Đề thi HSG khối 10(có đáp án)

Sở GD – ĐT Bình Định Đề thi HSG khối 10 THPT năm học 2008 - 2009 Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Môn: TOÁN ( thời gian làm bài 120 phút) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 1: ( 3 điểm) a) Giải bất phương trình: 1 5 5 2x 4 2x 2 x x − < − + . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 1 1y x x x x= + + + − + . Bài 2: ( 3 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có: ( ) 3 3 3 2010 2010 4 x y x y x y z z x y + + + + ≤ + + + + . Bài 3: ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có đường cao CH, H∈AB. Các điểm I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn AB và CH . Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại M và cạnh BC tại N. Vẽ hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB. Gọi J là tâm của hình chữ nhật MNPQ. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Bài 4:( 1 điểm) Số 3 2009 n + , n là số nguyên dương, có chia hết cho 184 không? hãy chứng minh điều mà bạn khẳng định. ------------------------------------------------------------Hết--------------------------------------------------------------- ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Nội dung từng ý Điểm 1.a + Đưa bất phương trình về dạng: 1 1 5 2 4 4x 2 x x x     + < + +  ÷  ÷     0,25đ + Đặt 1 , 2 2 t x t x = + ≥ , x > 0 và tính được 2 1 x 1 4x t+ = − 0,5đ + Viết được bất phương trình theo t: t 2 − 5t + 2 > 0 ⇔ ( t > 2 ∨ t < 1 2 (loại)) 0,25đ + Viết được bất phương trình ( ) 2 3 3 2 4 1 0 2 0 2 2 2 x x x x   − + > ⇔ > + ∨ < < −  ÷   0,5đ 1.b + Nhận xét: y là tổng của hai biểu thức nhận giá trị dương nên có thể dùng bất đẳng thức cauchy biến đổi từ TBC sang TBN. 0,25đ + Viết được: ( ) ( ) 2 2 4 2 4 4 2 1 1 2 1 2y x x x x x x≥ + + − + = + + ≥ 0,5đ + Đẳng thức xảy ra khi: 2 2 4 2 1 1 0 1 1 x x x x x x x  + + = − +  ⇔ =  + + =   0,5đ + Luận được y ≥ 2, dấu " = " xảy ra khi x = 0. Do đó: min (0) 2y y= = ¡ 0,25đ 2 + Viết được để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh: ( ) 3 3 3 4 x y x y+ ≥ + . 0,5đ + Viết được ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 4 3 0x y x y x y x y+ − + = + − ≥ 1,5đ + Suy được: ( ) 3 3 3 4z x y z x y+ + ≥ + + . 0,5đ + Kết luận được ( ) 3 3 3 2010 2010 4 x y x y x y z z x y + + + + ≤ + + + + 0,5đ 3 + Chọn hệ trục tọa độ như hình bên và viết được tọa độ của H(0;0), A(a;0), B(b;0), C(0;c) 0,25đ + Suy được tọa độ các điểm ;0 , 0; 2 2 a b c I K +      ÷  ÷     0,25đ + Viết được phương trình của (d):y = m, 0< m <c; phương trình đường thẳng AC: cx + ay –ac = 0, phương trình đường thẳng BC: cx + by – bc = 0. 0,5đ + Lập luận và tìm được tọa độ của các điểm M ( ) ; a c m m c −   ÷   , N ( ) , b c m m c −   ÷   , P ( ) ;0 b c m c −   ÷   , J ( ) ( ) ; 2 2 a b c m m c + −   ÷   1đ + Tính được tọa độ các vectơ: ( ) ; , IJ ; 2 2 2 2 m a b a b c m IK c +  +   = − = −  ÷  ÷     uur ur 0,5đ + Viết được: IK .IJ c m = uur uur nên ba điểm I, J, K thẳng hàng . 0,5đ 4 + Viết được 184 = 8.23 và 2 3 1 m − chia hết cho 3 2 – 1 = 8. 0,25đ + Viết được nếu n = 2m (chẵn), thì 2 2 3 2009 3 1 251.8 2 m m + = − + + không chia hết cho 8 + Nếu n = 2m + 1 (lẻ), thì ( ) 2 1 2 3 2009 3 3 1 251.8 4 m m+ + = − + + cũng không chia hết 8. + Kết luận được n + ∀ ∈ ¢ , 3 n + 2009 không chia hết cho 184. 0,75đ Ghi chú: Mọi cách giải khác đúng căn cứ từng phần của biểu điểm để cho điểm. . Sở GD – ĐT Bình Định Đề thi HSG khối 10 THPT năm học 2008 - 2009 Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Môn:. ------------------------------------------------------------Hết--------------------------------------------------------------- ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Nội dung từng ý Điểm 1.a + Đưa bất phương trình về dạng: