t sin t 4a sin t cos tdt = 4a cos t sin2 tdt = 4a (1 − cos 2t)dt = 2a(t − sin 2t) + C √ x 2ax − x2 = 2a arcsin − +C 2a a x − x(2a − x) + C = 2a arcsin 2a x 2a − x Do sin2 t = ⇒ cos2 t = 2a 2a x 2a − x ⇒ sin 2t = sin t cos t = = 2a 2a − cos 2t dt = 2a Footer Page 14 of 126 x(2a − x) a 13 Header Page 15 of 126 Bài toán 2.8 Tính tích phân sau: √ 2011 20112 a) I = − x2 dx; b) J = x2 − dx x4 + x2 Giải: a) Đặt: x = 2011 sin t, t ∈ [− π2 ; π2 ] ⇒ dx = 2011 cos tdt Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = 2011 ⇒ t = π2 Khi đó: π π 2 I= 2011 cos tdt = 2011 π + cos 2t dt = 2011 · t + sin 2t 2 2 π b) Đặt x = cot u, u ∈ (0; π) ⇒ dx = −(1 + cot2 u)du √ Đổi cận: x = ⇒ u = π4 ; x = ⇒ u = π6 Khi đó: = 20112 · π J= (1 − cot2 u)(1 + cot2 u)du cot2 u(1 + cot2 u) π π = π ( − 2)du = tan u cos u Footer Page 15 of 126 π ( = π π π − 1)du = cot2 u − 2u π π π (tan2 u − 1)du π π = √ −1+ Header Page 16 of 126 14 Chương PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG HÌNH HỌC Chương trình bày ứng dụng phương pháp lượng giác hình học Cụ thể xét toán đường tròn; toán đường elip hypebol toán hình học phẳng khác 3.1 Các toán đường tròn 3.1.1 Định nghĩa 3.1.2 Phương trình đường tròn 3.1.3 Phương trình tiếp tuyến đường tròn 3.1.4 Một số toán đường tròn Một số toán đường tròn giải phương pháp lượng giác theo cách sau: Bước 1: Chuyển đổi toán hình học thành toán lượng giác Bước 2: Giải toán lượng giác Bước 3: Kết luận Bài toán 3.1 Cho đường tròn (C) có phương trình: x2 +y −4x−6y+4 = a) Xác định tọa độ đỉnh B, C biết ABC tam giác nội tiếp đường tròn (C) A(5; 3) b) Tìm điểm N (x2 ; y2 ) ∈ (C) cho: x22 + y22 đạt giá trị lớn nhất; đạt giá trị nhỏ Footer Page 16 of 126 15 Header Page 17 of 126 Giải: Ta có phương trình tham số đường tròn (C) là: x = + sin t , t ∈ [0; 2π) y = + cos t a) Giả sử AB = a, gọi H chân đường cao hạ từ đỉnh A ABC , √ √ √ √ suy AH = a 23 Ta lại có: R = 23 AH = 32 · a 23 ⇔ a = R = 3 Bước 1: Chuyển đổi toán hình học thành toán lượng giác M ∈ (C) nên M (2 + sin t; + cos t), t ∈ [0; 2π), toán trở thành: Tìm √ điểm M ∈ (C) cho AM = 3, tức là: AM = 27 ⇔ (3 − sin t)2 + (3 cos t)2 = 27 Bước 2: Giải toán lượng giác (3 − sin t)2 + (3 cos t)2 = 27 ⇔ sin t = − 21 ⇒ Bước 3: Kết luận √ 6+3 B ; , 2 b) N (x2 ; y2 ) ∈ (C) ⇔ cos t = cos t = √ − √ √ 6−3 C ; 2 x2 = + sin t , t ∈ [0; 2π) y2 = + cos t Ta có: √ x22 + y22 = (2 + sin t)2 + (3 + cos t)2 = 22 + 13 √ sin t + √ cos t 13 13 √ = 22 + 13 cos(t − α), (với sin α = √ ; cos α = √ ) 13 13 Mà: | cos(t − α)| (x22 + y22 )min nên: √ = 22 − 13 cos(t − α) = −1 ⇔ t = α + π + k2π ⇔ (x22 + y22 )max √ √ 13 13 ⇒ N 2− ;3 − 13 13 √ = 22 + 13 cos(t − α) = ⇔ t = α + k2π ⇔ sin t = − sin α = − √213 cos t = − cos α = − √313 cos t = cos α √ √ 13 13 ⇒ N 2+ ;3 + 13 13 Footer Page 17 of 126 √2 13 √ = 313 sin t = sin α = 16 Header Page 18 