Một số vấn đề hình học cần chú ý khi giải bài tập toán lớp 9

Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10 số vấn đề hình học cần ý giải tập 1) TÍNH CHẤT GÓC NGOÀI CỦA TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG • • Tính chất : = + Chú ý tam giác CAB cân B ta có tính chất sau ( suy từ tính chất ) =2 =2 ( ta thường áp dụng tính chất xuất tam giác cân hình )  Đôi ta sử dụng góc để chứng minh tam giác tam giác cân Một số mô hình hay gặp • Tam giác vuông xuất trung diểm cạnh huyền • Chứng minh vấn đề góc toán đường tròn • Tam giác cân tạo từ bán kính đường tròn 2) TÍNH CHẤT PHÂN GIÁC TRONG VÀ PHÂN GIÁC NGOÀI ( ý tia phân giác phải tia vuông góc )( chứng minh đẳng thức liên quan điểm thẳng hàng ) AD, AE phân giác phân giác tam giác ABC Tính chất : ** BD.EC = EB.DC ( đoạn đoạn dài = tích đoạn bên ) ( = Page =) Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10 3) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG : ( chứng minh số vấn đề , tam giác đồng dạng, phương tích với đường tròn ) nhận biết tam giác vuông hệ thức lượng dạng đảo Tính chất  AB2=BH.BC AC2=CH.BC  AH2=BH.HC AH.BC =AB.AC  = Tính chất đảo : Nếu tam giác ABC có AH đường cao thỏa mãn điều kiện sau tam giác ABC vuông A  Nếu AB2=BH.BC AC2=CH.BC  AH2=BH.HC AH.BC =AB.AC ABC tam giác vuông A 4) CÁC MÔ HÌNH ĐỒNG DẠNG HAY GẶP CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG Mô hình 1( dạng mẹ bồng ) Page Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10 Tính chất : BDE đồng dạng BAC BD.BC= BE.BA Mô hình 2( đồng dạng kiểu hình ) Tính chất : ACF đồng dạng AEB có AF.AB = AE.AC Mô hình ( đồng dạng kiểu cánh bướm ) Tính chất : IAB đồng dạng IDC IA.IC=IB.ID 5) HAI MÔ HÌNH ĐỒNG DẠNG THƯỜNG GẶP DÙNG ĐỂ CHỨNG MINH CÁC VẤN ĐỀ HÌNH HỌC: Mô hình 1: tam giác đồng dạng chung đỉnh xuất diểm thẳng hàng từ cặp tam giác Page Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10 +)Tính chất : AB2= BC.BD ( tam giác ABC đồng dạng DBA) = +) Đảo lại : Muốn chứng minh = ta chứng minh AB2= BC.BD  Lưu ý : phương pháp chứng minh dùng để nhận biết tiếp tuyến đường tròn số toán đường tròn ( hình chứng minh BA tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD) Mô hình 2: Chứng minh cặp góc dựa vào tam giác đồng dạng kiểu mẹ bồng Hai tam giác đồng dạng có đỉnh chung, đỉnh lại tam giác nằm đoạn thẳng chứa cạnh tam giác lại Tính chất : 6) PHƯƠNG TÍCH ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ CÁC ỨNG DỤNG : **Nếu điểm M nằm đường tròn Tính chất :  MC.MD=ME.MF ( tích đoạn cát tuyến từ điểm )  MC.MD =MA2=MB2 ( tích đoạn cát tuyến từ điểm băng bình phương đoạn tiếp tuyến )  MC.MD = OM2-R2 ** Nếu điểm M nằm đường tròn Page Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10  Tính chất : MA MB= MC.MD = R2-OM2 **Lưu ý quan trọng : 1)sử dụng phương tích xuất cắt dây cung đường tròn 2) sử dụng phương tích dùng để chứng minh tứ giác nội tiếp ( thông qua tam giác dồng dạng 7) PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG DẠNG THU NHỎ VÀ PHÓNG TO CỦA CẶP TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Khi chứng minh vấn đề hình học cần dồng dạng mà có yếu tố trung diểm xuất ta nghĩ đến việc phóng to tam giác cần chứng minh dồng dạng lên thành tam giác gấp dôi ngược lại thu nhỏ tam giác cần chứng minh thành tam giác nửa Tính chất : +)ABC đồng dạng A1B1C1 +) ABC đồng dạng A1B1C1 Nguyên tắc: giữ lại đỉnh tam giác cũ thay thành trung diểm cạnh tương ứng ngược lại Page Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10 