chuyên đề các bài toán về tam giác THPT

chuyên đề các bài toán về tam giác THPT

(CÁC BÀI TOÁN ĐÃ THI ĐH TỪ 1997 ĐẾN 2008) 1)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = tanA.tanB.tanC

Hd : (26.95-A01)

- Chứng minh ABC ta luôn có tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC

-Áp dụng Cosy P = tanA.tanB.tanC = tanA+tanB+tanC 3

-Tức là : P 3 P 2 27 P 3 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi tanA= tanB = tanC

Tức là MinP = 3 Đạt được khi ABC đều

2)Chứng minh trong tam giác ta luôn có : cot + cot + cot 3( tan + tan + tan ) (*)

Hd : (27.96-A97)

- Chứng minh được trong tam giác ta luôn có: cot + cot + cot = cot .cot cot (1)

- Gọi x = cot y = cot z = cot thì x,y,z 0 và (1) trở thành : x + y + z = xyz (1’)

Do đó, đpcm (*)

x + y + z 3( + + ) xyz (x + y + z ) 3 (xy + yz +zx) ( Dùng (1’) )

(x + y + z)2 3 (xy + yz +zx) x2 + y2 + z2 xy + yz + zx (bđt đúng)

3)Các góc của tam giác thoả mãn điều kiện : = cot cot Chứng minh ABC cân

Hd : (27.97-A98) Ta có : = cot cot = cot cot cot cot = cot cot cot = cot … B = C , ABC cân

4)Hãy tính các góc của tam giác nếu các góc của tam giác thoả mãn :

sin2A + sin2B + 2sinAsinB = + 3cosC + cos2C (*)

Hd : (27.98-D99) Ta có (*) (sinA + sinB)2 = ( + cosC )2 sinA + sinB = + cosC

…

5)Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :

sin cos cos + sin cos cos + sin cos cos =

= sin sin sin + tan tan +tan tan +tan tan (*)

Hd : (27.99-A2000) -C/m được : tan tan +tan tan +tan tan = 1 Do đó , đpcm (*) (sin cos + sin cos ) + sin (cos cos - sin sin ) = 1 sin + sin cos = 1 + = 1 (hoàn toàn đúng)

6)Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :

tan + tan + tan + tan tan + tan tan + tan tan - tan tan tan = 1

*TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

Hd : (27.100-A01) Ta có tan = tan Hay là : = (Nhân chéo.) Suy ra đpcm tan +tan + tan + tan tan + tan tan + tan tan - tan tan tan = 1

7)Tam giác ABC vuông tại A

Chứng minh : b2n + c2n a2n (*) Với n N* và BC = a , CA = b , AB = c

Hd : (28.101-A2000) Vì ABC vuông tại A nên a và a c , ta có b2 + c2 = a2 Do đó bđt (*) Đúng với n = 1,dấu đẳng thức xẩy ra.Với n 1 thì : ( )2n + ( )2n ( )2 + ( )2 = 1

b2n + c2n a2n (đpcm)

8)Chứng minh rằng :

Trong tam giác ta có : cos3 + cos3 + cos3 + (cos + cos + cos ) (*)

Hd : (28.106-A98) (*) 4 cos3 - 3 cos + 4 cos3 - 3 cos + 4 cos3 - 3 cos

cosA + cosB + cosC … + sin2 0

9)Chứng minh rằng trong tam giác ta có : + + = 2 (*)

Hd : (28.108-D98) Ta có (*) + + = 2

3 – (tan tan +tan tan +tan tan ) = 2 tan tan +tan tan +tan tan = 1 (Hoàn toàn đúng Đây là bài toán quá quen thuộc )

10)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn : cos2A + cos2B + cos2C -1

Thì : sinA + sinB + sinC 1+

Hd : (29.109-A99) –Biến đổi giả thiết cos2A + cos2B + cos2C -1 cosAcosBcosC 0

ABC không nhọn Giả sử C là góc lớn nhất của ABC Thì C

0 cos Và sinA + sinB + sinC = 2cos sin + sinC 2 .1 + 1 = + 1 Tức là ta được đpcm : sinA + sinB + sinC 1+

