Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải một số dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL Ng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO

GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

Người thực hiện: Phạm Thị Tuyết Lan Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Hà Yên SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019

MỤC LỤC

1 Mở đầu 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Các giải pháp thực hiện 3

2.3.1 Kiến thức cơ bản 3

2.3.2 Một số dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng và parabol 4

Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol 4

Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol 5

Dạng 3: Biện luận số giao điểm của đường thẳng và parabol 7

Dạng 4: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao giữa của đường thẳng và parabol thỏa mãn điều kiện cho trước 9

Dạng 5: Chứng minh về vị trí tương đối giữa của đường thẳng và parabol 13

Dạng 6: Vị trí tương đối giữa parabol và đường thẳng qua bài toán thực tế, bài toán sử sụng bất đẳng thức 15

2.4 Hiệu quả sáng kiến 17

3 Kết luận, kiến nghị 18

3.1 Kết luận 18

3.2 Kiến nghị 18

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình môn toán THCS có 11 tiết giảng dạy về hàm số bậcnhất và có 5 tiết nói về hàm số y = kx2 (k ≠ 0) nhưng chưa có tiết nào nói về sự cụthể hóa của sự tương giao giữa đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và parabol y = kx2

(k ≠ 0) Mặt khác bài toán về sự tương giao này là một trong những chủ đề cơbản thường gặp trong các kỳ thi học kỳ 2 lớp 9, kỳ thi vào lớp 10; thi học sinhgiỏi và hơn thế nữa nó là phần quan trọng giúp các em học sinh, học tốt nhữngnăm ở cấp 3 Nắm vững được kiến thức này nó còn giúp cho học sinh thấy đượcmối liên hệ của chúng với nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn Xuất phát từthực tế đó là một giáo viên dạy lớp 9 nhiều năm và liên tục ôn thi cho học sinhthi vào lớp 10, bản thân tôi nhận thấy cần phải dạy cho học sinh mà đặc biệt làhọc sinh lớp 9 nắm chắc được các dạng toán, các bài toán về sự tương giao giữađường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và parabol y = kx2 (k ≠ 0) thông qua các buổi phụđạo, các tiết ôn tập, các tiết ôn thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi Xuất phát từ ýtưởng đó ngay từ đầu năm học 2016 - 2017 tôi đã có hướng nghiên cứu vấn đềnày bằng những phương pháp có thể thực hiện được và tôi lấy tên đề tài là:

“Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải một số dạng toán về sự tương giao

giữa đường thẳng và parabol"

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Việc hướng dẫn học sinh quan hệ giữa parabol và đường thẳng đượcnghiên cứu trên đối tượng học sinh khối lớp 9 trường THCS Hà Yên

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết:

+ Nghiên cứu Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập toán 9

+ Nghiên cứu các tài liệu tham khảo

- Nghiên cứu thực tiễn:

+ Nghiên cứu qua việc giảng dạy thực tế ở trường THCS Hà Yên

+ Qua dự giờ đồng nghiệp trong nhà trường và qua trao đổi, học hỏi cácthầy, cô giáo đi trước nhiều kinh nghiệm

+ Qua trao đổi trực tiếp với học sinh tìm hiểu những khó khăn, qua cácbài kiểm tra và vở bài tập của học sinh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong thực tế khi giảng dạy cho học sinh cuối cấp đòi hỏi người giáo viêncần phải cô đọng, khắc sâu, ghi nhớ cho học sinh những kiến thức cơ bản, nhữngdạng toán điển hình và thường gặp để giúp các em dễ dàng nhớ được và vậndụng tốt hơn trong kỳ thi quan trọng, nếu không làm tốt điều đó thì học sinh họcrất nhàm chán và thi cử kết quả sẽ thấp Mặt khác, trong kỳ thi vào lớp 10 THPTtrong các năm gần đây thì năm nào dạng toán liên quan đến kiến thức về hàm sốcũng chiếm khoảng 1,0 điểm đến 2,0 điểm trong tổng số 10 điểm toàn bài, màtrong thực tế giảng dạy ở chương trình lớp 9 thì lại chưa dành riêng 1 tiết lý thuyết,luyện tập trọn vẹn nói về mối quan hệ giữa đường thẳng (d) và parabol (P) Vì thếviệc giải bài toán về sự tương giao giữa (d) và (P) trong chương trình, trong cáctiết luyện tập, ôn tập là việc làm rất cần thiết giúp các em củng cố được kiếnthức và có một dạng toán hay, cơ bản để ôn tập thi vào lớp 10 THPT để các emđạt được kết quả cao hơn và tích lũy được nhiều kiến thức cho những năm họctiếp theo

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong các năm gần đây thì kỳ thi vào lớp 10 THPT chuyên hay khôngchuyên, các kỳ thi học sinh giỏi; các kỳ thi học kỳ, đều chiếm khoảng 1

4 lượngkiến thức giữa đường thẳng (d) và parabol (P) Song một số bộ phận học sinhchưa ham học, chưa nắm vững kiến thức nên không làm được mà theo tôi thìnguyên nhân của nó là:

- Thứ nhất: Do các em không chăm học, không chịu trau dồi kiến thức vềhàm số

- Thứ hai: Do trong giờ học các em không tập chung chú ý nghe giảng,nên không lĩnh hội được kiến thức, nên khi vận dụng kiến thức vào giải bài tậpcác em không thể làm trọn vẹn được

- Thứ ba: Do lực học của các em trong 1 lớp chưa đồng đều

- Thứ tư: Do cấu trúc chương trình học chưa đề cập rõ nét về sự tươnggiao này

- Thứ năm: Một số giáo viên cô khi ôn tập cho học sinh, bồi dưỡng chohọc sinh chưa nhiệt tình, chưa có nhiều kinh nghiệm, nên việc ôn tập chưa có hệthống và chưa sát với thực tế

Từ những nguyên nhân và thực trạng trên, khi nghiên cứu đề tài tôi đãkhảo sát 61 học sinh lớp 9 trường THCS Hà Yên năm học 2017 - 2018 sau khihọc xong chương 4 hàm số y = ax2 đại số 9, tôi thu được kết quả như sau:

Lớp Sỹ số Học sinh giảithành thạo Học sinh còn sailầm Học sinh giải sai nhiềuvà chưa biết giải9A 31 em 8 em chiếm 25% 10em chiếm 33% 13em chiếm 42%9B 30 em 8 em chiếm 27% 10 em chiếm 33% 12 em chiếm 40%

Từ thực tế khảo sát trên cho thấy nhiều học sinh vẫn chưa làm tốt dạngtoán này do đó mà hiệu quả dạy và học chưa cao

2.3 Các giải pháp thực hiện

2.3.1 Kiến thức cơ bản

Ghi nhớ lý thuyết kiến thức cơ bản về hàm số y = ax + b (a ≠ 0) vàparabol y = kx2 (k ≠ 0) và sự tương giao của nó

a/ Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và (d’): y = a'x + b' (a'≠ 0)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d') là nghiệm củaphương trình: ax + b = a'x + b' (a - a')x = b – b' (1)

a Nếu (d) // (d')  phương trình (1) vô nghiệm  a = a' và b ≠ b'

b Nếu (d) cắt(d') phương trình (1) có 1 nghiệm  a ≠ a'

c Nếu (d) vuông góc (d')  a.a' = -1

d Nếu (d) trùng (d')  a = a' và b = b' phương trình (1) có vô số nghiệm

b/ Vị trí tương đối giữa đường thẳng và parabol

Cho parabol (P): y = kx2 (k ≠ 0) và đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) khi đó

Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol (P) và đường thẳng(d) là nghiệm của phương trình: kx2 = ax + b  kx2 - ax - b = 0 (*)

- Parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung  Phương trình(*) vô nghiệm tức là  <0

- Parabol (P) và đường thẳng (d) có một điểm chung (tiếp xúc)  Phươngtrình (*) có nghiệm kép và hoành độ tiếp điểm chính là nghiệm kép của phươngtrình tức là  = 0

- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng hai điểm chung (cắt nhau)

 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt tức là  > 0

c/ Giải phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Các cách giải phương trình bậc hai :

- Công thức nghiệm:  = b2 - 4ac

Nếu:  < 0: Phương trình vô nghiệm

- Công thức nghiệm thu gọn: ’ = (b’)2 - ac

’ < 0: Phương trình vô nghiệm

’ = 0: Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

’ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = -b' + '

a ; x2 =

 -b' - ' a

- Nhẩm theo hệ số a, b, c

Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 =

Nếu a - b + c = 0 thì x1 = -1; x2 =

d/ Một vài lưu ý

Nếu A(xa ; ya); B(xb;yb) thì độ dài AB  (x a x b) 2  (y a y b) 2

* Nếu hàm số y= f(x) có đồ thị là (C) và điểm M(xm; ym) thuộc đồ thị (C)

ta có: ym = f(xm)

* Nếu N(xn; yn) không thuộc (C) thì yn ≠ f(xn)

* Cho y = ax + b (a ≠ 0) (d) và y = a'x + b' (a'≠ 0) (d')

- Nếu (d) cắt (d') tại 1 điểm trên trục tung thì b = b'

- Nếu (d) cắt (d') tại 1 điểm trên trục hoành thì ax+b=0

- Nếu (d) cắt (d') tại 1 điểm nằm phía bên trái trục tung thì hoành độ giaođiểm của nó nhận giá trị âm x = b b

- Ta có hoành độ giao điểm giữa đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và

parabol (P): y = kx2 (k ≠ 0) là nghiệm của phương trình:

Ví dụ 2: Cho Parabol y = x và đường thẳng y = 2x - 3 Xác định hoành độ giao

điểm của hai đồ thị?

Vậy Parabol và đường thẳng tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ là 3

Ví dụ 3: Tìm hoành độ giao điểm giữa parabol y = 2x2 và đường thẳng y = 7x - 5

Hướng dẫn giải:

Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình:

2x2 = 7x -5

 2x2 - 7x + 5 = 0

Có 2 + (-7) + 5 = 0  Phương trình có hai nghiệm: x1 = 1, x2 =

Vậy đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm có hoành độ là 1 và

* Sai lầm học sinh thường mắc phải

Mặc dù đây là dạng toán áp dụng công thức đơn giản nhưng trong quátrình làm bài tập tôi thấy học sinh vẫn mắc sai lầm như sau:

- Quên hoặc áp dụng sai các phép biến đổi tương đương các phương trình

- Sai lầm trong tính toán

* Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này

- Ôn tập lại các phép biến đổi tương đương các phương trình

- Luyện kĩ năng tính toán cho học sinh

- Luyện cho các em tính cẩn thận soát lại bài sau khi giải xong

* Bài tập tương tự

Bài 1: (Đề thi kỳ II – Thanh Hóa, 2017 - 2018)

Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x+3

a Vẽ parabol (P)

b Tìm hoành độ giao điểm đó

Bài 2: (Đề thi kỳ II – Ninh Bình, 2017 - 2018)

Vẽ Parabol y = 2x2 (P) và đường thẳng y = x - 2 (d) trên cùng một mặtphẳng toạ độ Tìm hoành độ giao điểm?

Ví dụ 2: Cho Parabol y = x2 và đường thẳng y = 2x - 4 Xác định toạ độ giaođiểm giữa Parabol và đường thẳng trên?

Hướng dẫn giải:

Hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình:

x2 = 2x – 4  x2 - 2x + 4 = 0  x2 - 8x + 16 = 0

Ta có: ’ = (b’)2 - ac = (-4)2 - 16 = 16 - 16 = 0

Phương trình có nghiệm kép: x = = - (-4) = 4

Với x = 4  tung độ giao điểm y = 2 4 - 4 = 4 thì toạ độ giao điểm của(P) và (d) là (4; 4)

Vậy đường thẳng y = 2x - 4 tiếp xúc Parabol y = x2 tại điểm (4; 4)

Ví dụ 3: (Thi học kỳ II – Thanh Hóa năm 2015 – 2016)

Cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = 3x + 5

Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)?

+ Với x2 = 5

2  y2 = 2

2

5 2

* Sai lầm học sinh thường mắc phải

Mặc dù đây là dạng toán áp dụng công thức đơn giản nhưng trong quátrình làm bài tập tôi thấy học sinh vẫn mắc sai lầm như sau:

- Quên hoặc áp dụng sai các phép biến đổi tương đương các phương trình

- Sai lầm trong tính toán

- Đôi khi học sinh lại vẽ hai đồ thị lên mặt phẳng tọa độ rồi tìm giao điểm.Tuy nhiên nếu gặp những bài mà x, y không phải là số nguyên thì tìm tọa độbằng đồ thị sẽ khó chính xác

- HS tính ra hai hoành độ giao điểm nhưng kết luận là tọa độ giao điểm

* Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này

Giáo viên hướng dẫn học sinh giải như các ví dụ trên và lưu ý khắc sâucho học sinh kỹ năng giải phương trình bậc hai

- Chỉ rõ cho HS sự khác nhau khi bài toán hỏi “Hoành độ giao điểm vớitọa độ giao điểm”

