S Ở GD&ĐT VĨNH PHÚC K Ỳ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2012 -2013 Đ Ề THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (3,0 đi ểm ). a) Tính tổng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2012 2013 S . b) Cho các s ố nguyên x và y th ỏa mãn 4 5 7. x y Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu th ức 5| | 3| |. P x y Câu 2 (1,5 đi ểm ). Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn: 2 3 3 3 3 3 x y . Câu 3 (1,5 đi ểm ). Cho các s ố thực d ương a, b, c th ỏa m ãn 1 6 abc . Ch ứng minh rằng: 2 3 1 1 1 3 2 3 2 3 2 3 a b c a b c b c a a b c . Câu 4 (3,0 đi ểm ). Cho tam giác nh ọn ABC ( AC AB ) có các đư ờng cao ',AA ',BB 'CC và tr ực tâm .H G ọi ( )O là đư ờng tròn tâm O, đư ờng kính BC. T ừ A k ẻ các tiếp tuyến AM, AN t ới đường tròn ( )O (M, N là các ti ếp điểm). Gọi 'M là giao đi ểm thứ hai của 'A N và đư ờng tròn ( )O , K là giao đi ểm của OH và ' 'B C . Ch ứng minh rằng: a) 'M đ ối xứng với M qua BC . b) Ba đi ểm , ,M H N th ẳng h àng. c) 2 ' ' . ' ' KB HB KC HC Câu 5 (1,0 đi ểm ). Cho b ảng ô vuông 3 3 (3 hàng và 3 c ột). Người ta điền tất cả các số từ 1 đến 9 vào các ô c ủa b ảng (mỗi số điền v ào m ột ô) sao cho tổng của bốn số trên mỗi bảng con có kích thư ớc 2 2 đ ều bằng nhau và bằng một số T nào đó. T ìm giá trị lớn nhất có th ể được của T. —Hết— Cán b ộ coi thi không giải thích gì thêm. H ọ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; S ố báo danh………………. Đ Ề CHÍNH TH ỨC S Ở GD&ĐT VĨNH PHÚC K Ỳ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2012 -2013 HƯ ỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN I. LƯU Ý CHUNG: - Hư ớng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài h ọc sinh làm theo cách khác n ếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Đi ểm to àn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - V ới b ài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý N ội dung trình bày Đi ểm 1 (3đ) 1 Ta có: 2 2 2 2 * 2 2 2 2 1 1 ( 1) ( 1) ,1 ( 1) ( 1) n n n n n n n n n 2 2 2 2 2 ( 1) 1 1 1 ( 1) 1 n n n n n n Suy ra 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 n n n n (do * 1 1 1 0 1 n n n ) Áp d ụng kết quả trên, ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 2012 2013 2012 2013 C ộng vế với vế của 2012 đẳng thức t rên, ta đư ợc 1 2013 . 2013 S 2 Nh ận xét: Nếu có x, y th ỏa mãn điều kiện đề bài thì 0xy . Do đó ch ỉ c ần xét hai trường hợp sau TH 1 : 0 . x y Khi đó 5| | 3| | 5 3 P x y x y và 5 7 4 y x Suy ra 7 4 13 21 5 3· 5 5 x x P x . Do đó, P nh ỏ nhất khi x nh ỏ nhất. Do x nguyên dương, y nguyên âm nên 3,x 1. y V ậy, trong tr ường h ợp này, P nh ỏ nhất bằng 12. TH 2 : 0 . x y Khi đó 5| | 3| | 5 3 P x y x y và 5 7 4 y x Suy ra 7 4 13 21 5 3· . 5 5 x x P x Do đó, P nh ỏ nhất khi x l ớn nhất. Do x nguyên âm, y nguyên dương nên 2, 3 x y . V ậy, trong trường h ợp này, P nh ỏ nhất b ằng 1. So sánh kết quả hai trường hợp, giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 đạt được khi và ch ỉ khi 2, 3 x y . 2 (1,5đ) Tìm các s ố hữu tỷ x, y th ỏa mãn: 2 3 3 3 3 3 x y (1) Đi ều kiện 0; 0 x y (1) 2 3 3 3 3 3 6 (3 2) 3 6 3 x y xy x y xy (2) 2 (3 2) .3 36 36 9 x y xy xy 2 12 3 (3 2) 12 xy x y xy (3) x, y là các số hữu tỉ, nên từ (3) suy ra xy là số hữu tỉ. + N ếu 3 2 0, x y thì ta có v ế trái của (2) là một số vô tỉ, v ế phải của (2) là m ột số hữu tỉ, điều n ày vô lí. + N ếu 3 2 0, x y k ết hợp với (2) ta có: 3 2 3 2 0 1 6 3 0 4 x y x y xy xy Gi ải hệ trên ta được: 1 2 x y và 1 6 3 2 x y . Thay vào (1) ta đư ợc 1 2 x y th ỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 (1,5đ) Đ ặt ,2 y z a b x y (v ới x, y, z > 0) 3 x c z B ất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 2 2 2 3 y z x y z x x y z zx xy yz x y z y z x 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 x y z xyz y z xz x y x z xy yz ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 x x y x z y y z y x z z x z y (1) Không m ất tính tổng quát giả sử x y z . Ta có: (1) 2 ( ) ( ) ( )( ) 0 x y x y z z z x z y (2) D ễ thấy (2) đúng suy ra đpcm. D ấu ‘‘=’’ xảy ra 1 1 2 1 3 a x y z b c 4 (3đ) a O H B' C' M' A' A B C M N T ừ giả thiết ta có: ' 90 o AMO ANO AA O nên các đi ểm A, A’, M, O, N thu ộc đường tròn đường kính AO. ' AA N AMN (1) L ại có: 1 ' 2 AMN MM N sđ MN (2) Từ (1) và (2) ' ' MM N AA N MM’//AA’ Mà BC AA’ BC MM’ M ặt khác BC là đư ờng kính của ( O) nên BC vuông góc v ới MM’ t ại trung đi ểm của MM’, do đó M’ đ ối xứng với M qua BC b AMC’ và ABM có ' AMC ABM và chung góc MAB ' ~ AMC ABM 2 ' . ' AM AC AM AB AC AB AM (3) Dễ thấy ' ~ ' AC H AA B ' '. . ' ' AC AH AA AH AB AC AA AB (4) T ừ (3) v à (4) 2 '. ' AH AM AA AH AM AM AA M ặt khác AHM và 'AMA có chung góc ’A AM nên ~ ' ' AHM AMA AMH AA M (5) T ứ giác AMA’N n ội tiếp ' AA M ANM (6) Có AM, AN là ti ếp tuyến của ( O) AMN ANM (7) T ừ (6) v à (7) ' AMN AA M (8) T ừ (5) và (8) ta có AMH AMN . D ễ thấy H, N n ằm c ùng một phía so với đư ờng thẳng AM nên tia MH trùng tia MN hay M, H, N th ẳng hàng c F K E D H B' C' B O C Qua O k ẻ đ ường thẳng d song song v ới B’C’ , d c ắt BB’ và CC’ l ần l ượt tại D, E ' ' ' ' KB KH KC KB OD OD OH OE KC OE (9) Ta có: BDO ECO (vì cùng b ằng ' 'BB C ) và BOD EOC 2 2 2 ~ . OD OB OD OC DBO CEO OD OE OC OC OE OE OE (10) L ấy F (F ≠ E) trên đư ờng thẳng CC’ sao cho OE = OF ' ' OFC B C H (vì cùng b ằng 'OEC ). L ại có ' 'HB C OCF ' ' ' ' ~ ' ' HB OC HB OC B C H CFO HC OF HC OE (11) Từ (9), (10), (11) 2 ' ' ' ' KB HB KC HC 5 (1đ) 1,0 đi ểm T ổng của tất cả các số ghi tr ên b ảng bằng 1 2 3 9 45. G ọi x là s ố ghi ở ô (2; 2) (ô trung tâm của b ảng); các ô còn l ại ghi các số a, b, c, d, e, f, g, h (Hình 1): C ộng tổng tất cả các số ghi trên 4 bảng con kích thước 2 2 ta đư ợc 4 4 ( ) 2( ) 45 2 ( ) T x a c e g b d f h x x b d f h Do 9, 9 8 7 6 5 35 x x b d f h nên 4 45 2·9 35 98 24 T T (do T ) Trên Hình 2 chỉ ra một phương án điền số sao cho 24T . a b c h x d g f e Hình 1 4 8 1 3 9 6 5 7 2 Hình 2 . S Ở GD&ĐT VĨNH PHÚC K Ỳ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2012 -2013 Đ Ề THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (3,0 đi ểm ). a) Tính tổng: 2. của T. —Hết— Cán b ộ coi thi không giải thích gì thêm. H ọ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; S ố báo danh………………. Đ Ề CHÍNH TH ỨC S Ở GD&ĐT VĨNH PHÚC K Ỳ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2012 -2013 HƯ ỚNG. 2012 đẳng thức t rên, ta đư ợc 1 2013 . 2013 S 2 Nh ận xét: Nếu có x, y th ỏa mãn điều kiện đề bài thì 0xy . Do đó ch ỉ c ần xét hai trường hợp sau TH 1 : 0 . x y Khi đó 5| | 3| | 5 3