TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c... TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c.[r]
(1)Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang
PhÇn 1: Ôn tập toán tam giác Phần Hình học
Buổi 1-2: tam giác -với toán tìm số đo góc
I/ Cơ sở lý thuyết
-Tổng góc tam giác 180O
- Trong tam giác vuông hai gãc nhän phô
- Trong tam giác vuông cạnh góc vng 1/2 cạnh huyền góc đối diện với
cạnh 30O
- Các tính chất góc tam giác cân, tam giác đều, cặp tam giác nhau, tính chất phân giác
II/ Một số toán
Bi 1: Gúc A tam giác ABC 75O Từ đỉnh A, người ta vẽ đường thẳng cắt
c¹nh BC M Đoạn thẳng AM với yếu tố tam giác tạo thành tam giác cân Tính góc B góc C tam gi¸c,
Hướng dẫn giải:
Từ giải thiết tốn ta có khẵng định sau:
a, Các tam giác AMB AMC không cân M không AM = MB = MC Suy tam giác ABC vuông A Trái giả thiết
b, Các tam giác AMB AMC không cân A không AM = AB = AC Suy A, B, C, M thuộc đường tròn tâm A, Trái giả thiết
c, Tam giác AMB cân B tam giác AMC cân C Vì không AB=AM AC=CM Suy AB+BC =BC tức không tồn tam giác ABC
Vậy: AMC cân M AMB cân A
Hoặc: AMC cân M AMB cân B
* Trường hợp ΔAMC cân M (AB<AC)và
ΔAMB cân A (Hình 1) Trên hình 1:
∠A2=∠C VËy ∠B=∠AMB = ∠A2+∠C =2∠C
Suy
∠C=(180O
-75O) : =35O Vµ ∠B=75O
* Trường hợp:ΔAMC cân M (AB<AC) ΔAMB cân B
Trên hình 2: A1=AMB = 2C
A=A1+A2 = 3∠C VËy ∠C=25
O vµ
∠B = 80O
Bài 2: Đường cao tam giác vuông Hạ xuống cạnh huyền chia cạnh huyền
thành hai đoạn mà hiệu hai đoạn hai cạnh góc vuông Tính gãc cđa tam gi¸c
Hướng dẫn giải:
Giả sử tam giác ABC vuông A Đường cao AH chia BC thành hai đoạn BH HC mà HC-HB=AB
Trên tia đối tia HB lấy D cho HD=HB Ta có DC=AB ΔADB tam giác cân A nên DA=BA tam giác ADC Là tam giác cân D
Suy ∠B= ∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C Suy 3∠C=90O
A
B M C
A
H×nh
B M C
H×nh
A
(2)Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang
Suy ∠C = 30O vµ
∠B=60O
Bài 3: Trong tam giác đường cao đường trung tuyến phát xuất từ đỉnh chia
góc đỉnh làm phần Tính góc tam giác
Hướng dẫn giải:
+ AMC tam giác cân (vì AH vừa đường cao,
vừa đường phân giác)
=> MH=HC Từ M kẻ MI vng góc với AB Từ tam giác AMI AMH ta có MH=MI Từ MI=1/2 MB
VËy ∠MBI = 30O
vµ ∠C= 60O
, ∠A=90O
Bài 4: Biết số đo góc đỉnh A tam giác cân ABC 100O M mọt điểm thuọc
miền tam giác với∠MBC=10O, ∠MCB=20O Tính góc AMB? Hướng dẫn giải
Từ giả thiết đề ta có: ∠ABC=∠ACB=40O
suy BC > CA Trªn tia CA lÊy E cho CE=CB DÔ suy
MBC=MCE => ME=MB MEC = 10O
Mặt kh¸c
ΔBCE cân C với góc đỉnh C 40O=>
∠CEB=70O
=> ∠MEB=60O tam giỏc MEB u
Mặt khác dể thấy BA phân giác EBM=> EBA=MBA
=>AMB = AEB = 70O
III/ Bµi tËp vỊ nhµ
Bài 1: Biết góc đáy tam giác cân ∠A=∠C=80O
Từ A C người ta kễ
các đường thẳng cắt cạnh đối diện D E cho ∠CAD=60O
, ∠ACE=50O
TÝnh ∠ADE?
