Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 44 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
44
Dung lượng
735,54 KB
Nội dung
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy Sau trích đoạn từ thảo sách: 10 BÀI TOÁN TRỌNG ĐIỂM TƯ DUY ĐỘT PHÁ – CHÌA KHÓA GIẢI NHANH HÌNH HỌC PHẲNG OXY Mọi thông tin chi tiết bạn tham khảo qua: Web: http://www.toanmath.com/ Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy LỜI MỞ ĐẦU Có lẽ thị trường sách tham khảo chưa “phát triển” Bởi với bạn đọc, để tìm sách chủ đề lại gặp nhiều khó khăn Không phải khan hiếm, mà bạn đọc đứng trước nhiều lựa chọn Khi cầm tay sách này, chắn bạn băn khoăn liệu có phải sách phù hợp dành cho bạn Nếu đọc vài trang đầu, chắn bạn chưa cảm nhận hết cách viết ý tưởng mà tác giả muốn gửi gắm thông qua sách Bạn hình dung ý tưởng việc giải toán, giống bạn phải tìm đường để đích chọn đường ngắn điều muốn hướng tới Để làm tốt điều này, hành trình tìm đích đến, thường nhớ tới mốc, địa điểm dễ nhớ gắn liền với đích đến Và sách tác giả thiết kế dựa ý tưởng đó, cách tạo “điểm mốc” thông qua 10 toán gốc Trên đường để tìm đến “đáp số” bạn cần toán Nghĩa nhìn thấy chúng, bạn biết cách để tìm lời giải cho toán Đây 10 toán quan trọng, “linh hồn” để tạo toán khác Có thể có nhiều bạn ngạc nhiên đọc nội dung toán gốc, thực đơn giản Nhưng bạn có biết rằng, ý tưởng lấy từ toán “nguồn cảm hứng” cho câu hỏi xuất đề thi quốc gia Chúng gần giải hầu hết toán thi Đại Học năm vừa qua tác giả tin có giá trị nhiều kì thi Quốc Gia tới Mong với cách tiếp cận hoàn toàn giúp bạn đọc thấy thích thú việc chinh phục câu hỏi liên quan đến hình học phẳng Oxy không vấn đề lớn bạn Cũng hi vọng sách giúp ích cho bạn học sinh trình học tập, ôn thi cách chủ động, tự tin bước vào kì thi Quốc Gia tài liệu tham khảo hữu ích cho thầy cô trình giảng dạy Trong sách tác giả giới thiệu tới bạn phần: PHẦN 1: TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN PHẦN 2: NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN PHẦN 3: 10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG OXY PHẦN 4: SÁNG TẠO VÀ PHÁT TRIỂN TỪ CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN TÚY PHẦN 5: BÀI TẬP TỔNG HỢP TỰ LUYỆN Mặc dù nghiêm túc trình biên soạn, song chắn không tránh khỏi sai xót khiếm khuyết Rất mong nhận phản hồi, góp ý xây dựng từ phía bạn đọc, để sách hoàn thiện cho lần tái sau Mọi ý kiến đóng góp mong gửi địa chỉ: Nguyễn Thanh Tùng Số – Ngõ 880 – Bạch Đằng – Hai Bà Trưng – Hà Nội theo e-mail: giaidaptoancap3@yahoo.com Trân trọng cảm ơn ! Tác giả Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy PHẦN 3: 10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC OXY BÀI TOÁN A NỘI DUNG BÀI TOÁN Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng biết phương trình cách điểm I cho trước khoảng không đổi R ( MI R cons t ) B CÁCH GIẢI CHUNG Có thể trình bày lời giải toán theo cách (bản chất một) MI R C1: Gọi M (t ) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ C2: Tọa độ điểm M nghiệm hệ : (C ) ( (C) đường tròn tâm I bán kính R) f (t ) t ? M GIẢI THÍCH CHI TIẾT : Nghĩa gặp toán có nội dung Bài toán ta tìm điểm theo cách trình bày sau: 1) Cách (C1): *) Do M thuộc đường thẳng biết phương trình nên ta tham số hóa điểm M theo ẩn t Cụ thể đề cho đường thẳng dạng : x x0 at x x0 y y0 +) Tham số : tắc: ta gọi M ( x0 at ; y0 bt ) a b y y0 bt x 1 t Ví như: M thuộc đường thẳng : ta gọi M (1 t; 2 3t ) y 2 3t +) Tổng quát ax by c , để việc gọi điểm M đơn giản tránh tọa độ viết dạng phân số ta nên gọi sau: Nếu a hay : x by c ta gọi M ( c bt ; t ) Ví : x y gọi M (5 3t ; t ) Nếu b hay : ax y c ta gọi M (t ; c at ) Ví : x y gọi M (t ;1 2t ) (với a 1 b 1 ta làm tương tự) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy a Nếu (ở ( a, b, c) ) ta chuyển dạng tham số để gọi M b x 3t Ví : x y ( u (3;2) , qua M (0; 1) ) : M (3t ; 1 2t ) y 1 2t (Đây là “tiểu tiết” nhỏ - song tạo cho thói quen việc tính toán giảm nhẹ hạn chế khả sai xót bước tính toán ) *) Khi việc sử dụng kiện MI R giúp ta thiết lập phương trình chứa t ( f (t ) 0) , từ giải phương trình tìm t suy tọa độ điểm M 2) Cách (C2): Do MI R nên M thuộc đường tròn (C ) tâm I , bán kính R Khi tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình (một phương trình phương trình đường tròn (C ) ) : (C ) C VÍ DỤ GỐC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I (5; 2) đường thẳng : x y Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho MI Bài giải: Cách 1: +) Vì M nên gọi M (t; 2t 3) M (1;5) t +) Ta có MI MI 25 (t 5) (2t 1) 25 5t 6t 17 t M ; 5 2 2 Cách 2: +) Có: MI nên M thuộc đường tròn (C ) tâm I R có phương trình: ( x 5) ( y 2) 25 x y M (1;5) x y +) M nên tọa độ điểm M nghiệm hệ: x 17 2 M ; ( x 5) ( y 2) 25 5 17 y Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy Nhận xét: *) Với C1 không cần quan tâm tới toán tương giao đường thẳng đường tròn (đề cập C2) giải theo phương pháp đại số thông thường *) Với C2 ta thấy rõ chất toán (điểm cần tìm giao đường thẳng đường tròn) *) C1 C2 hai cách trình bày khác phương pháp giải hệ phương trình *) Nếu tìm điểm M IM ( hay đường tròn ( I ; R ) tiếp xúc với M ) *) Tùy vào kiện toán, linh hoạt trình bày theo C1 C2 ( C2 “mạnh” C1 đề cập tới điểm có vai trò – bạn thấy rõ điều qua ví dụ minh họa phần sau) D CÁC VÍ DỤ MỞ RỘNG Như để chuyển toán Bài toán 1, ta cần được điều : +) Điểm cần tìm thuộc đường thẳng biết phương trình +) Điểm cần tìm cách điểm biết tọa độ khoảng không đổi Vì để có điều bạn cần trả lời câu hỏi: Chùm câu hỏi 1: Điểm cần tìm thuộc đường ? Đường biết phương trình chưa? Nếu chưa có viết không? Viết cách nào? Chùm câu hỏi 2: Điểm cần tìm cách điểm cho trước (đã biết tọa độ ) khoảng ? Cắt nghĩa kiện toán để tính khoảng cách đó? Và hỏi “thiết kế” qua cách đề sau: CÁCH RA ĐỀ 1: Cho biết M thuộc đường thẳng điểm I cho trước, độ dài IM đề không cho Cần “cắt nghĩa” kiện toán để tính độ dài đoạn IM Ví dụ (D – 2006) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x y x y đường thẳng d : x y Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C ) , tiếp xúc với đường tròn (C ) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy Phân tích : *) M d : x y I (1;1) *) (C ) : khai thác kiện suy MI 3R chuyển Bài toán R Giải : +) Đường tròn (C ) có tâm I (1;1) bán kính R +) Gọi A điểm tiếp xúc đường tròn tâm M đường tròn (C ) Suy : MI MA AI R R 3R +) Gọi M (t ; t 3) d t M (1; 4) Khi MI MI (t 1)2 (t 2)2 t t t 2 M (2;1) +) Vậy M (1; 4) M ( 2;1) Ví dụ (A – 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng : x y đường tròn (C ) : x y x y Gọi I tâm (C ) , M điểm thuộc Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C ) ( A , B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Phân tích: *) M d : x y *) S MAIB S MBI BI MB 5.MB 10 MB MI chuyển Bài toán Giải : I (2;1) +) Ta có (C ) : x y x y R IB +) Vì MA MB tiếp tuyến ( A B tiếp điểm) S MAIB S MBI IB.MB 5.MB 10 MB MI MB2 IB2 +) Gọi M (t ; t 2) t M (2; 4) +) Khi MI MI 25 (t 2)2 ( t 3)2 25 t t t 3 M (3;1) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy 1 Ví dụ (B – 2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ; , phương trình đường thẳng AB x y 2 AB = 2AD Tìm tọa độ điểm A, B, C, D biết A có hoành độ âm Phân tích hướng giải: *) Có A AB : x y *) AD 2d ( I , AB ) AB ? AI ? chuyển Bài toán tọa độ điểm A tọa độ B , C , D Giải : Gọi H hình chiếu vuông góc I AB Khi IH d ( I , AB) 2 2 2 Suy AH 5 AB 5 AD IH IB IA IH AH Do A, B giao điểm đường thẳng AB với đường tròn tròn tâm I , bán kính R x y Vậy tọa độ A, B nghiệm hệ : 1 25 x y Suy A( 2; 0), B (2, 2) ( Vì x A ) x 2 x y y Mặt khác I trung điểm AC BD nên suy C (3; 0), D(1; 2) Vậy A( 2; 0), B (2, 2), C (3;0), D (1; 2) Nhận xét : Khi toán yêu cầu tìm từ hai điểm trở lên, mà điểm có vai trò (trong A, B có vài trò ) bạn nên trình bày theo C2 để từ điểm ta suy điểm Ví dụ (B – 2009 – NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(–1;4) đỉnh B,C thuộc đường thẳng : x y Xác định toạ độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy Phân tích hướng giải: *) Có B, C : x y *) S ABC 18 BC 2S ABC BH AB AC AH BH chuyển Bài toán d ( A, ) Giải : +) Gọi H hình chiếu vuông góc A Khi H trung điểm BC : 1 AH d ( A, ) 12 12 BC 2S ABC 2.18 BH CH 2 AH AB AH BH +) Vậy AB AC 81 97 8 2 97 , suy B, C thuộc đường tròn 97 97 có phương trình : ( x 1)2 ( y 4)2 2 x y y x +) Khi tọa độ B, C nghiệm hệ : 97 2 x 28 x 33 ( x 1) ( y 4) 11 x x y y 2 tâm A( 1; 4) bán kính R 11 11 +) Vậy B ; , C ; B ; , C ; 2 2 2 2 2 2 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , có BD nằm đường thẳng có phương trình x y , điểm M ( 1; 2) thuộc đường thẳng AB , điểm N (2; 2) thuộc đường thẳng AD Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương Phân tích hướng giải: *) Trong kiện toán ta nhận thấy điểm có “lợi” để ta khai thác điểm B , B thuộc BD biết phương trình B có hoành độ dương Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy *) Ta biết tọa độ hai điểm M ( 1; 2) N (2; 2) nên tính độ dài đoạn BM BN ta tìm tọa độ điểm B nhờ Bài toán Nghĩa ta cần yếu tố định lượng, điều gợi ý ta tính d ( M , BD) d ( N , BD ) Trong hai đại lượng , đại lượng d ( M , BD) giúp ta dễ 900 ), từ “tháo” điểm B theo góc nhìn Bài toán dàng tìm độ dài BM (do MBH *) Khi tìm tọa độ điểm B ta tìm tọa độ điểm lại nhờ viết phương trình AB , AD tính chất trung điểm hai đường chéo Sau lời giải chi tiết cho ví dụ trên: Giải: +) Gọi H hình chiếu vuông góc M BD MH d ( M , BD) 1 12 12 Do MHB tam giác vuông cân H BM 2MH +) Gọi B (t;3 t ) với t , : BM (t 1)2 (t 1)2 t t t 1 (loại) B (1; 2) +) AB qua B M nên có phương trình y AD qua N vuông góc với AB nên có phương trình x Suy A(2; 2) x x +) Tọa độ điểm D nghiệm hệ: D(2;1) x y y 1 3 3 Gọi I trung điểm BD I ; C (1;1) (do I trung điểm AC ) 2 2 (Có thể tìm C qua hệ thức DC AB ) Vậy A(2; 2), B (1; 2), C (1;1), D (2;1) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A D , có AB AD CD , điểm B (1; 2) , đường thẳng BD có phương trình y Biết đường thẳng : x y 25 cắt đoạn thẳng AD, CD hai điểm M , N cho BM vuông góc với BC tia BN tia phân giác MBC Tìm tọa độ điểm D biết D có hoành độ dương Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy Phân tích hướng giải : *) Với kiện toán ta có D BD : y điểm B (1; 2) , nên tính độ dài đoạn BD ta nhìn thấy Bài toán việc tìm điểm D khó khăn Nghĩa ta cần có yếu tố “định lượng” Lúc đường thẳng biết phương trình nên ta nghĩ tới việc tính khoảng cách từ B tới tạo mối liên hệ gắn kết với độ dài BD *) Với kiện lại toán phương pháp hình học túy ta dễ dàng BH d ( B, CD) d ( B , ) , ta tính độ dài BD đưa lời giải đầy đủ cho toán Sau lời giải chi tiết cho ví dụ trên: Giải: +) Gọi H hình chiếu vuông góc B CD , ABHD hình vuông ) MBA (hai góc phụ với MBH Suy CBH Từ ta có CBH MBA (g.c.g) CB MB CBN MBN (c.g.c) 25 Khi BH d ( B, CN ) d ( B, MN ) 50 Mà tam giác DHB vuông cân H nên BD BH +) Gọi D (t; 2) BD với t , đó: BD 16 (t 1)2 16 t t 3 (loại) D (5; 2) Vậy D(5; 2) Ví dụ (A, A1 – 2012 – CB ) Cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm 11 cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử M ; AN có phương trình x y Tìm tọa độ điểm A 2 Phân tích hướng giải : *) A AN : x y *) Điểm M biết tọa độ nên tính đoạn AM coi điểm A “tháo” nhờ Bài toán Lúc ta gắn AM vào tam giác vuông AMH với cạnh MH d ( M , AN ) ta dễ dàng tính Như biết thêm yếu tố cạnh góc tam giác vuông ta tính độ dài AM Do 10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy Phân tích hướng giải : *) Nếu ta biết tọa độ điểm A , ta tìm tọa độ điểm C