Phương pháp giải toán Hình học 11 chương 3_ Quan hệ vuông góc

NGUYỄN NGỌC DŨNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN HÌNH HỌC 11 Chương QUAN HỆ VNG GĨC S cạnh bên: SA = SB = SC = SD chiều cao: SO ÷ góc cạnh bên đáy: SBO A B O J D C ’ góc mặt bên đáy: SJO đáy: hình vng ABCD 2018 - Tài liệu lưu hành nội Mục lục Chương VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN §1 Đường thẳng vng góc với đường thẳng Đường thẳng vng góc với mặt phẳng I Tóm tắt lý thuyết Các dạng toán Hai mặt phẳng vng góc 30 Tóm tắt lý thuyết 30 Hai mặt phẳng vng góc 30 Các định lý quan trọng 30 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương 31 Hình chóp hình chóp cụt 32 Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác 34 Các dạng toán 34 Khoảng cách 59 II I Tóm tắt lý thuyết 59 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng 59 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song 60 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 60 Các dạng toán 61 Diện tích hình chiếu 83 II §5 Đường thẳng vng góc với đường thẳng Đường thẳng vng góc Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: I §4 5 II §3 với mặt phẳng §2 I Tóm tắt lý thuyết 83 II Bài tập tự luyện 84 Ôn tập chương III 85 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 Chương VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN §1 Đường thẳng vng góc với đường thẳng Đường thẳng vng góc với mặt phẳng I Tóm tắt lý thuyết Đường thẳng vng góc với đường thẳng Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa • Đường thẳng a vng góc với đường thẳng b góc a b 90◦ • Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) vng góc với đường thẳng nằm mp(α) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: Định nghĩa Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB mặt phẳng (α) vng góc với AB trung điểm AB Tính chất Nếu (α) mặt phẳng trung trực AB thì: ∀M ∈ (α) ⇔ M A = M B Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN II Các dạng tốn Dạng 1: Đường vng góc đường Đường vng góc mặt ① Đường thẳng vng góc với mặt phẳng: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mp(α) đường thẳng a vng góc với mp(α) d d ⊂ (α) d ⊥ a, b ⇒ d ⊥ (α)  a∩b=I    a I α             a, b ⊂ (α)  b ② Đường thẳng vng góc với đường thẳng: Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) d vng góc với tất đường thẳng nằm (α) d   d ⊂ (α)     d ⊥ (α)  ⇒ d ⊥ a    a ⊂ (α)  α a  ! Lưu ý:  a⊥c  c ⇒a⊥b  b  Một số ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD hình vng SA ⊥ (ABCD) a) CMR: BC ⊥ (SAB) b) CMR: BD ⊥ (SAC) Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC tam giác vuông B SA ⊥ (ABC) a) BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH AK đường cao ∆SAB ∆SAC CMR: SC ⊥ (AHK) Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng SA ⊥ (ABCD) a) CMR: ∆SDC tam giác vuông b) Gọi AH đường cao ∆SAC CMR: AH ⊥ BD Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng SA ⊥ (ABCD) a) CMR: BD ⊥ SC b) Gọi AM, AN đường cao ∆SAB ∆SAD CMR: SC ⊥ (AM N ) Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 10 Chương QUAN HỆ VUÔNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Bài tập tự luyện Bài Cho tứ diện SABC có ∆ABC vng A SB ⊥ (ABC) a) CMR: ∆SAC vuông b) Gọi BM BN đường cao ∆SAB ∆SAC CMR: ∆BM N vuông Bài Cho tứ diện SABC có ∆ABC vng B SA ⊥ (ABC) Gọi AH AK đường cao ∆SAB ∆SAC Đường thẳng HK cắt đường thẳng BC I CMR: ∆AIC tam giác vuông Bài Cho tứ diện DABC có hai mặt bên ABC DBC hai tam giác cân có chung đáy BC a) CMR: BC ⊥ AD b) Gọi I trung điểm BC, AH đường cao ∆ADI CMR: AH ⊥ (BCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng tâm O SA = SB = SC = SD Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 72 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN ÷ = 120◦ Khoảng cách Câu 40 Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 