11)Chứng minh rằng trong tam giác ta có : + + + +

Hd : (29.111-D99)

-Ta có sinA + sinB = 2cos cos 2cos suy ra : cos (1)

- Theo Côsy : + (Vì theo (1) ở trên)

- Tương tự ta có: + và + Cộng 3 bđt cùng chiều

12)Chứng minh rằng trong tam giác ta có : = tan tan cot (*)

Hd : (29.114-D2000) Đẳng thức (*) có:

13)Chứng minh rằng trong tam giác ta có :

1/ ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b) 0

2/ + + 12

Hd : (30.119-A98).1/Ta có : ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b) 0

ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) 6abc + + + + + 6 (bđt đúng ) (Áp dụng Côsy cho 6 số dương ở vế trái )

14)Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu các góc của tam giác đó thoả mãn : = 2cosA

Hd : (31.124-D99)

-Ta có : = 2cosA sin(A+B) = 2cossAsinB … sin(A-B) = 0 , ABC cân tại đỉnh C

15)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn :

cot cot cot - ( + + ) = cotA + cotB + cotC thì ABC đều

Hd : (31.125-A99)

- Ta c/m được ABC bất kỳ ,có cot cot cot = cot + cot + cot

- Lại c/m được cot – cotA = Tương tự cho góc B và góc C

- Do đó : cot cot cot - ( + + ) = cotA + cotB + cotC … (cot – cotA) + (cot – cotB) + (cot – cotC) - ( + + ) = 0

- Ta có : sinA + sinB = 2cos cos 2cos

-Do đó : : + 2

*TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * 16)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn : sin2B + sin2C = 2sin2A Thì A 600

Hd : (31.126-B2000) -.Ta có : sin2B + sin2C = 2sin2A b2 + c2 = 2a2 (Suy ra từ Định lý sin )

- Ta có : a2 = b2 + c2 – 2bc cosA (Định lý côsin trong tam giác)

-Do đó : cosA = = = = suy ra đpcm : A 600

17)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn :

+ + = thì ABC đều

Hd : (31.127-A01)

- Ta có : +

+

+

- suy ra VT + +

VT = Dấu bằng xẩy ra khi ABC đều 18)Hãy tính các góc tam giác nếu các góc của tam giác thoả mãn : Cos2A + (cos2B + cos2C) + = 0 (*) Hd : (31.128-B01) Biến đỏi ,được (*) + 3sin2(B-C) = 0 ………

19) 1/-Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = cosB +3(cosA + cosC) với A,B,C là ba góc của một tam giác 2/-Chứng minh tam giác ABC nhọn thì: (sinA + sinB + sinC) + (tanA + tanB + tanC)

Hd : (32.129-A98) 1/Ta có : P = cosB +3(cosA + cosC) = cosB + 6sin cos cosB + 6sin = … P (1- 2sin2 ) + 6sin = - 2 Suy ra MaxP = Đạt được khi : …… .Vậy MaxP =

2/Xét hàm số f (x) = sinx + tanx - x với 0 x ,Dùng công cụ đạo hàm c/m hàm số đồng biến trong khoảng (0; ) do đó f (x) f (0) = 0 với mọi x (0; )

Theo giả thiết ABC nhọn ,ta có : f (A) = sinA + tanA - A 0

f (B) = sinB + tanB - B 0

f (C) = sinC + tanC - C 0

Cộng ba bđt trên , được: (sinA+sinB+sinC) + (tanA+tanB+tanC) A+B+C = (đpcm)

20)Tam giác ABC có các góc nhọn , chứng minh (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA 2 Bất đẳng thức còn đúng không khi tam giác ABC là tam giác vuông? Tại sao ?

