SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN 10- THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) a Tìm tập xác định hàm số y b Chứng minh hàm số y Câu (1,5 điểm) Giải phương trình 2016 x 2017 x 3x nghịch biến tập xác định x2 3x 1 x x Câu (1,0 điểm) Tìm tham số m để hàm số y x 2mx m có tập xác định x 1 đoạn có độ dài y x3 3x y 16 y x 11 Câu (1,5 điểm) Giải hệ phương trình ( y 2) x ( x 9) y x x y Câu (3,0 điểm) a Cho tam giác ABC với cạnh tương ứng BC a, CA b, AB c Chứng minh sin A sin B 2sin C tam giác ABC vuông 2cos B cos C b Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I trung điểm AC M điểm thỏa mãn OM 2OA OB 2OC Biết OM vuông góc với BI AC 3BC.BA ABC Tính góc c Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có góc ACB tù Hai điểm D(4;1), E(2; 1) chân đường cao kẻ từ đỉnh A B tam giác ABC Trung điểm cạnh AB điểm N (1; 2) , trung điểm cạnh AC điểm M nằm đường thẳng có phương trình x y Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết điểm M có hoành độ lớn Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b 0, a c 0, b c Chứng minh a b c ab bc ca bc ca a b a b c HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… ……….….…… ; Số báo danh:…………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 (Đáp án có 04 trang) ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 10 - THPT I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Câu 5c học sinh không vẽ hình vẽ hình sai không cho điểm II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm a (1,0 điểm) x 2017 Điều kiện xác định: x 3x x 2017 x x Vậy tập xác định hàm số D (;0) (3;2017) (2017; ) b (1,0 điểm) Tập xác định hàm số D (2; ) Với giá trị x1 , x2 (2; ), x1 x2 ta có f ( x2 ) f ( x1 ) 0,25 0,5 0,25 0,25 x x2 1 x2 x1 x1 x2 0,25 f ( x2 ) f ( x1 ) x1 x2 1 0 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Vậy hàm số nghịch biến D (2; ) (1,5 điểm) ĐKXĐ: x Khi phương trình trở thành 0,25 0,25 0,25 3x 1 x x 3x 3x 1 3x ( x 2)(2 x 7) 3x 1 ( x 2)(2 x 7) x 4(3x 1) x 3x 14 x x 18 x Kết hợp điều kiện, suy phương trình có nghiệm x (1,0 điểm) Điều kiện xác định: x2 2mx m (*) Hàm số cho có tập xác định đoạn có độ dài bpt (*) có tập nghiệm đoạn có độ dài Vì bpt (*) có hệ số a 1 nên tập nghiệm (*) đoạn có độ dài phương trình x2 2mx m có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 x2 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 m2 m ' Ycbt x1 x2 m m 3 m 1 29 m m m m 29 m 1 29 1 29 Vậy giá trị m m , m 2 (1,5 điểm) x40 x 4 Điều kiện: 2 y x 2 y x 0,25 0,25 0,5 Phương trình thứ tương đương ( y 2)3 4( y 2) ( x 1)3 4( x 1) 2 y x 1 y 2 y 2 x 1 x 1 4 y x 1 Thế vào phương trình thứ hai ta ( x 3) x ( x 9) x 11 x2 x 10 ( x 3)( x 3) ( x 9)( x 11 4) x x 35 x 3 x 9 ( x 5) ( x 7) (*) x x 11 x 3 x4 x 9 x 10 Từ x 4 , nên ; suy 2 x 11 x 3 x 3 x 9 x x 10 ( x 7) ( x 7) 2 x 3 x 11 Do (*) x Với x y Vậy hệ có nghiệm ( x; y) (5;6) a (1,0 điểm) Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a b Áp dụng định lý Sin, Cosin tam giác ABC ta có sin A ; sin B ; 2R 2R a c b2 a b2 c c ; cos C sin C ; cos B 2ac 2ab 2R sin B 2sin C b 2c a Khi sin A a c b2 a b2 c 2cos B cos C ac 2ab 2 2 2a b 2c b 2b b c ca c (2b c)(a b2 c ) a2 b2 c2 a2 b2 c2 Vậy tam giác ABC vuông A b (1,0 điểm) Ta có OM BI 2OM BI (2OA OB 2OC )( BA BC ) 5OB BA BC BA BC 5OB.BA 5OB.BC BA BC Gọi H , K tương ứng trung điểm đoạn AB, BC Khi 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 5OB.BA 5OB.BC BA BC OH HB BA OK KB BC BA BC 5 BA2 BC BA2 BC 2.2 BA.BC 2 BA BC 2. AB BC AC AC ( AB BC ) 2 4 AC AC 2 2 BA BC AC Do cos ABC 3 , suy ABC 60 2.BA.BC AC c (1,0 điểm) 0,25 A N B M C D E Do ADEB nội tiếp nên (1) AED ABD Tam giác ABD vuông D , suy BND cân N ABD BDN (2) DNM (so le trong) Lại có BDN (3) Từ (1), (2), (3) suy MND MED MDEN nội tiếp đường tròn Gọi phương trình đường tròn qua bốn điểm M , D, E, N có dạng x2 y 2ax 2by c ( a b2 c ) Vì D(4;1), E(2; 1) , N (1; 2) thuộc đường tròn, ta có: a 16 1 8a 2b c (thoả mãn) 1 4a 2b c b 2a 4b c c Vậy phương trình đường tròn qua M , D, E, N là: x2 y x y x ; y 1 2x y Tọa độ điểm M nghiệm hệ 2 2 x y x y x ; y 0,25 0,25 7 Do M có hoành độ lớn 3, nên M ; 2 Phương trình đường thẳng AC : y x Đặt A(t; 2t 5) , ta có NA NE t AB (t 1)2 (2t 7) 10 t Với t A(2; 1) E (loại) Với t A(4;3), suy B(2;1) C (3;1) Thử lại CA (1;2), CB (5;0) CACB 5 C 90 (thoả mãn) Vậy A(4;3) , B(2;1) , C (3;1) (1,0 điểm) Không tính tổng quát, giả sử a b c, a ab b2 ac c2 a c bc a b b c ab b Thật ab(b c) b2 (a c) bc(a b) (Đúng) a c bc ac c2 Tương tự chứng minh a b b c 0,25 0,25 Ta chứng minh: Khi Vậy b c bc ab ac b2 c2 bc ca a b a a c a b bc bc 0,25 0,25 a(b c) bc a b c ab bc ca bc a bc ca a b a b c a b c a (b c) a b c a(b c) a b c a(b c) 2 (Do bc ) a b c a(b c) a(b c) a b c bc Dấu đẳng thức xảy a (b c) a(b c) a b c 3 Hệ có vô số nghiệm, chẳng hạn c 0, b 1, a Vậy bất đẳng thức chứng minh HẾT - 0,25 0,25 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 (Đáp án có 04 trang) ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 10 - THPT I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách... Điểm a (1,0 điểm) x 2017 Điều kiện xác định: x 3x x 2017 x x Vậy tập xác định hàm số D (;0) (3 ;2017) (2017; ) b (1,0 điểm) Tập... x 9) x 11 x2 x 10 ( x 3)( x 3) ( x 9)( x 11 4) x x 35 x 3 x 9 ( x 5) ( x 7) (*) x x 11 x 3 x4 x 9 x 10 Từ x 4 , nên ; suy