chuyên đề các bài toán về tam giác THPT

chuyên đề các bài toán về tam giác THPT

Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (CÁC BÀI TOÁN ĐÃ THI ĐH TỪ 1997 ĐẾN 2008) 1)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = tanA.tanB.tanC Hd : (26.95-A01) - Chứng minh ABC ta có tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC -Áp dụng Cosy P = tanA.tanB.tanC = tanA+tanB+tanC -Tức : P P 27 P Dấu xẩy tanA= tanB = tanC Tức MinP = Đạt ABC + cot + cot 2)Chứng minh tam giác ta có : cot + tan + tan ) 3( tan (*) Hd : (27.96-A97) + cot + cot = cot cot cot - Chứng minh tam giác ta có: cot - Gọi x = cot y = cot z = cot x,y,z (1) (1) trở thành : x + y + z = xyz (1’) Do đó, đpcm (*) 3( x+y+z (x + y + z) + + ) xyz (x + y + z ) (xy + yz +zx) 2 x +y +z xy + yz + zx (bđt đúng) = cot 3)Các góc tam giác thoả mãn điều kiện : = cot Hd : (27.97-A98) Ta có : cot cot = cot cot ( Dùng (1’) ) (xy + yz +zx) cot Chứng minh ABC cân = cot cot cot = cot … cot B = C , ABC cân 4)Hãy tính góc tam giác góc tam giác thoả mãn : + 3cosC + cos2C sin2A + sin2B + 2sinAsinB = (sinA + sinB)2 = ( Hd : (27.98-D99) Ta có (*) + cosC )2 (*) sinA + sinB = + cosC … + sin2 =0 5)Chứng minh tam giác ta có : sin cos cos + sin cos cos + sin = sin cos sin Hd : (27.99-A2000) -C/m : tan tan (sin cos sin + sin + sin cos cos = cos sin + tan tan +tan +tan tan +tan tan ) + sin (cos cos =1 tan = tan (*) = Do , đpcm (*) )=1 - sin sin + +tan (hoàn toàn đúng) 6)Chứng minh tam giác ta có : tan + tan + tan + tan tan + tan tan + tan tan TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC - tan tan tan =1 NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN Hd : (27.100-A01) Ta có tan +tan + tan Suy đpcm tan = tan 0985128747 GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * = Hay : + tan + tan tan tan + tan (Nhân chéo.) - tan tan tan tan =1 7)Tam giác ABC vuông A 2n 2n Chứng minh : b + c a2n (*) Với n N* BC = a , CA = b , AB = c Hd : (28.101-A2000) Vì ABC vuông A nên a a c , ta có b2 + c2 = a2 Do bđt (*) Đúng với n = 1,dấu đẳng thức xẩy ra.Với n b2n + c2n )2n + ( )2n : ( )2 + ( )2 = ( a2n (đpcm) 8)Chứng minh : + cos3 + cos3 Trong tam giác ta có : cos3 Hd : (28.106-A98) (*) cos3 - cos + sin2 … (bđt đúng) Dấu xẩy … + 9)Chứng minh tam giác ta có : + +tan tan … + + Hd : (28.108-D98) Ta có (*) =2 + tan )=2 (*) +tan tan +tan (Hoàn toàn Đây toán quen thuộc ) 10)Chứng minh góc tam giác thoả mãn : cos2A + cos2B + cos2C -1 Thì : sinA + sinB + sinC 1+ Hd : (29.109-A99) –Biến đổi giả thiết cos2A + cos2B + cos2C -1 cosAcosBcosC cos Và sinA + sinB + sinC = 2cos Tức ta đpcm : sinA + sinB + sinC 11)Chứng minh tam giác ta có : ABC Thì sin ABC =2 tan tan ABC không nhọn Giả sử C góc lớn =2 + +tan (*) + cos3 - cos + cos3 - cos cosA + cosB + cosC – (tan tan + cos + cos ) + (cos + sinC tan =1 C + = +1 1+ + TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC + + + NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * Hd : (29.111-D99) -Ta có sinA + sinB = 2cos cos suy : 2cos cos + - Theo Côsy : (1) (Vì theo (1) trên) - Tương tự ta có: + Ta đpcm : + + + Cộng bđt chiều + + = tan 12)Chứng minh tam giác ta có : (*) tan cot Hd : (29.114-D2000) Đẳng thức (*) có: =…Tổng thành tích)… = VT = = tan 13)Chứng minh tam giác ta có : 1/ ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b) + 2/ + = VP 12 Hd : (30.119-A98).1/Ta có : ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b) ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) tan cot 6abc + + + + + (bđt ) (Áp dụng Côsy cho số dương vế trái ) = 2cosA 14)Tam giác ABC có đặc điểm góc tam giác thoả mãn : Hd : (31.124-D99) = 2cosA -Ta có : … sin(A+B) = 2cossAsinB sin(A-B) = , ABC cân đỉnh C 15)Chứng minh góc tam giác thoả mãn : cot cot cot -( + ) = cotA + cotB + cotC + ABC Hd : (31.125-A99) - Ta c/m ABC ,có cot - Lại c/m cot – cotA = - Do : cot cot cot cot cot = cot + cot + cot Tương tự cho góc B góc C -( + ) = cotA + cotB + cotC + (cot – cotA) + (cot – cotB) + (cot – cotC) - ( + + = + - Ta có : sinA + sinB = 2cos -Do : : + cos + + + … )=0 (*) 2cos TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * 16)Chứng minh góc tam giác thoả mãn : sin2B + sin2C = 2sin2A Thì A 600 Hd : (31.126-B2000) -.Ta có : sin2B + sin2C = 2sin2A b2 + c2 = 2a2 (Suy từ Định lý sin ) - Ta có : a2 = b2 + c2 – 2bc cosA -Do : cosA = = (Định lý côsin tam giác) = = suy đpcm : A 600 17)Chứng minh góc tam giác thoả mãn : + + = ABC Hd : (31.127-A01) + - Ta có : + + - suy VT + + = VT Dấu xẩy ABC 18)Hãy tính góc tam giác góc tam giác thoả mãn : Cos2A + (cos2B + cos2C) + = (*) + 3sin2(B-C) = Hd : (31.128-B01) Biến đỏi ,được (*) ……… 19) 1/-Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P = tam giác cosB +3(cosA + cosC) với A,B,C ba góc (sinA + sinB + sinC) + 2/-Chứng minh tam giác ABC nhọn thì: (tanA + tanB + tanC) Hd : (32.129-A98) 1/Ta có : P = P cosB +3(cosA + cosC) = (1- 2sin2 ) + 6sin = cos 2/Xét hàm số f (x) = sinx + tanx - x với ) f (x) cosB + 6sin -2 = … Suy MaxP = …… Đạt : biến khoảng (0; cosB + 6sin Vậy MaxP = x ,Dùng công cụ đạo hàm c/m hàm số đồng f (0) = với x TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC (0; ) NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * Theo giả thiết ABC nhọn ,ta có : f (A) = sinA + tanA - A f (B) = sinB + tanB - B f (C) = sinC + tanC - C Cộng ba bđt , được: (tanA+tanB+tanC) (sinA+sinB+sinC) + 2sinB A+B+C = 2sinC 20)Tam giác ABC có góc nhọn , chứng minh (sinA) + (sinB) + (sinC) không tam giác ABC tam giác vuông? Tại ? Hd : (32.130-A99) - Ta c/m :sin2A+sin2B+sin2C = 2+2cosAcosBcosC - Suy ABC nhọn : sin2A+sin2B+sin2C -Mặt khác sinA sinB nên (sin2A)sinB (sin2A)1 (sinA)2sinB 2sinA (đpcm) Bất