Hd : (32.130-A99)

- Ta c/m được :sin2A+sin2B+sin2C = 2+2cosAcosBcosC

- Suy ra ABC nhọn thì : sin2A+sin2B+sin2C 2

-Mặt khác 0 sinA 1 và sinB 1 nên (sin2A)sinB (sin2A)1 (sinA)2sinB sin2A Tương tự ,có : (sinB)2sinC sin2B và (sinC)2sinA sin2C Cộng ba bđt cùng chiều này ta được đpcm :

(sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA sin2A+ sin2B+ sin2C 2

Nếu tam giác ABC vuông ,chẳng hạn A = 900 thì :

(sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA = 1+(sinB)2sinC+ sin2C 1+(sin2B)1 + sin2C = 1+ cos2C+sin2C = 2 Như vậy :trong trường hợp tam giác vuông thì bđt đã cho vẫn đúng

21)Chứng minh rằng trong tam giác ta có : cosAcosBcosC sin sin s (*)

Hd : (32.131-A2000)

- Tam giác ABC tù hoặc vuông thì hiển nhiên bđt (*) đúng

( vì khi đó cosAcosBcosC 0 sin sin s )

- Tam giác ABC nhọn thì cosA,cosB,cosC đều dương

Ta có cosAcosB = (1-cosC) = sin2

- Nghĩa là : cosAcosB sin2 Tương tự cosBcosC sin2 và cosC cosA sin2 Nhân ba bđt cùng chiều có các vế đều dương này ta được đpcm : cosAcosBcosC sin sin s

22) Tam giác ABC với a,b,c là độ dài ba cạnh A,B,C là ba góc Chứng minh ABC vuông tại A hoặc cân

tại A khi và chỉ khi : = tan

Hd : (34.134-D99) Áp dụng Định lý sin,biến đổi tổng thành tích ở vế trái

-Ta có : = tan cot tan = … ABC cân hoặc vuông tại đỉnh A

23)Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c và A’B’C’ có độ dài các cạnh là a2,b2,c2

a/- Hãy xác định dạng của ABC

b/- So sánh góc bé nhất của ABC và góc bé nhất của A’B’C’

Hd : (36.138-A97)

-a/Vì a2,b2,c2 là độ dài ba cạnh của A’B’C’nên (tính chất các cạnh tam giác)

- Từ hệ điều kiện trên suy ra ABC có ba góc đều nhọn.Vì áp dụng định lý côsin cho ABC

a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 + c2 khi cosA 0 tức là khi góc A là góc nhọn

Tương tự,ta có : B,C cũng là góc nhọn.Vậy ABC nhọn

*TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

-b/So sánh góc bé nhất của ABC và góc bé nhất của A’B’C’:

Giả sử a b c a2 b2 c2 A , A’ tương ứng là góc nhỏ nhất của ABC và A’B’C’

vì a b c Như vậy cosA cosA’ A A’

24 * )Chứng minh nếu tam giác ABC là tam giác nhọn thì : tan8A + tan8B + tan8C 9 tan2Atan2Btan2C

Hd : (36.140-A99)

- Từ giả thiết ABC nhọn tanA,tanB,tanC dương,nghĩ đến bđt côsy

- Trong tam giác không vuông ta c/m được tanAtanBtanC = tanA+tanB+tanC

- Áp dụng Côsy có tanAtanBtanC = tanA+tanB+tanC 3 ,mũ ba hai vế, Làm gọn ta được : (tanAtanBtanC)2 27 Nhân hai vế bđt với (tanAtanBtanC)6 0 ,được (tanAtanBtanC)8 27(tanAtanBtanC)6 Khai căn bậc 3 hai vế được :

( )8 3tan2Atan2Btan2C (Nhân 3 cả hai vế ,để vận dụng bđt Côsy cho ba số)

9 tan2Atan2Btan2C 3 tan8A + tan8B + tan8C .Như vậy ta có đpcm : ABC là tam giác nhọn thì : tan8A + tan8B + tan8C 9 tan2Atan2Btan2C

Hd : (36.141-B99)

-Giả thiết (1) cos = 2sin cos2 = 4sin2 1+ cos(B-C) = 4(1 – cosA) (1’) -Giả thiết (2) = … cos(B-C) = 2cosA (2’) -Thế (2’) vào (1’) 1 + 2cossA = 4 – 4cossA cosA = … A = 600

