SKKN rèn LUYỆN kỹ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG phương pháp lượng giác hóa

Sáng kiến kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa Thực tiễn dạy học cho thấy: Khi giải một số lớp bài toán quan trọng ở phổ thông: Giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tích phân,… HS thường đi vào bế tắc khi không có định hướng khác để giải bài toán. Định hướng cho HS nhìn bài toán theo con mắt ‘‘lượng giác’’ là một hướng rất hay mà có thể giúp HS tư duy đa dạng hơn. Từ những bài toán không chứa những yếu tố của lượng giác, bằng phép đổi biến ta chuyển bài toán về lượng giác, cách giải như vậy gọi là phương pháp lượng giác hóa. Phương pháp lượng giác hóa trong giải các bài toán ở phổ thông là một phương pháp rất hay nhưng rất ít được GV đề cập để giúp các em có cái nhìn theo nhiều khía cạnh khác nhau khi giải một bài toán. HS có thêm những công cụ mới để diễn đạt, suy luận. Thế nhưng việc nhận dạng và sử dụng không thành thạo phương pháp trên đã làm cho HS bế tắc, không hứng thú khi giải toán.

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA Lĩnh vực : Tốn Cấp Trung học Phổ thông Năm học 2014 - 2015 Rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG BÁO CÁO Viết tắt GV HS THPT Viết đầy đủ Giáo viên Học sinh Trung học phổ thông 2/40 MỤC LỤC 1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG .11 CHƯƠNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 12 Chương làm rõ việc rèn luyện hai kỹ năng: Kỹ nhận dạng dấu hiệu lượng giác, kỹ vận dụng tri thức lượng giác vào giải tốn trung gian thơng qua phân tích cụ thể ví dụ minh họa cho kỹ Cuối cùng, đưa số tập giúp em HS rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa 12 2.1 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA .12 2.1.2 Rèn luyện số kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa 13 Trong khuôn khổ báo cáo tập trung vào kỹ kỹ nhận dạng dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa chuyển tốn dạng toán lượng giác kỹ vận dụng tri thức lượng giác để giải toán trung gian .13 2.1.2.1 Kỹ 1: Kỹ nhận dạng dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa chuyển tốn dạng tốn lượng giác 13 2.1.2.2 Kỹ 2: Vận dụng tri thức lượng giác để giải toán trung gian 24 Sau số ví dụ minh họa: .25 2.2.BÀI TẬP RÈN LUYỆN 30 2.2.1 Bài tập 30 Bài 20: Giải phương trình: 32 2.2.2 Hướng dẫn lời giải .32 Vậy giá trị lớn 9, giá trị nhỏ A -4 37 Rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Xuất phát từ yêu cầu xã hội: Trong giai đoạn nay, khoa học cơng nghệ có bước tiến nhảy vọt, việc đào tạo người không nắm vững kiến thức mà có lực sáng tạo, có ý nghĩa quan trọng tiềm lực khoa học kỹ thuật đất nước Do ngành giáo dục giữ vai trò quan trọng để đào tạo người lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thường gặp, qua mà góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nước dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh Xuất phát từ yêu cầu đổi phương pháp dạy học: Đổi phương pháp giáo dục dạy học khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho HS Như vậy, đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT làm cho HS học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Trong việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT, việc dạy giải tập tốn có vai trò quan trọng vì: Dạy tốn trường phổ thơng dạy hoạt động tốn học Việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học, giúp HS phát triển tư duy, tính sáng tạo Thực tiễn dạy học cho thấy: Khi giải số lớp toán quan trọng phổ thơng: Giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tích phân,… HS thường vào bế tắc khơng có định hướng khác để giải tốn Định hướng cho HS nhìn