DE THI HSG TOAN 10 CO DAP AN

SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM 2017 TRƯỜNG THPT HẢI AN Môn thi: TOÁN Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề  Câu (2,0 điểm) 1) Giải bất phương trình: x + < − 2x 2) Tìm giá trị m để bất phương trình (m − 1)x2 − 2mx + 2(m + 1) < nghiệm với ∀ x ∈ R Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 3x + + 5x + = 3x − x + 3  x + x y − xy + xy − y =  x + y − xy(2x − 1) = 2) Giải hệ phương trình:  Câu (2,0 điểm) 1) Chứng minh với ∆ABC ta có: sin A + sin B = 2cos C A −B cos 2 2) Chứng minh với ∀ x ∈ R ta có:: 4(sin x.cos5 x − sin x.cos x) = sin 4x Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ∆ABC với A(3; 2) , B(5;-2) , C(1; 1) 1) Viết phương trình tổng quát đường cao AH ∆ABC 2) Viết phương trình đường tròn (E) có tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC 3) Cho số thực k > Tìm tọa độ điểm M trục hoành cho véctơ ur uuuur uuuur uuuuur có độ dài nhỏ u = kMA + kMB + 4kMC Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, x, y thoả mãn điều kiện ax − by = Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = a2 + b2 + x2 + y2 + bx + ay Hết -(Học sinh không sử dụng tài liệu, giám thị coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh:……………………………… Giám thị số 1:…………………… Số báo danh:………………………….………… Giám thị số 2: ………………… Câu 1.1 (1đ) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM 2017 Sơ lược đáp án Điểm 1 − x ≥ x ≤ / x ≤ / 2 BPT ⇔  ⇔ ⇔ ⇔x ∨ x < −2 /  x + < (1 − x) 3 x − x − > 4x0,25 •TH1: Với m = BPT có dạng −2 x + < ⇔ x > ⇒ m = không thỏa mãn ycbt 1.2 m − < m < ⇔ ⇔m VT(*) < < VP(*); Nếu x < VT(*) > > VP(*) Vậy (1) có nghiệm x = 0; x = Đặt a = x − y; b = xy a + a − 2a =  a + ab + b =  a = a =  a = −2 ⇔ ⇔ ∨  ∨  Hệ trở thành:  2 b = − a b = b = b = −3 a + b =  0,25 3x0,25 0,5 0,5 0,5 a = •Với  ta có hệ b =  x2 − y = ⇔ x = y =  2.2  xy = (1đ)  x2 − y = a = ⇔ ( x; y ) = (0; −1);(1;0);(−1;0) •Với  ta có hệ  b =  xy = a = −2  x − y = −2  y = −3 / x  x = −1 ⇔ ⇔ •Với  ta có hệ  y = b = −3  xy = −3 x + 2x + = 0,5 Kết luận: Hệ có nghiệm ( x; y ) ∈ { (1; 1);(0; − 1);(1; 0);(−1; 0);( −1; 3)} 3.1 VT = 2sin A + B cos A − B = 2sin π − C cos A − B = 2sin  π − C  cos A − B = 2cos C cos A − B = VP  ÷ (1đ) 2 2 2 2 2 3.2 VT = 4sin x.cos x(cos x − sin x) = 2sin x(cos x − sin x) = 2sin x.cos x = sin x = VP (1đ) uuur 4.1 Đường cao AH có VTPT là: BC = (−4;3) (1đ) ⇒ PTTQ đường cao AH là: −4( x − 3) + 3( x − 2) = ⇔ −4 x + y + = 4.2 Đường thẳng BC: x + y − = ⇒ Đường tròn (E) có bán kính: R = d ( A, BC ) = (1đ) ⇒ Đường tròn (E): ( x − 3) + ( y − 2) = 4.3 Gọi G trọng tâm ∆ABC I trung điểm GC Ta có: G (3; ) I (2; ) ur uuuuu r uuuuu r uuuu r (1đ) ⇒ u = 3kMG + 3kMC = 6kMI = 6kMI ⇒ M (2; 0) 4x0,25 4x0,25 0,5 2x0,25 2x0,25 0,5 0,5 0,5 b  a  (1đ) Ta có: F =  x +  +  y +  + ( a + b ) 2  b  a 2 a Xét M = ( x; y ) , A =  − ; −  , ( ∆ ) : ax − by =   b   0,25 Ta có MA2 =  x + ÷ +  y + ÷ ⇒ F = MA2 + ( a + b ) 2   Mà M ∈ ( ∆ ) nên MA ≥ d ( A; ∆ )  = 3 ⇒F ≥ + a + b ≥ (Côsi) 2 a +b a +b ( ) 0,5  2  ;− Vậy F = đạt chẳng hạn ( a ; b; x; y ) =  ; 0; 2   0,25 ... 2sin A + B cos A − B = 2sin π − C cos A − B = 2sin  π − C  cos A − B = 2cos C cos A − B = VP  ÷ (1đ) 2 2 2 2 2 3.2 VT = 4sin x.cos x(cos x − sin x) = 2sin x(cos x − sin x) = 2sin x.cos x =...Câu 1.1 (1đ) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM 2017 Sơ lược đáp án Điểm 1 − x ≥ x ≤ / x ≤ / 2 BPT ⇔  ⇔ ⇔ ⇔x ∨