- Thế vào (2’) được cos(B-C) = 1 B = C Vậy : ABC đều

26) a/Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kỳ , ta có : + + 6 (*) b/Xác định dạng của ABC Biết rằng : (1+cotA)(1+cotB) = 2 (**)

Hd : (3.142-D2000)

-a/Nhân cả tử và mẫu thức mỗi hạng tử ở vế trái với 2cos , 2cos , 2cos tương ứng ,được :

(*) + + 6 …

+ + + + + 6 đúng Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c , ABC đều

-b/Nhận dạng tam giác :Giả thiết (1+cotA)(1+cotB) = 2 (sinA+cosA)(sinB+cosB)=2sinAsinB … cos(A+B) + sin(A+B) = 0 sinC = cosC tanC = 1 … C = 450

Như vậy : ABC có C = 450

27) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện : sin(A+B)cos(A-B) = 2sinAsinB (*)

Chứng minh ABC Là tam giác vuông

Hd : (36.144-D01)

-Ta có: sin(A+B)cos(A-B) = 2sinAsinB sinCcos(B-C) = cos(A-B) + cosC

(1 – sinC)cos(B-C) + cosC = 0 (cos – sin )2.cos(B-C) + (cos2 – sin2 ) = 0

(Trong dấu móc vuông : dương)

cos – sin = 0 tan = 1 = 450 vậy C = 900 , ABC vuông tại đỉnh C

28) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện : + + = + + Chứng minh ABC đều

Hd : (37.147-A2000)

- Tương tự ,có: + (2) và + (3) Cộng 3 bđt cùng chiều (1),(2),(3) ta được : + + + + Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi ở cả ba bđt (1),(2),(3) đều xẩy ra dấu bằng … ABC đều

29) Tam giác ABC có các cạnh và các góc thoả mãn đều kiện : c2sin2A + a2sin2C = b2cot

Hãy xác định hình dạng của tam giác đó

Hd : (38.154-A01)

VT = c2sin2A + a2sin2C = … =

= 2sin2 .sin(A+C) = 8R2 cos2 sinB = 8R2 sin2B = 2b2 = b2cot = VP Như vậy với ABC bất kỳ ta có : c2sin2A + a2sin2C b2cot Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi = 1 A = C Tức là ABC cân tại đỉnh B

30) Tam giác ABC có các cạnh và cácgóc thoả mãn đều kiện : bc = R (*) Trong đó a,b,c là độ dài ba cạnh và R là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh ABC đều

Hd : (39.156-A97) –Định lý sin trong tam giác

ABC đều

31) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện : sin cos3 = sin cos3 (*)

Chứng minh ABC cân

Hd : (39.158-A99) –Chia hai vế của (*) cho cos3 cos3 , chú ý = 1 + tan2

*TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

-Ta có (*) (tan – tan )(1+ tan2 + tan2 + tan tan ) = 0 tan – tan A = B ABC cân tại đỉnh C

32) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu : = (*)

Hd : (39.160-A01)

-Ta có (*) ( a2 – b2 ) sin (A+B) = (a2+ b2 )sin (A-B) (1)

-Đẳng thức (1) có VT = ( a2 – b2 ) sin (A+B) = 4R2(sin2A – sin2B)sin(A+B) = … = c2sin (A-B) -Thay vào (1) được : c2sin (A-B) = (a2+ b2 )sin (A-B)

33 * ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = Trong đó A,B,C là ba góc ABC

Hd : (40.162-A98)

= = 4 Như vậy : M+1 4 M 3 Dấu bằng xẩy ra ,tức là M đạt giá trị lớn nhất khi : … ABC đều Như vậy MaxM = 3 đạt được khi ABC đều

34) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện : 2cosAsinBsinC + (sinA+cosB+cosC) = (*) Hãy xác định hình dạng của tam giác đó.Chứng minh

Hd : (40.163-A99)-Thay cosA = = ,Ta có (*) …

sin2A+sin2B+sin2C + (sinA+cosB+cosC) =

Như vậy ABC cân tại đỉnh A và A

35) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện :

Hãy xác định hình dạng của tam giác đó.Chứng minh

Hd : (40.164-A2000)- Để ý : trong khoảng (0; ) Hàm số sin đồng biến và hàm số cosin nghịch biến

- Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế rồi cộng (-1) vào mỗi vế được : = (*)

B = C vì nếu B C thì ở (*) không xẩy ra dấu bằng (dấu hai vế khác nhau)

-Thay B =C vào (1) : sinB = … ( 2 = 0 B =

Vậy : B = C = A = Như vậy Tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A.

36) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và diện tích S thoả mãn : S = (c + a - b)(c + b – a)

Chứng minh : tanC =

Hd : (40.165-A01) Sử dụng giả thiết S = (c + a - b)(c + b – a) , S =

Định lý cosin trong tam giác c2 = a2 + b2 – 2bccossC để giải bài toán này

-Từ giả thiết S = (c + a - b)(c + b – a) suy ra S2 = 16(p - a)2(p – b)2 = (1)

- Ta có : tan2 = = …= (2)

- Từ (1) và (2) suy ra tan = Do đó tanC = = … = đpcm

37) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và các đường trung tuyến tương ứng :ma,mb,mc .Chứng minh rằng ABC đều nếu ta có : = =

Hd : (41.166-D01)

Dùng công thức trung tuyến: ma2 = - ,tính chất dãy tỷ số bằng nhau để giải bài toán này

-Ta có : m2a – m2b = … = suy ra (m2

a – m2b)(a2 – b2) 0 (ma – mb)(a – b) 0 (1)

- Nếu ma mb ,thì từ giả thiết : = = = 0 (2)

-Từ (1) và (2) suy ra : a = b Lập luận tương tự ,có b = c Vậy ABC đều

38) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và các góc thoả mãn :

Chứng minh ABC đều

Hd : (44.172-B2000)

-Bình phương hai vế của (1) ,làm gọn được : + 1 = + 1 … b = 2acossC sin(A-C) = 0 A = C a = c (3)

-Giả thiêt : … a = b (4) Từ (3) và (4) ABC đều

39) Chứng minh ABC bất kỳ ,với a,b,c là độ dài các cạnh , p là nửa chu vi Chứng minh rằng :

+ +

Hd : (45.174-B98)

-Chứng minh : + + Bình phương hai vế , được điều hiển nhiên

-Chứng minh : + + Thì áp dụng bđt BunhiaCopxky

Ta có : ( + + 2 3(p - a + p - b + p - c) = 3p

40) Tam giác ABC thoả mãn : = (*) Trong đó a,b,c là độ dài ba cạnh

p là nửa chu vi và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh ABC đều

Hd : (45.176-B01) -Dùng Đlý sin trong tam giác

*TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN 0985128747 GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

- Biến đổi (*) 9sinAsinBsinC = (sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA)(sinA+sinB+sinC) (1) -Áp dụng bđt Côsy : sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA 3 (2) -Ta lại có : sinA + sinB + sinC 3 (3) -Nhân hai bđt cùng chiều có các vế dương (2) và (3) được :

(sinA + sinB + sinC)(sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA) 9sinAsinBsinC (4)

Từ (1) và (4) suy ra : sinA = sinB = sinC , ABC đều Đây là đpcm

******************************************************************************** Trên đây là 40 bài toán Trong Tam giác-Đây là những bài đã thi Đại học từ 1997 đến 2008.Tôi đã biên tập, ghi lại ngắn gọn Hướng dẫn giải.Mong sao giúp các em học sinh ôn tập tốt mảng kiến thức này.Tất cả có 80 bài toán Trong tam giác đã thi từ 1997 đến 2008 tôi soạn thành hai phần :Phần I có

40 bài – Gửi lên Violet ngày 17 tháng 05/2009 Đây là 40 bài phần II.Bạn đồng nghiệp nào cần 40 bài phần I thì xin mời vào trang cá nhân Trần Đức Ngọc để download Xin mời các bạn ghé thăm

(Địa chỉ http://violet,vn/ducngoct/ )

TRẦN ĐỨC NGỌC - 0985128747 - YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN - GV TRƯỜNG THPH TÂN KỲ I NGHỆ AN

********************************************************************************