tốn theo mắt ‘‘lượng giác’’ hướng hay mà giúp HS tư đa dạng Từ tốn khơng chứa yếu tố lượng giác, phép đổi biến ta chuyển toán lượng giác, cách giải gọi phương pháp lượng giác hóa Phương pháp lượng giác hóa giải tốn phổ thơng phương pháp hay GV đề cập để giúp em có nhìn theo nhiều khía cạnh khác giải tốn HS có thêm công cụ để diễn đạt, suy luận Thế việc nhận dạng sử dụng không thành thạo phương pháp làm cho HS bế tắc, không hứng thú giải toán Với lý trên, chọn báo cáo sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác cho học sinh THPT’’ MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU a) Mục đích 1/40 Rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa Xây dựng sử dụng hệ thống tập để rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa cho HS THPT b) Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận kỹ rèn luyện kỹ dạy học tốn - Tìm hiểu thực tiễn trường THPT vấn đề dạy học phương pháp lượng giác hóa - Làm rõ kỹ để giải tốn phương pháp lượng giác hóa cho HS THPT - Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ cho HS thông qua việc lựa chọn sử dụng hệ thống toán giải phương pháp lượng giác hóa GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu lựa chọn xây dựng sử dụng hợp lý hệ thống tập dạy học rèn luyện cho HS kỹ vận dụng phương pháp lượng giác hóa giải số dạng tốn, góp phần nâng cao hiệu việc dạy học phổ thông PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu lý luận - Quan sát, điều tra thực tiễn CẤU TRÚC BÁO CÁO Ngoài phần mở đầu, kết luận, báo cáo gồm có chương: Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Chương 2: Xây dựng hệ thống tập rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa 2/40 Rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa CHƯƠNG 1- CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC GIẢI TOÁN VÀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG 1.1.1 Về dạy học giải tập toán: a) Mục đích, vai trò, ý nghĩa tập tốn trường THPT * Mục đích Một mục đích dạy tốn trường phổ thơng phát triển HS lực phẩm chất trí tuệ, giúp HS biến tri thức khoa học nhân loại tiếp thu thành kiến thức thân Hệ thống kiến thức kỹ toán học phổ thơng bản, đại có lực vận dụng tri thức vào tình cụ thể đời sống, lao động sản xuất * Vai trò Trong lĩnh vực, tốn học công cụ để HS học tốt môn học khác, giúp HS hoạt động hiệu rèn luyện phẩm chất, đức tính người lao động: Tính cẩn thận, xác, kỉ luật, khoa học sáng tạo * Ý nghĩa Giải tập tốn hình thức hiệu để kiểm tra lực mức độ tiếp thu khả vận dụng kiến thức học HS Việc giải tập toán có tác dụng lớn việc hứng thú học tập nhằm phát triển trí tuệ góp phần giáo dục, rèn luyện người HS nhiều mặt b) Vị trí chức tập tốn * Vị trí Giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Đối với HS xem giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực tốt nhiệm vụ dạy học toán phổ thông * Các chức tập toán Chức dạy học Chức giáo dục Chức phát triển Chức kiểm tra Các chức hướng tới việc thực mục đích dạy học: - Chức dạy học: Bài tập tốn nhằm hình thành củng cố cho HS tri thức, kỹ năng, kỹ xảo giai đoạn khác trình dạy học - Chức giáo dục: Bài tập tốn hình thành cho HS giới quan vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo 3/40 Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa - Chức phát triển: Phát triển lực tư cho HS rèn luyện thao tác trí tuệ hình thành phẩm chất tư khoa học - Chức kiểm tra: Bài tập toán đánh giá kết dạy học, đánh giá khả độc lập học toán, khả tiếp thu, vận dụng kiến thức trình độ phát triển HS Hiệu việc dạy học tốn trường phổ thơng phụ thuộc vào việc khai thác thực cách đầy đủ chức có tác giả viết sách giáo khoa có dụng ý đưa vào chương trình Người GV phải có nhiệm