* Bài tập tương tự:

Bài 1: Xác định toạ độ giao điểm của Parabol y = x2 và đường thẳng y = 7x - 12

Bài 2: (Đề thi vào THPT - Chuyên Lê Hồng Phong Thành phố Hồ Chí Minh)

Cho parabol (P): y = 1

4x2 và đường thẳng (d): y = -1

2x + 2

a Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d).

b Tìm toạ độ của điểm M thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của(P) song song với (d)

Bài 3 : Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = -4x + 3

a Xác định toạ độ giao điểm của (d) và (P) ?

b Tìm toạ độ của các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó songsong với đường thẳng (d)

Dạng 3:

Biện luận số giao điểm của đường thẳng và parabol

* Cách giải chung:

Số giao điểm giữa Parabol y = kx2 (k≠ 0) và đường thẳng y = ax + b (a≠ 0) là

số nghiệm của phương trình:

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 2(m - 1)x - m2 - 9

Tìm m để:

a (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b (d) tiếp xúc (P) tại một điểm

 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

 ’ > 0

 - 2m - 8 > 0

 - 2m > 8

 m < -4Vậy với m < -4 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) (d) tiếp xúc (P) tại một điểm

c) (d) không cắt (P)

 Phương trình (1) vô nghiệm

 ’ < 0

 - 2m - 8 < 0

 - 2m < 8

 m > -4Vậy với m > -4 thì (d) không cắt (P)

Ví dụ 2: Cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 6mx - 8m2 Với giá trịnào của m để:

a (d) không cắt (P)

b (d) tiếp xúc (P) Tìm toạ độ giao điểm?

c (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt? Tìm toạ độ giao điểm khi m = -1

Thay m = 0 vào phương trình (2) ta được: (2)  x2 = 0  x = 0

Thay x = 0 vào hàm số y = x2 ta được : y = 02 = 0

Vậy với m = 0 thì (d) tiếp xúc với (P) tại gốc toạ độ O (0; 0)

c (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  ’ > 0

 Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt  m2 > 0  m m00



Thay m = -1 vào phương trình (2) ta được:

(2)  x2 + 6x + 8 = 0

’ = 32 - 8 = 9 - 8 = 1 > 0 = = 1 Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 = - 3 + 1 = -2 ; x2 = -3 - 1 = - 4Lần lượt thay các giá trị x1 = - 2, x2 = - 4 vào hàm số y = x2 ta được:

y1 = (- 2)2 = 4 ; y2 = (- 4)2 = 16Với m > 0 hoặc m < 0 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Tại m = -1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm: (- 2; 4) và (- 4; 16)

* Sai lầm học sinh thường mắc phải

- Quên lý thuyết về công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, nhẩmnghiệm của phương trình bậc hai

- Sai lầm trong tính toán

- HS không nêu hết các trường hợp xảy ra

* Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này

Ôn tập lại công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, nhẩm nghiệmcủa phương trình bậc hai

a Với giá trị nào của m thì (d) tiếp xúc với (P).

b Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Bài 3: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x + m Với giá trị nào của

m thì đường thẳng (d):

a Cắt (P) tại hai điểm phân biệt?

b Tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm?

Ví dụ 1: Dạng toán về đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ

thỏa mãn điều kiện cho trước (Đề thi vào THPT - Thanh Hóa năm 2013 – 2014)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y2ax1 và Parabol(P): y2x2

Tìm a để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành

độ lần lượt là x x1, 2thoả mãn điều kiện: 2 2

Ví dụ 2: Dạng toán về đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có độ dài

cho trước:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d):

y = x + m Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 2

Hướng dẫn giải :

Hoành độ của giao điểm giữa (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

x² - x - m = 0Muốn cho (d) và (P) cắt nhau ở hai điểm phân biệt A, B, ta phải có:

Δ = 1 + 4m > 0 hay m > 1

4



Trong điều kiện đó, gọi x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình

Tọa đô của A và B lần lượt là: (x₁, x₁²) và (x₂, x₂²) Ta có:

AB² = (x₁ - x₂)² + (x₁² - x₂²)² = (x₁ - x₂)² + (x₁ - x₂)²(x₁ + x₂)²

m  thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 2

Ví dụ 3: Dạng toán về đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có độ dài

nhỏ nhất:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d):

y = 2mx - m 2 + m - 3 Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ

x1 ; x 2 sao cho x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất