SKKN Bồi dưỡng một số phương pháp giải toán tiểu học cho giáo viên và học sinh giỏi.

Bồi dưỡng một số phương pháp giải toán tiểu học cho giáo viên và học sinh giỏi tham khảo

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

1/ Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến:

Trong chương trình giáo dục Tiểu học thì môn Toán chiếm gần 1/4 nội dung Đây là một môn học hết sức quan trọng mà thông qua đó giúp học sinh phát triển các năng lực tư duy ( so sánh, lựa chọn, phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá ), kĩ năng tính toán, trí tưởng tượng không gian Đặc biệt trong quá trình hình thành và phát triển nhân cách

ở học sinh tiểu học kĩ năng tính toán là một trong 5 kĩ năng cơ bản ( Nghe, đọc, nói, viết, tínhtoán) mà học sinh phải tiếp thu và vận dụng Mục tiêu chính khi dạy Toán trong trường tiểu học là bước đầu rèn luyện năng lực tư duy, khả năng suy luận logic Đây là điểm quan trọng được đề cao trong nền giáo dục Việt Nam và thế giới Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy rằng : Một học sinh giỏi Toán không phải là một học sinh nhớ được nhiều dạng toán, làm được bài toán khó với những dạng quen thuộc mà một học sinh giỏi toán phải là một học sinh biết phát hiện ra sự thay đổi điều kiện trong một bài toán, từ đó tìm ra mối liên

hệ giữa các dữ kiện, suy luận để thấy được cái cốt lõi của bài toán mà đưa ra cách giải sáng tạo nhất, triệt để nhất

Thực tế này cho thấy càng về cuối bậc học càng đòi hỏi học sinh phải có kiến thức cănbản và tư duy toán học trong phạm vi cấp học Chính vì thế người giáo viên phải vất vã hơntrong quá trình soạn thảo bài giảng cũng như lúc đứng trên bụt giảng Người giáo viên phảinắm rõ nội dung, bố cục của chương trình toán các khối lớp; nhất là sự liên hệ về nội dung vàkiến thức toán từ ở lớp dưới với lớp đang học và bố cục chương trình toán ở các lớp cuối cấp.Giáo viên phải hiểu rõ tính chất các phép tính, tính chất của các loại toán, mới có thể dễ dànggiải được những bài toán khó và có được phương pháp thích hợp nhất, dễ hiểu nhất để hướngdẫn học sinh đạt hiệu quả cao nhất

Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán, thỉnh thoảng tôi còn gặp nhiều trởngại Giải một bài toán khó đã khó, nhưng hướng dẫn, phân tích cho học sinh giải và hiểu rõràng thật không phải là vấn đề đơn giản Chính vì lý do trên nên tôi đã nghiên cứu sâu vềkiến thức toán, những phương pháp cơ bản giải toán bậc tiểu học và đúc kết thành sáng kiếnkinh nghiệm trong phương pháp giải toán bậc tiểu học

2 Phạm vi triển khai thực hiện :

Thực nghiệm sáng kiến: “Bồi dưỡng một số phương pháp giải toán tiểu học cho giáo viên và học sinh giỏi” trong việc dạy - học và bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường Tiểu học Tắc Vân Đồng thời, nếu sáng kiến này được bổ sung và hoàn chỉnh hơn có thể áp dụng cho bậc học tiểu học

3 Nội dung cơ bản của sáng kiến:

1

Trong toán học ở bậc tiểu học ta có thể phân làm 2 giai đoạn: giai đoạn lớp 1-2-3 vàgiai đoạn lớp 4-5 Ở các lớp 1-2-3 là giai đoạn cơ bản nhất nhưng cũng chỉ ở mức độ đơngiản và là bước đầu khởi phát năng lực tư duy Bước lên các lớp 4-5 có thể coi là giai đoạnhọc tập sâu ( so trong bậc tiểu học ) Nhiều nội dung toán học có tính chất trừu tượng, kháiquát mà học sinh cần thiết phải vận dụng tư duy về các tính chất, về sự biến đổi của số, củaphép tính, của hình học v.v Một điểm mới cần nhấn mạnh là tất cả các loại toán có nội dung

về đo lường, thống kê, hình học v.v đều được tích hợp với nội dung số học vì có số học mới

có việc tính toán

Nội dung toán không ngoài 4 phép tính cơ bản: cộng - trừ - nhân - chia, nhưng tínhchất của toán học thì thiên hình vạn trạng, khả năng toán học nhằm tính toán tất cả các loạiđơn vị của tất cả các hình thức toán Vì thế người giáo viên phải biết hệ thống lại kiến thức

cơ bản của số, của phép tính, của các loại toán để có thể khi gặp bất kỳ bài toán nào cũng cókhả năng nhận định ngay và có phương pháp giải toán thích hợp

1 Tóm tắt kiến thức cơ bản và mở rộng ( điển hình về số tự nhiên và phép tính ):

Lấy nội dung, chương trình toán học bậc tiểu học làm cơ sở ta có thể phân loại kiếnthức cơ bản nhằm phục vụ cho từng loại toán

o Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị

o hai số chẵn (hoặc hai số lẻ) liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị

1.2/ Cấu tạo thập phân số tự nhiên :

Một đơn vị ở hàng liền trước có giá trị gấp 10 lần một đơn vị ở hàng liền sau Nghĩa là: Cứ 10 đơn vị ở hàng thấp lập thành 1 đơn vị ở hàng cao liền nó

1.3/ Viết, phân tích số tự nhiên

Người ta còn dùng các chữ cái :a ; b ; c ; d ; để viết các số tự nhiên, mỗi chữ cái thay

cho một số (Khi dùng các chữ cái để viết số tự nhiên cần nhớ “gạch ngang” phía trên số cầnviết.)

Ví dụ :

abc biểu thị cho một số có 3 chữ số Đọc là a trăm ; b chục ; c đơn vị

abcd biểu thị cho số có 4 chữ số Đọc là : a nghìn ; b trăm ; c chục ; d đơn vị.

Số abcd được phân tích như sau :

abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d.

2

1.5/- Công thức tìm các số hạng của dãy số cách đều :

(khoảng cách được hiểu là hiệu của hai số liền nhau bất kỳ trong dãy số Trong dãy số cách đều thì khoảng cách là một số không đổi)

Ví dụ : có bao nhiêu số tự nhiên liên tiếp từ 187 đến 718 ?

a/ Cách 1 :

Từ 1 đến 186 có 186 số tự nhiên liên tiếp

Từ 1 đến 718 có 718 số tự nhiên liên tiếp

Vậy từ 187 đến 718 có số các số tự nhiên liên tiếp là :

718 – 186 = 532 (số)

b/ Cách 2 : (áp dụng công thức)

Từ 187 đến 718 có số các số tự nhiên liên tiếp là :

(718 – 187) : 1 + 1 = 532 (số)

1.6/ Tổng của các số hạng của dãy số cách đều

1.6.1/- Để tính tổng các số hạng cách đều, ta làm như sau :

Tổng = (số lớn nhất + số bé nhất) x số các số hạng : 2

1.6.2/- Trong cách trình bày, có thể ghi một trong những cách sau :

a/ Ghép thành từng cặp hai số hạng cách đều số đầu tiên và số cuối cùng của dãy số; rồi nhân với số cặp

Ví dụ : Tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2000

Cách 1 : Ghép từng cặp hai số, bắt đầu từ hai số đầu và cuối.

1.7 Số hạng bất kì của dãy số cách đều :

*Với dãy số tăng :

Tính chất Kết hợp:

Muốn cộng 3 số hạng ta có thể cộng số hạng thứ nhất với tổng của số thứ hai và sốthứ ba hoặc lấy tổng của số thứ nhất và số thứ 2 cộng với số thứ 3

Tổng không đổi : Nếu ta thêm vào số hạng này bao nhiêu đơn vị đồng thời bớt ở

số hạng kia bấy nhiêu đơn vị

Trong một tổng nếu ta thêm (hoặc bớt) một số hạng bao nhiêu đơn vị và giữ

nguyên số hạng còn lại thì tổng số tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu đơn vị

Tổng hai hiệu : Muốn tính tổng hai hiệu ta có thể lấy tổng hai số bị trừ trừ đi tổng hai số trừ.

1.8.2 / Phép trừ

Muốn tìm số bị trừ, ta lấy hiệu cộng với số trừ.

Muốn tìm số trừ, ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu.

Muốn trừ một số đi một hiệu, ta có thể lấy số đó cộng với số trừ rồi trừ đi số bị trừ.

Hiệu không đổi : Nếu ta cùng thêm (hoặc bớt) ở số bị trừ và số trừ đi cùng một

số

5

a + b = (a + x) + (b – x) = (a – x) + (b + x)

a + b = c (a + m ) + b = c + m

 nếu ta thêm (hoặc bớt) ở số bị trừ đi bao nhiêu đơn vị và giữ nguyên số trừ thì

hiệu tăng thêm hoặc giảm đi bấy nhiêu đơn vị.

 nếu ta thêm (hoặc bớt) ở số trừ đi bao nhiêu đơn vị và giữ nguyên số bị trừ thì

hiệu giảm (hoặc tăng thêm) bấy nhiêu đơn vị.

Muốn nhân 3 thừa số, ta có thể nhân tích của thừa số thứ nhất và thừa số thứ hai với

thừa số thứ ba (hoặc có thể nhân thừa số thứ nhất với tích thừa số thứ hai và thừa số thứ ba)

Bất kì số nào nhân với 0 cũng bằng 0 a x 0 = 0

Bất kì số nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó a x 1 = a

 Nhân với một tổng:

Muốn nhân một số với một tổng ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng các kết quả lại.

 Nhân với một hiệu:

Muốn nhân một số với một hiệu ta có thể nhân số đó với số bị trừ, nhân số đó với số trừ, rồi trừ các kết quả cho nhau.

 Nếu gấp thừa số lên bao nhiêu lần thì tích gấp lên bấy nhiêu lần.

 Muốn tìm thừa số, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.

6

a – b = c (a + m ) – b = c + m (a – n) – b = c – n (n  a)

a x X = c

X = c : a

Bất kì số nào chia cho 0 cũng bằng 0 a x 0 = 0

Bất kì số nào chia cho 1 cũng bằng chính số đó a x 1 = a

 Nếu gấp số bị chia và số chia lên cùng một số lần thì thương không thay đổi.

 Trong phép chia nếu tăng (hoặc giảm) số chia đi bao nhiêu lần và giữ nguyên số

bị chia thì thương sẽ giảm (hoặc tăng) bấy nhiêu lần.

 Trong phép chia nếu tăng (hoặc giảm) số bị chia đi bao nhiêu lần và giữ nguyên

số chia thì thương sẽ tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.

 Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia.

7

a : (b x c) = (a : b) : c = (a : c) : b (với b, c khác 0)

(a x b) : c = (a : c) x b = a x (b : c) (với c khác 0)

a : b = c (với b khác 0) (a x m) : (b x m) = c (với m khác 0)

 Muốn tìm số chia, ta lấy số bị chia chia cho thương.

Phép chia có dư :

 Tìm số bị chia phép chia có dư :

Muốn tìm số bị chia trong phép chia có dư, ta lấy thương nhân với số chia rồi cộng với số dư.

Ví dụ : X : 7 = 6 dư 2 X = 6 x 7 + 2

X = 44 Thử lại : 44 : 7 = 6 dư 2

 Tìm số chia phép chia có dư :

Muốn tìm số chia trong phép chia có dư, ta lấy số bị chia trừ cho số dư rồi chia cho thương.

Ví dụ : 57 : X = 8 dư 1 X = (57 – 1) : 8

X = 7 Thử lại : 57 : 7 = 8 dư 1

 Trong phép chia có dư, số dư lớn nhất kém số chia 1 đơn vị

2 Một số phương pháp cơ bản giải toán bậc tiểu học :

Theo chương trình và nội dung sách giáo khoa ở bậc tiểu học thì môn toán rất đadạng, giáo viên cần thiết phải am tường để giảng dạy cho học sinh dễ hiểu và đạt kết quả caonhất Phần học sinh cũng cần thiết phải có kỹ năng giải toán để làm nền cho cấp học kế tiếp,đồng thời giải quyết được mọi tính toán trong đời sống hàng ngày

Trên cơ sở nội dung của toán học ta có thể phân chia làm nhiều loại toán và cũngchính trên cơ sở toán được phân chia theo loại, nên ta có những phương pháp giải toán khácnhau nhằm giải quyết thích hợp cho từng loại toán Sau đây là một số phương pháp cơ bản :

2.1/-phương pháp phân tích :

Phương pháp phân tích là dựa vào tính chất của số tự nhiên, tính chất của các phéptính và tư duy phân tích toán học nói chung để giải quyết các loại toán về số học đồng thời hỗtrợ cho nhiều phương pháp khác Đường lối chung thường dùng đề phân tích tìm cách giải vàgiải các bài toán gồm bốn bước :

Bước 1 Đọc kĩ đề toán (ít nhất là hai lần), để nắm vững nội dung, ý nghĩa của bài

toán : Xác định đâu là cái đã cho, đâu là cái phải tìm Cần hết sức lưu ý tìm hiểu ý nghĩa củacác từ quan trọng trong đề toán (chớ vội bắt tay vào tính toán khi chưa đọc kĩ đề)

Bước 2 : Tóm tắt đề toán bằng sơ đồ, hình vẽ hoặc ngôn ngữ ngắn gọn Thông qua

đó, thiết lập mối quan hệ giữa những cái đã cho và những cái phải tìm

Bước 3 Phân tích bài toán để tìm cách giải

Thông thường, ta xuất phát từ cái phải tìm, tức là câu hỏi của bài toán mà suy luậnngược lên cho tới điều đã cho để tìm cách giải Như vậy, ta thường phải tự hỏi mình :

-Bài toán hỏi gì ?

-Muốn trả lời câu hỏi đó phải biết gì ?

-Muốn biết cái đó thì phải thực hiện phép tính nào ?

Ví dụ : Cứ 13,5m vải thì may được áo đồng phục cho 9 học sinh Biết rằng lớp 5A có

45 học sinh, lớp 5B ít hơn lớp 5A là 3 học sinh Hỏi cần phải dùng bao nhiêu mét vải để may

áo đồng phục cho cả hai lớp ?

Ta có thể phân tích để đi tìm cách giải như sau:

-Bài toán hỏi gì ? (Số mét vải cần dùng cho cả hai lớp)

-Muốn tìm số vải đó ta làm như thế nào ? (lấy tổng số học sinh của cả hai lớp nhânvới số vải để may một áo)

-Muốn tìm tổng số học sinh của cả hai lớp ta làm thế nào ? (lấy số học sinh lớp 5Acộng với số học sinh lớp 5B)

-Số học sinh lớp 5A biết chưa ? (biết rồi : 45)

-Số học sinh lớp 5B biết chưa ? ( chưa biết) Có thể tính bằng cách nào ? (lấy số họcsinh lớp 5A trừ đi 3)

-Bây giờ muốn tìm số vải để may một áo ta làm thế nào ? (Lấy số vải để may 9 áochia cho 9; tức là 13,5 : 9)

Quá trình phân tích trên có thể được nhẩm trong đầu hoặc lần lượt ghi lại vắn tắt thành

sơ đồ sau :

Tổng số vải Tổng số HS x số vải để may một áo 5A + 5B (Số vải để may 9 áo) : 9

45 5A – 3 13,5 : 9

Đi ngược lại sơ đồ trên (từ dưới lên) ta có trình tự giải bài toán :

(1) Tính số học sinh lớp 5B (Số học sinh lớp 5A – 3)

(2) Tính tổng số học sinh hai lớp

(3) Tính số vải để may một áo (13,5m : 9)

(4) Tính tổng số vải cân dùng (kết quả bước 2 nhân với kết quả bước 3)

Bước 4 : Thực hiện chính xác các phép tính và trình bày bài giải

9

-Thực hiện các phép tính theo trình tự đã được thiết lập để tìm đáp số Mỗi khi thựchiện phép tính xong ta cần thử lại xem đã tính đúng chưa, phải thử xem đáp số có phù hợpvới các điều kiện của bài toán không ?.

-Trình bày bài giải (với bài toán đã nêu ở trên, ta trình bày bài giải như sau :

1,5 x 87 = 130,5 (m)

Đáp số : 130,5m

Ghi chú : Khi học sinh làm bài kiểm tra thì chỉ cần tiến hành bước 4 này mà thôi 2.2/-Phương pháp dùng sơ đồ đoan thẳng:

2.2.1 Khái niệm về phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

PP sơ đồ đoạn thẳng(SĐĐT) là một PP giải toán ở tiểu học, trong đó mối quan hệ giữacác đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm trong bài toán được biểu diễn bởi các đoạn thẳng

Việc lựa chọn độ dài các đoạn thẳng để biểu diễn các đại lượng và sắp thứ tự của đoạnthẳng trong sơ đồ hợp lý sẽ giúp học sinh đi đến lời giải một cách tường minh

PP SĐĐT dùng để giải nhiều dạng toán khác nhau chẳng hạn: các bài toán đơn, các bàitoán hợp và một số dạng toán có lời văn điển hình

2.2.2 Giải toán nâng cao dùng sơ đồ đoạn thẳng

Ví dụ 1: Một cửa hàng có 25 lít dầu đựng trong hai chiếc can Sau khi bán 7 lít dầu

của can thứ hai rồi chuyển 5 lít từ can thứ nhất sang can thứ hai thì số dầu có trong can thứnhất gấp đôi can thứ hai Tính số dầu đựng trong mỗi can lúc đầu

Phân tích :

Sau khi bán 7 lít thì cả hai can còn lại 18 lít Như vậy ta đưa về một bài toán như sau :

“Có 18 lít dầu đựng trong hai chiếc can Số dầu can thứ nhất gấp đôi can thứ hai Tính số dầuchứa trong mỗi can”

Giải bài toán này ta tìm được số dầu đựng trong can thứ nhất sau khi đã chuyển sangcan thứ hai 5 lít và số dầu trong can thứ hai sau khi đã bán đi 7 lít và nhận 5 lít từ can thứnhất chuyển sang

Từ phân tích trên, ta đi đến lời giải bài toán như sau :

? lít

Số dầu trong can thứ nhất lúc này là :

Ví dụ 2: Tám năm về trước tuổi ba cha con cộng lại bằng 45, tám năm sau cha hơn

con lớn 26 tuổi và hơn con nhỏ 34 tuổi Tính tuổi của mỗi người hiện nay ?

Lời giải

Tổng số tuổi của ba cha con hiện nay là :

Vì hiệu số tuổi hai người không thay đổi theo thời gian nên ta có sơ đồ sau biểu diễntuổi ba cha con hiện nay :

43 – 26 = 17 (tuổi)Tuổi con nhỏ hiện nay là :

43 – 34 = 9 (tuổi)Đáp số : Cha 43 tuổi ; con lớn 17 tuổi ; con nhỏ 9 tuổi

2.3/-Phương pháp rút về đơn vị – phương pháp dùng tỉ số:

2.3.1 Khái niệm về Phương pháp rút về đơn vị – phương pháp dùng tỉ số:

Phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số là hai phương pháp giải toán, dùng đểgiải các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch

11

69 tuổi

26 tuổi

34 tuổi

Trong bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) thường xuất hiện ba đạilượng, trong đó có một đại lượng không đổi, hai đại lượng còn lại biến thiên theo tương quan

tỉ lệ thuận (hoặc nghịch)

Phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số là hai phương pháp giải toán khácnhau nhưng đều dùng để giải một dạng toán về tương quan tỉ lệ thuận (hoặc nghịch)

2.3.2 Các bước giải bằng Phương pháp rút về đơn vị hoặc phương pháp tỉ số:

Trong bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) thường xuất hiện hai đạilượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) Trong hai đại lượng biếnthiên người ta thường cho biết hai giá trị của đại lượng này và một giá trị của đại lượng kiarồi yêu cầu tìm giá trị còn lại của đại lượng thứ hai

Để tìm giá trị này ta có thể dùng phương pháp rút về đơn vị hoặc phương pháp tỉ số

a/ Phương pháp rút về đơn vị :

-Bước 1: Rút về đơn vị : Trong bước này ta tính một đơn vị đại lượng thứ nhất ứng

với bao nhiêu đơn vị của đại lượng thứ hai hoặc ngược lại ( thường dùng phép chia )

-Bước 2 : Tìm giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai : Trong bước này ta lấy giá trị

còn lại của đại lượng thứ nhất nhân với giá trị của đại lượng thứ hai

b/ Phương pháp dùng tỉ số :

-Bước 1 :So sánh 2 giá trị và lập tỉ số

-Bước 2 :Giá trị đại lượng thứ 2 tăng ( giảm ) theo tỉ số đã lập

Ví dụ 1 : May 5 bộ quần áo như nhau hết 20m vải Hỏi may 23 bộ quần áo như thế thì

hết bao nhiêu mét vải cùng loại

Phân tích :

Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng

-Số mét vải để may một bộ quần áo là đại lượng không đổi

-Số bộ quần áo và số mét vải là hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận

Ta thấy :

May 5 bộ quần áo hết 20m vải

May một bộ quần áo hết ? m vải

May 23 bộ quần áo hết ? m vải

Ví dụ 2 : Lát 9m2 nền nhà hết 100 viên gạch Hỏi lát 36m2 nền nhà cùng loại gạch thìhết bao nhiên viên

Phân tích :

Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng

12