vụ khám phá thực dụng ý tác giả lực sư phạm c) Dạy học phương pháp giải tốn Dạy học giải tập tốn khơng có nghĩa GV cung cấp cho HS lời giải toán Biết lời giải tốn khơng quan trọng làm để giải tốn Để làm tăng hứng thú học tập HS, phát triển tư duy, GV phải hình thành cho HS phương pháp tìm lời giải cho toán Theo Polya, phương pháp tìm lời giải cho tốn thường tiến hành theo bước sau: - Bước 1: Tìm hiểu nội dung toán Để giải toán, trước hết phải hiểu tốn có hứng thú với tốn Vì người GV phải ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho HS giúp em tìm hiểu toán cách tổng Tiếp theo GV phải giúp HS phân tích tốn cho qua việc như: Xác định đâu ẩn, đâu kiện? Vẽ hình, sử dụng kí hiệu thích hợp (nếu cần) nào? Phân biệt thành phần khác điều kiện, diễn đạt điều kiện dạng cơng thức tốn học khơng? - Bước 2: Xây dựng chương trình lời giải “Phải phân tích tốn thành nhiều tốn đơn giản Phải huy động kiến thức học (định nghĩa, định lí, quy tắc…) có liên quan đến điều kiện, quan hệ toán lựa chọn số kiến thức gần gũi với kiện tốn mò mẫm, dự đốn kết - Bước 3: Thực chương trình giải - Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải Kiểm tra lại kết quả, xem lại lập luận q trình giải Nhìn lại tồn bước giải, rút tri thức phương pháp để giải dạng tốn Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể) Khai thác kết có tốn 4/40 Rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa Đề xuất toán tương tự, toán đặc biệt khái qt hóa tốn Cơng việc kiểm tra lời giải tốn có ý nghĩa vơ quan trọng Cần phải luyện tập cho HS có thói quen kiểm tra lại tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót khơng, tốn có đặt điều kiện tốn phải biện luận 1.1.2 Về rèn luyện kỹ a) Kỹ Kỹ khả vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn Trong đó, khả hiểu là: Sức có (về mặt đó) để thực việc Theo tâm lý học, kỹ khả thực có hiệu hành động theo mục đích điều kiện xác định Nếu tạm thời tách tri thức kỹ để xem xét riêng tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc khả “biết”, kỹ thuộc phạm vi hành động, thuộc khả “biết làm” Các nhà giáo dục học cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm phần thông tin kiến thức túy phần kỹ năng” Kỹ nghệ thuật, khả vận dụng hiểu biết người để đạt mục đích Kỹ đặc trưng thói quen định cuối kỹ khả làm việc có phương pháp “Trong toán học, kỹ khả giải toán, thực chứng minh nhận Kỹ toán học quan trọng nhiều so với kiến thức túy, so với thông tin trơn” Trong thực tế dạy học cho thấy, HS thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vào giải tập cụ thể do: HS không nắm vững kiến thức khái niệm, định lí, qui tắc, khơng trở thành sở kỹ Muốn hình thành kỹ năng, đặc biệt kỹ giải toán cho HS, người thầy giáo cần phải tổ chức cho HS học toán hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để HS nắm vững tri thức, có kỹ sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Góp phần thực nguyên lý nhà trường phổ thông là: “Học đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội” b) Đặc điểm kỹ - Bất kỹ phải dựa sở lý thuyết kiến thức Bởi vì, cấu trúc kỹ là: Hiểu mục đích - biết cách thức đến kết hiểu điều kiện để triển khai cách thức 5/40 Rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa - Kiến thức sở kỹ kiến thức phản ánh đầy đủ thuộc tính chất đối tượng, thử nghiệm thực tiễn tồn ý thức với tư cách công cụ hành động Cùng với vai trò sở tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng kỹ Bởi vì: “Mơn tốn mơn học cơng cụ có đặc diểm vị trí đặc biệt việc thực nhiệm vụ phát triển nhân cách trường phổ thơng” Vì vậy, cần hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức rèn luyện kỹ năng, kỹ hình thành phát triển hoạt động - Kỹ giải