8… KHAI THÁC TỈ SÔ DIỆN TÍCH TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG (TỈ SỐ DIỆN TÍCH VÀ QUAN HỆ VỚI TỈ LỆ ĐOẠN THẲNG) Tính chất : 9) MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SỰ BẢO TOÀN CÁC YẾU TỐ ( GÓC, CẠNH,…) CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Nếu A,B đối xứng qua trục MN 10) ChỨNG MINH VUÔNG GÓC THÔNG QUA CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP Page Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10 +) BD vuông góc DC +) BD vuông DC 11) Đường thẳng Sim sơn Steiner ( chứng minh điểm thẳng hàng ) Đường thẳng Sim sơn Tính chất : ABC nội tiếp đường tròn, M thuộc đường tròn , P,Q,K hình chiếu vuông góc M lên cạnh AB,BC,CA Khi P,Q,K thẳng hàng ( đường thẳng qua P,Q,K gọi đường thẳng sim sơn tam giác ABC) Chứng minh BQMP nội tiếp MCKQ nội tiếp nên = Đường thẳng Steiner Page Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10 Tính chất : M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , gọi N, P, Q đối xứng với M qua AB,BC,CA gọi H trực tâm tam giác ABC Khi điểm N,P,H,Q thẳng hàng ( nằm đường thẳng Steiner tam giác ABC ) Chứng minh : dựa vào tính chất thẳng hàng toán định lý Sim sơn nên N,P,Q thẳng hàng , Để ý tứ giác AHBN nội tiếp AHCQ nội tiếp từ 12) ĐƯỜNG TRÒN Ơ LE ( ĐƯỜNG TRÒN ĐIỂM ) Tính chất : điểm gồm trung điểm cạnh( điểm M,N,P) , chân đường cao (D,E,F) , trung điểm đoạn nối trực tâm đỉnh (A1 ,B1 C1 ) tam giác thuộc đường tròn với đường kính A1M, B1N ,C1P **Bài toán hay gặp: Bài toán1) ***Chứng minh điểm ( chân đường cao trung điểm cạnh tam giác lập thành tứ giác nội tiếp : ví dụ DMEF, DFEN nội tiếp Page Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10 Chứng minh : Ví dụ DMEF nội tiếp ( tứ giác chứng minh tương tự ) Dễ có DH phân giác góc FDE nên Bài toán 2) Chứng minh A1M vuông góc EF Chứng minh nên A1M đường trung trực EF nên có đpcm 13) Một số phương pháp nhận biết chứng minh tiếp tuyến đường tròn PP1: Chứng minh vuông góc cộng góc 90 độ PP2: Định lý đảo nhận biết tam giác vuông hệ thức lượng : H chân đường cao hạ từ A xuống OM ( tam giác OAM vuông A OA2=OH.OM ) PP3: Sử dụng tính chất phương tích định lý đảo quan hệ góc tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp tuyến Page Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10 MA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A 14) Một số bổ đề đường cao, tâm đường tròn ngoại tiếp nhận biết chứng minh trực tâm tam giác : Tính chất  H trực tâm tam giác ABC ( ( Phương pháp dùng để nhận biết chứng minh nhanh điểm trực tâm     tam giác) H trực tâm tam giác ABC chân đường cao ) H trực tâm ABC OA vuông góc EF ( bán kính A vuông góc đường nối chân đường cao từ B C) H,G,O thẳng hàng ( đường thẳng qua tâm ngoại, trực tâm trọng tâm tam giác đường thẳng Ơ le tam giác) AH =2OM ***MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC THÔNG DỤNG 1) Chứng minh đường thẳng vuông góc số vấn đề vuông góc ( tam giác vuông, tiếp tuyến đường tròn , trực tâm tam giác …… ) Page 10 Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10  Cộng góc 90 độ ( thường bắt cầu góc hình có thực cộng khéo léo ) a ⊥ b → a⊥c  b // c   Chuyển song song thành vuông góc :  Sử dụng định lý đảo đường trung tuyến tam giác vuông : ( định lý Pitago đảo )  Sử dụng tính chất điểm trực tâm tam giác ( Hai đường cao cắt điểm trực tâm , đường lại đường cao thứ 3) ( ý kiểm soát tính chất song song vuông góc đừng có mặt để dùng tính chất trực tâm )  Chứng minh tổng góc nhọn 90 độ ( để có tam giác vuông , thường ta sử dụng bắt cầu góc hình cộng lại)  Sử dụng hình tính tính chất số dạng hình chương trình ( Tính chất tam giác vuông , tam giác cân, tam giác , hình thang vuông , hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông ,…)( Xem lại lý thuyết hình học )  Sử dụng phương pháp bắt cầu góc : * Chú ý ta thường bắt cầu góc thông qua trường hợp số (2) số (3)  Sử dụng tính chất đường trung trực ( phát cặp đoạn thẳng nên nghĩ đến đường trung trực )  Sử dụng tính chất đường nối tâm đường tròn ( Xuất toán có từ đường tròn có tâm trở lên , tính chất đường nối tâm vuông góc dây cung chung đường tròn )  Sử dụng vuông góc tiếp tuyến đường tròn 2) Chứng minh hai đường song song vấn đề liên quan đến song song  Sử dụng hình tính số dạng hình học ( thường gặp tứ giác : Hình thang, hình bình hành , hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi )  Tính chất góc so le đồng vị để tạo song song ( ý bắt cầu góc thích hợp )  Chứng minh song song phương pháp gián tiếp ( sử dụng đường thẳng thứ ) a / / b 1)  → a//c b // c a ⊥ b 2)  → a / /c c ⊥ b     Sử dụng đính lý Talet đảo ( thường vận dụng hình xuất song song có cặp tam giác đồng dạng để thiết lập bắt cầu tỉ số )  Sử dụng tính chât đường trung bình hình thang, hình tam giác 3) Chứng minh góc  Sử dụng tam giác ( góc tương ứng nhau) góc tương ứng cặp tam giác đồng dạng  Chứng minh góc vị trí quen thuộc ( cặp góc đối đỉnh, cặp góc so le đồng vị hình thành từ hai đường thẳng song song ) Page 11 Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10  Sử dụng hình tính ( tính chất) số loại tam giác , tứ giác quen thuộc học ( tam giác cân,  tam giác vuông, tam giác đều, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông ) (**) Chứng minh góc phương pháp sử dụng góc thứ làm trung gian kiểu gián tiếp ( chứng minh góc phụ, bù với góc thứ chứng minh phụ,  bù với góc ) ( phương pháp vô quan trọng ) Nếu chứng minh góc đường tròn cần xem xét loại góc (góc nội tiếp, tạo tiếp tuyến dây cung , có đỉnh hay đường tròn áp dụng lý thuyết  cách phù hợp ) Phân tích góc thành tổng hiệu góc thích hợp ( chọn góc thuận lợi cho việc bắt cầu góc  xử lý ) từ chứng minh Sử dụng tính chất tia phân giác , tia phân giác góc ( ý tỷ số đường phân  giác để sử dụng định lý đảo nhận diện phân giác ) Sử dụng tỷ số lượng giác tương ứng để chứng minh góc ( ý góc nhọn nằm tam giác vuông ta thực phương pháp ) 4) Chứng minh đoạn thẳng số vấn đề liên quan  Chứng minh đoạn cạnh tương ứng tam giác  Chứng minh dựa vào tính chất số dạng tam giác , tứ giác học ( Tam giác cân , tam giác vuông, tam giác ,hình thang cân, hình bình hành , hình thoi, hình chữ nhật , hình vuông…… )  (**) Chứng minh cạnh gián tiếp ( bắt cầu cạnh thông qua sử dụng đoạn thẳng trung gian thứ 3) ( vô quan trọng )  Nếu chứng minh đoạn dây cung đường tròn ta chứng minh góc nội tiếp chắn cung tương ứng căng dây cung phải ( ý đến việc sử dụng cung bị chắn từ dây song song phải tính chất hình thang nội tiếp đường tròn hình thang cân )  Sử dụng định lý quen thuộc tam giác ( đường trung bình qua trung diểm cạnh song song cạnh thứ qua trung điểm cạnh thứ 3) , tính chất đường trung bình hình thang  ( Sử dụng tính chất cách đường trung trực ), ý tính chất đối xứng trục  (**) Phân tích đoạn thẳng cần chứng minh theo đoạn thẳng khác ( cộng, trừ, dùng Pitago ) sử dụng bắt cầu đoạn ) ( cần ý việc sử dụng linh hoạt hệ thức lượng tam giác vuông cặp tam giác đồng