of 126 3.2 Các toán elip hypebol 3.2.1 Định nghĩa 3.2.2 Phương trình elip hypebol 3.2.3 Phương trình tiếp tuyến elip hypebol 3.2.4 Điều kiện tiếp xúc đường thẳng với elip hypebol 3.2.5 Một số toán elip hypebol Một số toán elip hypebol giải phương pháp lượng giác theo cách sau: Bước 1: Chuyển đổi toán hình học thành toán lượng giác Bước 2: Giải toán lượng giác Bước 3: Kết luận 2 y Bài toán 3.2 Cho hypebol (H) : x8 − 27 = elip (E) : Lập phương trình tiếp tuyến chung (E) (H) x2 + y2 = √ 2 cos √t x= , t ∈ [0; 2π)\{ π2 ; 3π } y = 3 tan t Giải: (H) có phương trình tham số: Bước 1: Chuyển đổi toán hình học thành toán lượng giác Họ tiếp tuyến (∆1 ) (H) có phương trình: √ √ √ x y tan t − √ = ⇔ 3 · x − 2 sin t · y = 6 cos t 2 cos t 3 √ √ √ (∆1 ) tiếp xúc với (E) ⇔ (3 3)2 + (2 sin t)2 = (6 cos t)2 √ Bài toán trở thành: Tìm t ∈ [0; 2π)\{ π2 ; 3π } thỏa phương trình (3.1) Bước 2: Giải phương trình (3.1) với t ∈ [0; 2π)\{ π2 ; 3π } Ta có: (3.1) ⇔ 108 + 72(1 − cos2 t) = 216 cos2 t  ⇔ cos2 t = - Khi cos t = √ √5 : 2 cos t = ⇔  cos t = √ √5 √ − 2√52 phương trình tiếp tuyến là: √ √ 3x − y − = 3x + y − = Footer Page 18 of 126 (3.1) 17 Header Page 19 of 126 - Khi cos t = √ √5 (⇔ 2 sin t = √ ± 2√32 ): phương trình tiếp tuyến là: √ √ 3x + y + = 3x − y + = Bước 3: Kết luận: Vậy có bốn tiếp tuyến chung (E) (H) cho, tiếp tuyến có phương trình: √ √ √ √ 3x − y − = 0; 3x + y − = 0; 3x + y + = 0; 3x − y + = 3.3 3.3.1 Các toán hình học phẳng khác Hệ thức Hê-rông tam giác tứ giác Ta có công thức Hê-rông tính diện tích S= ABC biết độ dài ba cạnh p(p − a)(p − b)(p − c) Đối với tứ giác biết độ dài bốn cạnh công thức tính diện tích tương tự khó Ta xét trường hợp đặc biệt tứ giác nội tiếp đường tròn với toán sau: Bài toán 3.3 (Công thức tính diện tích tứ giác nội tiếp) Gọi a, b, c, d độ dài cạnh tứ giác nội tiếp đường tròn, ký hiệu q = a+b+c+d Chứng minh diện tích tứ giác tính công thức: S = (q − a)(q − b)(q − c)(q − d) Giải: Gọi B = ABC D = ADC , áp dụng định lý hàm số cosin ABC ACD ta có: AC = a2 + b2 − 2ab cos B = d2 + c2 − 2cd cos D Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên B + D = 1800 ⇒ cos B = − cos D a2 + b2 − c2 − d2 Do đó: cos B = 2(ab + cd) Mặt khác: sin2 B = − cos2 B = (1 − cos B)(1 + cos B) = 1− (a2 + b2 ) − (c2 + d2 ) 2(ab + cd) 1+ (a2 + b2 ) − (c2 + d2 ) 2(ab + cd) [(c + d)2 − (a − b)2 ][(a + b)2 − (c − d)2 ] = 4(ab + cd)2 Footer Page 19 of 126 18 Header Page 20 of 126 A d D a O c B b C Hình 3.1: Hình minh họa Bài toán 3.3 Ta lại có: (a + b)2 − (c − d)2 = (a + b + c − d)(a + b + d − c) = 4(q − d)(q − c) Tương tự: (c + d)2 − (a − b)2 = 4(q − a)(q − b) Vì: B + D = 1800 00 < B, D < 1800 nên sin B = sin D = (q − a)(q − b)(q − c)(q − d) ab + cd (ab + cd) sin B = (q − a)(q − b)(q − c)(q − d) 1 Vì vậy: S ABC = ab sin B; S ADC = cd sin D = cd sin B 2 Suy ra: S = S