3a, AB = 2a ABC từ A đến mặt phẳng (SBC) 3a 3a B A C a D 2a Câu 41 Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính khoảng cách từ√A đến đường thẳng CB √ a 19 a 19 A √ B √ 5 √ a 19 C √ √ D 19 “ = 60◦ Gọi I Câu 42 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, BC = 2a, B √ trung điểm BC cho SA = SI = SC = a Tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) A a B 2a √ C a √ D a Câu 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A B, BA = BC = a, √ AD = 2a Cạnh bên SA ⊥ (ABCD) SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) a A a B C C a D 2a Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song Câu 44 Trong mệnh đề sau, đâu mệnh đề đúng? A Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc mặt phẳng (α) tới đường thẳng a B Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc đường thẳng a tới mặt phẳng (α) C Nếu hai đường thẳng a b song song với mặt phẳng (α) khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng (α) khoảng cách từ đường thẳng b đến mặt phẳng (α) D Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b nằm mặt phẳng (α) thi khoảng từ đường thẳng a đến mặt phẳng (α) khoảng cách hai đường thẳng a b Câu 45 Trong mệnh đề sau, đâu mệnh đề sai? A Khoảng cách từ đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với a bé so với khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng a tới điểm thuộc mặt phẳng (α) B Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng C Khoảng cách hai mặt phẳng song song (α) (β) nhỏ khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng tới điểm thuộc mặt phẳng D Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ đường thẳng nằm mặt phẳng tới đường thẳng nằm mặt phẳng Câu 46 Cho hình hộp ABCD.A B C D Khẳng định sau sai? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 73 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN A d(A, (CDD C )) = d(B, (CDD C )) B d((ABCD), (A B C D )) = d(B, (A B C D )) C d((ABCD), (A B C D )) = d((ABB A ), (CDC D )) D d((ABCD), (A B C D )) = d((AC), (A B C D )) Câu 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Khẳng định sau sai? A d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)) B d(C, (SAB)) = d(D, (SAB)) C d(C, (SBD)) = d(A, (SBD)) D d(B, (SCD)) = d(BC, (SAD)) Câu 48 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Tính d(AB , (CDD C )) a A d(AB , (CDD C )) = a B d(AB , (CDD C )) = √ √ a D d(AB , (CDD C )) = a C d(AB , (CDD C )) = √ Câu 49 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D , có AB = a, BC = b, CC = c Khẳng định sau sai? A d((ABCD), (A B C D )) = c C d((AB , (CDD C )) = b ab B d((BB , (ACC A )) = √ + √ a b D d(BB , (ACC A )) = a2 + b2 Câu 50 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có AB = a Tính khoảng cách h hai mặt phẳng (BA C ) (ACD ) a a B h = A h = √ 3 √ a C h = D h = a Câu 51 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB = a, BC = b, CC = c Gọi h khoảng cách hai mặt phẳng (A C B) (ACD ) Khẳng định sau đúng? 1 1 A h2 = a2 + b2 + c2 B = + + h a b c 1 1 C = + + D h = a + b + c h a b c Câu 52 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) Tính d(CD, (SAB)) √ A d(CD, (SAB)) = a √ B d(CD, (SAB)) = a a C d(CD, (SAB))) = D d(CD, (SAB)) = 2a Câu 53 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính d(AB, (SCD)) √ A d(AB, (SCD)) = a.√ B d(AB, (SCD)) = a a C d(AB, (SCD)) = D d(AB, (SCD)) = 2a Câu 54 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AD = 3a,SA ⊥ (ABCD) SA = 3a Tính khoảng cách d(AB, (SCD)) A d(AB, (SCD)) = 5a √ C d(AB, (SCD)) = a Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG 5a D d(AB, (SCD)) = 7a B d(AB, (SCD)) = Tel: 0976071956 74 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN ÷ = 120◦ SA ⊥ (ABCD) Câu 55 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, ABC Gọi M trung điểm SC Tính d(SA, (BM D)) A d(SA, (BM D)) = a.