toán phải dựa sở tri thức toán học, bao gồm: Kiến thức, kỹ năng, phương pháp c) Sự hình thành kỹ Sự hình thành kỹ làm cho HS nắm vững hệ thống phức tạp thao tác nhằm biến đổi làm sáng tỏ thông tin chứa đựng tập Vì vậy, muốn hình thành kỹ cho HS, chủ yếu kỹ học tập kỹ giải toán, người thầy giáo cần phải: - Giúp HS hình thành đường lối chung (khái quát) để giải đối tượng, tập loại - Xác lập mối liên hệ tập khái quát kiến thức tương ứng d) Kỹ giải toán Kỹ giải toán khả vận dụng tri thức toán học để giải tập toán (bằng suy luận, chứng minh) Để thực tốt mơn tốn trường THPT, yêu cầu đặt là: “Về tri thức kỹ năng, cần ý tri thức, phương pháp đặc biệt tri thức có tính chất thuật tốn kỹ tương ứng Chẳng hạn: Tri thức kỹ giải toán cách lập phương trình, tri thức kỹ chứng minh toán học, kỹ hoạt động tư hàm Cần ý tùy theo nội dung kiến thức tốn học mà có u cầu rèn luyện kỹ khác 1.2 TÌNH HÌNH DẠY HỌC GIẢI TOÁN VÀ VIỆC RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA Ở PHỔ THƠNG Dạy học giải tốn phương pháp lượng giác hóa phổ thơng gặp nhiều khó khăn, kết chưa tốt Việc dạy phương pháp chưa trọng… a)Về phía giáo viên 6/40 Rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa GV chưa khái quát cho HS dạng toán cần phải làm mà quan tâm đưa tập trình bày lời giải hướng dẫn cách qua loa cho HS Do giảng dạy lớp, GV cần truyền tải số lượng lớn kiến thức nên khơng có đủ thời gian để trọng, khắc sâu kiến thức cho HS Trong đó, tri thức phương pháp lượng giác hóa tri thức hữu dụng để giải số lớp tập phổ thông mà GV giới thiệu cho HS tiết học Do kiến thức lượng giác HS yếu, gốc từ đầu nên gây khó khăn cho GV dạy học áp dụng phương pháp lượng giác hóa vào giải toán Hiện nay, GV dạy theo hướng đọc giải nhiều, HS không hiểu mà làm theo thói quen Vì vậy, việc rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa cho HS phổ thơng chưa quan tâm, trọng b) Về phía học sinh Phương pháp lượng giác hóa có nhiều thuận lợi việc giải tốn giải phương trình, hệ phương trình, tích phân, hình học… Tuy vậy, HS sử dụng phương pháp khơng tránh khỏi khó khăn sai lầm Thứ nhất, HS chưa biết nhận dấu hiệu để chuyển toán ban đầu sang toán lượng giác hóa Thứ hai, HS gặp khó khăn việc giải toán liên quan đến lượng giác Hơn phân phối chương trình hàm số lượng giác phương trình lượng giác chiếm thời gian nên việc nắm vững lý thuyết vận dụng vào giải tập HS chưa tốt HS lúng túng, gặp nhiều khó khăn làm tập Thứ ba, em chưa có nhìn tổng quan nên để phát toán sử dụng phương pháp lượng giác hóa khơng phải dễ Thứ tư, thực tế trình độ HS hạn chế, không đồng đều, khối lượng kiến thức nhiều số tiết dạy dành cho toán chưa nhiều Đây lí gây cản trở cho việc HS tiếp thu tri thức tốn nói chung, tri thức phương pháp lượng giác giải tốn nói riêng Nếu dạy tiến hành đồng loạt, áp dụng đối tượng HS, tập đưa cho HS có chung mức độ khó, dễ khơng phát huy khả tư sáng tạo cho HS giỏi Còn HS yếu không nắm vững nội dung 1.3 MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 7/40 Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa biết? Từ đó, ta biến đổi vế trái (2) thống hàm lượng giác hay không? HS nhận vế trái (2) có dạng hàm lượng giác bậc sin(α + β ) cos(α + β ) Do ta có: sin(α + β ) − 3cos(α + β ) = 2.[ sin(α + β ) − cos(α + β )] 2 π π = 2.[sin sin(α + β ) − cos cos(α + β )] 6 π 5π = −2cos(α + β + ) = 2cos( − α − β ) 6 Đến đây, GV gợi ý HS biến đổi (2) dạng quen thuộc sau vận dụng tính chất miền giá trị hàm số cosin để chứng minh (2) Từ ta có (2) 5π ⇔ cos( − α − β ) ≤ ⇔ cos( 5π −α − β) ≤1 (*) Ta có theo tính chất hàm số cosin(*) ln Bài tốn chứng minh Ví dụ 14 : + 2x − x2 = − 2x2 Phân tích: Theo dấu hiệu (mục 2.1.2.1), ta chuyển toán dạng  −π π  lượng giác nào? Giả sư HS chọn x = sin t , t ∈  ,  GV yêu cầu HS  2 thay biến x sint Khi đó, thu phương trình + 2sin t − sin t = − 2sin t GV đặt vấn đề giải toán nào? GV yêu cầu HS quan sát vế phương trình, em rút gọn cách khử thức hay không? HS trước hết, nghĩ đến cos 2t + sin t =1 Từ đó, ta khử thứ bên căn: + 2sin t cos t = − 2sin t 26/40 Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa GV đặt câu hỏi liệu ta khử vế trái dễ dàng khơng? Có cách khử HS nghĩ đến ngày cách bình phương vế chuyển biểu thức dấu thành bình phương tổng hàm số Khi đó, HS nhận việc bình phương vế nên phương trình trở thành phương trình bậc sin,cos khơng hiệu GV đặt câu hỏi liệu ta chuyển biểu thức dấu dạng bình phương khơng? GV đặt câu hỏi biểu thức (1 + 2sin t cos t ), thành phần có chứa 2sintcost, ta nghĩ đến đẳng thức nào? HS nghĩ đến sin t + cos t = Từ đó, HS chuyển: + 2sin t cos t = sin t + 2sin t.cos t + cos t = ( sin t + cos t ) Khi phương trình thu được: (sin t + cost ) = 2(cos t − sin t )(cos t + sin t ) ⇔ (sin t + cost )(1 − 2(cos t − sin t )) = sin t + cost = ⇔ cos t − sin t =  Đến đây, GV đặt câu hỏi HS phương trình lượng giác mà học HS nghĩ đến phương trình đẳng cấp bậc GV nên nhắc lại kiến thức này, cho HS lưu ý điều kiện có nghiệm phương trình đẳng cấp bậc với sinx, cosx; a sin x + b cos x = c có nghiệm a + b ≥ c HS áp dụng tri thức lượng giác để giải phương trình π  sin( t + )=0  ⇔ cos(t + π ) = π  4  t = x =   π  ⇔ t= ⇔ x =    −π  x = −1  t =  , x = −1 Như vây, với phương pháp lượng giác này, HS làm tốn cách tốn giải phương trình cách thuận lợi Ví dụ 15: Vậy phương trình có nghiệm x = , x = 27/40 Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa Giải phương trình x + (1− x ) = x ( − x2 ) Phân tích: Đây phương trình vơ tỉ chứa bậc 2, HS thường nghĩ đến phương pháp khử Phương pháp không đem lại thuận lợi, phải khử liên tiếp lần Và cuối dẫn tới phải làm việc với phương trình bậc cao, phức tạp Điều đó, dẫn đến cho HS bế tắc Nhưng để ý điều kiện phương trình: x ≤ Theo dấu hiệu 2-mục 2.1.2.1: HS nghĩ đến dấu hiệu lượng giác hóa đặt x theo hàm cost sin t Giả sử ta chọn x = cos t , t ∈ [ 0;π ] Khi đó, GV yêu cầu HS thay x cost , ta thu phương trình lượng giác là: cos3t + sin t = 2.cos t.sin t Như vậy, GV yêu cầu HS quan sát phương trình hai vế phương trình tìm cách giải phương trình lượng giác GV đặt câu hỏi: “Phương trình có thuộc phương trình lượng giác khơng?” HS nhận thấy chưa phải phương trình lượng giác GV đặt câu hỏi: “Phương trình lượng giác chứa loại hàm lượng giác số bậc hàm phương trình?” HS nhận thấy, số bậc cost sin t vế trái, vế phải Và điều tất yếu, HS nghĩ đến chuyển tốn phương trình lượng giác đối xứng GV nhắc lại tri thức phương pháp lượng giác để giải phương trình đối xứng Từ đó, HS nhận thấy phải tìm cách chuyển vế trái phương trình biểu thức chứa sin x + cos x,sin x.cos x GV gợi ý cho HS nhận vế trái phương trình có dạng đẳng thức: a + b3 = (a + b)(a − ab + b ) Từ đó, HS áp dụng đẳng thức suy được: sin t + cos3 t = (sin t + cos t )(sin t − sin t cos t + cos t ) HS tiếp tục thu gọn biểu thức ta : sin t + cos3 t = (sin t + cos t )(1 − sin t cos t ) Như vậy, GV hướng dẫn HS chuyển phương trình phương trình đối xứng: ( sin t + cos t ) ( − sin t cos t ) = sin t cos t HS cần nhớ vận dụng xác cách đặt, điều kiện xác định toán dạng này: u = sin t + cos t GV lưu ý cho HS điều kiện ẩn u : u ≤ 28/40 Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa u2 −1 Phương trình theo ẩn u là: u2 −1 u2 −1 u.