theo góc nhìn Bài toán Cụ thể : +) C AH : đường thẳng qua hai điểm H , A biết tọa độ +) CI AI ( C cách I khoảng không đổi IA ) *) Như vấn đề phải tìm điểm A Lúc Bài toán tiếp tục lựa chọn để ta tìm điểm A Cụ thể : +) A AB : đường thẳng qua M vuông góc với MI +) AM MH (tính chất đường trung tuyến tam giác vuông) Giải : 3 +) AB qua M ; nhận MI ; 7; 1 làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình: 2 2 2 9 3 x y hay x y 33 2 2 +) Gọi A(t ; 7t 33) AB , theo tính chất đường trung tuyến tam giác vuông ta có: 2 3 9 3 9 AM MH AM MH t 7t 33 2 2 2 2 t 4 A( 4;5) t 9t 20 t 5 A( 5; 2) +) Với A( 4;5) , AC qua A( 4;5) H (2; 4) nên có phương trình: CI AI CI AI 2 x y 5 x y Gọi C (6 2c; c) AC , đó: 1 (2c 7)2 (c 1) 32 42 c 6c c C (4;1) C ( 4;5) (loại C A ) c +) Với A( 5; 2) , AC qua A( 5; 2) H ( 2; 4) nên có phương trình: x5 y2 2x y Gọi C ( m; 2m 8) AC , : CI AI CI AI (m 1) (2m 7)2 42 32 m 6m m 1 C ( 1;6) C ( 5; 2) (loại C A ) Vậy C ( 1;6) m 5 30 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy Ví dụ Cho điểm A(10;5), B (15; 5) D ( 20; 0) đỉnh hình thang cân ABCD AB song song với CD Tìm tọa độ đỉnh C Phân tích hướng giải : Ở ví dụ ta tìm tọa độ điểm C theo hai cách : Cách : Ta tìm C theo góc nhìn Bài toán Cụ thể: *) C thuộc đường thẳng qua D song song với AB nên dễ dàng viết phương trình CD *) ABCD hình thang cân nên ta có điều kiện cần: CB AB 37 Sau tìm C ta kiểm tra điều kiện đủ BC không song song AD kết luận tọa độ điểm C cần tìm Cách 2: Gọi I , J trung điểm AB CD , : *) Ta dễ dàng viết phương trình IJ tìm tọa độ điểm J *) J trung điểm CD (vì ABCD hình thang cân) nên ta suy tọa độ điểm C Giải : Cách Cách Cách : x 20 t +) Có AB (5; 10) 5.(1; 2) , CD // AB nên CD có phương trình: y 2t +) Gọi C ( 20 t; 2t ) CD , ABCD hình thang cân nên ta có: t C (15; 10) AD BC AD BC 30 52 (t 35)2 (2t 5)2 t 18t 65 t 13 C ( 7; 26) +) Với C (15; 10) BC (30; 5) AD BC / / AD (không thỏa mãn ABCD hình thang cân) +) Với C ( 7; 26) BC ( 22; 21) , BC , AD không phương (thỏa mãn) Vậy C ( 7; 26) Cách 2: +) Có AB (5; 10) 5.(1; 2) , CD // AB nCD nAB (2;1) CD qua D ( 20;0) nên có phương trình: 2( x 20) y x y 40 25 +) Gọi I , J trung điểm AB CD , I ; IJ AB 25 (do ABCD hình thang cân) nên IJ có phương trình: x y x y 25 31 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy 27 2 x y 40 x 27 +) Vì IJ CD J nên tọa độ điểm J nghiệm hệ: J ; 13 2 x y 25 y 13 +) Do J trung điểm CD nên suy C ( 7; 26) 4 Ví dụ Cho hình thoi ABCD có tâm I (3;3) AC BD Điểm M 2; thuộc đường thẳng AB , điểm 3 13 N 3; thuộc đường thẳng CD Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có tung độ nguyên 3 Phân tích hướng giải : Nếu tìm tọa độ điểm B ta dễ dàng viết phương trình BD (đi qua I B ) Việc tìm tọa độ điểm B chuyển Bài toán Cụ thể : *) Lúc khai thác tính đối xứng hình thoi ta tìm tọa độ điểm N ' thuộc AB đối xứng với N qua I ta viết phương trình AB qua hai điểm M , N ' biết tọa độ Như điểm B thuộc đường thẳng AB biết phương trình *) Ta khai thác kiện cuối toán AC BD để tính độ dài đoạn IB (chi tiết xem phần lời giải) Giải : 5 +) Gọi N ' điểm đối xứng với N qua I (hay I trung điểm NN ' ) suy N ' 3; thuộc đường 3 thẳng AB AB nhận MN ' 1; 3;1 làm véctơ phương , suy nAB (1; 3) 3 Phương trình AB : x y +) Gọi H hình chiếu vuông góc I AB nên IH d ( I , AB) Mặt khác AC BD AI IB Khi xét tam giác IBA ta có : 32 39 12 32 10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy 1 1 2 IB IB 2 2 IB IA IH IB IB +) Gọi B (3t 2; t ) AB với t , : IB (3t 5) (t 3)2 (loại) +) Vậy B (4; 2) , đường chéo BD qua hai điểm B (4; 2) I (3;3) nên có phương trình: 5t 18t 16 t t x 3 y 3 hay x y 43 23 Nhận xét: Vì hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật hình vuông nhận giao điểm hai đường chéo tâm đối xứng cùa hình Nên đề cho điểm thuộc cạnh bạn nên nghĩ tới việc tìm điểm đối xứng điểm qua tâm hình