hình học oxy tương giao giữa đường thẳng và đường tròn

GV: THANH TÙNG TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG TRÒN - ĐƯỜNG THẲNG Giáo viên: Nguyễn Thanh Tùng I BÀI TOÁN Nội dung Cho đường tròn (C1 ) (C2 ) cắt hai điểm A, B Viết phương trình đường thẳng AB Cách giải chung (C )  A Cách 1: Tọa độ A, B nghiệm hệ     Phương trình AB (C1 )  B Cách 2: Giả sử (C1 ) : x  y  a1 x  b1 y  c1  (C2 ) : x  y  a2 x  b2 y  c2  Khi tọa độ A, B nghiệm hệ :  x  y  a1 x  b1 y  c1   (a1  a2 ) x  (b1  b2 ) y  c1  c2   2  x  y  a2 x  b2 y  c2  Suy phương trình AB : (a1  a2 ) x  (b1  b2 ) y  c1  c2  Chú ý: +) Ở cách giải có ưu điểm so với cách giải ta không cần biết tọa độ điểm A, B song hoàn toàn viết phương trình AB Trong cách để viết phương trình AB ta cần tìm cụ thể tọa độ hai điểm A, B +) Cách phù hợp cho toán cần tìm cụ thể tọa độ giao điểm hai đường tròn tường minh Còn cách thích hợp cho toán chứa tham số (ít hai phương trình đường tròn chưa tường minh) +) Đường thẳng AB trục đẳng phương hai đường tròn Ví dụ gốc Cho hai đường tròn (C1 ) : x  y  x  y  17  (C2 ) : x  y  x  y   cắt hai điểm A, B Viết phương trình đường thẳng AB Giải: Cách 1: Tọa độ A, B nghiệm hệ:  x  y  x  y  17   x  1; y   A(1; 2), B (3; 2)    2  x  3; y  2  A(3; 2), B (1; 2)  x  y  x  y   Suy phương trình đường thẳng AB : x  y   Cách 2: Tọa độ A, B nghiệm hệ: 2  x  y  x  y  17   12 x  y  24   x  y    2  x  y  x  y   Vậy phương trình đường thẳng AB : x  y   GV: THANH TÙNG II CÁC VÍ DỤ MỞ RỘNG Ví dụ (Khối B – 2006) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x  y  x  y   điểm M ( 3;1) Gọi A B tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C ) Viết phương trình đường thẳng AB Giải: (?) A M( 3;1) I(1;3) B +) Đường tròn (C ) có tâm I (1;3) bán kính R  IA  Ta có MI  , đó: MB  MA  MI  IA2  20   +) Suy A, B nằm đường tròn tâm M ( 3;1) bán kính , có phương trình: ( x  3)2  ( y  1)  16  x  y  x  y   2  x  y  x  y    x  y  12   x  y   +) Khi tọa độ A, B nghiệm hệ:  2  x  y  x  y   +) Vậy phương trình đường thẳng AB là: x  y   Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A , có trực tâm H ( 3; 2) Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B C Biết điểm A thuộc đường thẳng  : x  y   , điểm F ( 2;3) thuộc đường thẳng DE HD  Tìm tọa độ điểm A Giải: A(?) Δ: x 3y 3=0 I E F D H B C GV: THANH TÙNG +) Do ABC cân A nên HE  HD  , suy E , D thuộc đường tròn tâm H ( 3; 2) bán kính có phương trình: ( x  3)2  ( y  2)2   x  y  x  y   +) Gọi I trung điểm AH 5m  16m  20  3m m   Gọi A(3m  3; m)    I  IH ;    2    3m m   ; Ta có ADHE nội tiếp đường tròn tâm I   bán kính IH nên có phương trình:   2 3m   m   5m  16m  20   x  y  3mx  (m  2) y  7m   x  y       +) Khi tọa độ điểm E , D nghiệm hệ: 2  x  y  x  y    (6  3m) x  (m  2) y  m  18   2  x  y  3mx  (m  2) y  m   Suy phương trình ED : (6  3m) x  ( m  2) y  m  18  +) Do F ( 2;3)  ED  2(6  3m)  3( m  2)  m  18   m   A(3; 0) Vậy A(3; 0) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( 2; 1) , trực tâm H (2;1) BC  Gọi B ', C ' chân đường cao kẻ từ đỉnh B, C Lập phương trình đường thẳng BC , biết trung điểm M cạnh BC nằm đường thẳng có phương trình x  y   , tung độ M dương đường thẳng B ' C ' qua điểm N (3; 4) Giải: +) Do M nằm đường thẳng có phương trình x  y   nên gọi M (2m  1; m) với m  Vì B ', C ' nhìn BC góc vuông nên BCB ' C ' nội tiếp đường tròn  M ; MB  (với MB  BC  5) GV: THANH TÙNG 2 Do đường tròn (T ) qua điểm B , C , B ', C ' có phương trình:  x  2m  1   y  m   +) Đường tròn (T ') qua điểm A, B ', H , C ' nhận AH làm đường kính O(0;0) trung điểm AH làm tâm nên có phương trình: x  y  2 +) Do (T )  (T ')   B '; C ' nên B ' C ' có phương trình: x  y   x  2m  1   y  m    2(2m  1) x  2my  5m  4m   Mặt khác N (3; 4)  B ' C '  6(2m  1)  8m  5m  4m    m   m  m  1 (loại) Suy M (3;1)  +) Khi đường thẳng BC qua M (3;1) nhận AH  (4; 2)  2(2;1) làm vecto pháp tuyến nên có phương trình: 2( x  3)  ( y  1)   x  y   Vậy phương trình đường thẳng BC là: x  y   Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I (6; 6) ngoại tiếp đường tròn tâm J (4;5) Biết điểm A(2;3) Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác ABC Giải: +) Đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm I (6; 6) bán kính IA  nên có phương trình: ( x  6)2  ( y  6)  25 Ta có AD qua A(2;3), J (4;5) nên có phương trình : x  y   x   ( x  6)  ( y  6)  25  D(2;3)  A y  Khi tọa độ điểm D nghiệm hệ :     D(9;10) x   D(9;10) x  y 1     y  10 +) Gọi E giao điểm thứ hai BJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó:    AmE  EnC (góc nội tiếp chắn cung )    DqB  CpD   CpD   hay ECD   (1)  EnC AmE  DqB AmE  DqB GV: THANH TÙNG    EBD  sd ECD Mặt khác:  (2)     DJB  sd AmE  sd DqB    DJB  hay tam giác DBJ cân D , suy DB  DJ (*) Từ (1) (2) suy ra: EBD   DB  DC (2*) Lại có  A A   Từ (*) & (2*) suy ra: DB  DJ  DC hay D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC Suy B, C nằm đường tròn tâm D (9;10) bán kính DJ  có phương trình : ( x  9)  ( y  10)  50  x   ( x  6)  ( y  6)  25   y    B (2;9), C (10;3) Khi tọa độ B, C nghiệm hệ :   2   x  10  B (10;3), C (2;9) ( x  9)  ( y  10)  50    y  2 Vậy B (2;9), C (10;3) B (10;3), C (2;9) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : ( x  4)  y  điểm E (4;1) Tìm tọa độ điểm M trục tung, cho từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C ) (với A, B tiếp điểm) cho AB qua E Giải: +) Đường tròn (C ) có tâm I (4; 0) bán kính R  +) Gọi M (0; m)  Oy  IM  m  16  MA2  MB  MI  R  m  12 Suy A, B thuộc đường tròn tâm M bán kính MA có phương trình: x  ( y  m)  m  12 +) Khi tọa độ A, B nghiệm hệ: 2 2  x  ( y  m)  m  12  x  y  2my  12    x  my  12    2 2 ( x  4)  y   x  y  x  12  Suy phương trình AB : x  my  12  +) Mặt khác E (4;1)  AB  16  m  12   m   M (0; 4) Vậy M (0; 4) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (T ) : ( x  1)  ( y  1)  với tâm I điểm A(4;5) Từ A kẻ đường thẳng cắt đường tròn (T ) hai điểm B, C , tiếp tuyến B, C cắt K Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với IA , cắt (T ) E , F Xác định tọa độ điểm E , F GV: THANH TÙNG Giải:  a 1 b 1  ; +) Gọi K ( a; b) M   trung điểm IK   Do IBKC nội tiếp đường tròn tâm M bán kính MI  (a  1)  (b  1)2 nên B, C thuộc đường tròn có phương trình: 2 a 1   b 1  ( a  1)  (b  1)       x  y  (a  1) x  (b  1) y  a  b  x y     2     +) Do B, C thuộc đường tròn ( x  1)2  ( y  1)   x  y  x  y   Khi tọa độ B, C nghiệm hệ: 2  x  y  (a  1) x  (b  1) y  a  b   (a  1) x  (b  1) y  a  b    2  x  y  x  y   Suy phương trình đường thẳng BC : (a  1) x  (b  1) y  a  b   +) Do A  BC  4(a  1)  5(b  1)  a  b    3a  4b  12   +) EF  IA  (3; 4) EF qua K ( a; b) nên có phương trình: 3( x  a )  4( y  b)   3x  y  (3a  4b)   x  y  12   x  0; y  3 x  y  12  Khi tọa độ điểm E , F nghiệm hệ:   16 2 x  ; y  ( 1) ( 1) x   y    5   16   16  Vậy E  ;  , F  0;3 E  0;3 , F  ;   5  5 Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x  y  x  y   đường thẳng  : x  y   Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến 3  đường tròn (C ) ( với A, B tiếp điểm), đồng thời khoảng cách từ điểm N  1;  đến AB lớn 2  GV: THANH TÙNG Giải: +) Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2) bán kính R  IA  Gọi M ( m; m  1)   Để từ M kẻ hai tiếp tuyến tới (C ) : MI  R  (m  1)  (m  3)   2m  4m   (*) +) Ta có MB  MA  IM  R  2m  4m  Suy A, B thuộc đường tròn tâm M ( m; m  1) bán kính 2m  4m  có phương trình: ( x  m)2  ( y  m  1)2  2m  4m   x  y  2mx  2(m  1) y  2m  Khi tọa độ A, B nghiệm hệ: 2  x  y  2mx  2(m  1) y  2m   (m  1) x  (m  3) y  m    2  x  y  x  y   Suy phương trình AB : (m  1) x  (m  3) y  m   +) Gọi K ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà AB qua, : (m  1) x0  (m  3) y0  m   m  ( x0  y0  1)m  x0  y0  m   x0    x0  y0    1    K  ;   4  x0  y0   y   +) Gọi H hình chiếu vuông góc N lên AB , đó: d ( N , AB)  NH  NK  26 H  K hay NK  AB (2*)     Mà ta có: NK    ;     (1;5) u AB  (m  3;1  m)  4 Suy (2*)  m   5(1  m)   m  (thỏa mãn (*)) Suy d ( N , AB ) max  Vậy M (2;3) 26 GV: THANH TÙNG Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (T ') : x  y  điểm A(1;3) Viết phương trình đường tròn (T ) qua A tâm đường tròn (T ') , đồng thời cắt đường tròn (T ') hai điểm B, C cho khoảng cách tư điểm A đến đường thẳng BC lớn Giải: +) Gọi I tâm R bán kính đường tròn (T ) , đó: R  IO  IA Suy I thuộc đường trung trực OA có phương trình  : x  3y   +) Khi I (5  3m; m)   bán kính: R  OI  10m  30m  25 Suy phương trình đường tròn (T ) : ( x  3m  5)2  ( y  m)  10m  30m  25  x  y  2(3m  5) x  2my  Khi tọa độ B, C nghiệm hệ:  x  y  2(3m  5) x  2my   2(3m  5) x  2my    2  x  y  Suy phương trình BC : 2(3m  5) x  2my   +) Ta có d ( A, BC )  4(3m  5)  4m Dấu “=” xảy m   3  40  m    10 2   10 hay phương trình đường tròn (T ) : x  y  x  y  Ví dụ Cho đường tròn (C ) : x  y  3x  y  12  điểm A(1; 2) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD nội tiếp (C ) có diện tích Biết AB chiều dài hình chữ nhật B có hoành độ nguyên Giải: 10 3 7 +) Đường tròn (C ) có tâm I  ;  bán kính R  Khi I trung điểm AC  C (2;5) 2 2  AB  a +) Đặt  (với a  b  ) :  AD  b GV: THANH TÙNG a  2 S ABCD  ab  a  (loại)     2 2 a  b  10  AB  AD  BD  R b  b  2 +) Vậy AB  2  B thuộc đường tròn tâm A(1; 2) bán kính R '  2 có phương trình: ( x  1)2  ( y  2)2   x  y  x  y   +) Khi tọa độ điểm B nghiệm hệ:  x   x  y  x  y  12  x   x  y  15   x  15  y      (loại)   2  x  y  x  y   y  x  y  2x  y   5 y  44 y  96   y  24   B (3; 4)  D(0;3) ( I trung điểm BD ) Vậy B (3; 4), C (2,5) D(0;3) Ví dụ 10 Cho đường tròn (C ) : x  y  x  y   Viết phương trình đường tròn (C ') tâm M (5;1) biết (C ') cắt (C ) hai điểm A, B cho AB  Giải: +) Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2) bán kính R  Cách 1: +) Gọi (C ') có bán kính R ' , (C ') có phương trình: ( x  5)2  ( y  1)  R '2  x  y  10 x  y  16  R '2  Suy phương trình AB có dạng: x  y  R '2  24  +) Ta có AB   IAB  d ( I , AB )    12  R '2  24 82  AB 3  2  R '2  43   R '  28  15   2  R '  13 +) Vậy đường tròn (C ') cần lập : ( x  5)2  ( y  1)  43 ( x  5)  ( y  1)  13 Cách 2: +) Gọi (C ') có bán kính R ' Ta có MI  3 AB  IH  IA2  AH     2 13 +) Khi MH  MI  IH    MH  MI  IH    2 2 Gọi IM  AB  H   AH    R '  MA      R '  MA    2 7  3   13         2  13      43        +) Vậy đường tròn (C ') cần lập : ( x  5)  ( y  1)  13 ( x  5)2  ( y  1)  43 GV: THANH TÙNG Ví dụ 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn (C1 ) : x  y  18 x  y  65  (C2 ) : x  y  Từ điểm M thuộc đường tròn (C1 ) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C2 ) với hai tiếp điểm A, B Tìm tọa độ điểm M , biết độ dài đoạn AB  4,8 Giải: +) Đường tròn (C2 ) có tâm O(0;0) bán kính R  OA  Gọi H giao điểm OH AB , suy AH  AB 4,8 12   2 OA2  OM  5 OH +) Vậy M nằm đường tròn tâm O bán kính có phương trình: x  y  25 +) Suy tọa độ điểm M nghiệm hệ : Suy OH  OA2  AH   x    x  y  25  x  y  25  y   M (4;3)     2  x   x  y  18 x  y  65   M (5; 0) 3 x  y  15     y  Vậy M (4;3) M (5; 0) Ví dụ 12 Cho đường tròn (C ) : ( x  1)2  ( y  2)2  điểm K (3; 4) Lập phương trình đường tròn (T ) tâm K cắt đường tròn (C ) hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB lớn với I tâm đường tròn (C ) Giải: +) Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2) bán kính R  +) Ta có: S IAB  R2 R2 IA.IB.sin AIB = sin AIB  Dấu “=” xảy sin AIB =  AIB  900 2 R2 Vậy S IABmax  IAB vuông I  AB  R  2 +) Khi toán tương tự Ví dụ 10 nên ta có đáp số Đường tròn (T ) cần lập : ( x  3)  ( y  4)  ( x  3)  ( y  4)  20 GV: THANH TÙNG Ví dụ 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x  y  x  y   Viết phương trình đường tròn có tâm K (1;3) cắt đường tròn (C ) hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB , với I tâm đường tròn (C ) Giải: +) Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2) bán kính R  2 IH AB  R  AH AH   a a   a (8  a )  16  (a  4)2   a   a   AH   AB  +) Gọi IM  AB  H  đặt AH  a , : S IAB  +) Khi toán tương tự Ví dụ 10 nên ta có đáp số Đường tròn (C ) cần lập : ( x  1)  ( y  3)  13 ( x  1)  ( y  3)  53 Ví dụ 14.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn (C1 ) : ( x  1)  ( y  2)  (C2 ) : ( x  2)  ( y  10)  Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD , biết điểm A thuộc (C1 ) , điểm C có tọa độ nguyên thuộc (C2 ) đỉnh B, D thuộc đường thẳng x  y   Giải: +) Gọi (T ) đường tròn đối xứng với (C1 ) qua đường thẳng d Khi tâm I (T ) đối xứng với tâm I1 (1; 2) qua đường thẳng d có bán kính R  R1  +) Đường thẳng II1 có phương trình: x  y   Khi tọa độ giao điểm H II1 d nghiệm hệ:  x  x  y      H   ;   I (4;7)      2 x  y   y   +) Khi phương trình đường tròn (T ) : ( x  4)  ( y  7)  Do A, C đối xứng qua d nên A  (C1 )  C  (T ) Suy tọa độ điểm C nghiệm hệ: ( x  4)  ( y  7)    2 ( x  2)  ( y  10)  16  x   x  4   16 106  13   C ( 4;10) C   ;   (loại)  13 13   y  10  y  106  13 GV: THANH TÙNG Do A đối xứng với C qua d nên đường thẳng AC có phương trình: x  y   Khi tọa độ giao điểm K AC d nghiệm hệ: x  y   x    K (0; 6)  A(4; 2)  x  y   y  +) Đường tròn tâm K ngoại tiếp hình vuông ABCD có bán kính KA  có phương trình: x  ( y  6)2  32 Khi tọa độ điểm B, D nghiệm hệ :  x  ( y  6)  32  x  4   y  x  y     Vậy A(4; 2), B ( 4; 2), C ( 4;10), D (4;10) x   B (4; 2), D (4;10)    B (4;10), D ( 4; 2)  y  10 A(4; 2), B (4;10), C ( 4;10), D( 4; 2) CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU GV: Nguyễn Thanh Tùng ... (2;3) 26 GV: THANH TÙNG Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (T ') : x  y  điểm A(1;3) Viết phương trình đường tròn (T ) qua A tâm đường tròn (T ') , đồng thời cắt đường tròn (T ')... phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x  y  x  y   đường thẳng  : x  y   Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến 3  đường tròn (C ) ( với... phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (T ) : ( x  1)  ( y  1)  với tâm I điểm A(4;5) Từ A kẻ đường thẳng cắt đường tròn (T ) hai điểm B, C , tiếp tuyến B, C cắt K Qua K kẻ đường thẳng vuông