ABC + S ADC = (ab + cd) sin B ⇔ = (q − a)(q − b)(q − c)(q − d) Nhận xét 3.1 Đặc biệt nữa, tứ giác vừa nội tiếp, vừa ngoại √ tiếp đường tròn thì: S = abcd Chứng minh Xét tứ giác ABCD nội tiếp, ta có: S = (q − a)(q − b)(q − c)(q − d) Vì ABCD ngoại tiếp đường tròn nên: a + c = b + d = q = r(tan O1 + tan O2 + tan O3 + tan O4 ) Khi đó: q − a = c; q − b = d; q − c = a; q − d = b, suy ra: S = Footer Page 20 of 126 √ abcd 19 Header Page 21 of 126 A a r B b O d c D C Hình 3.2: Hình minh họa phần chứng minh Nhận xét 3.1 3.3.2 Điểm Broca Định nghĩa 3.1 Cho ABC , điểm P nằm ABC cho: P AB = P BC = P CA gọi điểm Broca ABC Bài toán 3.4 Cho ABC giả sử điểm Broca P xác định, độ dài cạnh tam giác là: AB = 13, BC = 14, AC = 15 tan P AB = m n (m, n nguyên tố nhau) Tìm m + n Giải: A c x b P y B z α a C Hình 3.3: Hình minh họa Bài toán 3.4 Đặt P AB = P BC = P CA = α P A = x, P B = y, P C = z Footer Page 21 of 126 20 Header Page 22 of 126 Áp dụng định lý hàm số cosin    P AB, P BC, P CA ta có: x2 = z + b2 − 2bz cos α y = x2 + c2 − 2cx cos α z = y + a2 − 2ay cos α   Cộng vế theo vế ba phương trình ta được: cos α(cx + ay + bz) = a2 + b2 + c2   S P AB = 12 cx sin α    S P BC = 12 ay sin α Vì  S P AC = 12 bz sin α    S ABC = S P AB + S P BC + S nên cx + ay + bz = (3.2) P AC 2S ABC sin α (3.3) Từ (3.2) (3.3) suy ra: tan α = 4S ABC · 84 168 = = a2 + b2 + c2 142 + 152 + 132 295 Vậy m+n = 168+295 = 463 (Sử dụng hệ thức Hê-rông để tính S 3.3.3 Cho ABC = 84) Định lý Stewart ABC , D điểm cạnh BC Đặt AD = d, BD = m, DC = n Khi ta có công thức: ad2 = mb2 + nc2 − amn (gọi hệ thức Stewart) A c b d B m D C n Hình 3.4: Hình minh họa phần chứng minh Định lý Stewart Footer Page 22 of 126 21 Header Page 23 of 126 Chứng minh Áp dụng định lý hàm số cosin vào ABD ACD ta có: c2 = m2 + d2 − 2md cos D1 ⇔ nc2 = nm2 + nd2 − 2mnd cos D1 b2 = n2 + d2 − 2nd cos D2 = n2 + d2 − 2nd cos D1 (3.4) (do D1 + D2 = 1800 ) ⇔ mb2 = mn2 + md2 + 2mnd cos D1 (3.5) Cộng (3.4) (3.5) vế theo vế ta nc2 + mb2 = nm2 + nd2 + mn2 + md2 = mn(m + n) + d2 (m + n) = (m + n)(mn + d2 ) = a(mn + d2 ) = ad2 + amn ad2 = mb2 + nc2 − amn ⇔ Nhận xét 3.2 i) Nếu toán trên, xét AD trung tuyến m = n = d = ma từ hệ thức Stewart ta có a 2b2 + 2c2 − a2 1 am2a = ab2 + ac2 − a · a · a ⇔ m2a = 2 2 Đây công thức tính độ dài đường trung tuyến quen thuộc biết ii) Nếu xét AD đường phân giác ( tức AD = la ), ta có: ac m+n a m n m = b+c = = = Do đó: ab c b b+c n= b+c b+c Từ hệ thức Stewart ta có: ala2 ac ab ac ab bc[(b + c)2 − a2 ] = b + c − a( )( ) ⇔ la = b+c b+c b+c b+c (b + c)2 Mặt khác: 2 + cos A + b +c2bc−a (b + c)2 − a2 2A = = = cos 2 4bc Thế vào công thức ta được: la2 2bc cos A2 4b2 c2 cos2 A2 ⇔ la = = (b + c)2 b+c Đây công thức tính độ dài đường phân giác tam giác biết Như hệ thức Stewart trường hợp tổng quát hệ thức đường trung tuyến đường phân giác biết chương trình phổ thông Footer Page 23 of 126 22 Header Page 24 of 126 3.3.4 Các toán khác Bài toán 3.5 Cho (S) tập hợp tất tam giác ABC thỏa: 1 + + − = AP BQ CR min{AP, BQ, CR} r r bán kính đường tròn nội tiếp; P, Q, R điểm tiếp xúc AB, BC, CA với đường tròn Chứng minh tất tam giác (S) cân đồng dạng với Giải: Gọi O tâm đường tròn nội tiếp ABC B Q O P A C R Hình 3.5: Hình minh họa Bài toán 3.5 Ta có OP = OQ = OR = r Không tính tổng quát, giả sử min{AP, BQ, CR} = AP Đặt x = tan A2 , y = tan B2 , z = tan C2 Theo [Chương I, bổ đề 1.2.] ta có: xy + yz + zx = Ta lại có: AP = r ; x r BQ = ; y CR = r z Từ giả thiết: 1 + + − = AP BQ CR min{AP, BQ, CR} r x y z 3x ⇔ 5( + + ) − = ⇔ 2x + 5y + 5z = r r r r r Footer Page 24 of 126 23 Header Page 25 of 126 Kết hợp với điều kiện: xy + yz + zx = ta được: 5y + 5z + 8yz − 6y − 6z + = ⇔ (3y − 1)2 + (3z − 1)2 = 4(y − z)2 u = 3y − ⇒ y − z = u−v v = 3z − Phương trình thành: 5u2 + 8uv + 5v = xảy Đặt: u=v=0 (Vì giả sử u = (hoặc v = ) phương trình thành: 5t2 + 8t + = (với t = uv t = uv ) có ∆ = −9 < nên vô nghiệm) u=v=0 ⇔ y=z= x = 43 Do tất tam giác (S) cân đồng dạng với Thật ta có: r x = AP = 43 r y = z = BQ = r CR = = 12 Do chọn r = 4, AP = AR = 3, BQ = BP = CQ = CR = 12, suy ra: AB = AC = 15, BC = 24, suy ra: AB : AC : BC = : : Vậy tam giác đồng dạng với tam giác có độ dài cạnh 5, 5, Footer Page 25 of 126 Header Page 26 of 126 24 KẾT LUẬN Luận văn "Phương pháp lượng giác việc giải toán thuộc chương trình trung học phổ thông" thực vấn đề sau: Đưa dấu hiệu để nhận biết lớp toán giải phương pháp lượng giác quy trình giải cho lớp toán ´ dụng phương pháp lượng giác để giải số toán thuộc chương Ưng trình trung học phổ thông, cụ thể là: "chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số; giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình; giải toán cực trị; toán tìm nguyên hàm tính tích phân; giải toán đường tròn, elip, hypebol toán hình học phẳng khác" Hy vọng phương pháp lượng giác trình bày luận văn tiếp tục mở rộng hoàn thiện nhằm giải nhiều lớp toán khác Nội dung luận văn tài liệu tham khảo cho học sinh phổ thông quan tâm đến phương pháp lượng giác hóa Footer Page 26 of 126 ... chuyển phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình đại số thành phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình lượng giác Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình hay hệ phương. .. hiểu phương pháp lượng giác hệ thống cách đầy đủ ứng dụng phương pháp lượng giác chương trình toán trung học phổ thông, chọn đề tài luận văn cho là: "Phương pháp lượng giác việc giải toán thuộc chương. .. ´ dụng phương pháp lượng giác để giải số toán thuộc chương Ưng trình trung học phổ thông, cụ thể là: "chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số; giải phương trình, bất phương trình hệ phương