chứa (ở tâm biết tọa độ) Ví dụ (D – 2010 – CB): Cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 7) , trực tâm H (3; 1) , tâm đường tròn ngoại tiếp I ( 2; 0) Xác định tọa độ đỉnh C , biết C có hoành độ dương Phân tích hướng giải : Ta cần tìm tọa độ điểm C Với : *) CI IA 74 *) Nếu viết phương trình cạnh BC ta chuyển toán Bài toán Lúc việc viết phương trình BC ta cần tìm thêm tọa độ điểm thuộc BC Ở ta tìm hình chiếu D I xuống BC chân đường cao K A xuống BC (khi toán giải triệt để) qua cách giải cụ thể sau: Giải : Cách 1.1 Cách 1.2 Cách Cách 1: Ta tìm tọa độ hình chiếu D I BC (hay trung điểm BC ) qua cách sau: Cách 1.1 +) Gọi D , E trung điểm BC AC Khi : HAB = IDE HBA = IED (góc có cạnh tương ứng song song) 33 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy HA AB AH ID (*) ID DE 0 2( x 2) x 2 +) Có : AH (0;6) Gọi D ( x; y ) ID ( x 2; y ) , từ (*) D (2;3) 6 y y Cách 1.2 +) Kéo dài AI cắt đường tròn điểm M (khác A ), I trung điểm AM nên suy M ( 7; 7) Mặt khác : BH / / MC (cùng vuông góc với AC ) CH / / MB (cùng vuông góc với AB ), suy MBHC hình bình hành, D trung điểm HM nên suy D ( 2;3) ( Trong Cách 1.2 ta AH ID (*), sau có D trung điểm HM ) Suy HAB ~ IDE nên Cách 2: Ta tìm tọa độ chân đường cao K A xuống BC +) Ta có A(3; 7) H (3; 1) nên đường thẳng AH có phương trình : x Kéo dài AH cắt đường tròn điểm H ' ( khác A ) Gọi H '(3; t ) AH với t 7 , : IH '2 IA2 R t 52 t t 7 (loại) H '(3; 7) +) Gọi AH BC K BH AC B ' , suy KHB ' C nội tiếp đường tròn C = BHK (cùng bù với B ' HK ) Mặt khác: C = BH ' A (cùng chắn cung AB ) Suy BHK = BH ' A hay tam giác HBH ' cân B K trung điểm HH ' K (3;3) ( Như biết tọa độ điểm D điểm K ta dễ dàng viết phương trình BC Ở phần trình bày ta lấy số liệu điểm D (điểm K tương tự) ) +) BC qua D có véc tơ pháp tuyến AH (0;6) nên phương trình BC : 6( y 3) hay y +) Gọi C (t ;3) BC ( với t ) , : CI IA 74 CI 74 (t 2)2 32 74 (t 2)2 65 t 2 65 t 2 65 (loại) Vậy C (2 65;3) Nhận xét: Ví dụ nhiều cách giải, có cách giải Bộ Giáo Dục – Song cách giải “thiếu tự nhiên” nên tác giả không trình bày Ví dụ Cho hai điểm A(1; 2) , B (4;3) Tìm tọa độ điểm M cho MAB = 1350 khoảng cách từ M đến đường thẳng AB 10 Phân tích hướng giải : *) Vì MA qua A , hợp với đường thẳng AB góc 450 (bù với góc 1350 ) nên ta viết phương trình MA (các bạn tìm hiểu kĩ Bài toán 6) 34 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy 10 nên ta dễ dàng tính độ dài đoạn MA Như điểm M “lộ diện” theo góc nhìn Bài toán Cụ thể: *) Do d ( M , AB ) +) M MA : biết phương trình Giải : +) MA +) Gọi H hình chiếu vuông góc M AB , : MH d ( M , AB) 10 Ta có MAH = 1800 MAB = 1800 1350 = 450 , suy tam giác MHA cân H , : MA MH 10 +) Ta có AB (3;1) nên nAB (1; 3) , phương trình AB : x 3.( y 2) x y a 3b Gọi nMA (a; b) với a b , cos( MA, AB ) cos 450 10 a b a b 2 a a 2 2 (a 3b) 5(a b ) 2a 3ab 2b 2. b b a b Vì MAB = 1350 nên AM AB AM AB.cos1350 a a +) Với 2 chọn nMA (2; 1) , AM có phương trình : x y b b 1 Gọi M (t ; 2t ) AM , MA MA2 t M (0; 0) (t 1) (2t 2) (t 1)2 t M (2; 4) Với M (2; 4) AM (1; 2) AM AB (loại) Với M (0; 0) AM (1; 2) AM AB 5 (thỏa mãn) a a +) Với chọn nMA (1; 2) , AM có phương trình : x y b b Gọi M (5 2t ; t ) AM , : t M (3;1) MA MA2 (2t 4)2 (t 2)2 (t 2) t M ( 1;3) 35 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy Với M (3;1) AM (2; 1) AM AB (loại) Với M ( 1;3) AM (2;1) AM AB 5 (thỏa mãn) Vậy M (0;0) M ( 1;3) Chú ý: Ngoài cách giải ví dụ trên, bạn tham khảo thêm cách giải sau: +) Gọi H hình chiếu vuông góc M AB , : MH d ( M , AB ) 10 Ta có MAH = 1800 MAB = 1800 1350 = 450 , suy tam giác MHA cân H , : 10 MA MH +) Gọi M ( x; y ) , suy AM ( x 1; y 2) với AB (3;1) ta có hệ : 3.( x 1) ( y 2) AB, AM 1350 cos1350 3.