đẳng thức sin2A Tương tự ,có : (sinB)2sinC sin2B (sinC)2sinA sin2C Cộng ba bđt chiều ta đpcm : (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA sin2A+ sin2B+ sin2C Nếu tam giác ABC vuông ,chẳng hạn A = 90 : (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA = 1+(sinB)2sinC+ sin2C 1+(sin2B)1 + sin2C = 1+ cos2C+sin2C = Như :trong trường hợp tam giác vuông bđt cho 21)Chứng minh tam giác ta có : cosAcosBcosC sin sin (*) s Hd : (32.131-A2000) - Tam giác ABC tù vuông hiển nhiên bđt (*) ( cosAcosBcosC sin sin ) s - Tam giác ABC nhọn cosA,cosB,cosC dương (1-cosC) = sin2 Ta có cosAcosB = - Nghĩa : cosAcosB sin2 Tương tự cosBcosC sin2 cosC cosA chiều có vế dương ta đpcm : cosAcosBcosC sin2 Nhân ba bđt sin sin s 22) Tam giác ABC với a,b,c độ dài ba cạnh A,B,C ba góc Chứng minh ABC vuông A cân A : = tan Hd : (34.134-D99) Áp dụng Định lý sin,biến đổi tổng thành tích vế trái -Ta có : = tan cot tan = … ABC cân vuông đỉnh A 23)Tam giác ABC có độ dài cạnh a,b,c A’B’C’ có độ dài cạnh a2,b2,c2 a/- Hãy xác định dạng ABC b/- So sánh góc bé ABC góc bé A’B’C’ Hd : (36.138-A97) -a/Vì a2,b2,c2 độ dài ba cạnh A’B’C’nên (tính chất cạnh tam giác) - Từ hệ điều kiện suy ABC có ba góc nhọn.Vì áp dụng định lý côsin cho ABC a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 + c2 cosA tức góc A góc nhọn Tương tự,ta có : B,C góc nhọn.Vậy ABC nhọn TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * -b/So sánh góc bé ABC góc bé A’B’C’: Giả sử a b c a2 b2 c2 A , A’ tương ứng góc nhỏ ABC A’B’C’ - - Xét cosA – cosA’= a b c Như cosA = ……= cosA’ A A’ * 24 )Chứng minh tam giác ABC tam giác nhọn : tan8A + tan8B + tan8C Hd : (36.140-A99) - Từ giả thiết ABC nhọn tanA,tanB,tanC dương,nghĩ đến bđt côsy tan2Atan2Btan2C - Trong tam giác không vuông ta c/m tanAtanBtanC = tanA+tanB+tanC - Áp dụng Côsy có tanAtanBtanC = tanA+tanB+tanC ,mũ ba hai vế, Làm gọn ta : (tanAtanBtanC)2 27 Nhân hai vế bđt với (tanAtanBtanC)6 ,được (tanAtanBtanC)8 27(tanAtanBtanC)6 Khai bậc hai vế : ( )8 3tan2Atan2Btan2C (Nhân hai vế ,để vận dụng bđt Côsy cho ba số) tan2Atan2Btan2C tan8A + tan8B + tan8C Như ta có đpcm : ABC tam giác nhọn : tan8A + tan8B + tan8C tan2Atan2Btan2C 25) Tam giác ABC có góc thoả mãn kiện : Chứng minh ABC Hd : (36.141-B99) -Giả thiết (1) = 2sin cos cos2 = -Giả thiết (2) -Thế (2’) vào (1’) = 4sin2 1+ cos(B-C) = 4(1 – cosA) (1’) … + 2cossA = – 4cossA - Thế vào (2’) cos(B-C) = cos(B-C) = 2cosA cosA = A = 600 … B = C Vậy : ABC + 26) a/Chứng minh tam giác ABC , ta có : + b/Xác định dạng ABC Biết : (1+cotA)(1+cotB) = Hd : (3.142-D2000) -a/Nhân tử mẫu thức hạng tử vế trái với 2cos + (*) + + + + + + + + , 2cos , 2cos tương ứng ,được : … + + Dấu xẩy a = b = c , cos(A+B) + sin(A+B) = sinC = cosC (*) (**) -b/Nhận dạng tam giác :Giả thiết (1+cotA)(1+cotB) = … (2’) ABC (sinA+cosA)(sinB+cosB)=2sinAsinB