(1 − ) = 2 GV yêu cầu HS rút gọn phương trình, tìm nghiệm u HS dễ dàng giải u tim giá trị u Khi đó: sin t.cos t = (u − 2)(−u − 2u − 1) = Từ đó, HS tính u = 2, u = − GV hướng dẫn HS tính t dựa vào u = sin t + cos t , u ≤ GV hướng dẫn HS tính x dựa vào x = cos t , t ∈ [ 0;π ] Như vậy, sau q trình tính tốn ta được: 1− − − ,x= 2 Nhận xét: Qua ví dụ trên, ta thấy phương pháp lượng giác hóa tỏ rõ công cụ hiệu quả, đưa hướng giải, đường lối, cho HS giải phương trình vơ tỉ Điều đó, kích thích tính tích cực học tập HS giải phương trình vơ tỉ Dưới đây, ví dụ thể tính hiệu phương pháp này: Ví dụ 16: Giải phương trình: 3x x+ = x +3 Phân tích: Phương pháp khử thức phương pháp đặt ẩn phụ tỏ khơng khả quan tốn giải phương trình Từ điều kiện xác định x R Khi dó theo (dấu hiệu 4- mục 2.2.2.1), HS nghĩ tới phương pháp lượng giác hóa, x= với cách đặt x = tan t GV yêu cầu HS chuyển toán sang toán lượng tan t + 3 tan t = 3tan t + GV yêu cầu HS rút gọn phương trình GV gợi ý khử mẫu Trước tiên, GV định hướng rút gọn cach đặt câu hỏi biểu thức giống công thức lượng giác mà ta biết? HS nhớ công thức: 1 + tan t = cos 2t giác: 29/40 Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa HS áp dụng vào tốn ta được: sin t + sin t cos t − cos t = GV đặt câu hỏi, phương trình chứa tích sint.cost hiệu sint –cost giúp cho nhớ phương trình nửa đối xứng học a(sint − cos t ) + b sint.cos t = c GV nhắc lại cho HS phương pháp giải phương trình nửa đối xứng HS áp dụng phương pháp giải sau Đặt u = sin t − cos t ; u ≤ − u2 Khi đó: sin t.cos t = Phương trình lượng giác ban đầu là: − u2 u+ = Đây phương trình bậc hai, HS tính − 3u + 2u − = Vì phương trình : − 3u + 2u − = vơ nghiệm Từ đó, phương trình ban đầu vơ nghiệm Những ví dụ làm rõ hai bốn kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa, là: Kỹ nhận dạng dấu hiệu lượng giác kỹ vận dụng tri thức lượng giác để giải toán trung gian Tuy nhiên, muốn hồn thiện lời giải tốn phương pháp lượng giác hóa, HS cần biết vận dụng đầy đủ bốn kỹ Để giúp HS rèn luyện cách thành thạo bốn kỹ này, mục 2.2 đây, xin đưa số tập hướng dẫn lời giải sau 2.2.BÀI TẬP RÈN LUYỆN 2.2.1 Bài tập Bài 1: Cho a + b = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A = a − 3a + 3b − b Bài 2: Cho a + b = R Chứng minh rằng: + 2kab − hb ≤ R h + k Bài 3: Cho a + b = R 3 Chứng minh 4ha − 3hR a − 4kb ≤ R h2 + k Bài 4: Cho 4x +9 y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức sau: B = x − y + 12 xy Bài 5: Cho a x + b2 y = Chứng minh rằng: h( a x − b y ) + k 2abxy ≤ h + k 30/40 Rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa Bài 6: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức C = 6a − a + 8a với a ≤ Bài 7: Chứng minh : h a − x − kx ≤ a h + k với a > Bài 8: Chứng minh 2hx a − x + k (2 x − a ) ≤ a h + k với a > Bài 9: Chứng minh : h( x x − y + y a − x ) + k ( xy − (a − x )(a − y ) ≤ a h + k ;∀ a > Bà i 10: Chứng minh rằng: h( a − b + b − a ) + k (ab − (1 − a )(1 − b )) ≤ h + k Bài 11: Cho a ≥ Chứng minh a2 − + α ≤ α +1 a Bài 12: Cho a ≥ α > Chứng minh : a2 − α + β α2 + β ≤ a α Bài 13: Cho a ≥ 1; b ≥ Chứng minh : a − + b − ≤ ab Bài 14: Cho x ≥ a; y ≥ a > Chứng minh rằng: A = x2 − a2 b + y − b2 a ≤ xy Bài 15: Cho a ≥ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: − 12 a − D= a2 Bài 16: Với n ∈ N , n ≥ 2 n n 2 n 2 n – (a + k ) ≤ (2ak ) + (k − a ) ≤ ( k + a ) Bài 17: 2 Chứng minh với x ta có: x − 24 x − ≤ 13( x + 1) Bài 18: Chứng minh với x; y ta có: 31/40 Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa −1 ( x − y )(1 − x y ) ≤ ≤ (1 + x ) (1 + y ) Bài 19: Chứng minh với x; y ta có: x( a − y ) + y (a − x ) ≤ (a + y )(a + x ) a Bài 20: Giải phương trình: + − x = x(1 + − x ) 2.2.2 Hướng dẫn lời giải Bài 1: Cho a + b = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của: C = a − 3a + 3b − b Giải: Từ giả thuyết đặt a = 2cos t ; b = 2sin t Khi đó, C = 8cos3 t − 6cos t + 6sin t − 8sin t = 2(4cos