( x 1) ( y 2) 5 10 ( x 1)2 ( y 2)2 2 ( x 1) ( y 2) MA2 2 ( x 1) ( y 2) 3a b 5 b 5 3a a x +) Đặt , hệ có dạng: 2 b y a b a 3a a 1 x M (0; 0) b 2 y a 2 x 1 M (1;3) b y +) Vậy M (0;0) M ( 1;3) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB AD tiếp xúc với đường tròn (T ) có phương trình ( x 2) ( y 3)2 Đường chéo AC cắt đường tròn (T ) hai điểm 16 23 M , N Biết M ; , trục tung chứa điểm N không song song với AD ; diện tích tam giác ADI 5 10 điểm A có hoành độ âm nhỏ hoành độ D Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Phân tích hướng giải: *) Với kiện A có hoành độ âm gợi ý ta nên tìm điểm A trước Nghĩa ta cần tìm khai thác kiện “có lợi” cho điểm A *) Ta nhận thấy Oy (T ) N tọa độ điểm N +) Suy phương trình AC (đi qua hai điểm M , N biết tọa độ) +) Do AB , AD tiếp xúc với đường tròn (T ) AI R 2 Như ta dễ dàng tìm tọa độ điểm A theo góc nhìn Bài toán 36 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy *) Dữ kiện S ADI 10 trục tung không vuông góc AD gợi ý điểm ta tìm điểm D +) AD qua A cách I khoảng R phương trình AD (sẽ tìm hiểu kĩ Bài toán 6) 2S ADI +) AD 10 d ( I , AD ) Như điểm D tiếp tục “tháo” theo góc nhìn Bài toán *) Khi tìm hai điểm A, D việc tọa độ C , B đơn giản Sau lời giải chi tiết: Giải : +) Đường tròn (T ) có tâm I ( 2;3) bán kính R +) Do Oy (T ) N nên tọa độ điểm N nghiệm hệ: 16 x x (0;3) n N MN ; 2; AC (1; 2) 2 5 ( x 2) ( y 3) y Khi AC (đi qua M , N ) có phương trình: x y +) Gọi (T ) tiếp xúc với AB , AD P, Q ( P, Q tiếp điểm) Suy APIQ hình vuông nên AI IP R 2 +) Gọi A(6 2t; t ) với t (do x A ) 13 Khi AI (2t 8) (t 3)2 5t 38t 65 t t (loại) A( 4;5) +) Gọi vecto pháp tuyến AD nAD (a; b) với a b ; b ( AD không song song với Oy ) Suy phương trình AD : a ( x 4) b( y 5) ax by a 5b IQ d ( I , AD ) 2a 3b 4a 5b 2 a b a b 2ab a b (loại) a b Với a , chọn b ta phương trình AD : y 2S 2.10 IQ AD AD ADI 10 IQ Gọi D ( m;5) AD với m 4 đó: +) S ADI AD 100 ( m 4)2 100 m m 14 (loại) D(6;5) +) Khi DC qua D (6;5) vuông góc với AD nên có phương trình: x 37 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy x x Khi tọa độ điểm C nghiệm hệ C (6; 0) x y y x x 4 +) Ta có AB DC B B B( 4; 0) y B 5 y B Vậy A( 4;5), B ( 4; 0), C (6; 0), D (6;5) Nhận xét: Qua ví dụ ta nhận thấy, xem xét toán ta cần đặt câu hỏi “với kiện toán điểm tìm tọa độ? , đường thẳng cần thiết viết ? ” Sau cần đặt tiếp câu hỏi “ điểm nên tìm trước ?” Để trả lời cho câu hỏi kinh nghiệm điểm đề cho điều kiện (như hoành độ dương, tọa độ số nguyên…) nằm đường thẳng biết phương trình (hoặc dễ dàng viết được) với kiện “có lợi” cho yếu tố định lượng diện tích, khoảng cách… Ví dụ 10 ( Khối A, A1 – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN 3NC Viết phương trình đường thẳng CD , biết M (1; 2) N (2; 1) Phân tích hướng giải: *) Yêu cầu toán viết phương trình CD , giúp ta hướng tới việc gắn kết kiện để tìm yếu tố liên quan tới đường thẳng CD Việc toán cho biết tọa độ hai điểm M (1; 2) N (2; 1) với kiện AN 3NC , khiến ta nghĩ tới việc tìm tọa độ điểm E ( với MN CD E ) Điều hoàn toàn làm nhờ vào Bài toán 5.1 ta suy luận MN 3NE (các bạn tìm hiểu phần sau Bài toán 5.1) *) Lúc tìm thêm điểm CD coi toán giải xong Nhờ Bài toán ta nghĩ tới việc tìm điểm D Cụ thể với kiến thức hình học sơ cấp ta tam giác MND vuông cân N nên D thuộc đường thẳng ND (viết phương trình) cách N khoảng không đổi MN ( DN MN ) Như toán chuyển nội dung Bài toán nên ta có lời giải sau: Giải: +) Gọi MN CD E H hình chiếu vuông góc M CD Khi theo Talet ta có: MN AN MN 3NE (*) NE NC +) Gọi E ( x; y ) suy NE ( x 2; y 1) với MN (1; 3) , nên: 38 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy 1 3( x 2) 7 x (*) E ; 2 3 3 3( y 1) y 2 +) Gọi d đường thẳng qua N vuông góc với AB , cắt AB , CD I , J 900 INM JDN MND (*) , suy nDN MN (1; 3) Khi MIN NJD DN MN DN 10 Khi phương trình ND : x y +) Do D ND nên gọi D(3t 5; t ) Khi (*) t D (5; 0) (3t 3) (t 1) 10 (t 1)2 t 2 D ( 1; 2) 7 Đường thẳng CD qua E ; 2 D nên với : 3 +) D(5; 0) suy CD có phương trình : x y 15 +) D ( 1; 2) suy CD có phương trình : y 2 hay y CÁCH RA ĐỀ 4: Tìm điểm M gián tiếp thông qua điểm khác thuộc Bài toán (nếu biết điểm thuộc Bài toán ta suy tọa độ điểm M ) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x y x y 20 hai đường thẳng d1 : x y , d : x y Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C ) A cắt d1 , d2 B C cho B trung điểm đoạn thẳng AC Phân tích hướng giải : *) Như cách tư thông thường để viết đường thẳng , ta nghĩ tới việc tìm điểm mà qua với vecto pháp tuyến phương Lúc có ba lựa chọn điểm A, B C Song ba điểm chưa biết tọa độ Vậy câu hỏi lúc nên tìm tọa độ điểm ? Ta nhận thấy hai điểm B, C có lợi thuộc đường thẳng biết phương trình, gần kiện có lợi cho B C Nghĩa việc tìm tọa độ B, C gặp “khó khăn” Chỉ lựa chọn điểm A Có vẻ hợp lí , tìm tọa độ điểm A , ta tìm vecto pháp tuyến IA suy phương trình Thế tìm điểm A cách ? Với kiện toán ta có IA R Vậy việc tìm điểm A trực tiếp lúc lại gặp trở ngại Khi đứng trước tình bí bách kiểu này, kinh nghiệm ta ý tới thông số, kiện đề ẩn chứa yếu tố đặc biệt giúp ta tháo gỡ “nút thắt ” toán Nhận thấy, có hai yếu tố số liệu đặc biệt tâm I (C ) thuộc d d1 / / d Nghĩa JB đường trung bình tam giác IAC với d1 IA J , suy J 39 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy trung điểm IA Nếu tìm tọa độ điểm J ta suy tọa độ điểm A viết phương trình Vậy thay tìm A ta tìm gián tiếp thông qua điểm J IA R *) Ta nhận thấy : J d1 JI Như lúc “lộ diện” Bài toán 1, có nghĩa ta tìm 2 tọa độ điểm J nhờ Bài toán Giải : +) Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2) thuộc d bán kính R Gọi d1 IA J Do d1 / / d nên JB đường trung bình tam giác IAC , suy J trung điểm IA IA R 25 25 JI (t 1)2 (2t 7)2 2 4 4(5t 30t 50) 25 4t 24t 35 t t 2 Do J trung điểm IA nên : 5 +) Với t J ; A(4; 2) , qua A(4; 2) có vectơ pháp tuyến IA (3; 4) 2 nên có phương trình : 3( x 4) 4( y 2) 3x y 20 7 +) Với t J ; 2 A(6; 2) , qua A(6; 2) có vectơ pháp tuyến IA (5; 0) 2 nên có phương trình : 5( x 4) 0.( y 2) x +) Gọi J (t ;5 2t ) d1 , : JI Vậy có phương trình : x y 20 x Nhận xét : Ví dụ kiểu toán không mẫu mực, nghĩa với cách tư thông thường (chưa để ý tới số liệu cụ thể ) ta khó đưa lời giải cho Khi giải pháp cho lớp toán khai thác triệt để số liệu đặc biệt đề bài, số liệu “chìa khóa” giúp ta đến đáp số toán Các bạn tiếp tục tìm hiểu lớp toán qua ví dụ Chú ý : Ngoài cách giải theo góc nhìn Bài toán trên, bạn có tìm trực tiếp điểm A cách sau : +) Do d1 // d khoảng cách hai đường thẳng Do A thuộc đường thẳng d song song với d1 cách d1 khoảng 40 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy Suy đường thẳng d : x y 10 d : x y (loại d d ) x 2 x y 10 y A(4; 2) +) Khi tọa độ điểm A nghiệm hệ : x A(6; 2) x y x y 20 y 2 Ví dụ (A – 2010 – CB) Cho hai đường thẳng d1 : x y d : x y Gọi (T ) đường tròn tiếp xúc với d1 A , cắt d hai điểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T ) , biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hoành độ dương Phân tích hướng giải : *) Như ta biết để viết phương trình đường tròn ta cần hai yếu tố tọa độ tâm bán kính Song với toán xác định tọa độ tâm I (T ) ta tính bán kính R d ( I , d1 ) suy phương trình (T ) Vậy tìm I ? I thuộc AC song chưa biết phương trình Như việc tìm tìm trực tiếp điểm I không khả thi Lúc ta nghĩ tới việc tìm điểm I gián tiếp thông qua điểm có mối liên hệ với Với kiện ABC vuông B , suy AC đường kính ( I trung điểm AC ) Vì biết tọa độ điểm A ta tìm tọa độ điểm C (Vì ta viết phương trình AC d AC {C} ), từ ta suy tọa độ điểm I *) Xác định tọa độ điểm A nhờ Bài toán Cụ thể: +) A d1 : 3x y +) Có d1 d {O} với O (0;0) khai thác kiện S ABC để tính OA ? Giải : 3x y x +) Xét hệ : O (0; 0) giao điểm d1 d y 3x y Véc tơ pháp tuyến d1 , d2 : n1 ( 3;1) , n2 ( 3; 1) , suy : 41 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy 3 1.