dạng có để lấy bình phương đoạn thẳng , đặc biệt ý công thức độ dài tiếp tuyến đường tròn )  Sử dụng tỉ số chia đoạn thẳng lập tỉ số để chứng minh ( sử dụng Talet , định lý phân giác toán xuất yếu tố song song ) 5) Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh đường đồng quy A.Chứng Minh Ba Điểm Thẳng Hàng  Phương pháp cộng góc 180 độ ( ý phân tích góc hợp lý, bắt cầu góc hình cách phân tích sử dụng kiến thức học, ý phân tích góc ( vai trò đường tròn….) , tính chất góc bù, góc phụ  (*)Vận dụng tiên đề Ơ Clit: ( qua điểm kẻ đường song song đường cho trước ) qua điểm không thuộc đường thẳng kẻ đường vuông góc với đường cho trước  (*)Chứng minh tia trùng ( chứng minh cặp góc đỉnh từ điểm để suy tia trùng )  Chứng minh cặp góc vị trí đối đỉnh ( hay sử dụng )  Sử dụng kỹ thuật hình ( kỹ thuật dùng dùng phương pháp khác giải ) Page 12 Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10 B) Chứng minh đường thẳng đồng quy  Dựa vào tính chất đường đồng quy đặc biệt tam giác ( đường trung tuyến, phân giác , đường cao , đường trung trực )  Chứng minh giao điểm đường thẳng nằm đường thẳng thứ 3( quy toán điểm thẳng hàng )  Chứng minh đường qua điểm cố định 6)       Chứng minh hệ thức đẳng thức hình học Sử dụng hệ thức tam giác vuông Sử dụng cặp tam giác đồng dạng để suy tính chất tỉ số tích đoạn thẳng Sử dụng công thức diện tích tam giác Tính chất phương tích , tính chất cát tuyến , công thức bình phương độ dài tiếp tuyến Định lượng ( tính toán vế) Sử dụng định lý Talet ( xuất song song ) , tính chất tỉ số đường phân giác phân giác tam giác MỤC lỤC DẠNH MỤC NỘI DUNG TTRANG 1.Tính chất góc tam giác ứng dụng Tính chất đường phân giác đường phân giác tam giác 3.Hệ thức lượng tam giác vuông ứng dụng hệ thức lượng đảo cm tam giác vuông Ba mô hình đồng dạng thường gặp hai tam giác vuông 2-3 5.Hai mô hình tam giác đồng dạng thường gặp chứng minh hình học 3-4 Phương tích điểm đường tròn ứng dụng 4-5 Phương pháp phóng to thu nhỏ tam giác đồng dạng ứng dụng Quan hệ tỉ số đoạn thẳng tỉ lệ diện tích tam giác Một số tính chất bảo toàn qua phép đối xứng trục 10 Chứng minh vuông góc thông qua chứng minh tứ giác nội tiếp 11 Đường thẳng Sim Sơn đường thẳng Steiner 7-8 Page 13 Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10 12 Đường tròn Ơ Le ( đường tròn điểm ) 13.Một số phương pháp nhận biết chứng minh tiếp tuyến 14 Một số bổ đề đường cao, tâm đường tròn ngoại tiếp ,nhận biết chứng minh trực tâm tam giác : 9-10 10 15 Phương pháp chứng minh vuông góc vấn đề liên quan 16 Phương pháp chứng minh đường song song ứng dụng 17.Phương pháp chứng minh góc 18 Phương pháp chứng minh đoạn thẳng 19.Phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy 20.Chứng minh hệ thức hình học 11 11-12 12 12 13 13 Page 14 ... thang vuông , hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông ,…)( Xem lại lý thuyết hình học )  Sử dụng phương pháp bắt cầu góc : * Chú ý ta thường bắt cầu góc thông qua trường hợp số (2) số (3)  Sử dụng... song  Sử dụng hình tính số dạng hình học ( thường gặp tứ giác : Hình thang, hình bình hành , hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi )  Tính chất góc so le đồng vị để tạo song song ( ý bắt cầu góc... ngược lại Page Ôn TẬP HÌNH HỌC THI TUYỂN SINH 10 8… KHAI THÁC TỈ SÔ DIỆN TÍCH TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG (TỈ SỐ DIỆN TÍCH VÀ QUAN HỆ VỚI TỈ LỆ ĐOẠN THẲNG) Tính chất : 9) MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SỰ BẢO TOÀN