√ a C d(SA, (BM D)) = √ B d(SA, (BM D)) = a √ D d(SA, (BM D)) = a √ Câu 56 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông B với AB = a, BC = a 3, SA ⊥ (ABC) SC tạo với (ABC) góc 45◦ Gọi G1 , G2 trọng tâm tam giác SAB SAC Tính d(G1 G2 , (SBC)) √ A d(G1 G2 , (SBC)) = a 2a C d(G1 G2 , (SBC)) = √ 4a B d(G1 G2 , (SBC)) = √ 6a D d(G1 G2 , (SBC)) = √ Câu 57 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vng B, BC = √ a 3,AB = 2a đường thẳng AB tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ Tính d(BC, (AB C )) √ a B d(BC, (AB C )) = a A d(BC, (AB C )) = 2√ √ a a C d(BC, (AB C )) = D d(BC, (AB C )) = Câu 58 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng canh a, SA ⊥ (ABCD) Gọi O giao điểm AC BD, M trung điểm SD Tính d(OM, (SAB)) a 2a A d(OM, (SAB)) = B d(OM, (SAB)) = √ √ a a C d(OM, (SAB)) = D d(OM, (SAB)) = ÷ = Câu 59 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy tam giác cân, AB = BC = a, BAC 120◦ mặt phẳng (AB C ) tạo với mặt đáy góc 60◦ Tính d(BC, (AB √ C )) √ a B d(BC, (AB C )) = A d(BC, (AB C )) = a √ √ a C d(BC, (AB C )) = D d(BC, (AB C )) = 2a ÷ = Câu 60 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC 120◦ , đường thẳng A B tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ Tính d(B D , (A BD)) √ a A d(B D , (A BD)) = a 15 B d(B D , (A BD)) = 5√ √ a 15 C d(B D , (A BD)) = a D d(B D , (A BD)) = Câu 61 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = 2a Gọi M trung điểm SD Tính d(SB, (ACM )) a 2a A d(SB, (ACM )) = B d(SB, (ACM )) = 3 3a C d(SB, (ACM )) = a D d(SB, (ACM )) = Câu 62 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính d(M D, (SBN )) a 2a A d(M D, (SBN )) = √ B d(M D, (SBN )) = √ 33 33 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 75 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 3a C d(M D, (SBN )) = √ 33 4a D d(M D, (SBN )) = √ 33 Câu 63 Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC tam giác cạnh a A A = A B = A C = a Gọi M, N √ trung điểm BC A B Tính d(A C, (AM N )) a a 22 B d(A C, (AM N )) = A d(A C, (AM N )) = 11 11√ √ a D d(A C, (AM N )) = C d(A C, (AM N )) = a 22 D Tỉ số khoảng cách từ hai điểm đến mặt phẳng √ Câu 64 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D Biết SA = a 3, AD = √ a SA vng góc với đáy Tính theo a khoảng √ cách từ điểm B đến (SCD) a a a B C D 2a A 2 Câu 65 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (A BC) √ a B A a 2 √ a C D a Câu 66 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng √ (SCD) a A √ a 21 B √ 2a 21 C √ 2a D Câu 67 Cho hình chóp S.ABC, gọi M trung điểm AC √ G trọng tâm tam giác SAC a Biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến √ mặt phẳng (SBC) √ √ √ a a a a A B C D 18 Câu 68 Cho hình chóp S.ABCD có O tâm đáy Biết cạnh đáy đường cao cách từ điểm D đến √ a Tính theo a khoảng √ √ mặt phẳng (SBC) √ a 2a a a B C D A 10 5 √ Câu 69 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3, hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Góc cạnh SC mặt phẳng đáy 60◦ Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC).√ 2a 39 A 13 √ 2a 39 B 39 √ 6a 39 C 13 √ a 39 D 13 √ Câu 70 Cho hình chóp S.ABC có SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy, tam giác ABC cạnh a Vẽ AI vng góc với SB Tính theo a khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAC).√ a A √ a B Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG √ 3a C √ 3a D Tel: 0976071956 76 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 71 Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt phẳng (SAB), (SAC) vng góc với mặt √ phẳng đáy đáy ABCD nửa lục giác Biết SA = a AB = BC = CD = a Tính theo a √ khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).