Bồi dưỡng một số phương pháp giải toán tiểu học cho giáo viên và học sinh giỏi tham khảo
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Tắc vân, ngày 09 tháng 09 năm 2012 BÁO CÁO SÁNG KIẾN Tên sáng kiến : Bồi dưỡng số phương pháp giải toán tiểu học cho giáo viên học sinh giỏi 1/ Sự cần thiết, mục đích việc thực sáng kiến: Trong chương trình giáo dục Tiểu học mơn Tốn chiếm gần 1/4 nội dung Đây mơn học quan trọng mà thơng qua giúp học sinh phát triển lực tư ( so sánh, lựa chọn, phân tích, tổng hợp, trừu tượng hố, khái qt hố ), kĩ tính tốn, trí tưởng tượng khơng gian Đặc biệt q trình hình thành phát triển nhân cách học sinh tiểu học kĩ tính tốn kĩ ( Nghe, đọc, nói, viết, tính tốn) mà học sinh phải tiếp thu vận dụng Mục tiêu dạy Tốn trường tiểu học bước đầu rèn luyện lực tư duy, khả suy luận logic Đây điểm quan trọng đề cao giáo dục Việt Nam giới Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi tơi thấy : Một học sinh giỏi Tốn khơng phải học sinh nhớ nhiều dạng toán, làm tốn khó với dạng quen thuộc mà học sinh giỏi toán phải học sinh biết phát thay đổi điều kiện tốn, từ tìm mối liên hệ kiện, suy luận để thấy cốt lõi toán mà đưa cách giải sáng tạo nhất, triệt để Thực tế cho thấy cuối bậc học đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tư tốn học phạm vi cấp học Chính người giáo viên phải vất vã trình soạn thảo giảng lúc đứng bụt giảng Người giáo viên phải nắm rõ nội dung, bố cục chương trình tốn khối lớp; liên hệ nội dung kiến thức toán từ lớp với lớp học bố cục chương trình tốn lớp cuối cấp Giáo viên phải hiểu rõ tính chất phép tính, tính chất loại tốn, dễ dàng giải tốn khó có phương pháp thích hợp nhất, dễ hiểu để hướng dẫn học sinh đạt hiệu cao Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn, tơi cịn gặp nhiều trở ngại Giải tốn khó khó, hướng dẫn, phân tích cho học sinh giải hiểu rõ ràng thật vấn đề đơn giản Chính lý nên tơi nghiên cứu sâu kiến thức toán, phương pháp giải toán bậc tiểu học đúc kết thành sáng kiến kinh nghiệm phương pháp giải toán bậc tiểu học Phạm vi triển khai thực : Thực nghiệm sáng kiến: “Bồi dưỡng số phương pháp giải toán tiểu học cho giáo viên học sinh giỏi” việc dạy - học bồi dưỡng học sinh giỏi trường Tiểu học Tắc Vân Đồng thời, sáng kiến bổ sung hồn chỉnh áp dụng cho bậc học tiểu học Nội dung sáng kiến: Trong toán học bậc tiểu học ta phân làm giai đoạn: giai đoạn lớp 1-2-3 giai đoạn lớp 4-5 Ở lớp 1-2-3 giai đoạn mức độ đơn giản bước đầu khởi phát lực tư Bước lên lớp 4-5 coi giai đoạn học tập sâu ( so bậc tiểu học ) Nhiều nội dung toán học có tính chất trừu tượng, khái qt mà học sinh cần thiết phải vận dụng tư tính chất, biến đổi số, phép tính, hình học v.v Một điểm cần nhấn mạnh tất loại tốn có nội dung đo lường, thống kê, hình học v.v tích hợp với nội dung số học có số học có việc tính tốn Nội dung tốn khơng ngồi phép tính bản: cộng - trừ - nhân - chia, tính chất tốn học thiên hình vạn trạng, khả tốn học nhằm tính tốn tất loại đơn hình thức tốn Vì người giáo viên phải biết hệ thống lại kiến thức số, phép tính, loại tốn để gặp tốn có khả nhận định có phương pháp giải tốn thích hợp Tóm tắt kiến thức mở rộng ( điển hình số tự nhiên phép tính ): Lấy nội dung, chương trình tốn học bậc tiểu học làm sở ta phân loại kiến thức nhằm phục vụ cho loại toán 1.1-Về số học: (số tự nhiên ) Để viết số tự nhiên ta dùng 10 chữ số : ; ; ; ; ; ; ; ; ; o số tự nhiên nhỏ o Khơng có số tự nhiên lớn o số lẻ có chữ số hàng đơn vị : ; ; ; ; o số chẵn có chữ số hàng đơn vị : ; ; ; ; o Hai số tự nhiên liên tiếp (kém) đơn vị o hai số chẵn (hoặc hai số lẻ) liên tiếp (kém) đơn vị o Có 10 số có chữ số số : ; ; ; ; ; ; ; ; ; o Có 90 số có hai chữ số số từ 10 đến 99 o Có 900 số có ba chữ số số từ 100 đến 999 o Có 9000 số có bốn chữ số số từ 1000 đến 9999 o Có 90 000 số có năm chữ số số từ 10 000 đến 99 999 1.2/ Cấu tạo thập phân số tự nhiên : Một đơn vị hàng liền trước có giá trị gấp 10 lần đơn vị hàng liền sau Nghĩa : Cứ 10 đơn vị hàng thấp lập thành đơn vị hàng cao liền 1.3/ Viết, phân tích số tự nhiên Người ta cịn dùng chữ :a ; b ; c ; d ; để viết số tự nhiên, chữ thay cho số (Khi dùng chữ để viết số tự nhiên cần nhớ “gạch ngang” phía số cần viết.) Ví dụ : abc biểu thị cho số có chữ số Đọc a trăm ; b chục ; c đơn vị abcd biểu thị cho số có chữ số Đọc : a nghìn ; b trăm ; c chục ; d đơn vị Số abcd phân tích sau : abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = a 000 + b00 + c0 + d = abc0 + d = ab00 + cd = a 000 + abc 1.4/ Dãy số tự nhiên -Trong dãy số tự nhiên liên tiếp, : Dãy số số lẻ kết thúc số chẵn số số chẵn số số lẻ Ví dụ : ; ; ; ; ; (gồm có : số chẵn số lẻ) Dãy số số chẵn kết thúc số lẻ số số lẻ số số chẵn Ví dụ : ; ; ; ; ; ; 10 ; 11 (gồm có : số lẻ số chẵn) Dãy số số lẻ kết thúc số lẻ số số lẻ nhiều số số chẵn số Ví dụ : ; ; ; ; ; ; (gồm có : số lẻ số chẵn) Dãy số số chẵn kết thúc số chẵn số số chẵn nhiều số số lẻ số Ví dụ : ; ; ; ; (gồm có : số chẵn số lẻ) 1.5/- Cơng thức tìm số hạng dãy số cách : Số số hạng = (số lớn – số bé nhất) : khoảng cách + (khoảng cách hiểu hiệu hai số liền dãy số Trong dãy số cách khoảng cách số khơng đổi) Ví dụ : có số tự nhiên liên tiếp từ 187 đến 718 ? a/ Cách : Từ đến 186 có 186 số tự nhiên liên tiếp Từ đến 718 có 718 số tự nhiên liên tiếp Vậy từ 187 đến 718 có số số tự nhiên liên tiếp : 718 – 186 = 532 (số) b/ Cách : (áp dụng công thức) Từ 187 đến 718 có số số tự nhiên liên tiếp : (718 – 187) : + = 532 (số) 1.6/ Tổng số hạng dãy số cách 1.6.1/- Để tính tổng số hạng cách đều, ta làm sau : Tổng = (số lớn + số bé nhất) x số số hạng : 1.6.2/- Trong cách trình bày, ghi cách sau : a/ Ghép thành cặp hai số hạng cách số số cuối dãy số; nhân với số cặp b/ Vận dụng công thức c/ Tìm số trung bình cộng số đầu số cuối; nhân với số hạng dãy Tổng = Số đầu + số cuối x số số hạng Ví dụ : Tính tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2000 Cách : Ghép cặp hai số, hai số đầu cuối Ta có : A = + + + + 1998 + 1999 + 2000 = (1 +2000) + (2 + 1999) + (3 + 1998) + .+ ( 1000 + 1001) = 2001 + 2001 + 2001 + + 2001 Từ đến 2000 có 2000 số tự nhiên liên tiếp nên có : 2000 : = 1000 (cặp) Vậy : A = 2001 x 1000 = 2001000 Cách : áp dụng công thức : A = + + + + 1998 + 1999 + 2000 = (2000 + 1) x 2000 : = 2001 x 2000 : = 2001000 Cách : Tìm số trung bình cộng số đầu số cuối; nhân với số hạng dãy Tổng = + 2000 x 2000 = 200100 1.7 Số hạng dãy số cách : *Với dãy số tăng : Số hạng thứ n = số đầu + (n – 1) x khoảng cách *Với dãy số giảm Số hạng thứ n = số đầu – (n – 1) x khoảng cách Ví dụ : Người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ 1945 Hỏi số hạng thứ 2008 dãy số số ? Giải : Gọi x số hạng vị trí thứ 2008 dãy số cho : 1945 ; 1946 ; 1947 ; ; ; x ; Từ số hạng đến số hạng thứ 2008 có số khoảng cách : 2008 – = 2007 (khoảng cách) Vì khoảng cách (hiệu hai số tự nhiên liên tiếp) nên số x số 1945 : x 2007 = 2007 Vậy số x phải tìm : 1945 + 2007 = 3952 1.8 Bốn phép tính với số tự nhiên : Tính chất phép tính 1.8.1 / Phép cộng Muốn tìm số hạng, ta lấy tổng trừ số hạng biết Bất kì số cộng với số Tính chất giao hốn : Khi đổi vị trí số hạng tổng tổng khơng thay đổi ♦a+b=b+a Tính chất Kết hợp: Muốn cộng số hạng ta cộng số hạng thứ với tổng số thứ hai số thứ ba lấy tổng số thứ số thứ cộng với số thứ a + b + c = (a+b) + c = a +(b + c) Tổng không đổi : Nếu ta thêm vào số hạng đơn vị đồng thời bớt số hạng nhiêu đơn vị a + b = (a + x) + (b – x) = (a – x) + (b + x) Trong tổng ta thêm (hoặc bớt) số hạng đơn vị giữ nguyên số hạng cịn lại tổng số tăng (hoặc giảm) nhiêu đơn vị a+b=c (a + m ) + b = c + m A + (b – n) = c - n Tổng hai hiệu : Muốn tính tổng hai hiệu ta lấy tổng hai số bị trừ trừ tổng hai số trừ (a – m) + (b – n) = (a + b) – (m + n) 1.8.2 / Phép trừ Muốn tìm số bị trừ, ta lấy hiệu cộng với số trừ X– b=c X =c+b Muốn tìm số trừ, ta lấy số bị trừ trừ hiệu a– X=c X =a–c Bất kì số trừ số Trừ tổng : Muốn trừ số tổng, ta lấy số trừ số hạng thứ nhất, kết trừ tiếp số hạng thứ hai lấy số trừ số hạng thứ hai, kết trừ tiếp số hạng thứ a – (b + c) = a – b – c = a – c - b Trừ hiệu: Muốn trừ số hiệu, ta lấy số cộng với số trừ trừ số bị trừ a – (b – c) = a + c – b Hiệu không đổi : Nếu ta thêm (hoặc bớt) số bị trừ số trừ số a–b=c (a + m ) – (b + m) = c (a – n) – (b – n) = c ta thêm (hoặc bớt) số bị trừ đơn vị giữ nguyên số trừ hiệu tăng thêm giảm nhiêu đơn vị a–b=c (a + m ) – b = c + m (a – n) – b = c – n (n ≤ a) ta thêm (hoặc bớt) số trừ đơn vị giữ nguyên số bị trừ hiệu giảm (hoặc tăng thêm) nhiêu đơn vị a–b=c a – (b + m ) = c – m a – (b – m ) = c + m 1.8.3 / Phép nhân Tính chất giao hốn : Khi ta đổi chỗ thừa số tích tích khơng thay đổi a x b=b x a Tính chất Kết hợp: Muốn nhân thừa số, ta nhân tích thừa số thứ thừa số thứ hai với thừa số thứ ba (hoặc nhân thừa số thứ với tích thừa số thứ hai thừa số thứ ba) a x b x c = a x (b x c) Bất kì số nhân với ax0=0 Bất kì số nhân với số ax1=a Nhân với tổng: Muốn nhân số với tổng ta nhân số với số hạng tổng cộng kết lại a x (b + c) = a x b + a x c Nhân với hiệu: Muốn nhân số với hiệu ta nhân số với số bị trừ, nhân số với số trừ, trừ kết cho a x (b – c) = a x b – a x c Nếu gấp thừa số lên lần tích gấp lên nhiêu lần axb=c (a x m) x b = c x m Muốn tìm thừa số, ta lấy tích chia cho thừa số biết a x X =c X =c :a 1.8.4 / Phép chia Ký hiệu a Số bị chia : b Số chia = c Thương ♦a:1=a Tính chất Tìm số bị chia, số chia chưa biết ; a:a=1 ♦X:b=c ♦ a : b x c = (a : b) : c = (a : c) : b X=cxb ♦ a : b : c = (a : c) : b = a : (b x c) ♦ (a x b) : c = a : c x b = a x (b : c) ♦ (a : c) : (b : c) = a : b ♦a:X=c X=a:c Bất kì số chia cho ax0=0 Bất kì số chia cho số ax1=a Chia cho tích: Muốn chia số cho tích hai thừa số, ta lấy số chia cho thừa số, lấy kết tìm chia cho thừa số a : (b x c) = (a : b) : c = (a : c) : b (với b, c khác 0) Một tích chia cho số: Muốn chia tích hai thừa số cho số, ta lấy thừa số chia cho số (nếu chia hết) nhân kết với số (a x b) : c = (a : c) x b = a x (b : c) (với c khác 0) Nếu gấp số bị chia số chia lên số lần thương khơng thay đổi a:b=c (a x m) : (b x m) = c (với b khác 0) (với m khác 0) Trong phép chia tăng (hoặc giảm) số chia lần giữ nguyên số bị chia thương giảm (hoặc tăng) nhiêu lần a:b=c a : (b x n) = c : n a : (b : m) = c x m (b khác 0) (n khác 0) (m khác 0) Trong phép chia tăng (hoặc giảm) số bị chia lần giữ nguyên số chia thương tăng (hoặc giảm) nhiêu lần a:b=c (a x n) : b = c x n (a : m) : b = c : m (b khác 0) (n khác 0) (m khác 0) Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia X : a =c X =c xa (a khác 0) Muốn tìm số chia, ta lấy số bị chia chia cho thương a : X =c X = a:c (X khác 0) Phép chia có dư : a : b = c (dư r) (b > 0, số dư r < b) Tìm số bị chia phép chia có dư : Muốn tìm số bị chia phép chia có dư, ta lấy thương nhân với số chia cộng với số dư a = ( c x b) + r Ví dụ : X : = dư X = x + X = 44 Thử lại : 44 : = dư Tìm số chia phép chia có dư : Muốn tìm số chia phép chia có dư, ta lấy số bị chia trừ cho số dư chia cho thương b = ( a – r) : c Ví dụ : 57 : X = dư X = (57 – 1) : X= Thử lại : 57 : = dư Trong phép chia có dư, số dư lớn số chia đơn vị r+1=b Một số phương pháp giải toán bậc tiểu học : Theo chương trình nội dung sách giáo khoa bậc tiểu học mơn tốn đa dạng, giáo viên cần thiết phải am tường để giảng dạy cho học sinh dễ hiểu đạt kết cao Phần học sinh cần thiết phải có kỹ giải toán để làm cho cấp học kế tiếp, đồng thời giải tính tốn đời sống hàng ngày Trên sở nội dung toán học ta phân chia làm nhiều loại tốn sở tốn phân chia theo loại, nên ta có phương pháp giải tốn khác nhằm giải thích hợp cho loại toán Sau số phương pháp : 2.1/-phương pháp phân tích : Phương pháp phân tích dựa vào tính chất số tự nhiên, tính chất phép tính tư phân tích tốn học nói chung để giải loại tốn số học đồng thời hỗ trợ cho nhiều phương pháp khác Đường lối chung thường dùng đề phân tích tìm cách giải giải tốn gồm bốn bước : Bước Đọc kĩ đề tốn (ít hai lần), để nắm vững nội dung, ý nghĩa toán : Xác định đâu cho, đâu phải tìm Cần lưu ý tìm hiểu ý nghĩa từ quan trọng đề tốn (chớ vội bắt tay vào tính tốn chưa đọc kĩ đề) Bước : Tóm tắt đề tốn sơ đồ, hình vẽ ngơn ngữ ngắn gọn Thơng qua đó, thiết lập mối quan hệ cho phải tìm Bước Phân tích tốn để tìm cách giải Thơng thường, ta xuất phát từ phải tìm, tức câu hỏi toán mà suy luận ngược lên điều cho để tìm cách giải Như vậy, ta thường phải tự hỏi : -Bài tốn hỏi ? -Muốn trả lời câu hỏi phải biết ? -Muốn biết phải thực phép tính ? Ví dụ : Cứ 13,5m vải may áo đồng phục cho học sinh Biết lớp 5A có 45 học sinh, lớp 5B lớp 5A học sinh Hỏi cần phải dùng mét vải để may áo đồng phục cho hai lớp ? Ta phân tích để tìm cách giải sau: -Bài tốn hỏi ? (Số mét vải cần dùng cho hai lớp) -Muốn tìm số vải ta làm ? (lấy tổng số học sinh hai lớp nhân với số vải để may áo) -Muốn tìm tổng số học sinh hai lớp ta làm ? (lấy số học sinh lớp 5A cộng với số học sinh lớp 5B) -Số học sinh lớp 5A biết chưa ? (biết : 45) -Số học sinh lớp 5B biết chưa ? ( chưa biết) Có thể tính cách ? (lấy số học sinh lớp 5A trừ 3) -Bây muốn tìm số vải để may áo ta làm ? (Lấy số vải để may áo chia cho 9; tức 13,5 : 9) Q trình phân tích nhẩm đầu ghi lại vắn tắt thành sơ đồ sau : Tổng số vải Tổng số HS 5A + 5B x số vải để may áo (Số vải để may áo) : 45 5A – 13,5 : Đi ngược lại sơ đồ (từ lên) ta có trình tự giải tốn : (1) Tính số học sinh lớp 5B (Số học sinh lớp 5A – 3) (2) Tính tổng số học sinh hai lớp (3) Tính số vải để may áo (13,5m : 9) (4) Tính tổng số vải cân dùng (kết bước nhân với kết bước 3) Bước : Thực xác phép tính trình bày giải -Thực phép tính theo trình tự thiết lập để tìm đáp số Mỗi thực phép tính xong ta cần thử lại xem tính chưa, phải thử xem đáp số có phù hợp với điều kiện tốn khơng ? -Trình bày giải (với toán nêu trên, ta trình bày giải sau : Giải : Số vải để may áo cho học sinh : 13,5 : = 1,5 (m) Số học sinh lớp 5B : 45 – = 42 (học sinh) Số học sinh hai lớp : 45 + 42 = 87 (học sinh) Tổng số vải cần dùng : 1,5 x 87 = 130,5 (m) Đáp số : 130,5m Ghi : Khi học sinh làm kiểm tra cần tiến hành bước mà 2.2/-Phương pháp dùng sơ đồ đoan thẳng: 2.2.1 Khái niệm phương pháp sơ đồ đoạn thẳng PP sơ đồ đoạn thẳng(SĐĐT) PP giải toán tiểu học, mối quan hệ đại lượng cho đại lượng phải tìm toán biểu diễn đoạn thẳng Việc lựa chọn độ dài đoạn thẳng để biểu diễn đại lượng thứ tự đoạn thẳng sơ đồ hợp lý giúp học sinh đến lời giải cách tường minh PP SĐĐT dùng để giải nhiều dạng toán khác chẳng hạn: toán đơn, toán hợp số dạng tốn có lời văn điển hình 2.2.2 Giải tốn nâng cao dùng sơ đồ đoạn thẳng Ví dụ 1: Một cửa hàng có 25 lít dầu đựng hai can Sau bán lít dầu can thứ hai chuyển lít từ can thứ sang can thứ hai số dầu có can thứ gấp đơi can thứ hai Tính số dầu đựng can lúc đầu Phân tích : Sau bán lít hai can cịn lại 18 lít Như ta đưa tốn sau : “Có 18 lít dầu đựng hai can Số dầu can thứ gấp đôi can thứ hai Tính số dầu chứa can” Giải tốn ta tìm số dầu đựng can thứ sau chuyển sang can thứ hai lít số dầu can thứ hai sau bán lít nhận lít từ can thứ chuyển sang Từ phân tích trên, ta đến lời giải toán sau : Lời giải Sau bán lít dầu, số dầu lại hai can là: 25 – = 18 (lít) Ta có sơ đồ sau : ? lít Can 1: |————|————| Số chia : |————| ? lít 10 18 lít Số dầu can thứ lúc : 18 : (2 + 1) x = 12 (lít) Số dầu can thứ hai lúc : 18 : (2 + 1) x = (lít) Số dầu can thứ lúc đầu : 12 + = 17 (lít) Số dầu can thứ hai lúc đầu : 25 – 17 = (lít) Đáp số : Can : 17 lít Can : lít Ví dụ 2: Tám năm trước tuổi ba cha cộng lại 45, tám năm sau cha lớn 26 tuổi nhỏ 34 tuổi Tính tuổi người ? Phân tích : 1/ Vì hiệu số tuổi hai người không thay đổi theo thời gian nên cha lớn 26 tuổi, nhỏ 34 tuổi 2/ Tám năm trước tuổi ba cha cộng lại 45 Như người thêm tuổi Cho nên tổng số tuổi ba cha : 45 + x = 69 (tuổi) Trên sở phân tích ta đến lời giải sau : Lời giải Tổng số tuổi ba cha : Vì hiệu số tuổi hai người không thay đổi theo thời gian nên ta có sơ đồ sau biểu diễn tuổi ba cha : 34 tuổi Con nhỏ : |——| | Con lớn: |———| -| 69 tuổi Cha : |—————— ——| 26 tuổi Tuổi cha : (69 + 34 + 26) : = 43 (tuổi) Tuổi lớn : 43 – 26 = 17 (tuổi) Tuổi nhỏ : 43 – 34 = (tuổi) Đáp số : Cha 43 tuổi ; lớn 17 tuổi ; nhỏ tuổi 2.3/-Phương pháp rút đơn vị – phương pháp dùng tỉ số: 2.3.1 Khái niệm Phương pháp rút đơn vị – phương pháp dùng tỉ số: Phương pháp rút đơn vị phương pháp tỉ số hai phương pháp giải toán, dùng để giải toán đại lượng tỉ lệ thuận đại lượng tỉ lệ nghịch 11 Trong toán đại lượng tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) thường xuất ba đại lượng, có đại lượng khơng đổi, hai đại lượng cịn lại biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận (hoặc nghịch) Phương pháp rút đơn vị phương pháp tỉ số hai phương pháp giải toán khác dùng để giải dạng toán tương quan tỉ lệ thuận (hoặc nghịch) 2.3.2 Các bước giải Phương pháp rút đơn vị phương pháp tỉ số: Trong toán đại lượng tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) thường xuất hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) Trong hai đại lượng biến thiên người ta thường cho biết hai giá trị đại lượng giá trị đại lượng yêu cầu tìm giá trị cịn lại đại lượng thứ hai Để tìm giá trị ta dùng phương pháp rút đơn vị phương pháp tỉ số a/ Phương pháp rút đơn vị : -Bước 1: Rút đơn vị : Trong bước ta tính đơn vị đại lượng thứ ứng với đơn vị đại lượng thứ hai ngược lại ( thường dùng phép chia ) -Bước : Tìm giá trị chưa biết đại lượng thứ hai : Trong bước ta lấy giá trị lại đại lượng thứ nhân với giá trị đại lượng thứ hai b/ Phương pháp dùng tỉ số : -Bước :So sánh giá trị lập tỉ số -Bước :Giá trị đại lượng thứ tăng ( giảm ) theo tỉ số lập Ví dụ : May quần áo hết 20m vải Hỏi may 23 quần áo hết mét vải loại Phân tích : Trong tốn xuất ba đại lượng -Số mét vải để may quần áo đại lượng không đổi -Số quần áo số mét vải hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận Ta thấy : May quần áo hết 20m vải May quần áo hết ? m vải May 23 quần áo hết ? m vải Lời giải Số mét vải để may quần áo : 20 : = (m) Số mét vải để may 23 quần áo : x 23 = 92 (m) Đáp số : 92m vải Ví dụ : Lát 9m2 nhà hết 100 viên gạch Hỏi lát 36m nhà loại gạch hết bao nhiên viên Phân tích : Trong tốn xuất ba đại lượng 12 -Một đại lượng không đổi số viên gạch dùng để lát 1m2 nhà Ta thấy diện tích 36m2 gấp lần diện tích 9m2, số gạch cần để lát 36m2 gấp lần số gạch cần lát 9m2 -Hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận số viên gạch diện tích nhà Lời giải Diện tích 36m2 gấp diện tích 9m2 số lần : 36 : = (lần) Số gạch cần để lát 36m2 nhà : 100 x = 400 (viên) Đáp số : 400 viên gạch Ví dụ : Một đơn vị đội chuẩn bị tạ gạo để ăn 15 ngày Sau ăn hết tạ đơn vị bổ sung thêm tạ Hỏi đơn vị ăn ngày hết tồn số gạo ? Biết số gạo người ăn ngày Phân tích Sau đơn vị ăn hết tạ số gạo cịn lại tạ Với số gạo tạ mua bổ sung thêm tổng số gạo đơn vị lúc có 10 tạ Vậy tốn sau : tạ ăn 15 ngày 10 tạ ăn ? ngày Lời giải Cách 1: Thời gian để đơn vị ăn hết tạ gạo : 15 : = (ngày) Số gạo đơn vị có : (5 – 3) + = 10 (tạ) Thời gian để đơn vị ăn hết số gạo có : x 10 = 30 (ngày) Dáp số : 30 ngày Cách 2: Số gạo đơn vị có : (5 – 3) + = 10 (tạ) Số gạo 10 tạ gấp tạ số lần : 10 : = (lần) Thời gian để đơn vị ăn hết số gạo có : 15 x = 30 (ngày) Đáp số : 30 ngày Phụ : Ngoài hai phương pháp rút đơn vị tỉ số nêu ta cịn giải “Quy tắc tam suất thuận” sau, chẳng hạn Cách ví dụ : May quần áo hết 20m vải 13 May 23 quần áo hết ? m vải Số mét vải để may 23 : 20 x 23 : = 92 (m) Cách ví dụ : Lát 9m2 hết 100 viên Lát 36m2 hết ? viên Số gạch cần để lát 36m2 : (100 x 36) : = 400 (viên) Phụ : Trong loại tốn hầu hết giải cách, có số giải cách mà 2.3.3 ứng dụng phương pháp rút đơn vị phương pháp dùng tỉ số giải toán đại lượng tỉ lệ nghịch Ví dụ 1: Hai bạn An cường lớp phân công mua kẹo liện hoan Hai bạn nhẩm tính mua kẹo loại 4000 đồng gói 21 gói Hỏi số tiền mà bạn mua loại kẹo 7000 đồng gói gói ? Phân tích : Trong toán xuất ba đại lượng : -Một đại lượng không đổi số tiền mua kẹo -Hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ nghịch số gọi kẹo mua giá tiền gói kẹo Cách : Nếu giá 1000 đồng gói số gói kẹo mua 21 x = 84 (gói) Nếu giá 7000 đồng gói số gói kẹo mua 84 : = 12 (gói) Đáp số : 12 gói Cách : Số tiền hai bạn mua kẹo 21 x 4000 = 84000 (đồng) Số gói kẹo loại 7000 đồng mua 84000 : 7000 = 12 (gói) Đáp số : 12 gói Ví dụ 2: Một đội công nhân chuẩn bị đủ gạo cho 40 người ăn 15 ngày Sau ngày có 20 cơng nhân điều làm việc nơi khác Hỏi số cơng nhân cịn lại ăn hết số gạo ngày ? Biết phần ăn người Phân tích : Trong toán xuất ba đại lượng: -Một đại lượng không đổi số gạo người ăn ngày -Hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ nghịch số người ăn số ngày ăn hết số gạo Phân tích : Sau ăn ngày số gạo cịn đủ cho 40 người ăn 12 ngày có 20 người ăn số gạo cịn lại Vậy tốn đưa dạng : 14 40 người ăn 12 ngày 20 người ăn ? ngày Lời giải Cách : Số gạo lại đủ cho 40 người ăn số ngày : 15 – = 12 (ngày) Số cơng nhân cịn lại : 40 – 20 = 20 (người) Một người ăn hết số gạo lại số ngày : 12 x 40 = 480 (ngày) Thời gian để số công nhân lại ăn hết gạo là: 480 : 20 = 24 (ngày) Đáp số : 24 ngày Cách : Số gạo lại đủ cho 40 người ăn số ngày : 15 – = 12 (ngày) Số cơng nhân cịn lại : 40 – 20 = 20 (người) Bốn mươi người gấp 20 người số lần là: 40 : 20 = (lần) Thời gian để số cơng nhân cịn lại ăn hết gạo là: 112 x = 24 (ngày) Phụ : Ngoài hai phương pháp rút đơn vị tỉ số nêu ta cịn giải “Quy tắc tam suất nghịch” sau, chẳng hạn : cách ví dụ Giá 4000 đồng gói mua 21 gói Giá 7000 đồng gói mua ? gói Nếu giá 7000 đồng gói số gói kẹo mua : 21 x 4000 : 7000 = 12 (gối) Đáp số : 12 gói 2.4 Phương pháp chia tỉ lệ : 2.4.1 Khái niệm phương pháp chia tỉ lệ : Phương pháp chia tỉ lệ phương pháp giải toán, dùng để giải tốn tìm hai số biết tổng tỉ hiệu tỉ số hai số Phương pháp chia tỉ lệ cịn dùng để giải toán cấu tạo số tự nhiên, cấu tạo phân số, cấu tạo số thập phân, tốn có nội dung hình học, toán chuyển động 2.4.2 Các bước giải toán phương pháp chia tỉ lệ Khi giải toán phương pháp chia tỉ lệ ta thường tiến hành theo bốn bước: Bước : Tóm tắt đề tốn sơ đồ đoạn thẳng Dùng đoạn thẳng để biểu thị số cần tìm Số phần đoạn thẳng ứng với tỉ số số cần tìm 15 Bước 2: Tìm tổng (hoặc hiệu) số phần Bước 3: Tìm giá trị phần Bước : Xác định số cần tìm Đơi ta kết hợp bước 2, 2.4.3 Ứng dụng phương pháp chia tỉ lệ để giải tốn tìm hai số biết tổng tỉ số chúng Ví dụ : Tuổi chị tuổi em 32 Khi tuổi chị tuổi em tuổi chị gấp lần tuổi em Tính tuổi người Lời giải Vì hiệu số tuổi hai chị em không thay đổi theo thời gian nên ta có sơ đồ sau : Tuổi em trước : |——| Tuổi chị trước : |——|——|——| Tuổi em nay: |——|——|——| Tuổi em nay: ? tuổi 32 tuổi ? tuổi |——|——|——|——|——| Tuổi em : 32 : (3 + 5) x = 12 (tuổi) Tuổi chị : 32 – 12 = 20 (tuổi) Đáp số : Em 12 tuổi ; Chị 20 tuổi 2.4.4 Ứng dụng phương pháp chia tỉ lệ để giải tốn tìm hai số biết hiệu tỉ số chúng Ví dụ : Năm năm trước lên tuổi cha 32 tuổi Hỏi sau năm tuổi cha lần tuổi tuổi ? Lời giải Ta nhận xét : Vì hiệu số tuổi hai chị em khơng thay đổi theo thời gian nên ta có sơ đồ sau biểu thị số tuổi hai cha tuổi cha lần tuổi tuổi: Tuổi con: ? |——| tuổi Tuổi cha : |——|——|——|—| 32 tuổi Tuổi lúc : (32 – 2) : (3 – 1) = 15 (tuổi) Tuổi : + = 13 (tuổi) Thời gian từ : 15 – 13 = (năm) Đáp số : năm 16 2.4.5 Ứng dụng phương pháp chia tỉ lệ để giải toán cấu tạo số tự nhiên Ví dụ : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta số gấp 26 lần số cần tìm Lời giải Cách Gọi số cần tìm ab Khi viết thêm chữ số vào bên trái ta số 8ab Theo đề ta có : 8ab = 800 + ab 8ab = ab x 26 Ta có sơ đồ sau : ? ab : |——| (1) 800 ab : |——|——|——|——| 26 phần Số cần tìm : 800 : (26 – 1) = 32 Cách Từ ( ) ta suy : ab x 26 = 800 + ab ab x 26 – ab = 800 (tìm số hạng phép cộng) ab x (26 – 1) = 800 (nhân số với hiệu) ab = 800 : 25 (tìm thừa số) ab = 32 2.5/-Phương pháp thay : * Khái niệm phương pháp thay thế: Phương pháp thay dùng để giải toán tim hai hay nhiều số , biết tổng hiệu số Khi giải toán phương pháp thế, người ta tạm biểu diễn số số cần tìm qua số cần tìm Bằng cách này, ta đưa tốn tìm số Giải tốn ta tìm số Dựa vào cách biểu diễn phần ta tìm số cịn lại Dựa vào điều kiện đề tốn, ta tìm giá trị đáp số chưa biết Từ giá trị tìm mà tìm tiếp số chưa biết cịn lại theo u cầu Ví dụ : Tìm hai số biết tổng chúng 55 hiệu chúng 15 Phân tích : -Nếu ta giả thiết số lớn giảm 15 đơn vị hai số (đều số bé) Bước làm thực chất ta biểu diễn số lớn qua số bé -Như tổng giảm 15 đơn vị tổng hai lần số bé -Từ ta tìm số bé -Lấy số bé cộng với hiệu hai số ta tìm số lớn Tương tự, ta giả thiết số bé tăng thêm 15 đơn vị nhận cách giải thứ hai 17 Từ phân tích ta đến lời giải sau : Lời giải Cách : Ta có sơ đồ sau: ? Số bé : |————| Số lớn: |————|———| 15 55 Số bé : (55 – 15) : = 20 Số lớn : 20 + 15 = 35 Hai số cần tìm 20 35 Cách : Ta có sơ đồ sau: Số bé : Số lớn: |————|———| 15 ? 55 |———— ———| Số lớn : 55 + 15 = 35 Số bé : 35 – 15 = 20 2.6/-Phương pháp khử : Trong dạng tính hợp có nhiều đại lượng biết yêu cầu phải tính giá trị đại lượng chưa biết Muốn ta cần biến đổi giá trị đại lượng biết sau cho Nhờ so sánh đại lượng khác mà tính giá trị đại lượng phải tìm Giải ta xóa ( khử ) giá trị đại lượng cách làm cho giá trị nhau, khử số Ví dụ : Một người mua gói kẹo, gói bánh hết 26.000 đồng Một lần khác, người mua gói kẹo gói bánh loại hết 42000 đồng Tính giá tiền gói loại ? Ta tóm tắt tốn sau : Lần : gói kẹo gói bánh hết 26.000 đồng Lần 1: gói kẹo gói bánh hết 42.000 đồng Từ ta tính giá tiền gói bánh tiếp tính giá tiền gói kẹo Phân tích : Trong tốn ta thấy, số gói kẹo mua hai lần (2 gói) -Lần thứ hai mua nhiều lần gói bánh -Lần thứ hai mua nhiều lần 16.000 đồng Dựa vào phân tích ta đến lời giải sau : Lời giải Số gói bánh mua lần hai nhiều lần : – = (gói) Số tiền lần hai mua nhiều lần : 42000 – 26000 = 16000 (đồng) Giá tiền gói bánh : 16000 : = 4000 (đồng) Giá tiền gói bánh : 4000 x = 20000 (đồng) 18 Giá tiền gói kẹo : (26000 – 20000) : = 3000 (đồng Đáp số : Một gói kẹo giá 3000 đồng Một gói bánh giá 4000 đồng 2.7/- Phương pháp dùng chữ thay số : * Khái niệm phương pháp dùng chữ thay số: Phương pháp dùng chữ thay số dùng để giải nhiều dạng toán khác : Tìm số chưa biết phép tính dãy tính; tìm chữ số chưa biết số tự nhiên; điền chữ số thay cho chữ phép tính; giải tốn có lời văn Cơ sở khoa học phương pháp dùng chữ thay số qui tắc thành phần chưa biết phép tính Ví dụ : Tìm X phép tính sau : (X + 1) + (X + 2) + + (X + 10) = 65 Lời giải Vì X + 1, X + 2, , X + 10 lập thành dãy số cách có khoảng cách nên : (X + 1) + (X + 2) + + (X + 10) =(X + + X + 10) x 10 : (Tính tổng số hạng cách đều) =(X x + 11) x 10 : (X + X = X x tổng số hạng = nhau) Vậy ta có : (X x + 11) x 10 : = 65 (X x + 11) x 10 = 65 x (X x + 11) x 10 = 130 X x + 11 = 130 : 10 X x + 11 = 13 X x = 13 – 11 Xx2=2 X=2:2 X=1 Ví dụ : Tìm số biết tăng số gấp lần, sau cộng với 2,5 trừ 5, cuối đem chia cho kết 1,25 Lời giải Gọi số cần tìm X Khi tăng gấp lần ta số : X x Khi cộng với 2, 5, ta số : X x + 2,5 Khi trừ 5, ta số : (X x + 2,5) – Khi chia cho 4, ta số ((X x + 2,5) – 5) : Theo đề ta có : ((X x + 2,5) – 5) : = 1,25 ((X x + 2,5) – = 1,25 x (X x + 2,5) =5+5 10 19 Xx2 = 10 – 2,5 7,5 X = 7,5 : X = 3,75 2.8/-Phương pháp nêu giả thiết tạm : Phương pháp giả thiết tạm phương pháp giải tốn, dùng để giải tốn tìm hai số, biết tổng hai số biết kết phép tính thực hieenjtreen cặp số liệu hai số cần tìm Khi giải toán phương pháp giả thiết tạm ta thường bỏ qua xuất đại lượng, dựa vào tình mà ta tính đại lượng thứ hai Sau tính đại lượng cịn lại Tất nhiên giả thiết tạm thời nêu lên nhằm đưa đề toán loại quen thuộc Lưu ý : Những toán giải phương pháp nêu giả thiết tạm giải phương pháp khác Tuy nhiên giải phương pháp nêu giả thiết tạm thường gọn dể hiểu Ví dụ : Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Mấy gà, chó ? *Phân tích : Đây toán cổ viết thơ Bài toán cho biết tổng số gà chó; tổng số chân Do muốn giải tốn ta phải giả thiết tạm thời 36 chó gà Lúc ta tìm số gà số chó Cách giải Giả sử 36 chó Do 36 có số chân : x 36 = 144 (chân) Số chân thừa so với thực tế : 144 – 100 = 44 (chân) Sở dĩ có số chân thừa so với thực tế thay đổi gà chó Mà chó gà số chân : – = (chân) Số gà : 44 : = 22 (con) Số chó : 36 – 22 = 14 (con) Ví dụ : Hàng ngày định, Hùng học với vận tốc không đổi đến trường Một hôm Hùng với vận tốc 50m / phút nên đến 20 trường chậm phút Hôm sau sợ trễ nên Hùng với vận tốc 60m / phút lại đến trường sớm phút Tính thời gian hàng ngày Hùng từ nhà đến trường quãng cách từ nhà đến trường ? * Vẽ sơ đồ đoạn thẳng : Nhà C Trường D B *Phân tích : -Nếu 50 m /phút đến C cách trường B phút -Nếu 60 m / phút đến trường B sớm phút Nếu đủ thời gian Hùng đến D xa trường phút *Giải : -Nếu 50 m/phút chậm phút , tức cách trường : 50 x = 100 ( m ) -Khi với vận tốc 60 m/phút sớm phút Giả sử Hùng khơng dừng mà tiếp 1phút xa trường 60 mét -Vậy khoảng cách chênh : 100 + 60 = 160 ( m ) -Mỗi phút vận tốc chênh lệch : 60 - 50 = 10 ( m ) -Vậy thời gian hàng ngày Hùng từ nhà đến trường : 160 : 10 = 16 ( phút ) -Quãng đường từ nhà đến trường : 50 x 16 = 900 ( m ) Kết quả, hiệu mang lại Được chấp thuận hiệu trưởng, sáng kiến kinh nghiệm khai triển trước hội đồng nhà trường, hưởng ứng toàn thể giáo viên giúp giáo viên trực tiếp giảng dạy tháo gỡ khó khăn vướng mắc việc lựa chọn phương pháp thích hợp để giải toán theo dạng Sáng kiến hội đồng khoa học đơn vị cơng nhận có giá trị 5/ Đánh giá phạm vi ảnh hưởng sáng kiến : -Cung cấp thêm cho giáo viên số kiến thức phương pháp giải toán thường gặp tiểu học -Giúp giáo viên thấy rõ Tầm quan trọng việc tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ kiến thức chun mơn, kiên trì vận dụng phương pháp dạy học, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh Học sinh cảm thấy tự tin biết phân tích sử dụng phương pháp giải toán cách hợp lý Tạo điều kiện cho học sinh tìm nhiều cách giải cho toán Kiến nghị, đề xuất : Muốn dạy tốt mơn Tốn giáo viên phải biết lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp Tuy nhiên dạy Tốn khơng áp đặt học sinh theo định hướng thầy cô mà khuyến khích em phát huy tính sáng tạo, kích thích tư độc lập học sinh, phải ln đặt tiêu chí : Muốn có trị giỏi trước hết thầy phải giỏi gương mẫu học tập 21 - Sáng kiến kinh nghiệm: “Bồi dưỡng số phương pháp giải toán tiểu học cho giáo viên học sinh giỏi” áp dụng cho lớp bậc tiểu học Sáng kiến này, thân trình bồi dưỡng học sinh giỏi, tham khảo qua nhiều tài liệu để đút kết lại kiến thức số phương pháp giải toán gần gũi với học sinh tiểu học Có thể coi tài liệu để giáo viên tham khảo thêm q trình dạy tốn Kết luận : Muốn có trị giỏi tốn, trước hết phải có thầy giỏi tốn mà kiến thức tốn học vơ rộng lớn Vì giáo viên phải tìm tịi sưu tầm nhiều kiến thức toán học khơng ngững học hỏi, rèn luyện có khả dạy học sinh giỏi toán Cần bồi dưỡng lực học toán cho học sinh tiểu học từ lớp đầu để học sinh có khả suy luận, phán đốn phân tích tổng hợp học sinh học tốt lớp Giáo viên nên tránh áp đặt bắt học sinh học thuộc cách giải thầy Qua thực tiễn giảng dạy mơn Tốn trường Tiểu học nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng, tơi thấy người giáo viên phải ln ln tìm tịi, học hỏi, trau dồi kinh nghiệm để nâng cao trình độ, nghiệp vụ Khơng hướng dẫn giúp học sinh có kỹ giải Tốn mà cịn giúp em phát triển tư trí tuệ, tư phân tích tổng hợp, khái qt hố, trừu tượng hoá, rèn luyện tốt phương pháp suy lụân lơgic, bên cạnh đó, dạng tốn gần gũi với học sinh đời sống thực tế Ý kiến xác nhận Thủ trưởngđơn vị Người báo cáo Trần Hớn Huê 22