Bài 2: Trong tam giác ABC cân C Kẻ trung tuyến CM phân giác AD Tính góc tam giác, biết độ dài đường phân giác AD gấp đôi độ dài đường trung tuyến CM
Bài 3: Trong tam giác ABC biết đườgn cao hạ từ A B xuống cạnh đối diện không nhỏ cạnh đối diện Tính góc tam giác
Bi 3-4: Tam giác với toán đoạn thẳng
I/ C¬ së lý thuyÕt
- Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng
- Quan hƯ vỊ c¸c u tè tam gi¸c, Quan hƯ đường vuông góc đường xiên
- Quan hệ cặp cạnh tương ứng hai tam giác bng
II/ Một số toán
Bài 1: Từ trung điểm D cạnh BC tam giác, người ta kẻ đường vng góc với phân giác góc A Đường thẳng cắt đường thẳng AB AC tại M Và N Chứng minh rằng: a, BM=CN b, Tính AM BM theo AC=b Ab=c
Hướng dn gii
a, Từ B kẻ BE//AC cắt MN t¹i E
Khi ΔDBE=ΔDCN (g.c.g) =>BE=CN
Dễ cm MBE cân B =>BM=CN(=BE)
A
I
B M H C
E
A
M
B C
A
B
D N
M E
(3)Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang
b, Ta có AM=AB+BM AN=AC- CN, mặt khác AM=AN BM=CN=>2AM=AB+AC
Hay AM = (AB+AC):2=> AM=(b+c):2 NÕu AB<AC th× BM=AM-AB = (b+c):2- c NÕu AB>AC th× BM=AB-AM = c - (b+c):2
Bài 2: Gọi a,b,c cạnh tam giác có đường cao tương ứng ha,
hb, hc Chøng minh r»ng: 2 2 2
2 ) (
c b a h h h c b a + + +
+ ≥
Hướng dẫn giải:
Vẽ tam giác ABC có cạnh AB = c; AC = b; BC=a với đường cao
tương ứng ha, hb, hc
KÏ Cx//BA
Gọi E điểm đối xứng A qua Cx Theo Pitago ta có
AB2+ AE2 = BE2 ≤ (BC+CE)2
⇒ c2+4hc
2 ≤ (a+b)2
⇒ 4hc
2 ≤(a+b)2
- c2 (1) Tương tự ta có:
4ha
2 ≤(c+b)2
- a2 (2)
4hb
2 ≤(a+c)2
- b2 (3)
Tõ (1), (2), (3) Ta cã: 4(ha
2
+ hb
2
+hc
2
)(a+b+c)2
Suy điều cần chứng minh
2 2 ) ( c b a h h h c b a + + +
+ ≥
Bài 3: Cho tam giác ABC, mặt phẵng khơng chứa tia AC có bờ đường thẳng AB , người ta vẽ AD vuông góc với AB AD=AB mặt phẵng khơng chứa tia AB có bờ đường thẳng AC , người ta vẽ AE vng góc với AC AE=AC Gọi P,Q,M theo thứ tự trung điểm BD, CE, BC Chứng minh rằng:
a, BE=CD, BE vuông góc với CD
b, PQM tam giác vuông cân
Hng dn gii:
a, DAC=BAE (c.g.c) nên DE=BE AEB=ACD Gọi giao
®iĨm cđa BE víi CD vµ DC theo thø tù lµ I vµ N
khi tam giác vngANE ta có ∠ANE+∠AEN=90O
Trong tam gi¸c NIC INC+ICN= 90O Vậy NIC=90O
Hay DC vuông gãc víi BE
b, Theo tÝnh chÊt ®êng trung bình tam giác, ta có MP//DC MP=DC/2 , MQ//BE MQ=BE/2 Từ chứng minh ta có
MP=MQ MP MQ MQP vuông cân M
Bi 5-6: T a m g i ¸ c v i b i t o n c ự c t r ị
Bài 1: Cho hai điểm A B nằm hai phía đường thẳng a HÃy tìm a
một điểm M cho AM + MB ngắn
Giải: Nối A với B cắt a điểm M
D
E
A
P Q
I NN
M C B
A
M, M a
B
H×nh
A
c D
b
B E
a
(4)
Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang
Dễ dàng chứng minh điểm thỏa mãn toán Thật vậy, a lấy điểm M' khác điểm M
Ta thÊy r¾ng AM' +M'B ≥ AB =AM+MB
DÊu "=" x¶y M'≡M
Bài 2: Bạn Tú vị trí A cần đến bờ sơng để lấy nước đến vị trí B
(H×nh 2) Con đướng ngắn mà bạn Tú nên con đường nào?