t − 3cos t ) + 2(3sin t − 4sin t ) = 2cos3t + 2sin 3t Từ đó, suy −2 ≤ C ≤ 2 Từ đó, suy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ C Bài 2: Cho a + b = R 3 Chứng minh : 4ha − 3hR a − 4kb ≤ R h2 + k Giải : Từ giả thuyết đặt a = R cos t ; b = R sin t Khi đó, ⇔ R 3h cos3 t − 3R 3h cos t + kR 3sin t − R 3k sin t ≤ R h + k ⇔ R h(4cos3 t − 3cos t ) + k (3sin t − 4sin t ) ≤ R h + k ⇔ h cos3t + k sin 3t ≤ h + k Bài 3: Cho a + b = R 3 Chứng minh : 4ha − 3hR a − 4kb ≤ R h2 + k Giải : Từ giả thuyết đặt a = R cos t ; b = R sin t Khi đó, ⇔ R 3h cos3 t − 3R 3h cos t + kR 3sin t − R 3k sin t ≤ R h + k 32/40 Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa ⇔ R h(4cos3 t − 3cos t ) + k (3sin t − 4sin t ) ≤ R h + k ⇔ h cos3t + k sin 3t ≤ h + k Bài 4: Cho 4x +9 y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức C = x − y + 12 xy Giải Từ giả thuyết đặt: 2x = cost; 3y = sint Khi đó: B = cos t − sin t + 2sin t.cos t −1 ≤ C ≤ Vậy − ≤ B ≤ Từ đó, kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bài 5: 2 2 Cho a x + b y = Chứng minh : h( a x − b y ) + k 2abxy ≤ h + k Giải Giả thuyết : Khi ⇒ đặt ax = cost , by = sint ⇔ h(cos t − sin t ) + k 2sin t.cos t ≤ h + k ⇔ h cos 2t + k sin 2t ≤ h + k (ln ) Bài 6: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức C= 6a − a + 8a a ≤1 Giải : Vì a ≤ nên đặt : a = cos α với ≤ α ≤ π Khi đó: C= 6a − a + 8a − C = 6cos α − cos α + 4(2cos α − 1) C = 3sin 2α + 4cos 2α Ta có: −5 ≤ C ≤ => −1 ≤ C ≤ Bài 7: 2 2 Chứng minh : h a − x − kx ≤ a h + k với a >0 (1) 33/40 với Rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa Giải: Giả thuyết  −π π  ⇒ x ≤ a ⇒ đặt = a sin α với α ∈  ;   2 Khi (1) ⇔ h a − a sin α + ka sin α ≤ a h + k ⇔ a h cos α + k sin α ≤ a h + k ⇔ h cos α + k sin α ≤ h + k (luôn đúng) Bài 8: Chứng minh 2hx a − x + k (2 x − a ) ≤ a h + k với a> (1) Giải Giả thuyết ⇒ x ≤ a , đặt x = acost với t ∈ [ 0;π ] Khi (1) ⇔ 2ha.cos t a (1 − cos t ) + ka (2cos t − 1) ≤ a h + k ⇔ a 2h.cos t.sin t + k cos 2t ≤ a h + k ⇔ h sin 2t + k cos 2t ≤ h + k (1) Bài 9: Chứng minh : với a > Ta có h( x x − y + y a − x ) + k ( xy − (a − x )(a − y ) ≤ a h + k Giải Giả thuyết ⇒ x ≤ a, y ≤ a  −π π  Đặt x = a sin α , y = a sin β với α , β ∈  ;   2 Khi đó: ⇔ (sin α cos β + sin β cos α ) + ka (sin α sin β − cos α cos β ) ≤ a h + k ⇔ (sin α cos β + sin β cos α ) + ka (sin α sin β − cos α cos β ) ≤ a h + k ⇔ h.sin(α + β ) − k cos(α + β ) ≤ h + k (luôn ) 34/40 Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa Bài 10: Chứng minh : h( a − b + b − a ) + k (ab − (1 − a )(1 − b )) ≤ h + k Giải h(sin α cos β + sin β cos α ) + k (sin α sin β − cos α cos β ) ≤ h + k ⇔ h(sin(α − β ) + k cos(α − β ) ≤ h + k (luôn ) Bài 11: Chứng minh a2 − + α ≤ α +1 a Giải : A = cos t (tan t + α = α cos t + sin t ≤ α + Bài 12: Cho a ≥ α > Chứng minh : a2 − α + β α2 + β2 ≤ a α Giải : Vì a ≥ α > Nên đặt a = α  π  π  , t ∈ 0; ÷∪  ;π  cos t  2 2  α tan t + β Ta có: A = α cos t cos t (α tan t + β ) α sin t + β cos t α2 + β2 = ≤ = α α α Bài 13: Cho a ≥ 1; b ≥ Chứng minh : a − + b − ≤ ab Giải: Ta có 35/40 Rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa ⇔ A= Đặt a = a − + b2 − ≤1 ab 1  π  π  ;b = , với α ; β ∈ 0; ÷∪  ;π  cos α cos β  2 2  Khi : A = tan α + tan β cos α cos β = cos α cos β (tan α + tan β ) = sin(α + β ) ≤ Bài 14: Cho x ≥ a; y ≥ a > Chứng minh rằng: A = x2 − a2 b + y − b2 a ≤1 xy Giải : Ta có : A = ab(tan α + tan β ) ab cos α cos β cos α cos β (tan α + tan β ) = sin(α + β ) ≤ Bài 15: Cho a ≥ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức − 12 a − a2 Giải: D= Giả thuyết ⇒đặt a=  π  π  , t ∈ 0; ÷∪  ;π  cos t  2 2  − 12 a − Khi A = = a2 = (5 − 12 tan t )cos 2t = 5cos t − 12sin t cos t 5 = + cos2t − 6sin 2t 2 Vì 5 13 cos 2t − 6sin 2t ≤ ( ) + = 2 36/40 Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa 13 13 − ≤ A≤ + hay -4 ≤ A ≤ 2 2 Vậy giá trị lớn 9, giá trị nhỏ A -4 Bài 16: Với n ∈ N , n ≥ Nên 2 n n 2 n 2 n – (a + k ) ≤ (2ak ) + (k − a ) ≤ ( k + a ) Giải: Ta có 2ak n k − a n ⇔ −1 ≤ ( ) +( ) ≤1 k + a2 k + a2 π Đặt a = k tant , t ≠ + kπ Khi : 2k tan t n 2k (1 − tan t ) n ) +( ) ≤1 -1 ≤ ( k (1 + tan t ) k (1 + tan t ) ⇔ −1 ≤ sin n t + cos n t ≤ Bài 17: Chứng minh : với x ta có x − 24 x − ≤ 13( x + 1) Giải : 5( x − 1) − 24 x ≤ 13 x2 + x = tanu , u ≠ π + kπ Khi 5(tan u − 1) − 12.2 tan u = −5cos 2u − 12sin 2u ≤ 13 tan u + Bài 18: Chứng minh với x,y ta có −1 ( x − y )(1 − x y ) ≤ ≤ (1 + x ) (1 + y ) Giải: Ta có: −1 ( x − y )(1 − x y ) ≤ ≤ (1 + x ) (1 + y ) 37/40 Rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa ⇔ −1 x (1 + y + y ) − y (1 + x + x ) ≤ ≤ (1 + x ) (1 + y ) −1 x2 y2 ⇔ ≤ − ≤ 2 2 (1 + x ) (1 + y )  −π π  ; ÷ Đặt x = tanu , y = tanv với u , v ∈   2 Khi ta có −1 −1 1 ≤ sin 2u − sin v ≤ 4 4 −1 −1 −1 1 ⇔ ≤ sin 2v ≤ sin 2u − sin 2v ≤ sin 2u ≤ 4 4 4 Bài 19: Chứng minh với x, y ta có x( a − y ) + y (a − x ) ≤ (a + y )(a + x ) a Giải : Với a> Đặt x = a tanu , y = atanv  −π π  ; ÷ u, v ∈   2 Khi ta có 2a tan u (1 − tan v) + 2a tan v(1 − tan v) ≤ a (1 + tan u )(1 + tan v) a 1 sin 2u.cos 2v + sin 2v.cos 2u ≤ a a ⇔ sin(2u − 2v) ≤ ( ) ⇔ Bài 20: + − x = x(1 + − x ) Giải  −π π  Đặt x = sin t , t ∈  ,   2 Khi phương trình trở thành : 38/40 Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa + − sin t = sin t (1 + − sin t ) ⇔ + cos t = sin t (1 + 2cos t ) t ⇔ 2cos = sin t + sin 2t t 3t ⇔ 2cos (1 − sin ) = 2 t   π  cos = t = x = ⇔ ⇔ ⇔  π  3t t = x =1 sin =  Vậy phương trình có nghiệm x= ,x=1 2.3 KẾT LUẬN CHƯƠNG Qua chương xây dựng hệ thống tập điển hình từ đơn giản đến phức tạp phân dạng hầu hết dạng tập bản, thường gặp chương trình tốn thpt Hệ thống tập với kỹ giải toán cần thiết như: Kỹ nhận dấu hiệu chuyển toán sang ngơn ngữ lượng giác, kỹ giải phương trình lượng giác, giúp học sinh dễ nhận dạng tìm cách giải toán cho toán cụ thể, giúp học sinh có hứng thú học tập với mơn tốn, góp phần phát triển lực giải tốn Sự phân dạng tập tạo điều kiện cho học sinh tùy theo lực chủ động, sáng tạo học tập, nghiên cứu chủ đề lượng giác hóa chương trình phổ thơng 39/40 Rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa KẾT LUẬN Qua vấn đề trình bày báo cáo rút số kết luận sau: Trong nhiệm vụ mơn tốn trường THPT, với việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ nhiệm vụ quan trọng, sở để thực nhiệm vụ khác Để rèn luyện kỹ giải toán, góp phần bồi dưỡng lực giải tốn cho học sinh cần đưa hệ thống tập đa dạng, hợp lí, xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ phát triển tư biết áp dụng toán học vào thực tiễn Báo cáo xây dựng hệ thống tập nhằm rèn luyện kỹ giải tập phương pháp lượng giác hóa với nội dung phong phú đề cập tới hầu hết tình điển hình mà học sinh hay gặp giải tốn phổ thơng lượng giác hóa Đáp ứng nhu cầu tự học, tự nghiên cứu học sinh, điều có tác dụng rèn luyện lực giải toán cho học sinh THPT 40/40 ... vững nội dung 1.3 MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA 7/40 Rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa Kỹ giải tập toán, đặc biệt giải toán phương pháp lượng giác hóa... nhằm góp phần rèn luyện kỹ cho HS 11/40 Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp lượng giác hóa CHƯƠNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Chương... dạy học giải toán, rèn luyện kỹ giải toán, bốn bước giải toán Polya Đồng thời tìm hiểu thực trạng THPT kỹ giải tốn phương pháp lượng giác hóa HS Từ xác định số kỹ cần thiết để HS giải toán phương