skkn toán dãy số,cấp số THPT tham khảo
đặt vấn đề Trong chơng trình toán học THPT toán liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích lớp 11 , Học sinh thờng phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề gặp khó khăn vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Đặc biệt số lớp toán xác định đợc công thức tổng quát dãy số nội dung toán gần nh đợc giải Để đáp ứng đợc phần đề tài Xác định công thức tổng quát dãy số kết hợp với tiếp cận Lý thuyết phơng trình sai phân qua số chuyên đề mà thân tác giả đợc học Nội dung đề tài nhằm cung cấp số phơng pháp xác định công thức tổng quát dãy số có phân loại số lớp toán Đây đề tài giảng mà tác giả dạy cho học sinh , đặc biệt học sinh giỏi lớp chọn, tài liệu học sinh đồng nghiệm tham khảo Trong đề tài tác giả sử dung số kết có tính hệ thống Lý thuyết phơng trình sai phân Tuy nhiên vấn đề áp dụng kiến thức toán học đại dừng lại số trờng hợp đặc biệt giới hạn trờng số thực Giới hạn đề tài dừng lại việc xác định công thức tổng quát số dãy số , từ có áp dụng vào số toán cụ thể Qua đó, ngời đọc trang bị thêm cho phơng pháp xác định công thức tổng quát dãy số Đặc biệt thầy cô tự kiểm tra kết xây dựng cho lớp toán dãy số đợc trình bày đề tài Một số phơng pháp xác định công thức tổng quát dãy số xây dựng toán dãy số A Phơng trình sai phân tuyến tính cấp Phơng trình sai phân tuyến tính cấp phơng trình sai phân dạng u1 = , a.un+1 + b.un = f n , n N * a,b, số ,a # f n biểu thức n cho trớc Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = , a.un +1 + b un = (1.1) a, b, cho trớc n N * Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b = để tìm Khi un = q n (q số ) , q đợc xác định biết u1 = Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công bội Bài giải Ta có un +1 = un , u1 = (1.2) Phơng trình đặc trng có nghiệm = Vậy un = c.2n Từ u1 = suy Do un = 2n c= Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = , aun+1 + bun = f n , n N * (2 1) f n đa thức theo n Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b = ta tìm đợc Ta có un = un0 + un* Trong un0 nghiệm phơng trình (1.1) un* nghiệm riêng tuỳ ý phơng trình không (2.1) Vậy un0 = q. n q số đợc xác định sau Ta xác định un* nh sau : 1) Nếu #1 un* đa thức bậc với f n 2) Nếu =1 un* = n.g n với g n đa thức bậc với f n Thay un* vào phơng trình, đồng hệ số ta tính đợc hệ số un* Bài toán 2: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 2; un +1 = un + 2n, n N * (2.2) Bài giải Phơng trình đặc trng = có nghiệm = Ta có un = un0 + un* un0 = c.1n = c, un* = n ( an + b ) Thay un* phơng trình (2.2) ta đợc ( n + 1) a ( n + 1) + b = n ( an + b ) + 2n (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta đợc hệ phơng trình sau 3a + b = a = 5a + b = b = Do un = n ( n 1) Ta có un = un0 + un* = c + n ( n 1) Vì u1 = nên = c + 1( 1) c = Vậy un = + n ( n 1) , hay un = n n + Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = , a.un +1 + bun = v.àn , n N * (3.1) f n đa thức theo n Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b = ta tìm đợc Ta có un = un0 + un* Trong un0 = c. n , c số cha đợc xác định , un* đợc xác định nh sau : 1) Nếu # un* = A.à n 2) Nếu = un* = A.n.à n Thay un* vào phơng trình (3.1) đồng hệ số ta tính đợc hệ số un* Biết u1 , từ hệ thức un = un0 + un* , tính đợc c Bài toán 3: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 1; un +1 = 3.un + 2n , n N * (3.2) Bài giải Phơng trình đặc trng = có nghiệm = Ta có un = un0 + un* un0 = c.3n , un* = a.2n Thay un* = a.2n vào phơng trình (3.2) , ta thu đợc a.2n+1 = 3a.2n + 2n 2a = 3a + a = Suy un = 2n Do un = c.3n 2n u1 = nên c=1 Vậy un = 3n 2n Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = , a.un +1 + bun = f1n + f n , n N * (4.1) Trong f1n đa thức theo n f n = v.à n Phơng pháp giải Ta có un = un0 + u1*n + u2*n Trong un0 nghiệm tổng quát phơng trình aun+1 + bun = , un* nghiệm riêng phơng trình * không a.un+1 + b.un = f1n , u2n nghiệm riêng phơng trình không a.un+1 + b.un = f n Bài toán 4: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 1; un +1 = 2un + n + 3.2 n , n N * (4.2) Bài giải Phơng trình đặc trng = có nghiệm = Ta có un = un0 + u1*n + u2*n un0 = c.2n , un* = a.n + b.n + c , u2*n = An.2n Thay un* vào phơng trình un+1 = 2.un + n , ta đợc a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = 2an + 2bn + 2c + n 2 Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình 2a c = a = b = a b c = 2a + 2b + c = c = * Vậy u1*n = n 2n thay u2n vào phơng trình un+1 = 2.un + 3.2n Ta đợc A ( n + 1) 2n+1 = An.2 n + 3.2n A ( n + 1) = An + A = Vậy u2*n = n.2n = 3n.2n Do un = c.2n + ( n 2n 3) + 3n.2 n1 Ta có u1 = nên = 2c + c = Vậy un = 3n.2n1 n 2n B Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai Phơng trình sai phân tuyến tính cấp phơng trình sai phân dạng u1 = , u2 = , a.un+1 + bun + c.un1 = f n , n N * a,b,c, , số , a # f n biểu thức n cho trớc (NX: Phơng trình đặc trng phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai có hai nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trờng số thực , tức xét nghiệm thực ) Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = , u2 = , aun+1 + bun + c.un = 0, n N * (5.1) Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = tìm Khi 1) Nếu , hai nghiệm thực khác un = A.1n + B.2n , A B đợc xác định biết u1 , u2 2) Nếu , hai nghiệm kép = = un = ( A + Bn ) n , A B đợc xác định biết u1 , u2 Bài toán 5: Tìm un thoả mãn điều kiện sau u0 = 1, u1 = 16, un + = 8.un+1 16.un (5.1) Bài giải Phơng trình đặc trng + 16 = có nghiệm kép = Ta có un = ( A + B.n ) 4n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu đợc hệ phơng trình A =1 u0 = = A u1 = ( + B ) = 16 B = Vậy un = ( + 3n ) n Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = , u2 = , a.un+1 + b.un + c.u n1 = f n , n 2, (6.1) a # 0, f n đa thức theo n cho trớc Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = để tìm Khi ta có un = un0 + un* , un0 nghiệm tổng quát phơng trình a.un+1 + b.un + c.un = un* nghiệm tuỳ ý phơng trình a.un+1 + b.un + c.un = f n Theo dạng ta tìm đợc un0 , hệ số A, B cha đợc xác định , un* đợc xác định nh sau : 1) Nếu #1 un* đa thức bậc với f n 2) Nếu = nghiệm đơn un* = n.g n , g n đa thức bậc với f n 3) Nếu = nghiệm kép un* = n.2 g n , g n đa thức bậc với fn , Thay un* vào phơng trình , đồng hệ số, tính đợc hệ số un* Biết u1 , u2 từ hệ thức un = un0 + un* tính đợc A, B Bài toán 6: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 1; u2 = 0, un +1 2un + un1 = n + 1, n (6.2) Bài giải Phơng trình đặc trng + = có nghiệm kép = Ta có un = un0 + un* un0 = ( A + B.n ) 1n = A + Bn, un* = n ( a.n + b ) Thay un* vào phơng trình (6,2) , ta đợc ( n + 1) a ( n + 1) + b 2n ( a.n + b ) + ( n 1) a ( n 1) + b = n + Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình a = ( 2a + b ) ( a + b ) = ( 3a + b ) ( 2a + b ) + ( a + b ) = b = n un* = n + ữ Vy Do n un = un0 + un* = A + Bn + n + ữ Mt khác 1 A + B + + =1 A = 11 1 A + B + + ữ = B = Vậy un = 11 n n + n2 + ữ Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = , u2 = , aun+1 + bun + c.un = d n , n (7.1) Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = để tìm Khi ta có un = un0 + un* , un0 đợc xác định nh dạng hệ số A B cha đợc xác định, un* đợc xác định nh sau 1) Nếu # un* = k n 2) Nếu = nghiệm đơn un* = k nà n 3) Nếu = nghiệm kép un* = k n.2 n Thay un* vào phơng trình , dùng phơng pháp đồng thức hệ số tính đợc hệ số k Biết u1 , u2 từ hệ thức un = un0 + un* tính đợc A,B Bài toán 7: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 0; u2 = 0, un +1 2un + un = 3.2 n , n Bài giải Phơng trình đặc trng + = có nghiệm kép = Ta có un = un0 + u1*n un0 = ( A + B.n ) 1n = A + Bn, un* = k 2n Thay un* vào phơng trình , ta đợc k 2n+1 2k 2n + k 2n = 3.2 n k = Vậy un* = 6.2n = 3.2n+1 Do un = un0 + un* = A + bn + 3.2n +1 (1) Thay u1 = 1, u2 = vào phơng trình ta thu đợc = A + B + 12 A = = A + B + 24 B = 13 Vậy un = 13n + 3.2n +1 Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = , u2 = , aun+1 + bun + c.un = f n + g n , n (8.1) a # , f n đa thức theo n g n = v.à n Phơng pháp giải Ta có un = un0 + u1*n + u2*n un0 nghiệm tổng quát phơng trình aun +1 + bun + c.un = , u1n* nghiệm riêng tùy ý ph* ơng trình không aun +1 + bun + c.u n1 = f n u2n nghiệm riêng tùy ý phơng trình không aun +1 + bun + c.un1 = g n Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 0; u2 = 0, un +1 2un 3un = n + n , n (8.2) Bài giải Phơng trình đặc trng = có nghiệm = 1, = Ta có un = un0 + u1*n + u2*n un0 = A ( 1) + B.3n , u1*n = a + bn, u2*n = k 2n n Thay u1n* vào phơng trình un+1 2u n 3u n1 = n , ta đợc a ( n + 1) + b ( an + b ) a ( n 1) + b = n ( 4a + 1) n ( a b ) = Vậy a=b= Do un* = ( n + 1) * Thay u2n vào phơng trình un+1 2un 3un = n , ta đợc k 2n+1 2.k 2n = 3.k 2n = 2n k = Do u2*n = 2n = 2n+1 3 Vậy un = un0 + u1*n + u2*n = A ( 1) + B.3n n 1 ( n + 1) 2n+1 (8.3) Ta thay u1 = 1, u2 = vào (8.3) ta đợc hệ phơng trình 61 A + B = A = 48 A + 9B = B = 25 48 Vậy un = 61 25 1 n ( 1) + 3n ( n + 1) n+1 48 48 C Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba phơng trình sai phân dạng u1 = , u2 = , u3 = , a.un + + bun+1 + c.un + d un1 = f n , n (a.1) a,b,c, d, , , số , a # f n biểu thức n cho trớc (NX: Phơng trình đặc trng phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba có ba nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trờng số thực , tức xét nghiệm thực ) Phơng pháp giải Nghiệm tổng quát phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng un = un0 + un* , un0 nghiệm tổng quát phơng trình tuyến tính nhất, un* nghiệm riêng phơng trình tuyến tính không Xét phơng trình đặc trng (a.2) a + b + c + d = 1) Xác định công thức nghiệm tổng quát phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực , , phân biết un0 = a1 1n + a2 2n + a3 3n b) Nếu (a.2) có nghiệm thực bội nghiệm đơn (1 = # ) un0 = (a1 + a2 n)1n + a3 3n c) Nếu (a.2) có nghiệm thực bội (1 = = ) un0 = (a1 + a2 n + a3 n )1n 2) Xác định nghiệm riêng un* phơng trình (a.1) Xét f n đa thức n ta có a) Nếu #1 un* đa thức bậc với f n 10 Gii: Do Un= U n U n U .U1 = ( )n U = n U n U n2 U 2 U1 = Bi 6: Cho dóy s xỏc nh bi: n N * Tỡm Un theo n U n +1 = + U n Gii: U1= = 2.cos = 2.cos U2= + U = + 2.cos = 2.cos = 2.cos D oỏn: Un= 2.cos n +1 Khng nh cụng thc bng quy np Dng 2: Xột tớnh tng, gim (b chn) ca dóy s Cỏch gii : Cỏch : Lp hiu : U U + Nu U U >0 n N (U ) tng + Nu U U 0 n N Lp t s + Nu >1 n N (U ) tng + Nu 0 n N Lp = ( 1+ ) Vỡ 1+ n N ( 1+ ) U (U ) tng Dng 3: Xột tớnh b chn ca mt dóy s Phng phỏp chung : Xỏc nh cỏc s M, m thụng qua ỏnh giỏ hoc s dng bin i bt ng thc Bi 1: Xột tớnh b chn ca cỏc dóy s sau: a) U =3cos b) U = Bi 2: Cho dóy s (U) xỏc nh bi n N a) CMR (U) b chn trờn bi b) CMR (U) tng (U) b chn 1, Lí thuyết Phần II: CP SCNG, CP SNHN *nh ngha *S hng tng quỏt *Tớnh cht *Tng n s hng u Cp s cng + l dóy s + U=U+d (n N, n 2) -d : cụng sai ca cp s -d=const + U=U+(n-1)d + U= (k 2, kN) + S= hoc + S= Cp s nhõn + l dóy s + U=Uq (n N, n 2) -q : cụng bi ca cp s -q =const + U=U.q + U=U U (k 2, kN) + S= U 2, Bài tập A/ CP SCNG: Dng : Xỏc nh cp s cng 1> Trong cỏc dóy s sau, dóy s no l cp s cng? Xỏc nh cụng sai ca cp s cng ú? a) Dóy (a) xỏc nh bi a=1, a=3+ a n b) Dóy (b) xỏc nh bi b=3, b=b-n n c) Dóy (c) xỏc nh bi c=c+2 n d) Dóy (d) xỏc nh bi d=8n+3 2> Cho dóy s (U) xỏc nh bi U=a, U=5-U n 1, aR; hóy xỏc nh cỏc giỏ tr ca a (U) l cp s cng Dng 2: Xỏc nh cỏc yu t ca cp s cng: d, U, U 1> Cho cp s cng (U) cú U-U =9 v U- U=153 Hóy xỏc nh s hng u v cụng sai ca cp s cng ú 2> Cho cp s cng (U) cú d>0, U+U=11 v U+ U=101 Hóy tỡm s hng tng quỏt ca cp s cng ú 3> Cho cp s cng tng (U) cú U+ U=302094 v tng 15 s hng u tiờn bng 585 Tỡm s hng u v cụng sai ca cp s cng ú Dng 3: Cỏc bi toỏn cú liờn quan n tng S 1> Cho cp s cng (U) cú U+ U=90 Hóy tớnh tng 23 s hng u ca cp s cng ú 2> Cho cp s cng (U) cú U+ U=42, U+ U=66 Hóy tớnh tng 346 s hng u tiờn ca cp s cng ú Dng 3: Cỏc dng toỏn cú liờn quan 18 1> Tỡm i u kin ca tham s m png trỡnh sau cú nghim lp thnh mt cp s cng: x-3mx+ 2(m-4)x+ 9mm=0 HD: Gi s phng trỡnh cú nghim x, x, x Vỡ nghim lp thnh cp s cng nờn x+x+x=3m -> x=m Th x=m l nghim ca phng trỡnh ta c mm=0 + Vi m=0 ta c x=x=x=0 (loi) + Vi m=1 ta c x=-2,x=1,x=4 Kt lun m=1 2> Tỡm i u kin ca tham s (C) : y=ax+ bx+ cx+d (a0) ct Ox ti i m phõn bit cú honh lp thnh mt cp s cng 3> Tỡm i u kin ca tham s m phng trỡnh x 2(m+1)x+ 2m +1=0 cú nghim phõn bit lp thnh mt cp s cng HD : t t= x (t 0) Vi iu kin ca gi thit ta tỡm c t=9t (t, t l cỏc nghim ca phng trỡnh n pht) p dng Viet ta tỡm c 4> Tỡm i u kin ca m ng thng y=m ct th hm s(C)=x5x+4 ti A, B, C, D phõn bit m AB=BC=CD 5> Tỡm i u kin ca m (C) : y= x+2(2m+1)x-3m ct Ox ti i m phõn bit lp thnh mt cp s cng 6> Cho dóy s a, a,a, , a vi n 3, tho iu kin: + + + = CMR dóy s trờn lp thnh mt cp s cng B/ CP SNHN: Bi 1: Cho cp s nhõn cú: u = 18 v u = -486 Tỡm s hng u tiờn v cụng bi q ca cp s nhõn ú Bi 2: Tỡm u v q ca cp s nhõn (u n) bit: Bi 3: Tỡm cp s nhõn (u n) bit cp sú cú s hng cú tng bng 360 v s hng cui gp ln s hng th hai Bi 4: Tng s hng liờn tip ca mt cp s cng l 21 Nu s th hai tri v s th ba cng thờm thỡ ba sú lp thnh mt cp s nhõn Tỡm ba sú Bi : Ba s lp thnh mt cp s nhõn Nu s hng th hai cng thờm ta c mt cp s cng Sau ú cng thờm vi s hng th ba ta li c mt cp s nhõn Tỡm ba sy S: ; - ; Bi : Gi s phng trỡnh: x3 + ax2 + bx + c = cú nghim x1, x2, x3 Chng minh rng cỏc nghim y theo th t no ú lp thnh cp s nhõn thỡ b3 = ca3 Bi : di cỏc cnh a, b, c ca tam giỏc ABC theo th t lp thnh cp s nhõn Chng minh r ng : Tam giỏc khụng th cú gúc ln hn 600 Bi 8:Vi iu kin no thỡ s liờn tip ca cp s nhõn l di cỏc cnh ca tam giỏc Bi 9:Tam giỏc ABC cú tanA, tanB, tanC theo th t lp thnh cp s cng Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : F = cosA + cosC Bi 10:Tớnh tng: + 55 + 555 + Bi 11:Tỡm m phng trỡnh : x3-(3m+1)x2+(5m+4)x-8=0 c? nghim phõn bit lp thnh cp s nhõn C/ CP SCNG, CP SNHN V PHNG TRèNH 19 x Bi 1: Cho: cos 2x tan x = cos cos (1 x 70) Tỡm tng cỏc cos x nghim ca phng trỡnh Bi 2: Cho phng trỡnh: x8 + ax4 + a4 = Tỡm a phng trỡnh cú nghim thc phõn bit lp thnh cp s cng Bi 3: Cho phng trỡnh: x13 + ax7 + ax4 = o Tỡm a phng trỡnh cú nghim thc phõn bit lp thnh cp s cng Bi 4: Cho hm s y = x 3x2 9x + m Xỏc nh m th hm s ct trc honh ti im phõn bit vi cỏc honh lp thnh cp s cng Bi 5: Vi giỏ tr no ca a v b phng trỡnh: x3 + ax + b = cú nghim phõn bit khỏc lp thnh cp s cng Bi 6: Cho hm s y = x 3mx + 2m(m 4)x + 9m2 m Xỏc nh m th hm s ct trc honh ti i m cỏch u Bi 7: Cho hm s y = x 3ax + 4a3 Xỏc nh a ng thng y = x ct th ti i m phõn bit A, B, C Vi AB = AC Bi : Cho hm s y = x 3x 9x + Tỡm iu kin i vi a, b ng thng y = ax + b ct th ti i m phõn bit A, B, C Vi B l trung i m AC Bi : Cho hm s : y = x + ax2 + b Gi s th hm s ct trc honh ti i m cú honh lp thnh cp s cng Chng minh rng: 9a2 100b = Bi 10: Cho hm s y = x 2(m + 1)x + 2m + Xỏc nh m th hm s ct trc honh ti i m vi cỏc honh lp thnh cp s cng Bi 11: Gi s phng trỡnh: x3 + ax2 + bx + c = cú nghim x1, x2, x3 Chng minh rng cỏc nghim y theo th t no ú lp thnh cp s nhõn thỡ b = ca3 D/CP SCNG,CP SNHN V HTHC LNG TRONG TAM GIC Bi 1:A, B, C l gúc ca tam giỏc Chng minh rng: Nu: A B C tan , tan , tan lp thnh cp s cng thỡ cosA, cosB, cosC cng 2 lp thnh cp s cng i u ngc li cú ỳng khụng ? A B a+b Bi 2: Trong tam giỏc ABC bit: tan tan = CMR :c = 2 Bi : Chng minh rng: Nu tam giỏc ABC cú gúc cho A B C cot ,cot ,cot theo th t no ú lp thnh cp s cng thỡ 2 cnh a, b, c theo th tú cng lp thnh cp s cng Bi : a, b, c l cnh ca tam giỏc, tho iu kin a < b < c v lp thnh cp s cng Chng minh rng: ac = 6Rr Bi : di cỏc cnh a, b, c ca tam giỏc ABC theo th t lp thnh cp s cng Chng minh rng cụng sai ca cp s cng y bng 3r C A ( tan tan ) 2 20 Bi 6: So gúc ca tam giỏc ABC lp thnh cp s cng v tho ng thc: sinA + sinB + sinC = + a Tớnh cỏc gúc A, B, C b Bit na chu vi ca tam gớc bng 50 Tớnh cỏc cnh ca tam giỏc Bi 7: di cỏc cnh a, b, c ca tam giỏc ABC theo th t lp thnh cp s nhõn Chng minh rng : Tam giỏc khụng th cú gúc ln hn 600 Bi 8: Trong tam giỏc ABC t a = BC, b = CA, c = AB Gi s: 4A = 2B = C Chng minh rng: 1 = + a b c cos A + cos B + cos C = Bi 9: Vi iu kin no thỡ s liờn tip ca cp s nhõn l di cỏc cnh ca tam giỏc Bi 10: Tam giỏc ABC cú tanA, tanB, tanC theo th t lp thnh cp s cng Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : F = cosA + cosC E/ P DNG CP SCNG, CP SNHN TNH TNG Bi 1:Hóy biu th giỏ tr ca Sn theo n ( n N * ) ca cỏc tng sau: a Sn = + 2+ 3+ + n b Sn = 12 + 22 + 32 + + n2 c Sn = 13 + 23 + 33 + + n3 d Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n+1) e Sn = 1.2.3 +2.3.4+.+n(n+1)(n+2) 1 f + + + Sn = 1.3 3.5 (2n 1)(2n +1) 1 g + + + Sn = 1.2.3 2.3.4 n(n +1)(n + 2) 123 Bi 2: Tớnh tng: + 55 + 555 + 555 n E/NG DNG CP SCNG, CP SNHN TèM SHNG TNG QUT CA MT VI DY S C BIT Trong chng trỡnh i s 11, vic dy khỏi nim cp s cng, cp s nhõn l mt lý thỳ, chỳng cú nhiu ng dng thc t va s hc sinh u lnh hi tt cỏc khỏi nim ny Trong bi vit ny ta s a mt ng dng ca cp s cng, cp s nhõn tỡm cụng thc tng quỏt ca mt vi dóy sc bit Ta xột mt sbi toỏn cthnhsau: Bi toỏn Dóy s (un) cú tớnh cht: U = U +d n N c gi l mt cp s cng cú cụng sai l d Tỡm (u n) theo u1 v d Gii Ta cú: U=(U U)+ (U- U)+ +(U U)+ U =d+d+d+ +d+ U =U+(n-1)d Bi toỏn Tớnh tng ca n shng u tiờn ca cp s cng (un), cụng 21 sai d Gii : Ta cú : U+ U=U-d+ U+d= U+ U= = U+ U Vi n=1,2,3 Vy U+ U+ U + + U = [(U+ U)+(U+ U)+ +(U+ U)]= n(U+ U) Hay U+ U+ U + + U = [U+(n-1)d] Bi toỏn 3: Dóy s (U) cú tớnh cht U= Uq, n N c gi l mt cp s nhõn cú cụng bi q Tỡm (U) theo U v q Gii : Ta cú : U = Uq= Uq= = Uq Bi toỏn : Tớnh tng n shng u ca cp s nhõn (U) cụng bi q Gii : Ta cú : (1-q)(U+ U+ + U)= (U+ U+ + U)- (U+ U+ + U)= U- U = U- Uq = U(1- q) U+ U+ + U= U Bi toỏn : Cho U=1, U=2 U +1 Tỡm U Gii : Trong bi toỏn ny ta b lỳng tỳng bi vỡ õy khụng phi l cp s cng hay cp s nhõn ó bit Vy cú cỏch no tỡm U khụng ? Lm thno mt s1 v phi c mt cp s nhõn ? Ta vit li : U+1=2(U+1) V thy rng nu thay U +1 = V thỡ (V) l mt cp s nhõn Tú ta cú : V = V = U = -1 Bi toỏn : Cho U=1, U- U = n+1 Tỡm U Gii : Ta vit : n+1=(n+1)[a(n+1)+b]-n(an+b) ng nht cỏc h s theo n ta tỡm c a=b= U- (n+1)(n+2)= U- n(n+1) t V= U- n(n+1) V=1-1=0 T V = V n V =0 hay U= n(n+1) Mt khỏc U=(U- U)+(U- U)+ +(U- U)+ U, ta c : n+(n-1)+(n-2)+ +2+1= n(n+1) Chỳ ý : Bng cỏch lm tng t ta tớnh c tng : S= 1+ 2+ + n Bi toỏn : Tỡm dóy (U) cú tớnh cht U- U = (n+1) , n N Gii : Ta vit : (n+1) =a[(n+1) n]+ b[(n+1) - n]+ c[(n+1)-n] Cho n cỏc giỏ tr 0, 1, ta c h phng trỡnh a + b + c = 7a + 3b + c = Gii h ta c : a= ; b= ; c= 19a + 5b + c = Tú : U- (n+1)(n+2)(2n+3)= U n(n+1)(2n+1) t V =U n(n+1)(2n+1) ta c V = V n hay V = V n U = n(n+1)(2n+1)+ V = n(n+1)(2n+1)+ U-1 U = (U U)+(U- U)+ +(U- U)+ U= n+(n-1)+ + 2+ U 22 Vy n+(n-1)+ + 2+ 1= n(n+1)(2n+1) Bi toỏn : Cho U=1 ; U-3U=2 , n N Tỡm (U) Gii : Tỡm hng s cho = Ta c =-1 U + =3(U + ) t V = U + ta c : V =3 V , V =3 V = Vy U = - Bi toỏn : Cho U=1, U= n N Tớnh (U ) Gii : T gi thit ta cú : = +2 t V= ta c V = V +2, V =1 V =1+(n-1)2=2n-1 U = Bi toỏn 10 : Cho U =1, U =2, U-3U+2U=2n-1, n N Tỡm (U) Gii : Vit li (U- U)- 2(U- U)=2n-1 t V=U- U, ta c : V-2V=2n-1=[-2(n+1)-1]-2(-2n-1) V +2n+3=2(V +2n+1), V =1 t W =V +2n+1 ta c : W=2 W, W=V+3=4 W = V= 2-2n-1 U U = 2-2n-1 U U = -(2n-1) U =(U U)+(U U)+ +(U- U)+ U= 2+ 2+ + 2-[(2n-1)+(2n-3)+ +3]+1 = 2n-2 23 F Xây dựng toán dãy số truy hồi Nhận xét : Nội dung đề tài giúp bạn đọc tìm công thức tổng quát lớp dãy số có tính chất truy hồi cách xác nhất, giúp Thầy cô kiểm tra kết toán theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dãy số Dới số ví dụ xây dựng thêm toán dãy số có tính quy luật mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng toán khác dãy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phơng trình ( 1) ( + ) = + = (12.1) phơng trình (12.1) đợc coi phơng trình đặc trng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số un đợc xác định theo công thức sau un+ + 8.un+1 + 9.un = cho u0 = 2, u1 = Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Cho dãy số xn xác định nh sau xn + + 8.xn+1 + 9.xn = x0 = 2, x1 = n N Xác định công thức dãy số xn Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định nh sau xn + + 8.xn+1 + 9.xn = x0 = 2, x1 = n N Tính giá trị biểu thức A = x2006 5.x2007 + Ví dụ 2: Xuất phát từ phơng trình ( 1) = + = 24 (12.2) phơng trình (12.2) đợc coi phơng trình đặc trng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số un đợc xác định theo công thức sau un+ 2.un +1 + un = cho u0 = 1, u1 = vận dụng thuật toán xác định đợc công thức tổng quát dãy số xn = ( n 1) Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Xác định công thức dãy số xn thoả mãn điều kiện sau xn + xn+1 + xn = x0 = 1, x1 = Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định nh sau xn + xn+1 + xn = x0 = 1, x1 = Chứng minh xn số phơng Bài toán 3: Cho dãy số xn xác định nh sau n N n N xn + xn+1 + xn = n N x = 1, x = Xác định số tự nhiên n cho xn+1 + xn = 22685 Kết luận- kiến nghị 25 Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến đề tài có tham gia góp ý đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy thu đợc số kết định sau : 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững đợc số phơng pháp biết vận dụng dạng xác định đợc công thức dãy số 2) Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn sử dụng phơng pháp trình bày đề tài để giải toán 3) Là phơng pháp tham khảo cho học sinh thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm toán dãy số Xây dựng phơng pháp giảng dậy theo quan điểm đổi việc mà toàn xã hội nghành quan tâm Tuy nhiên, số lớp toán bậc THPT ta sử dụng số kết toán học xây dựng phơng pháp giải toán sơ cấp vấn đề đợc ý Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có tìm hiểu sâu mối quan hệ Toán học đại Phơng pháp toán sơ cấp Qua ta tìm đợc phơng pháp giải, xây dựng lớp toán bậc THPT Tài liệu tham khảo 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phơng pháp sai phân Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất Giáo Dục 3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất Giáo Dục 4) Tạp trí Toán Học Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn toán PTTH Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo Dục 26 6) Nguyễn Văn Mậu , Một số toán chọn lọc dãy số , Nhà xuất Giáo Dục - 2003 Tr c trng v vector c trng 23 thỏng 10, 2007 Eigenvalues v eigenvectors xut hin cc k nhiu cỏc ngnh khoa hc v k thut: Vt Lý, xỏc sut thng kờ, KHMT, lý thuyt th, v.v hiu ý ngha ca chỳng, cú hai hng nhỡn thụng dng, ỏp dng c rt nhiu trng hp Loi ng c (motivation) th nht Trong nhiu ng dng ta thng phi lm phộp tớnh sau õy: cho trc mt ma trn A v nhiu vectors x, tớnh vi nhiu giỏ tr khỏc ca s m Vớ d 1: nu A l ma trn ca mt phộp bin i tuyn tớnh (linear transformation) no ú, nh phộp quay v co dón computer graphics chng hn, thỡ cho kt qu ca phộp BTT ny ỏp dng k ln vo x Cỏc games mỏy tớnh hay cỏc annimations phim ca Hollywood cú vụ cỏc phộp bin i kiu ny Mi mt object computer graphics l mt b rt nhiu cỏc vector x Quay mt object nhiu ln l lm phộp nhõn vi tng vectors x biu din object ú Khi lng tớnh toỏn l khng l, dự ch khụng gian chiu Vớ d 2: nu A l transition matrix ca mt chui Markov ri rc v x l distribution ca trng thỏi hin ti, thỡ chớnh l distribution ca chui Markov sau k bc Vớ d 3: cỏc phng trỡnh sai phõn (difference equation) nh kiu phng trỡnh cng cú th c vit thnh dng tớnh vi k tựy ý Vớ d 4: ly tha ca mt ma trn xut hin t nhiờn gii cỏc phng trỡnh vi phõn, xut hin khai trin Taylor ca ma trn chng hn Túm li, rt nhiu ng dng thỡ ta cn tớnh toỏn rt nhanh ly tha ca mt ma trn vuụng, hoc ly tha nhõn mt vector Mi ma trn vuụng i din cho mt phộp BTT no ú Ly tha bc k ca ma trn i din cho phộp bin i ny ỏp dng k ln Ngc li, bt k phộp BTT no cng cú th c i din bng mt ma trn Cú rt nhiu ma trn i din cho cựng mt BTT, tựy theo ta chn h c s no Mi ta vit mt vector di dng ngm nh mt h c s no ú, thng l h c s trc chun l ta ó , , v Cỏc ta 3, -2, ca x l tng ng vi ta ca x h c s ngm nh ny H c s nh trờn thng c dựng vỡ ta d hỡnh dựng chỳng khụng gian n chiu, chỳng l sn phm ph ca h ta Descartes c in hay dựng khụng gian chiu Tuy nhiờn, ỏp dng mt phộp BTT thỡ cỏc vectors thng cng b bin i theo luụn, rt bt tin nu ta phi tớnh cho nhiu giỏ tr k v x khỏc 27 Bõy gi, gi s ta tỡm c hng c lp tuyn tớnh v bt bin qua phộp BTT i din bi A (õy l gi s rt mnh, may m nú li thng ỳng cỏc ng dng k trờn.) Dựng vector biu din hng th Bt bin cú ngha l ỏp dng A vo hng n thỡ hng khụng i C th hn, BTT A lm hng bt bin nu vi l mt s (scalar) thc hoc phc no ú (dự ta gi s A l thc) Do cỏc hng ny c lp tuyn tớnh, mt vector x bt k u vit c di dng Nu ta ly lm h c s thỡ cỏi hay l cú ỏp dng A bao nhiờu ln thỡ cng khụng i hng ca cỏc vectors h c s! iu ny rt tin li, bi vỡ Nh vy, thay vỡ tớnh ly tha bc cao ca mt ma trn, ta ch cn tớnh ly tha ca n s v lm mt phộp cng vectors n gin Cỏc giỏ tr l cỏc tr c trng (eigenvalues) ca A, v cỏc vectors l cỏc vector c trng (eigenvectors) Tip tc vi gi thit rt mnh l n eigenvectors c lp tuyn tớnh vi Nu ta b cỏc vectors ny vo cỏc ct ca mt ma trn , v cỏc eigenvalues lờn ng chộo ca mt ma trn thỡ ta cú Trong trng hp ny ma trn A cú tớnh diagonalizable (chộo húa c) Diagonalizability v s c lp tuyn tớnh ca n eigenvectors l hai thuc tớnh tng ng ca mt ma trn Ngc li, ta cng cú , v vỡ th ly tha ca A rt d tớnh: ly tha ca mt ma trn ng chộo rt d tớnh Cm t kh nng ng chộo húa c (diagonalizability) nghe ghờ rng quỏ, cú bn no bit ting Vit l gỡ khụng? Nu ta bit c cỏc eigenvectors v eigenvalues ca mt ma trn thỡ ngoi vic tớnh ly tha ca ma trn ta cũn dựng chỳng vo rt nhiu vic khỏc, tựy theo ng dng ta ang xột Vớ d: tớch cỏc eigenvalues bng vi nh thc, tng bng vi trace, khong cỏch gia eigenvalue ln nht v ln nhỡ ca transition matrix ca mt chui Markov o tc hi t n equilibrium (mixing rate) v eigenvector u tiờn l steady state distribution, võn võn Quay li vi cỏi gi thit rt mnh trờn Cú mt loi ma trn m gi thit ny ỳng; v hn th na, ta cú th tỡm c cỏc eigenvectors vuụng gúc nhau, ú l cỏc normal matrices Rt nhiu ng dng khoa hc v k thut cho ta cỏc normal matrices Cỏc trng hp c bit thng thy l cỏc ma trn (thc) i xng v cỏc ma trn Hermitian (i xng theo ngha phc) Cũn cỏc ma trn khụng tha gi thit rt mnh ny, ngha l khụng diagonalizable, thỡ lm gỡ vi chỳng? Ta cú th tỡm cỏch lm cho chỳng rt gn vi mt ma trn ng chộo bng cỏch vit chỳng thnh dng chun Jordan ti ny nm ngoi phm vi bi ang vit 28 Loi ng c (motivation) th hai Trong rt nhiu ng dng, ta c lm vic vi mt ma trn i xng: nú cú b eigenvectors, ú diagonalizable v vỡ th cú th thit k cỏc thut toỏn hiu qu cho cỏc bi toỏn tng ng Khụng nhng i xng, chỳng cũn cú mt thuc tớnh mnh hn na gi l positive (semi) definite, ngha l cỏc eigenvalues u khụng õm Vớ d 1: bi toỏn least squares cú ng dng khp ni (linear regression statistics chng hn) dn n ma trn symmetric positive (semi) definite Vớ d 2: bi toỏn xỏc nh xem mt mt im ti hn ca mt hm a bin bt k cú phi l im cc tiu hay khụng tng ng vi xỏc nh xem ma trn i xng Hessian ca cỏc o hm bc hai ti im ny l positive definite Vớ d 3: ma trn covariance ca mt random vector (hoc mt hp rt nhiu sample vectors) cng l positive (semi) definite Nu A l mt ma trn symmetric positive definite thỡ ta cú th hiu cỏc eigenvectors v eigenvalues theo cỏch khỏc Bt phng trỡnh ú c l mt hng s dng l mt bt phng trỡnh bc vi n bin (cỏc ta ca vector x) Nghim ca nú l cỏc im nm mt hỡnh e-lớp khụng gian n chiu (Ellipsoid) m n trc ca ellipsoid chớnh l hng ca cỏc eigenvectors ca A, v chiu di cỏc trc t l nghch vi eigenvalue tng ng (t l vi nghch o ca cn ca eigenvalue) õy l trc quan hỡnh hc ph bin th hai ca eigenvectors v eigenvalues Trong trng hp ca Principal Component Analysis (PCA) nh cú bn ó hi phn bỡnh lun bi t tru tng, thỡ ta cú th hiu nụm na v s xut hin ca eigen-vectors/values nh sau Gi s ta cú mt ng cỏc sample vectors (data points) trờn mt khụng gian n chiu no ú Cỏc ta l exponentially distributed (Gaussian noise chng hn) Thỡ a s cỏc vectors ny trung mt ellipsoid nh ngha bi covariance matrix (positive semi-definite) Trc di nht ca ellipsoid l trc cú variance cao nht, ngha l SNR cao Trc ny ch cho ta hng bin thiờn quan trng nht ca data PCA ly cỏc trc ca ellipsoid lm h c s, sau ú ly k trc di nht lm principal components biu din data (D nhiờn, ta phi shift cỏi mean v gc ta trc i h c s.) Ngụ Quang Hng | ti: Toỏn ng Dng | | 29 In bi ny Solution to Difference Equation < Contents | Previous | Next > A solution of a difference equation is an expression (or formula) that mak the difference equation true for all values of the integer variable k The nature of a difference equation allows the solution to be calculated recursively It is easier to see the solution of the difference equation through algebraic equation Example: We have difference equation with initial value Then we can determine set the k = 0: initial value k = 1: k = 2: k = 3: k = 4: k = n: However, the series has a closed-form of Thus the solution of the difference equation 30 with initial 31 ... hành xây dựng thêm toán dãy số Dới số ví dụ xây dựng thêm toán dãy số có tính quy luật mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng toán khác dãy số Ví dụ 1: Xuất... Bài 6: Cho dãy số { un } thoả mãn điều kiện un + = 2un +1 + 2un un , n N * Chứng minh tồn số nguyên M cho số M + 4.an+1an số phơng Bài 7: ( Báo Toán Học Tuổi Trẻ số 356) Cho dãy số { ui } (... phơng trình đặc trng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số un đợc xác định theo công thức sau un+ + 8.un+1 + 9.un = cho u0 = 2, u1 = Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Cho dãy số xn xác định nh