tanC = … C = 450 Như : ABC có C = 450 27) Tam giác ABC có góc thoả mãn kiện : sin(A+B)cos(A-B) = 2sinAsinB (*) Chứng minh ABC Là tam giác vuông TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN Hd : (36.144-D01) -Ta có: sin(A+B)cos(A-B) = 2sinAsinB (1 – sinC)cos(B-C) + cosC = (cos – sin ) (cos – sin ) 0985128747 GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * sinCcos(B-C) = cos(A-B) + cosC (cos – sin )2.cos(B-C) + (cos2 – sin2 )=0 =0 =0 (Trong dấu móc vuông : dương) cos – sin = tan =1 = 450 28) Tam giác ABC có góc thoả mãn kiện : C = 900 , ABC vuông đỉnh C + + + = + Chứng minh ABC Hd : (37.147-A2000) + -Theo côsy : + - Tương tự ,có: chiều (1),(2),(3) ta : (2) + = (1) + (3) Cộng bđt + + ba bđt (1),(2),(3) xẩy dấu … + Dấu xẩy ABC 29) Tam giác ABC có cạnh góc thoả mãn kiện : c2sin2A + a2sin2C = b2cot Hãy xác định hình dạng tam giác Hd : (38.154-A01) VT = c2sin2A + a2sin2C = … = = 4R2 = 2sin2 sin(A+C) = 8R2 cos2 4R2 sinB = 8R2 Như với ABC ta có : c2sin2A + a2sin2C =1 = sin2B = 2b2 b2cot b2cot = VP Dấu xẩy A = C Tức ABC cân đỉnh B 30) Tam giác ABC có cạnh cácgóc thoả mãn kiện : bc = R (*) Trong a,b,c độ dài ba cạnh R độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh ABC Hd : (39.156-A97) –Định lý sin tam giác (*) 2sinB =0 ABC 31) Tam giác ABC có góc thoả mãn kiện : sin cos3 = sin cos3 (*) Chứng minh ABC cân Hd : (39.158-A99) –Chia hai vế (*) cho cos3 cos3 TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC , ý = + tan2 NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC -Ta có (*) YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN (tan )(1+ tan + tan – tan 0985128747 + tan tan GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * )=0 tan – tan A=B ABC cân đỉnh C = 32) Tam giác ABC có đặc điểm : (*) Hd : (39.160-A01) -Ta có (*) ( a2 – b2 ) sin (A+B) = (a2+ b2 )sin (A-B) 2 (1) 2 -Đẳng thức (1) có VT = ( a – b ) sin (A+B) = 4R (sin A – sin B)sin(A+B) = … = c2sin (A-B) -Thay vào (1) : c2sin (A-B) = (a2+ b2 )sin (A-B) 33*) Tìm giá trị lớn biểu thức M = Trong A,B,C ba góc ABC Hd : (40.162-A98) +1= Ta có M +1 = = = = = = Như : M+1 M … Dấu xẩy ,tức M đạt giá trị lớn : ABC Như MaxM = đạt ABC 34) Tam giác ABC có góc thoả mãn kiện : 2cosAsinBsinC + (sinA+cosB+cosC) = (*) Hãy xác định hình dạng tam giác đó.Chứng minh = Hd : (40.163-A99)-Thay cosA = sin2A+sin2B+sin2C + ,Ta có (*) … (sinA+cosB+cosC) = 2- - + + Như ABC cân đỉnh A A = … =0 35) Tam giác ABC có góc thoả mãn kiện : Hãy xác định hình dạng tam giác đó.Chứng minh Hd : (40.164-A2000)- Để ý : khoảng (0; ) Hàm số sin đồng biến hàm số cosin nghịch biến - Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế cộng (-1) vào vế : B = C B = (*) C (*) không xẩy dấu (dấu hai vế khác nhau) TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 … -Thay B =C vào (1) : sinB = A= Vậy : B = C = GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * ( =0 B= Như Tam giác ABC vuông cân đỉnh A 36) Tam giác ABC có cạnh a,b,c diện tích S thoả mãn : S = (c + a - b)(c + b – a) Chứng minh : tanC = Hd : (40.165-A01) Sử dụng giả thiết S = (c + a - b)(c + b – a) , S = Định lý cosin tam giác c2 = a2 + b2 – 2bccossC để giải toán -Từ giả thiết S = (c + a - b)(c + b – a) suy S2 = 16(p - a)2(p – b)2 - Ta có : tan2 = = (1) = …= (2) = Do tanC = - Từ (1) (2) suy tan =…= đpcm 37) Tam giác ABC có cạnh a,b,c đường trung tuyến tương ứng :ma,mb,mc Chứng minh = ABC ta có : = Hd : (41.166-D01) - Dùng công thức trung tuyến: ma2 = -Ta có : m2a – m2b = … = - Nếu ma mb ,thì từ giả thiết : ,tính chất dãy tỷ số để giải toán suy (m2a – m2b)(a2 – b2) = = (ma – mb)(a – b) = 0 (1) (2) -Từ (1) (2) suy : a = b Lập luận tương tự ,có b = c Vậy ABC 38) Tam giác ABC có cạnh a,b,c góc thoả mãn : Chứng minh ABC Hd : (44.172-B2000) +1= -Bình phương hai vế (1) ,làm gọn : sin(A-C) = A=C -Giả thiêt : +1 a=c … b = 2acossC (3) … a=b (4) Từ (3) (4) ABC 39) Chứng minh ABC ,với a,b,c độ dài cạnh , p nửa chu vi Chứng minh : + + Hd : (45.174-B98) -Chứng minh : + + Bình phương hai vế , điều hiển nhiên -Chứng minh : + + Thì áp dụng bđt BunhiaCopxky Ta có : ( + + 3(p - a + p - b + p - c) = 3p + + 40) Tam giác ABC thoả mãn : = (*) Trong a,b,c độ dài ba cạnh p nửa chu vi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh ABC Hd : (45.176-B01) -Dùng Đlý sin tam giác TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC - Biến đổi (*) YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * 9sinAsinBsinC = (sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA)(sinA+sinB+sinC) -Áp dụng bđt Côsy : sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA -Ta lại có : sinA + sinB + sinC -Nhân hai bđt chiều có vế dương (2) (3) : (sinA + sinB + sinC)(sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA) 9sinAsinBsinC Từ (1) (4) suy : sinA = sinB = sinC , ABC Đây đpcm (1) (2) (3) (4) ******************************************************************************** Trên 40 toán Trong Tam giác-Đây thi Đại học từ 1997 đến 2008.Tôi biên tập, ghi lại ngắn gọn Hướng dẫn giải.Mong giúp em học sinh ôn tập tốt mảng kiến thức này.Tất có 80 toán Trong tam giác thi từ 1997 đến 2008 soạn thành hai phần :Phần I có 40 – Gửi lên Violet ngày 17 tháng 05/2009 Đây 40 phần II.Bạn đồng nghiệp cần 40 phần I xin mời vào trang cá nhân Trần Đức Ngọc để download Xin mời bạn ghé thăm (Địa http://violet,vn/ducngoct/ ) TRẦN ĐỨC NGỌC - 0985128747 - YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN - GV TRƯỜNG THPH TÂN KỲ I NGHỆ AN ******************************************************************************** TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI [...].. .Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI