Chuyên đề: Sự t ơng giao giữa đ ờng thẳng và para bolA.. Từ đó tao có thể xét đợc vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng, vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol: 1... Bài giải: Gọi đờn
Trang 1Chuyên đề: Sự t ơng giao giữa đ ờng thẳng và para bol
A Phơng pháp:
Cho (C) là đồ thị của hàm số y=f x( ) và điểm A x y( A; A), ta có:
A y f x y f x
A y f x y f x
Toạ độ điểm chung của đồ thị hàm số y=f x( ) và y=g x( ) là nghiệm của hệ:
( ) ( )
y f x
y g x
ỡ = ùù
ớ = ùùợ
Do đó: Hoành độ điểm chung của hai đồ thị chính là nghiệm của phơng trình:
( ) ( )
f x =g x
Từ đó tao có thể xét đợc vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng, vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol:
(1) Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng: (D): y = ax + b (a ≠ 0)
và (D’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)
Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (D’) là: (a – a’)x = b’ – b (1)
(D) //(D’) (1) vô nghiệm a = a’ và b ≠ b’
(D) trùng (D’) (1) có vô số nghiệm a = a’ và b = b’
(D) cắt (D’) (1) có một nghiệm a ≠ a’
(D) vuông góc (D’) a.a’ = 1
(2) Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng (D): y=f x( ) và parabol (P): y=g x( )
Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình: f x( ) =g x( ) (2)
Phơng trình (2) là phơng trình bậc hai Ta thấy:
(D) và (P) không có điểm chung PT (2) vô nghiệm D < 0
(D) tiếp xúc với (P) (2) có nghiệm kép D = 0
(D) cắt (P) tại hai điểm (2) có hai nghiệm phân biệt D > 0
B Một số dạng bài tập:
Dạng 1: Bài toán chứng minh:
Bài 1: Chứng minh rằng đờng thẳng (D): y= 4x- 3 tiếp xúc với parabol (P):
y= x - m- x+ m -
Bài giải:
Hoành độ điểm chung của (P) và (D) là nghiệm của phơng trình:
Ta có: D = 4m2 - 4m2 = 0 với mọi giá trị của m nên đờng thẳng (D) luôn tiếp xúc với parabol (P)
Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện:
Bài 2: Cho đờng thẳng (D): y= 2 (m x- ) và parabol (P): y= - x2 + 2x+ 4m
a Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với parabol (P)
b Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm toạ độ giao
điểm A và B khi 3
2
m = -
Bài giải:
a Hoành độ điểm chung của (P) và (D) là nghiệm của phơng trình:
( )
2
2
Đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) (2) có nghiệm kép D = Û 0 4 2 + m= 0
Trang 2m
b (D) cắt (P) tại hai điểm (2) có hai nghiệm phân biệt D > Û 0 m> - 2
2
m = - thị hoành độ giao điểm A và B là nghiệm của phơng trình:
x
x
ộ = +
ỗ
- - ỗỗố ứ - ữữ= Û - + = Û ờờ =
-ở
Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A, B của (D) và (P) là:
(2 7; 1 2 7 ;) (2 7; 1 2 7)
Dạng 3: Xác định toạ độ tiếp điểm.
Bài 3: Cho parabol (P): y=x2 - 2x- 3 Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm
đó song song với đờng thẳng (D): y = - 4x
Bài giải:
Gọi đờng thẳng tiếp xúc với (P) là (d)
Do (d) song song với (D) nên (d) có dạng: y -4x + b (b ≠ 0)
Hoành độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình:
x - x- = - x b+ Û x + x- - b= (4)
Ta thấy: (d) tiếp xúc với(P) Phơng trình (4) có nghiệm kép
Khi đó: Nếu A(x0; y0) là tiếp điểm của (P) và (d) thì (do A (P) và A (d)) ta có hệ phơng trình:
2
0
0 0 0
0
1
0
x
y
ùợ
Vậy tiếp điểm cần tìm là A(-1; 0)
Dạng 4: Lập phơng trình tiếp tuyến.
Bài 4: Cho đờng thẳng (D): y = ax + b Tìm a và b biết:
a Đờng thẳng (D) song song với đờng thẳng 2y + 4x = 5 và tiếp xúc với parabol (P): y
= -x2
b Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng x - 2y +1 = 0 và tiếp xúc với parabol (P):
y = -x2
c Đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P): y = x2 – 3x + 2 tại điểm C(3; 2)
Bài giải:
a Ta có: 2y + 4x = 5 2 5
2
y= - x+
(D) song song với đờng thẳng 2y + 4x = 5 nên (D) có dạng y = -2x + b (b ≠ 5
2).
Theo cách làm dạng 2 ta tìm đợc 1
4
b = Vậy đờng thẳng cần tìm có phơng trình là (D):
1
2
4
y= - x+
b Ta có: x - 2y +1 = 0 1 1
y= x+
(D) vuông góc với đờng thẳng có phơng trình là x - 2y +1 = 0 .1 1 2
2
a = - Û a= - Suy ra: (D) có phơng trình: y = -2x + b
Theo cách làm của dạng 2, ta tìm đợc b = 1
Vậy phơng trình cần tìm là (D): y = -2x + 1
c (D) có dạng tổng quát là: y = ax + b
Vì C(3; 2) (D) 2 = 3a + b b = 2 – 3a
Khi đó phơg trình của (D) có dạng: y = ax + 2 – 3a
Theo cách làm của dạng 2, ta tìm đợc a = 3 và suy ra b = -7
Vậy đờng thẳng (D) có phơng trình là: y = 3x - 7
Trang 3Dạng 5: Xác định parabol.
Bài 5: Xác định parabol (P): y = ax2 + bx + c thoả mãn:
a (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D): y = -5x + 15 và đi qua điểm (0; -1) và (4; -5)
b (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và cắt đờng thẳng (D): y = x – 1 tại hai
điểm có hoành độ là 1 và 3
Bài giải:
a Vì (P) qua các điểm (0; -1) và (4; -5) nên: 1 1
ù + + = - ù = -
Do đó, (P) có dạng: y = ax2 + (-4a - 1)x – 1
Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D): y = -5x + 15 phơng trình hoành độ điểm chung giữa (P) và (D) là: ax2 + (-4a - 1)x – 1 = -5x + 15 có nghiệm kép
phơng trình ax2 + (-4a + 4)x – 16 = 0 có nghiệm kép
D = Û ' 0 4 1 ( - a) 2 + 16a= Û 0 a2 - 2a+ + 1 4a= Û 0 (a+ 1 ) 2 = Û 0 a= - 1
Từ đó, suy ra: a = -1; b = 3; c = -1
Vậy hàm số cần tìm là (P): y = -x2 + 3x – 1
b Vì (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên đi qua điểm có toạ độ (0; 2)
c = 2
Do đó, (P) có dạng: y = ax2 + bx + 2
Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phơng trình:
ax2 + bx + 2 = x – 1 ax2 + (b – 1)x + 3 = 0 (5)
Vì (P) cắt đờng thẳng (D) tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3 Phơng trình (5) có hai nghiệm là 1 và 3
( )
3
b
a b
a b
ùợ
Vậy, (P) có phơng trình là: y = x2 – 3x + 2