Bộ Đề thi HSG Toán-Tỉnh Vĩnh Phúc

Thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh PhúcThời gian làm bài 150 phút.. Thi học sinh giỏi Tỉnh Vĩnh PhúcThời gian làm bài 150 phút.. Thi học sinh giỏi Tỉnh Vĩnh PhúcThời gian làm bài 150

Trang 1

( Thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc)

Thời gian làm bài 150 phút.

Câu 1 Giải hệ phương trình 

4

0 ) (

9

3 3 3 3

y x y

x

y x y

x

Câu 2

a.Xác định các giá trị nguyên x,y nghiệm đúng phương trình:

0 ) 1 ( ) 1

x    và tổng : x+y+z+t là số nguyên tố

Câu 3. a Tìm các số thưc dương x,y thoả mãn đẳng thức :

) 1 2 1 2 (

2 4 1

b Phương trình ẩn x: x 2 +(A 2 -3)x+B=0 có 2 nghiệm dương cùng không lớn hơn

2 Xác định A và B để tổng các bình phương của 2 nghiệm đó đạt giá trị lớn nhất

Câu 4 Giả sử các đường tròn có tâm lần lượt là O 1 , O 2 cắt nhau tại E và F Đường thẳng O 1 O 2 cắt (O 1 ) tại A và C cắt (O 2 ) tại B và D sắp thứ tự A,B,C,D Hai đường thẳng EF ,O 1 O 2 cắt nhau tại H, gọi P là điểm tùy ý trên đoạn HE ( P không trùng H,E)

đường CP cắt (O 1 ) tại M Đường thẳng BD cắt (O 2 ) tại N.

a Chứng minh rằng:

HC

HD HB

HA



b Chứng minh rằng AM, EF, PN đồng quy

a | MN-BC| +|MB-NC|≥2|MC-NB|.

Trang 2

(Thi học sinh giỏi Tỉnh Vĩnh Phúc)

Thời gian làm bài 150 phút.

Câu 1

a Giải phương trình: x23 x285 |x|

b Giải hệ phương trình: 

3

0 12 9

12 8

2

2 3

xy x

x y

y x x

Câu 2

a Chứng minh đẳng thưc: 1 2 +2 2 +3 2 + +n 2 =n(n1 )( 6 2n1 )

b Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất n>1 sao cho:

n

n2 2

1 2 2 2 1

2 16 2 4 4

x x x

nghiệm của phương trình bậc hai ẩn x: x 2 +(a 2 +3a-4)x-4=0 Tìm các giá trị của tham số

a khi biểu thức A nhận giá trị nhỏ nhất.

Câu 4. Cho đường tròn (C) đi qua đỉnh C của tam giác ABC và tiếp xúc với đường

thẳng AB tại B Đường tròn (C) cắt cạnh AC và trung tuyến CM ( M  AB ) của ∆ ABC lần lượt tại D và E ( D, E không trùng với C) Tiếp tuyến tại C và E của đường

tròn (C) cắt nhau tại F Chứng minh rằng nếu ba điểm B, D, E thẳng hàng thì:

a

EB CB

ED CD FB

Trang 3

( Thi học sinh giỏi Tỉnh Vĩnh Phúc)

Câu 1 ( 3 điểm ) Cho hệ phương trình với tham số a:

|

| y

| 4

x

a) Giải hệ phương trình khi a=-2.

b) Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình có đúng 2 nghiêm.

Câu 2 ( 2 điểm )

a) Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn x+y+z=1 Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức: A= -z 2 +z(y+1)+xy.

b)Cho tứ giác ABCD (Hai cạnh AB và AD có cùng độ dài )nội tiếp đường tròn bán

kính 1 Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính r thì r ≤ 2 2

Câu 3 ( 2 điểm )

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình 499(1997 n +1)=x 2 +x có nghiệm nguyên.

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho tam giác ABC vuông (AC  BC) Đường tròn (C ) đường kính CD cắt cạnh

AC và BC lần lượt tại E và F ( D là hình chiếu vuông góc của C lên AB) Gọi M là giao

điểm thứ hai của đường thẳng BE với đường tròn (C ), hai đường thẳng AC và MF cắt nhau tại K, giao điểm của đường thẳng EF và BK là P.

a) Chứng minh 4 điểm B, M, F, P cùng thuộc một đường tròn.

b) Giả sử ba điểm D, M, P thẳng hàng Tính số đo góc Â của tam giác ABC c) Giả sử ba điểm D, M, P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD Chứng minh rằng CM vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MFP.

Trang 4

( Thi học sinh giỏi Tỉnh Vĩnh Phúc)

Câu 1 Cho phương trình: x 2 -x-a=0 ( a là tham số).

a Gọi x 1 , x 2 là nghiệm thực dương của phương trình Tìm giá trị lớn nhất của

2 1

1 1 1

x

x x

b Tìm giá trị nguyên của a để phương trình có và chỉ có nghiệm hữu tỷ.

c Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để phương trình có ngiệm x 1 , x 2 thoả mãn: 1 4  1 4 2 4 6

1

3 2

2 2

3

Câu 2

a Tìm tất cả (x, y) thực thoả mãn: x 5 -y 5 =x 3 -y 3 =x-y.

b Giải phương trình ẩn x, y, z: (x 2 +1)(y 2 +3)(z 2 +27)=72xyz.

Câu 3. Cho ∆ A 1 A 2 A 3 và các đường tròn (O 1 ), (O 2 ), (O 3 ) đôi một tiếp xúc với nhau, (O 1 ) đi qua A 2 , A 3 ; (O 2 ) đi qua A 3 , A 1 ; (O 3 ) đi qua A 1 , A 2 Biết rằng tam giác có đỉnh là

A 1 , A 2 , A 3 đồng dạng với tam giác có đỉnh là O 1 , O 2 , O 3 Hãy tính số đo các góc của tam giác A 1 A 2 A 3

Câu 4 Cho ∆ ABC có AC=b, BC=a, không đổi Trên cạnh AB về phía ngoài của tam giác dựng hình vuông ABDE Gọi O là tâm hình vuông M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC Tìm giá trị lớn nhất của tổng OM+ON khi góc ACB thay đổi.

========== ==========

Trang 5

(Thi học sinh giỏi Huyện Yên Lạc)

Câu 1 Cho A=

2

16 8 1

4 4 4

4

x x

x x x

1 7

2 1

1 3

y x y

y x x

Câu 4. Cho A, B thuộc đường tròn ( O), AB không là đường kính, C là trung điểm của cung nhỏ AB, F là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B; D, E lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến tại C với hai tiếp tuyến tại A và B Chứng minh rằng: S DEF >12

S ABC

Câu 5. Đường thẳng xy cố định và đường tròn cố định tâm O không cắt nhau Từ điểm A di động trên xy dựng hai tiếp tuyến AB và AC tiếp xúc với đường tròn tại B và C Chứng minh rằng BC đi qua điểm cố định khi A di động trên xy.

Trang 6

(Thi học sing giỏi huyện Yên Lạc)

x xy 1 xy

1 x : 1 1 xy

x xy 1 xy

1 x

.

a Rút gọn A.

b Tính giá trị của A nếu: x= 4 7  4 7 ; y= 2  3

c Biết x+y=4 Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

c b a a

c c

b b

1

1    Chứng minh rằng S không phải là số tự nhiên.

Câu 4. Cho ∆ ABC cân tại A Biết BÂC=20 0 và AB=AC=b, BC=a Chứng minh rằng:

a 3 +b 3 =3ab 2

Câu 5. Cho đường kính AB của đường tròn và một điểm C nằm trên đường kính đó Tìm trên đường tròn các điểm E, F đối xứng với nhau qua AB sao cho AE  CF.

========== ==========

Trang 7

(Tuyển sinh vào lớp 10 THPT )

a 2

0 4 y 2 x 3

Câu 2. Cho phương trình: x 2 -2x-1=0.

a Hãy giải phương trình.

b Gọi hai nghiệm của phương trình là x 1 , x 2 Tính: (x 1 -x 2 ) 4

Câu 3. Một ôtô du lịch đi từ A đến C; cùng lúc đó, từ địa điểm B nằm trên đoạn đường AC có một ôtô vận tải cùng đi đến C Sau 6 giờ ôtô du lịch và ôtô vận tải cùng tới C Hỏi ôtô du lịch đi từ A đến B mất bao lâu biết vận tốc ôtô tải bằng 5/6 vận tốc ôtô du lịch?.

Câu 4. Trên đường tròn (O; R) lấy hai điểm A, B sao cho AB<2R Gọi giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, B là P Qua A, B kẻ các dây AC, BD song song với nhau, gọi giao điểm của các đây AD, BC là Q.

a Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp.

b Chứng minh PQ//AC.

Câu 5. Biết rằng: y 2 +xy+z 2 +1- 3 2 x 2

Chứng minh rằng:  2 xyz 2

========== ==========

Trang 8

_

Câu 1

a Tìm tập xác định của các hàm số sau: y  2 x 1 ;

5 x

2 x y

1 x 2 2 x

3 x 6 x 5 x

9 x 2

x 1 y

.

Câu 2. Cho phương trình ẩn x: x 2 -2(m+1)x+n+2=0.

a Tìm giá trị của m, n để phương trình có nghiệm là 3 và -2.

b Cho m=0, tìm các giá trị nguyên của n để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn:

 là một số nguên.

Câu 3. Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 132 lít Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi lấy lượng nước đó đổ vào hai bình kia thì:

Hoặc bình thứ ba đây nước, còn bình thứ hai chỉ được một nửa bình.

Hoặc bình thứ hai đây nước, còn bình thứ ba chỉ được một phần ba bình (Coi

như trong quá trình đẩy nước từ bình này sang bình khác lượng nước hao phí bằng không).

Hãy tính thể tích mỗi bình.

Câu 4. Cho hình thang ABCD Có hai đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đường tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại điểm I Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại B và D cắt nhau tại điểm K.

a Chứng minh các tứ gíac OBID, OBKD là các tứ giác nội tiếp.

b Chứng minh IK//BC.

c Hình thang ABCD phải thoả mãn điều gì để tứ giác AIKD là hình bình hành.

Trang 9

(Tuyển sinh vào lớp 10 THP)

1 : 1 x x

2 x

x x x

0 2 y

x 2

( m là tham số ).

a Giải hệ phương trình với m=-4.

b Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt (x 1 , y 1 ); (x 2 , y 2 ) thoả mãn : x 1 x 2 +y 1 y 2 >0.

Câu 3. Ba ôtô chở 100 tấn hàng hết tổng cộng 40 chuyến Số chuyến xe thứ nhất chở gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai Mỗi chuyến xe thứ nhất chở 2 tấn, xe thứ hai chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở 3 tấn Tính xem mỗi ôtô chở bao nhiêu chuyến.

Câu 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB ; điểm C cố định trên OA ( C không

trùng với O, A), điểm M di động trên đường tròn, tại M vẽ đường thẳng vuông góc với

MC cắt các tiếp tuyến kẻ từ A và B lần lượt tại D và E.

a Chứng minh tam giác DCE vuông.

b Chứng minh tích AD.BE không đổi.

c Tìm vị chí điểm M sao cho diện tích tứ giác ABDE nhỏ nhất.

========== ==========

Trang 10

_

Câu 1. Cho các biểu thức: a= ;

6 2 5

25

6 2 5

25

 P= x y xy y x ; với x>0, y>0.

a Tính a+b.

b Rút gọn biểu thức P.

c Tính giá trị biểu thức P khi thay x bằng biểu thức a, thay y bằng biểu thức b.

Câu 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x: x 2 +(2m+1)x+m 2 +3m=0.

a Giải phương trình với m=0.

b Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

c Xác định m để phương trình có một nghiệp bằng 2 và tổng các bình phương các nghiệm lớn nhất.

Câu 3. Một ca nô ngược dòng từ A đến B với vận tốc 20km/h, sau đó lại xuôi từ bến

B trở về bến A Thời gian ca nô ngược dòng từ A đến B nhiều hơn ca nô xuôi dòng từ

B trở về A là 2 giờ 40 phút Tình khoảng cách giữa hai bến A và B biết vận tốc của dòng nước lá 5km/h, vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng bằng nhau.

Câu 4. Cho tứ giác ABCD ( AB//CD) nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến tại A và tại

D của đường tròn (O) cắt nhau tại E Gọi I là giao điểm của AC và BD Chứng minh:

a

2

1 B

A ˆ

C  AÔD.

b Tứ giác AEDO nội tiếp.

c EI//AB.

