đề thi hsg toan 10 có dap án

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 Câu 1. 5đ) Cho hµm sè : ( ) ( ) 2 5 6 1y f x x x= = − + a/ Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh ( ) 1 0 3 4 f x x + ≤ − . b/ T×m m ®Ó ®êng th¼ng : 2d y x m= + c¾t đồ thị hàm số (1) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é x 1 , x 2 tho¶ m·n : 1 2 1x x− = . Câu 2. 5đ) 1) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, giải bất phương trình sau: ( ) 2 2 2 2 2 2 0a x a b c x b+ + − + > 2) Giải phương trình: 2 2 3 1 3 16 2 2 5 3x x x x x+ + + = − + + + . 3. Giải hệ phương trình: 2 4 2 2 2 4 2 0 8 3 4 0 x xy x y x x y x y  − + + =  − + + =  . Câu 3(1 điểm) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) 2 10 3 8 1 3 1 2 2 3 4 x x x x m x m x  > +  + + +   + ≤ + −  Câu 4. 6đ) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 0); B(3; 8) và một điểm M thay đổi luôn thỏa mãn: 2 2 8MA MB+ = . a) Tìm tập hợp điểm M. b) Tìm điểm M sao cho OM ngắn nhất. 2) Cho tam giác ABC có các góc, cạnh thỏa mãn hệ thức: 2 2 2 2 cot cot cot ( ) ( ) 0 A C B b b a c c a + =   − + − =  . Tìm các góc của tam giác ABC. Câu 5. 2đ) Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn: 1xyz = . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 3 3 3 2 3 3 5 x y z P x y z xy yz zx + + = + + + + + Câu 5'. 2đ). Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm AB, F là điểm thỏa mãn 1 3 AF AD = uuur uuur . Xác định điểm M thuộc đường thẳng BC sao cho MF vuông góc với EF. *****************HẾT****************** c) x y z xy yz zx3 2 4 3 5+ + ≥ + + d) 3) Giải phương trình: 3 4 4 5 3 5x x x x x x x= − − + − − + − − 5) Cho ba số a, b, c khác không thoả mãn đồng thời        >++ >++ < 0 111 0 0 cabcab cabcab cba Chứng minh rằng cả ba số đều âm. GIẢI ĐK: 3x ≤ Đặt 3 ; 4 ; 5a x b x c x= − = − = − Ta có 2 2 2 3 4 5x a b c ab bc ca= − = − = − = + + Do đó 2 2 2 3 ( )( ) 3 4 ( )( ) 4 ( )( ) 5 5 a ab bc ca a b a c b ab bc ca b c a b a c b c c ab bc ca  − = + + + + =    − = + + ⇔ + + =     + + = − = + +   Nhân vế với vế các phương trình ta được ( )( )( ) 2 15(*)a b a c b c+ + + = Thay lần lượt các phương trình của hệ vào phương trình (*) sẽ có: 2 15 2 15 5 5 2 15 2 15 7 15 671 3 3 60 240 2 15 9 15 2 4 10 a b a b b c b c a x a c a b c   + = + =       + = ⇔ + = ⇒ = ⇒ =       + = + + =     Do a > 0 nên ( ) 0 222222 =+−++ bxcbaxa (1) là bpt bậc 2. Ta có: ( )( )( ) 0)(4)( 222222 <−+−+−+++−=−−+=∆ acbbcacbacbabacba Vì (a+b+c)>0, (a+b-c)>0, (a+c-b)>0, (b+c-a)>0 vậy bpt (1) nghiệm đúng với mọi x thuộc R.        >++ >++ < )3(0 111 )2(0 )1(0 cabcab cabcab cba Từ (1) suy ra a,b,c có một số âm.Giả sử a<0, bc >0 Nếu b,c cùng dương, 0 )()()(000 111 22 2 <−−−<++⇔ +−<+⇔+−<⇔<++⇒> ++ ⇔>++ cbcbcabcab cbcbacbacba abc cba cabcab trái giả thiết (2) nên b,c cùng âm. Vậy a,b,c cùng âm. 3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 0); B(3; 8) và một điểm M thay đổi luôn thỏa mãn: 2 2 8MA MB+ = . e) Tìm tập hợp điểm M. f) Tìm điểm M sao cho OM ngắn nhất. 8. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cot cot 2cot 2 4 4 4 b c a a b c c a b A C B s s s + − + − + − + = ⇔ + = 2 2 2 2a c b⇔ + = Ta có 2 2 2 2 2 2 1 cos 2 4 4 2 a c b a c ac B ac ac ac + − + = = ≥ = . Suy ra 0 60B ≤ . Dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều 9. Tọa độ hóa Chọn hệ trục Oxy thỏa mãn D=O, A thuộc Oy, C thuộc Ox ĐS: M(x; y) với y= -5a/6 . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 Câu 1. 5đ) Cho hµm sè : ( ) ( ) 2 5 6 1y f x x x= = − + a/ Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh. x y x x y x y  − + + =  − + + =  . Câu 3(1 điểm) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) 2 10 3 8 1 3 1 2 2 3 4 x x x x m x m x  > +  + + +   + ≤ + −  Câu 4. 6đ) 1) Trong.        >++ >++ < 0 111 0 0 cabcab cabcab cba Chứng minh rằng cả ba số đều âm. GIẢI ĐK: 3x ≤ Đặt 3 ; 4 ; 5a x b x c x= − = − = − Ta có 2 2 2 3 4 5x a b c ab bc ca= − = − = − = + + Do đó 2 2 2 3 (