Hng dn gii: (Hỡnh 2) * Lấy A' đối xứng với A qua a
* Nối A'B cắt a M điểm cần t×m
CM: Theo tính chất đỗi xứng trục ta có MA = MA'
=> AM + MB bÐ nhÊt AM' + MB bÐ nhÊt vµ chØ A', M, B thẳng hàng
Bi 3: Trờn mắt phẳng bờ đường thẳng a cho trước hai điểm A,B, a hẵy
tìm hai điểm M,N ( MN=d cho trước) cho AM + MN + NB bé
Hướng dẫn giải:
Lấy A' đối xứng với A qua a, Nối A'B cắt a M Trên A lấy MN=d (sao cho BN bé nhất) điểm MN im cn tỡm
Bài 4: cho hai đường thẳng a, b song song với cách khoảng không
i d Trờn na mt phng bờ a không chứa b lấy điểm A Trên mặt phẳng bờ b không chứa a lấy điểm B Hãy tìm a điểm M, b điểm N cho AM+MN+NB bé
( Hướng dẫn - Lấy A' đối xứng với A qua a Nối A'B cắt b N từ N dựng NM vng góc với a - M thuộc a- Các điểm M thuộc a, N thuộc b điểm cần tìm)
NÕu a,b kh«ng song song với ta có toán sau
Bài 5: Cho góc xOy điểm A cố định nằm góc Hãy tìm Ox, Oy
®iĨm M,N cho AM + MN + NA nhỏ
Từ toán ta có cách giải toán sau:
Bài 5': Cho tam giác nhọn ABC vµ
một điểm I cố định cnh BC tỡm trờn AB, AC
các điểm M, N cho chu vi tam giác IMN nhá nhÊt
Và không cố định điểm I cạnh BC ta có tốn khó sau:
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn tìm cạnh AB, AC, BC điểm M, N, I cho
Chu vị tam giác MNI nhỏ (M, N, I chân đường cao cđa tam gi¸c ABC B
A
a M N
A'
H×nh
B A
M a
A'
H×nh
C x
M O
A
N
(5)
Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang
Buổi 7,8: Ô n t Ë p t ỉ n g h ỵ p v Ò t a m g i ¸ c
Bài Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên tia đối tia BC, CB lấy theo
thứ tự điểm D E cho BD=CE
a, Chứng minh tam giác ADE tam giac cân
b, Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tia phân giác cđa gãc DAE c, Tõ B vµ C theo thứ tự kẻ BH CK theo thứ tự vuông gãc víi AD vµ AE Chøng minh: BH=CK
d, Chứng minh ba đường thẳng AM, BH CK gặp điểm Hướng dẫn giải 1:
a, ΔABC c©n ë A (gt) nên AB=AC = Suy = , BD = CE(gt)
ΔABD=ΔACE (c-g-c), AD=AE Vậy tam giác ADE cân A
b, ΔAMD=ΔAME (c-c-c), suy ra: = VËy AM lµ tia phân giác gốc DAE
c, ADE cân A (theo c©u a) =
ΔBHD=ΔCKE (cạnh huyền góc nhọn nhau) BH=DK d, Gọi giao điểm BH,CK O
Ta có ΔAHO=ΔAKO (cạnh huyền góc nhọn nhau), =
Nên AO tia phân giác góc DAE mặt khác theo câu b, AM phân giác góc DAE Vì AO trùng AM Vậy AM, BH, CK đồng quy
Bµi 2: Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm hai điểm A B Trên
nữa mặt phẳng bờ AB dựng tam giác ADC, BEC Gọi M,N trung điểm AE BD Chứng minh:
a, AE = BD,
b, Tam gáic MCN tam giác Hướng dẫn giải 2:
a, ∠ ACE = ∠ DCB = 1200
Δ ACE = Δ DCB (c-g-c), ú: AE = BD
b, Vì AE=BD, M trung điểm AE, N trung điểm BD, Δ ACE = Δ DCB (theo a,)
do đó: ∠MEC=∠NBC
ΔMEC=ΔNBC (c-g-c), suy CN=CM vµ
∠MCN = 600 suy Δ CMN tam giác u
Bài 3: Cho tam giác ABC Các tia phân giác gốc B C cắt I