Trang 11

0 1 y 3 x 5

Câu 2 Cho phương trình: x 2 -3x-2=0.

a Giải hệ phương trình.

b Gọi hai nghiệm của phương trình là x 1 , x 2 Tính: x x 4

2

4

1 

Câu 3 Một người đi xe máy từ A tới B Cùng một lúc người khác cũng đi xe máy từ

B tới A với vận tốc bằng 4/5 vận tốc của người thứ nhất Sau hai giờ hai người gặp nhau Hỏi mỗi người đi hết cả quãng đường hết bao nhiêu lâu.

Câu 4. Trên đường tròn (O; R), đường kính AB, lấy điểm M sao cho MA>MB Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và B cắt nhau tại P Các đường thẳng AB, MP cắt nhau tại Q; các đường thẳng AM, OM cắt đường thẳng BP lần lượt tại R, S Chứng minh rằng:

a Tứ giác AMPO là hình thang.

b MB//SQ.

Câu 5. Cho ba số dương a, b,c thoả mãn điều kiện: a 2 +b 2 +c 2 =1 Chứng minh rằng: a+b+c+ab+bc+ca≤1+ 3

========== ==========

Trang 12

(Tuyển sinh vào lớp 10 THPT)

_

Câu 1. Cho hàm số bậc nhất y=(m 2 +1)x-1.

a Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao ?

b Chứng tỏ hàm số đã cho luôn đi qua điểm cố định (x 0 ;y 0 ) với mọi giá trị của tham số m.

c Biết rằng điểm (1 ;1) thuộc hàm số đã cho Xác định tham số m và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị tìm được của m.

Câu 2 Cho hệ phương trình ẩn x, y :

1 5 2 x 3

n y 1 2 2 x 1

a Giải hệ phương trình khi n=1.

b Với giá trị nào của tham số n thì hệ vô nghiệm.

Câu 3 Tìm hai số biết rằng tổng hai số đó bằng 17 đơn vị Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị.

Câu 4. Cho ∆ABC cân ( AB=AC, B ˆ  45 0 ), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại B và C Trên cung nhỏ BC lấy điểm M ( M không trùng với B và C) rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB.

a Chỉ ra cách dựng đường tròn (O).

b Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp.

c Gọi P là giao điểm của MB và IK ; Q là giao điểm của MC và IH Chứng minh PQ MI.

========== ==========

Trang 13

_

a Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến ? Giải thích ?.

b Biết rằng đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm A(1 ; 3) Tìm b và vẽ đồ thị của hàm số (1).

Câu 2. Cho biểu thức A= 1

1 a

1 1 a

a Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A.

b Tìm các số nguyên tố a để giá trị của biểu thức A là số nguyên.

Câu 3. Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100m 2 Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2m và giảm chiều dài thửa ruộng 5m thì diện tích thửa ruộng tăng thêm 5m 2

Câu 4. Cho đường tròn tâm O Từ điểm P ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến phân

biệt PA, PC ( A, C là các tiếp điểm) với đường tròn tâm O.

a Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b Tia AO cắt đường tròn (O) tại B; đường thẳng qua P song song với AB cắt

BC tại D Tứ giác AODP là hình gì ?

c Gọi I là giao điểm của PC và DO; K là trung điểm của AD Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

========== ==========

Trang 14

5 y 3 x 2

Câu 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x: x 2 +2mx-2m-3=0 (1)

a Giải phương trình (1) với m= -1.

b Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

c Tìm nghiệm của phương trình (1) khi tổng bình phương các nghiệm đó nhận giá trị nhỏ nhất.

Câu 3 Cho ∆ ABC vuông ở A, trên đoạn AC lấy điểm D ( D không trùng với các

điểm A và C) Đường tròn đường kính DC cắt BC tại điểm thứ hai E; đường thẳng BD

cắt đường tròn đường kính DC tại điểm F ( F không trùng với D) Chứng minh:

a Tam giác ABC đồng dạng với tam giá EDC.

b Tứ giác ABCF nội tiếp đường tròn.

c AC là tia phân giác của góc EAF.

Câu 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

(y 2 +4)(x 2 +y 2 )=8xy 2

========== ==========

Trang 15

1 4 x

Câu 3. Cho phương trình: 2x 2 -5x+1=0.

Tính: x 1 x 2 x 2 x 1 ( x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình).