√ √ √ a a a C A B a D √ Câu 72 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a 2, cạnh bên SA vng góc với mặt ÷ = 120◦ , góc mặt phẳng (SBC) đáy 30◦ Tính theo a khoảng cách phẳng đáy, BAD từ điểm√D đến mặt phẳng (SBC) √ √ a 3a a 3a B C D A 4 √ √ Câu 73 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a Gọi M trung theo a khoảng cách từ điểm (SBC) √ điểm AB Tính√ √ M đến mặt phẳng √ a 3a 3a 2a A B C D 5 10 Câu 74 Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy Tam giác ABC vuông √ A có AB = a, AC = a Góc SB mặt phẳng (SAC) 45◦ Lấy điểm M cạnh a SA cho AM = Tính theo a khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ a 21 2a 21 a 21 2a 21 B C D A 21 7 21 Câu 75 Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a √ AD = a Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD √ Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A BD) theo a √ √ √ a a A B a C a D 2 Câu 76 Cho hình chóp S.ABCD cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60◦ Gọi M trọng tâm tam giác ABD Tính theo a khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) a A √ a B √ a C D a ÷ = 30◦ Câu 77 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, ACB Mặt bên SAC tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi G trung điểm SA phẳng (SBC) √ Tính theo a khoảng cách √ từ điểm G đến mặt √ √ a 2a 39 a 39 a A B C D 13 13 √ Câu 78 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB = 6, AD = AA = Gọi I, J trung điểm AB BC Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (B IJ) 5 10 A B C D 3 Câu 79 Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy tam giác cạnh a, góc cạnh bên mặt đáy 30◦ Hình chiếu vng góc A xuống đáy (ABC) trùng với trung điểm H BC Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC A ) Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN 77 √ √ √ √ a 21 3a 13 3a 13 a 21 B C D A 14 26 13 Câu 80 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B, BA = BC = a, √ AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh SB Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a a a a B C D a A Câu 81 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 4a Hình chiếu S mặt phẳng ABCD điểm H thuộc AB cho HB = 3HA Góc cạnh bên SC đáy 45◦ Tính theo a khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC), với O tâm hình vng ABCD √ A 5a 34 √ √ √ 5a 34 5a 34 5a 17 B C D 17 34 Câu 82 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm SB SD Tính theo √ a khoảng cách từ điểm √ A đến mặt phẳng (CM √ N ) √ 9a 9a 2a 3a B C D A 10 40 10 Câu 83 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a Mặt bên SAB √ vng góc với mặt phẳng đáy SA = a, SB = a Góc mặt phẳng (SBD) đáy 60◦ Tính √ theo a khoảng cách từ √ điểm C đến mặt phẳng (SBD) a a 3a A B C 4 D a ĐÁP ÁN A A A D A A C A B 10.D 11.D 12.D 13.A 14.A 15.D 16.A 17.D 18.A 19.B 20.A 21.B 22.B 23.A 24.B 25.B 26.A 27.D 28.C 29.A 30.A 31.A 32.A 33.D 34.C 35.D 36.A 37.C 38.A 39.A 40.B 41.A 42.B 43.B 44.B 45.D 46.C 47.D 48.A 49.D 50.A 51.B 52.A 53.C 54.B 55.C 56.C 57.C 58.A 59.B 60.D 61.B 62.B 63.A 64.A 65.C 66.B 67.B 68.B 69.B 70.C 71.C 72.D 73.C 74.A 75.D 76.B 77.C 78.D 79.B 80.C 81.B 82.D 83.A Dạng 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Ngoại trừ trường hợp tìm đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo hình vẽ làm theo cách sau đây: Tìm mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng (có thể mặt phẳng ta phải dựng thêm) Khi ta đưa khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách đường thẳng mặt phẳng Ta thường phải vận dụng thêm kiến thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 78 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN • Dựng mặt phẳng (α) qua b song song A M a B H với a • Khi đó: d(a, b) = d (a, (α)) • Ta tính d (a, (α)) thay tính d(a, b) tốn trở nên đơn giản α b Một số ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng tâm O cạnh a SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính khoảng cách a) SC BD b) AC SD Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 79 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN Bài tập tự luyện Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a, mặt bên (SAD) vng góc với (ABCD) SAD tam giác Gọi M trung điểm AD a) Tính theo a khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) b) Tính theo a khoảng cách SM BD c) Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) √ Bài Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) ∆ABC vuông B Cho AB = a, BC = a √ SA = a Gọi AH đường cao ∆SAB a) Tính góc SC (ABC); góc (SAB) (SAC) b) Tính khoảng cách SA BC c) Tính khoảng cách A (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a SH ⊥ (ABCD) với H trung điểm AD Biết góc SC mặt đáy 45◦ ÷ = 45◦ Tính khoảng cách S (ABCD) a) Chứng minh SCH b) Tính khoảng cách SH BD c) Tính góc (SAB) (ABCD) Bài Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy ABC tam giác vuông A SH vuông góc với mặt đáy trung điểm H BC Cho AB = a, SB = BC = 2a a) Tính khoảng cách từ S đến (ABC) tính góc SA với (ABC) ◊ b) Gọi M trung điểm AB Chứng minh SM H góc (SAB) (ABC) Tính số đo góc Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 80 Chương QUAN HỆ VUÔNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN c) Tính khoảng cách SH AB tính khoảng cách từ H đến (SAB) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, mặt bên SAD tam giác có trung tuyến SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Chứng minh ∆SAB vng Tính góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) b) Tính khoảng cách SH BD tính góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) c) Tính khoảng cách từ O đến (SAB) Bài tập nâng cao Bài Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Tính khoảng cách a) OA BC b) AI OC √ Bài Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) SA = a 6, đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ AD đến (SBC) √ Bài Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) SA = a 2, ∆ABC vuông B với BA = a Gọi M trung điểm AB Tính d(SM, BC) Bài Cho hia tia chéo Ax, By hợp với góc 60◦ , nhận AB = a làm đoạn vng góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD ((C, (ABD)) b) Tính d(AC, BD) √ a Bài Cho hình vng ABCD cạnh a I trung điểm AB Dựng IS ⊥ (ABCD) IS = Gọi M, N, P trung điểm BC, SD, SB Tính d(N P, AC) d(M N, AP ) Bài Cho lăng trụ ABC.A B C có mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, E, F trung điểm cạnh BC, A C , C B Tính khoảng cách cặp đường thẳng: a) DE AB b) A B B C c) DE A F Bài Cho hình lăng trụ ABC.A B C có AA vng góc với mặt phẳng (ABC) AA = a, đáy √ ABC tam giác vng A có BC = 2a, AB = a Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 81 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCC B ) b) Tính khoảng cách từ A đến (A BC) c) Chứng minh rẳng AB vng góc với mặt phẳng (ACC A ) tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC ) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a tâm O SA ⊥ (ABCD) SA = 2a; dựng BK ⊥ SC a) CMR: SC ⊥ (DBK) b) Tính d (A, (SBC)); d (A, (SDC)); d (O, (SBC)) c) Tính d(BD, SC); d(AD, BK) Bài tập trắc nghiệm Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau A Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng B Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ điểm đường thẳng đến đường thẳng C Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn thẳng nối điểm đường thẳng tới điểm đường thẳng D Khoảng cách hai đường thẳng chéo lớn khoảng cách từ điểm đường thẳng đến đường thẳng Câu Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với đáy Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA BD √ a B d = a C d = a A d = √ a D d = Câu Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đơi vng góc, tam giác ABC cân có √ AC = a Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA √ BC √ a A d = a B d = a C d = D d = 2a Câu Cho tứ diện ABCD có I, J trung điểm cạnh AB, CD Khoảng cách hai đường thẳng AB, CD độ dài đoạn thẳng A AI B IJ C AB D AJ Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Tính khoảng cách d hai đường thẳng BD SC a a A d = B d = Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG √ a C d = √ D d = a Tel: 0976071956 82 Chương QUAN HỆ VUÔNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB = AA = a, AC = 2a Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB CD √ √ A d = a B d = a √ √ a a D d = C d = Câu Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật với AC = 2a BC = a Tính d(SD, BC) √ a 2a B d(SD, BC) = A d(SD, BC) = √ 3a C d(SD, BC) = D d(SD, BC) = a Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, cạnh bên SA √ vng góc với đáy SA = a Gọi M trung điểm AB Tính khoảng cách d hai đường thẳng √ SM BC √ √ a a a a A d = B d = C d = D d = 3 Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AA = 2a, AD = 4a Gọi M trung điểm AD Tính khoảng cách d hai đường thẳng A B C M √ √ C d = a A d = 3a B d = 2a D d = 2a Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a Khoảng cách hai đường thẳng SB CD nhận giá trị giá trị sau? A a √ B a √ C a D 2a Câu 11 Cho tứ diện OABC, OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AI OC nhận giá trị giá trị sau? A a a B √ √ a C D a ÷ = 60◦ Câu 12 Cho√hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a BAC a Biết SC = vuông góc với đáy Khoảng cách hai đường thẳng SA BD nhận giá trị giá trị sau? √ √ √ a a a a A B C D 4 Câu 13 Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có tất cạnh a Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB CC √ √ 2a a 3a A d = B d = C d = D d = a 3 √ Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật với AC = a √ BC = a Tính khoảng cách d√giữa hai đường thẳng SD BC √ 2a a 3a A d = B d = C d = D d = a 3 Câu 15 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Tính khoảng cách d hai đường thẳng AD BD Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 83 √ √ √ a a 2a B d = C d = a A d = D d = 3 Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng = a Tính khoảng cách d√giữa hai đường thẳng SB AD √ đáy (ABCD) SA√ a a a B d = C d = D d = a A d = 2 √ Câu 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B, AC = a tất cạnh lại hình chóp Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA BC √ √ √ √ a a a a B d = C d = D d = A d = 3 Câu 18 Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA = SB = SC = a Gọi M, N trung điểm AB SA Tính khoảng cách d hai đường thẳng SM CN √ a a 2a B d = C d = a A d = D d = 3 ÷ = 60◦ , BSC ÷ = 90◦ CSA ÷ = Câu 19 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB 120◦ Tính √ khoảng cách d hai √ đường thẳng AC SB √ √ a a a A d = B d = C d = a D d = √ Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có SA = a tất cạnh lại a Tính khoảng cách √ BD SC √ d hai đường thẳng a a a B d = C d = A d = D d = a ĐÁP ÁN A D B B B A D A B 10.A 14.D 15.B 16.C 17.D 18.A 19.B 20.A §4 I 11.B 12.A 13.B Diện tích hình chiếu Tóm tắt lý thuyết Định lý S: diện tích đa giác S S : diện tích hình chiếu đa giác ϕ: góc mặt phẳng chứa đa giác mặt phẳng chiếu ϕ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG S S = S cos ϕ Tel: 0976071956 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN II 84 Bài tập tự luyện √ Bài Cho ∆ABC cân A, đường cao AH = a 3, đáy BC = 3a; BC nằm mặt phẳng (α) Gọi A hình chiếu A lên (α) Biết ∆A BC vng A Tính góc (α) (ABC) Bài Cho ∆ABC cạnh a chứa √ mặt phẳng (α) Trên đường thẳng vuông góc với √ a , CE = a nằm bên với (α) (α) vẽ từ B C lấy đoạn BD = a) Chứng minh ∆ADE vng Tính diện tích ∆ADE b) Tính góc hai mặt phẳng (ADE) (α) Bài Cho hình chóp S.ABC có mặt bên hợp với đáy góc ϕ Gọi I hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) a) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC b) Chứng minh SSAB + SSBC + SSCA = SSAB cos ϕ Bài Cho tam giác ABC đều√cạnh a nằm mặt phẳng (α) Trên đường thẳng vng √ góc với (α) B, C vẽ BD = a , CE = a nằm phía với mặt phẳng (α) a) CMR: ∆ADE vng b) Tính diện tích tam giác ADE c) Tìm góc (ADE) (α) Bài Cho tam giác ABC có B, C hình chiếu E, F lên (β) cho tam giác ABF tam a giác cạnh a, CF = a, BE = a) Gọi I = BC ∩ EF CMR: AI ⊥ AC b) Tính diện tích tam giác ABC c) Tính góc (ABC) (β) √ Bài Cho tam giác ABC cân, đáy BC = 3a, BC ⊥ (β), đường cao a D hình chiếu A lên (β) cho tam giác DBC vng D Tìm góc (ABC) (β) Bài Cho tam giác ABC cạnh a Từ đỉnh A, B, C vẽ nửa đường thẳng vng góc với mặt phăng chứa ABC Lấy E, E, F nằm phía mặt phẳng chứa ABC cho DA = a, BE = 2a, CF = x a) Tìm x để tam giác DEF vng D b) Với x vừa tìm câu trên, tìm góc (ABC) (DEF ) Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 85 Chương QUAN HỆ VUÔNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN §5 Ơn tập chương III Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a tâm O Biết SA = a SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N trung điểm cạnh SA SB a) Chứng minh M N ⊥ BC b) Chứng minh BD ⊥ (SAC) tính góc đường thẳng SO mặt phẳng (ABCD) c) Tính góc mặt phẳng (DCN M ) (ABCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có tâm O SO vng √ góc với mặt phẳng (ABCD) SO = a a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD) b) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) c) Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có tâm O SA vng √ góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a a) Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC) b) Tính góc SC mặt phẳng (ABCD) c) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD hình vng tâm O SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) trung điểm H đoạn AO Cho SA = AB = a a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD) b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) ÷ góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) Tính số đo góc này? c) Chứng minh SOA Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng góc A B, biết BA = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA, SD a) Tính khoảng cách AC M N tính góc SC mặt phẳng (ABCD) b) Tính góc mặt phẳng (DCN M ) mặt phẳng (ABCD) c) Kẻ đường cao SH tam giác SAD Chứng minh độ dài SH khoảng cách S mặt phẳng (DCN M ) Tính khoảng cách Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 86 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SH ⊥ (ABCD) với H điểm AC Biết SA = a đường chéo AC thỏa AH = a) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) tính khoảng cách SH BD b) Tính góc SD (SAC) c) Tính góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Tam giác SAB hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H đoạn thẳng AB Gọi M, N trung điểm SA SB a) Chứng minh (BCM ) ⊥ (SAB) b) Tính tan góc đường thẳng SD mặt phẳng (ABCD) c) Tính theo a khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (BCM ) Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 ... 84 Ôn tập chương III 85 Chương QUAN HỆ VUÔNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 Chương VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GĨC TRONG... lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật • Hình lăng trụ đứng có đáy mặt bên hình vng gọi hình lập phương Hình lăng trụ đứng tam giác Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Hình lăng trụ đứng ngũ... Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976071956 24 Chương QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Dạng 2: Góc đường thẳng mặt phng A Ô Xỏc nh [AB, (P )]? Ta có: A H ⊥ (P ) ⇒ hình chiếu vng góc A (P ) H Hình