Biết rằng: C=700 , BIC=1200 Tìm số đo góc tam giác ABC
Hướng dẫn giải 3:
ACB ABC
ABD ACE
A
H K
D B O
C E
MAD MAE
ADE AED
OAK OAE
E
D M
N
A C B
C
I
A B
(6)Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang
Ta cã ∠ACI = ∠ICB = 35O,
∠BIC = 120O
=> ∠IBC = 180O-120O-35O = 25O
Mặt khác BI phân giác góc B (I giao điểm phân giác tam gi¸c ABC)
=> ∠ B = 2∠IBC = 50O
=> ∠A = 180O - 70O - 50O = 60O
Bài Tam giác ABC vuông A có đường cao AH=12,6cm, BC=25,2cm
a, TÝnh (AB+AC)2 vµ (AB-AC)2
b, Tính BH, CH xác đến chữ số thập phân thứ Hướng dẫn giải
a, V× BC = 25,5 cm AH =12,6 cm nên BC=2AH Do tam giác ABC vuông
A, có AH =
2
BC nên H điểm BC Hay tam giác ABC tam giác vuông
cân Do AB=AC=
BC
Chøng tá: (AB+AC)2=(2AB)2 = 4AB2 = BC2
Tính máycho ta kết (AB+AC)2 = 1270,08
Do tam giác ABC cân A nên (AB-AC)2 =
b, Cũng tam giác ABC vuông cân đỉnh A nên BH=HC=HA=12,6cm Bài Cho tam giác ABC vuông B, cạnh BC=18,6cm; hai trung tuyến BM, CN
vu«ng gãc víi TÝnh CN
Hướng dẫn giải
KÝ hiÖu trọng tâm tam giác G Đặt BG=x, CG=y
Khi Êy ta cã x2 + y2 = BC2 vµ y2 +
2
2⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛ x =CM2
=AM2=BM2=
2
2
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x
Từ phương trình cuối suy y2=2x2 thay vào phương trỡnh u
ta 2x2+x2=3x2=BC2
Hay x2=
3
BC
suy y=
3 1
2
− =
− BC BC
BC =15.18683641
Do CD = 22,78025461
2
3
≈
= y
CG VËy CN 22,78025461 cm
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm M tam giác ta kỴ MI,
MJ, MK vng góc với BC, CA, AB Tìm vị trí M cho tổng MI2+ MJ2+ MK2 nhỏ
B
N
G
C
A M
A
B
H C
A
K J
M N
B I H C
(7)Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang
Hướng dẫn giải: Kẻ AH ⊥BC, MN ⊥ AH (N thuộc AH)
Theo Pitago ta cã: AM2=MK2+MJ2
=> MK2+MJ2 ≥ AN2 ( AM>AN)
=> MK2+MJ2 +MI2 ≥ AN2+NH2
=> MK2+MJ2 +MI2 ≥
2 NH)
(AN
+
=> MK2+MJ2 +MI2 ≥
2 (AH)2
DÊu "=" x·y M≡N Hay M thuéc ®êng cao AH VËy Khi M thuéc ®êng cao AH
th× MK2+MJ2 +MI2 nhá nhÊt
Bài 7: Cho tam giác ABC, M điểm thuộc cạnh BC Gi D,E theo th
tự hình chiếu M lên AC, AB Kẽ BHAC H MQBH t¹i Q a, TÝnh ∠DME
b, Chøng minh r»ng: BD=MQ
c, Gäi I, N, K theo thứ tự hình chiếu D, H, E lªn BC chøng minh r»ng: BI=KN
d, Chứng minh rằng: Khi M di chuyển cạnh BC IK có độ dài khơng đổi
Hướng dẫn giải:
a, ∠DME = 90O + 30O = 120O
b, ΔMQB = ΔBDM (C¹nh hun - gãc nhän) ⇒MQ=BD
c, EJ⊥KH
ΔHEJ=ΔDIB (C¹nh hun - góc nhọn)
EJ = IB Mặt khác EJ=NK (tính chất đoạn chắn) IB=NK
d, B c nh suy H cố định suy N cố định ⇒ BN cố định
BN = IK suy IK có độ dài khơng đổi
Bài 9: Cho Tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC , G điểm thuộc cạnh AB cho AG=1/3AB, E chân đường vng góc hạ từ M xuống CG Các đường thẳng MG AC cắt D So sánh độ dài DE BC
Hướng dẫn giải:
A
H
E J D
C K N M I B