(1) cos(d1 , d ) 1 Mặt khác tam giác ABC vuông B , AOB 600 BAC 600 OA AB OA sin 60 +) Xét tam giác AOB AOC ta có: AC OA tan 600 OA Khi S ABC Do S ABC 1 OA 3 3 OA AB AC sin 600 OA2 2 2 3 OA +) Gọi A(t; 3t ) với t , đó: OA 4 1 t (loại) A OA2 t 3t t t ; 1 3 3 3 Suy raa AC qua A , vuông góc d1 có phương trình: x y 1 3x y 3 Khi tọa độ điểm C nghiệm hệ: 10 2 x y x ; 2 C x y y 2 +) Vì tam giác ABC vuông B nên AC đường kính Do đường tròn (T ) cần viết có: ( 3)2 12 3 AC 1 Tâm I 1 ; bán kính R 2 2 2 2 3 Suy phương trình đường tròn (T ) : x y 1 3 1 Ví dụ (B – 2011 – NC ) Cho tam giác ABC có đỉnh B ;1 Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp 2 xúc với cạnh BC , CA, AB tương ứng điểm D, E , F Cho D (3;1) đường thẳng EF có phương trình y Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương Phân tích hướng giải: Ta nhận thấy A nằm đường AB, AD , AC Như lúc việc tìm điểm A theo hướng sau: “Hướng 1: viết phương trình đường tính độ dài đoạn 42 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy AB (hoặc AD ) ta chuyển Bài toán 1” “Hướng 2: biết phương trình hai đường ta suy tọa độ điểm A ” Để chọn hướng thích hợp ta cần khai thác kiện toán Với số liệu toán cho ta thấy Hướng không khả thi, việc tính độ dài AB (hoặc AD ) gặp trở ngại Lúc ta nghĩ tới giải pháp thứ Điểm B D biết tọa độ 1 B ;1 nên ta nghĩ tới việc viết phương trình AB AD Ta phân tích chi tiết số liệu toán: D (3;1) phương trình BD : y song song với đường thẳng EF : y Khi ta chứng minh tam giác ABC cân A Do AD BC Như ta viết phương trình AD Lúc việc việc viết phương trình AB cần “trợ giúp” điểm F Và ta nhận thấy Bài toán cho ta tọa độ điểm F Cụ thể: *) F EF : y *) FB BD Sau lời giải chi tiết toán Giải: +) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 1 ID BC B ;1 Khi (1) Với phương trình BD : y , suy BD / / EF hay BC / / EF (2) IA EF D (3;1) (vì phương trình EF : y ) Từ (1) (2) suy A, I , D thẳng hàng hay AD BC , nên phương trình AD là: x +) Gọi F (t;3) EF , theo tính chất tiếp tuyến ta có: 2 t 1 F ( 1;3) 1 5 BF BD BF BD t t t 2 2 t F (2;3) +) Với F ( 1;3) BF ; uBF (4;3) , phương trình BF là: 4( x 1) 3( y 3) x y 2 x 4 x y Do BF AD A nên tọa độ điểm A nghiệm hệ: (loại) x y +) Với F (2;3) BF ; uBF (4; 3) , phương trình BF là: 2 4( x 2) 3( y 3) x y x 4 x y 13 Do BF AD A nên tọa độ điểm A nghiệm hệ: 13 A 3; 3 x y 13 Vậy A 3; 3 43 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy Bình luận sau Bài Toán 1: Như đề thi Quốc Gia, nhiệm vụ người đề làm “mờ” toán gốc , kiện số liệu kèm Nhiệm vụ bạn dùng kiến thức để cắt nghĩa toán, làm cho toán gốc “hiện nguyên hình” Qua Bài Toán bạn thấy phần tầm “sát thương” tính hiệu việc giải toán tìm điểm toán liên quan khác…Nó giúp bạn biết cách đặt câu hỏi hướng vào đối tượng kiện đề mà ta cần có định hướng để tư tháo gỡ toán Nếu biết cách “làm chủ” Bài toán có nghĩa bạn có tay công cụ đơn giản hiệu việc đưa đáp số xác cho toán khó khăn với bạn Chúng ta nhiều công cụ hữu hiệu khác Các bạn tiếp tục tìm hiểu thông qua toán Trên đoạn trích từ thảo sách: 10 BÀI TOÁN TRỌNG ĐIỂM TƯ DUY ĐỘT PHÁ – CHÌA KHÓA GIẢI NHANH HÌNH HỌC PHẲNG OXY Mọi thông tin chi tiết bạn tham khảo qua: Web: http://www.toanmath.com/ CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ QUAN TÂM ! 44 ... Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy PHẦN 3: 10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC OXY BÀI TOÁN A NỘI DUNG BÀI TOÁN Tìm tọa độ điểm M thuộc đường... – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy Phân tích hướng giải: *) Có B, C : x y *) S ABC 18 BC 2S ABC BH AB AC AH BH chuyển Bài toán d ( A, ) Giải : +) Gọi H hình. .. sau) Giải : 14 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 toán trọng điểm – tư đột phá – chìa khóa giải nhanh hình học phẳng Oxy +) Đường tròn (C ) có tâm I (1; 1) bán kính R Gọi H hình