Su tuong giao giua duong thang va parabol

Chuyên đề: Sự t ơng giao giữa đ ờng thẳng và para bol A. Phơng pháp: Cho (C) là đồ thị của hàm số ( ) y f x= và điểm ( ) ; A A A x y , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A A y f x y f x A y f x y f x = =ẻ =ẽ ạ Toạ độ điểm chung của đồ thị hàm số ( ) y f x= và ( ) y g x= là nghiệm của hệ: ( ) ( ) y f x y g x ỡ = ù ù ớ = ù ù ợ Do đó: Hoành độ điểm chung của hai đồ thị chính là nghiệm của phơng trình: ( ) ( ) f x g x= . Từ đó tao có thể xét đợc vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng, vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol: (1). Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng: (D): y = ax + b (a 0) và (D): y = ax + b (a 0). Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (D) là: (a a)x = b b (1) (D) //(D) (1) vô nghiệm a = a và b b. (D) trùng (D) (1) có vô số nghiệm a = a và b = b. (D) cắt (D) (1) có một nghiệm a a. (D) vuông góc (D) a.a = 1. (2). Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng (D): ( ) y f x= và parabol (P): ( ) y g x= . Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình: ( ) ( ) f x g x= (2) Phơng trình (2) là phơng trình bậc hai. Ta thấy: (D) và (P) không có điểm chung PT (2) vô nghiệm 0<D . (D) tiếp xúc với (P) (2) có nghiệm kép 0=D . (D) cắt (P) tại hai điểm (2) có hai nghiệm phân biệt 0>D . B. Một số dạng bài tập: Dạng 1: Bài toán chứng minh: Bài 1: Chứng minh rằng đờng thẳng (D): 4 3y x= - tiếp xúc với parabol (P): ( ) 2 2 2 4 2 1 8 3y x m x m= - - + - . Bài giải: Hoành độ điểm chung của (P) và (D) là nghiệm của phơng trình: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 8 3 4 3 2 8 8 0 4 4 0 x m x m x x mx m x mx m - - + - = - - + = - + = Ta có: 2 2 4 4 0m m= - =D với mọi giá trị của m nên đờng thẳng (D) luôn tiếp xúc với parabol (P). Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện: Bài 2: Cho đờng thẳng (D): ( ) 2y m x= - và parabol (P): 2 2 4y x x m= - + + . a. Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với parabol (P). b. Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm toạ độ giao điểm A và B khi 3 2 m = - . GV Nguyễn Hữu Hạnh Tr ờng THCS Lăng Thành Yên Thành Nghệ An Bài giải: a. Hoành độ điểm chung của (P) và (D) là nghiệm của phơng trình: ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 2 0 2 x x m m x x x m - + + = - - - = Đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) (2) có nghiệm kép 0 4 2 0m= + =D 2m = - . b. (D) cắt (P) tại hai điểm (2) có hai nghiệm phân biệt 0 2m> > -D . Khi 3 2 m = - thị hoành độ giao điểm A và B là nghiệm của phơng trình: 2 2 2 7 3 4 2. 0 4 3 0 2 2 7 x x x x x x ộ = + ổ ử ờ ữ ỗ - - - = - + = ờ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ = -ờ ở Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A, B của (D) và (P) là: ( ) ( ) 2 7; 1 2 7 ; 2 7; 1 2 7A B+ - - - - + Dạng 3: Xác định toạ độ tiếp điểm. Bài 3: Cho parabol (P): 2 2 3y x x= - - . Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với đờng thẳng (D): y = - 4x. Bài giải: Gọi đờng thẳng tiếp xúc với (P) là (d). Do (d) song song với (D) nên (d) có dạng: y -4x + b (b 0) Hoành độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình: 2 2 2 3 4 2 3 0x x x b x x b- - = - + + - - = (4) Ta thấy: (d) tiếp xúc với(P) Phơng trình (4) có nghiệm kép ' 0 4 0 4b b= + = = -D . Khi đó: Nếu A(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm của (P) và (d) thì (do A (P) và A (d)) ta có hệ ph- ơng trình: 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 4 4 x y x x y y x ỡ = -ỡ = - - ù ù ù ù ù ớ ớ =ù ù = - - ù ù ợ ù ợ . Vậy tiếp điểm cần tìm là A(-1; 0). Dạng 4: Lập phơng trình tiếp tuyến. Bài 4: Cho đờng thẳng (D): y = ax + b. Tìm a và b biết: a. Đờng thẳng (D) song song với đờng thẳng 2y + 4x = 5 và tiếp xúc với parabol (P): y = -x 2 . b. Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng x - 2y +1 = 0 và tiếp xúc với parabol (P): y = -x 2 . c. Đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P): y = x 2 3x + 2 tại điểm C(3; 2). Bài giải: a. Ta có: 2y + 4x = 5 5 2 2 y x= - + . (D) song song với đờng thẳng 2y + 4x = 5 nên (D) có dạng y = -2x + b (b 5 2 ). Theo cách làm dạng 2 ta tìm đợc 1 4 b = . Vậy đờng thẳng cần tìm có phơng trình là (D): 1 2 4 y x= - + . GV Nguyễn Hữu Hạnh Tr ờng THCS Lăng Thành Yên Thành Nghệ An b. Ta có: x - 2y +1 = 0 1 1 2 2 y x= + . (D) vuông góc với đờng thẳng có phơng trình là x - 2y +1 = 0 1 . 1 2 2 a a= - = - . Suy ra: (D) có phơng trình: y = -2x + b. Theo cách làm của dạng 2, ta tìm đợc b = 1. Vậy phơng trình cần tìm là (D): y = -2x + 1. c. (D) có dạng tổng quát là: y = ax + b. Vì C(3; 2) (D) 2 = 3a + b b = 2 3a. Khi đó phơg trình của (D) có dạng: y = ax + 2 3a. Theo cách làm của dạng 2, ta tìm đợc a = 3 và suy ra b = -7. Vậy đờng thẳng (D) có phơng trình là: y = 3x - 7. Dạng 5: Xác định parabol. Bài 5: Xác định parabol (P): y = ax 2 + bx + c thoả mãn: a. (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D): y = -5x + 15 và đi qua điểm (0; -1) và (4; -5). b. (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và cắt đờng thẳng (D): y = x 1 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3. Bài giải: a. Vì (P) qua các điểm (0; -1) và (4; -5) nên: 1 1 16 4 5 4 1 c c a b c b a = - = -ỡ ỡ ù ù ù ù ớ ớ ù ù + + = - = - - ù ù ợ ợ . Do đó, (P) có dạng: y = ax 2 + (-4a - 1)x 1. Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D): y = -5x + 15 phơng trình hoành độ điểm chung giữa (P) và (D) là: ax 2 + (-4a - 1)x 1 = -5x + 15 có nghiệm kép phơng trình ax 2 + (-4a + 4)x 16 = 0 có nghiệm kép ( ) ( ) 2 2 2 ' 0 4 1 16 0 2 1 4 0 1 0 1a a a a a a a= - + = - + + = + = = -D Từ đó, suy ra: a = -1; b = 3; c = -1. Vậy hàm số cần tìm là (P): y = -x 2 + 3x 1. b. Vì (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên đi qua điểm có toạ độ (0; 2) c = 2. Do đó, (P) có dạng: y = ax 2 + bx + 2. Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phơng trình: ax 2 + bx + 2 = x 1 ax 2 + (b 1)x + 3 = 0. (5) Vì (P) cắt đờng thẳng (D) tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3 Phơng trình (5) có hai nghiệm là 1 và 3 ( ) 1 3 0 1 2 3 3 0 9 1 3 3 0 a b a a b b a b a b ỡ + - + = ỡ =ỡ + = - ù ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ù ù ù = - + = + - + = ù ù ù ợ ợ ù ợ . Vậy, (P) có phơng trình là: y = x 2 3x + 2. GV Nguyễn Hữu Hạnh Tr ờng THCS Lăng Thành Yên Thành Nghệ An . 2, ta tìm đợc a = 3 và suy ra b = -7. Vậy đờng thẳng (D) có phơng trình là: y = 3x - 7. Dạng 5: Xác định parabol. Bài 5: Xác định parabol (P): y = ax 2. của m thì (D) tiếp xúc với parabol (P). b. Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm toạ độ giao điểm A và B khi 3 2 m =