Câu 4 Cho hai đường tròn (O 1 ), (O 2 ) cắt nhau tại A và B, Tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O 1 ), (O 2 ) về phía nửa mặt phẳng bờ O 1 O 2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O 1 ), (O 2 ) thứ tự tại

C, D Đường thẳng CE cắt đường thẳng DF tại I.

a Chứng minh IA  CD.

b Chứng minh tứ giác IEBF nội tiếp.

c Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF.

Câu 5. Tìm số nguyên m để m 2 m 23



 là số hữu tỷ.

========== ==========

Trang 16

_

Câu 1

a Cho x= 3 5  3 5 :

1) Tính: x 2 2) Tính: x.

b Cho phương trình: -2x 2 +3x+1=0 có hai nghiệm là x 1 , x 2

1) Không giải phương trình hãy tính: 3

x

2

2 1

x

là hai nghiệm.

a Chứng minh :

1) Hàm số đồng biến với mọi x ( ; 0 ) 2) Nếu ( x 0 , y 0 ) thuộc đồ thị (P) thì N’(-x 0 , y 0 ) cũng thuộc đồ thị (P).

b Tìm k để đường thẳng y= kx+2 (d) tiếp xúc với đồ thị (P).

Câu 3. Hai thành phố A và B cách nhau 120km Một Ôtô khởi hành lúc 7 giờ từ thành phố A đến thành phố B, đi được 2/3 quảng đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa mất 20 phút rồi lại tiếp tục đi, nhưng với vận tốc chậm hơn 8km/h so với vận tốc ban đầu và ôtô đó đến thành phố B lúc 10 giờ Hỏi vận tốc ban đầu của ôtô và ôtô hỏng lúc mấy giờ.

Câu 4. Cho đoạn thẳng AB và một điểm P nằm giữa A và B Trên một nửa mặt phẳng bờ AB, kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho: ACP = BPD (1).

a Chứng minh: AC.PD=PB.CP.

b Chứng minh CPD=90 o

c Gọi M là hình chiếu của P trên CD Tìm tập hợp điểm M khi C và D di động trên Ax và By nhưng vẫn thoả mãn điệu kiện (1).

Trang 17

1 x 1 xy

x xy 1 : 1 xy 1

x xy 1 xy

1 x

1



 tìm giá trị lớn nhất của P.

Câu 2. Cho phương trình : (x+1) 4 -(m-1)(x+1) 2 -m 2 +m-1=0 (*).

a Giải phương trình với m= -1.

b Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với mọi giá trị của tham số m.

c Tìm các giá trị của m để: | x 1 |+|x 2 |=2.

Câu 3 Cho đường tròn (O; R), đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên đó một điểm P (AP>R) Từ điểm P kẻ PM tiếp xúc với đường tròn tại M.

a Tứ giác OBMP là hình gì? Tại sao?

b Cho AP=R 3 , Chứng minh ∆ AMP có trực tâm H nằm trên đường tròn (O;R).

c Chứng minh rằng khi P di động trên Ax (AP>R) thì trực tâm H của ∆ PAM chạy trên một cung tròn cố định.

d dựng hình chữ nhật PAON, chứng minh B, M, N thẳng hàng.

========== ==========

Trang 18

(Tuyển sinh vào lớp 10 THPT)

_

Câu 1. Viết các số liên tiếp : 111, 112, 113, …, 887, 888 Ta được một số A= 111112113…887888 Chứng minh rằng A chia hết cho 1998.

Câu 2. Giải phương trình : x 4 +(x-1)(x 2 -2x+2)=0.

Câu 3. Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 2 Chứng minh bất đẳng thức :

1 b a

c a

cắt hai đường thẳng AB và AC ở giao điểm thứ hai là M và N( Có thể trùng với A).

a Chứng minh rằng: BM=CN.

b Tìm tập hợp trung điểm K của MN.

c Xác định vị trí của đường tròn (C ) sao cho đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất.

Câu 5. Hình chữ nhật kích thước 3x4 được chia bởi các đường thẳng song song với các cạnh thành 12 hình vuông đơn vị Chứng minh rằng với 7 điểm bất kỳ nằm trong hình chữ nhật luôn có thể chọn ra hai điểm có khoảng cách không vượt quá 5 Chứng minh kết luận của bài toán vẫn còn đúng khi số điểm là 6 và không còn đúng khi số điểm là 5.

========== ==========

Định dạng
Số trang	37
Dung lượng	665 KB