Đề thi HSG 12 có đáp án

Sở GD&ĐT Thanh hoá Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Trờng THPT Cẩm Thuỷ 3 Năm học: 2008 2009. Môn thi: Toán - Thời gian: 180 phút Cõu 1 (5.0 điểm): 1) Kho sỏt hm s ( ) ( ) 2 1 2y x x= + . 2) Da vo th bin lun theo m s nghim phng trỡnh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2x x m m+ = + Câu 2 (2.0 điểm): Giải hệ phơng trình: =+++ =+++ 20 11 5 11 3 3 3 3 y y x x y y x x Câu 3(2.0 điểm): Tìm số nguyên dơng n sao cho: 20092)12(2.42.32.2 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12 =++++ + +++++ n n n nnnn CnCCCC . Câu 4(2.0 điểm): Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định. mxxxx ++ 2)6)(4( 2 Câu 5(2.0 điểm): Giải phơng trình: xxxxxxxx 432432 coscoscoscossinsinsinsin +++=+++ Câu 6(6.0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB , SD lần lợt tại M và N. Đặt V 1 = V S.AMKN , V = V S.ABCD . 1) Khi mp(P)//BD, hãy tính tỷ số thể tích V V 1 . 2) Đặt x = SB SM , y= SD SN . Tính V V 1 theo x và y. 3) Chứng minh rằng: 8 3 3 1 1 V V Câu 7(1.0 điểm): Cho n là số nguyên dơng lẻ và n 3, .0, R Chứng minh rằng: ++++ !!2 1 2 n n ++ !!3!2 1 32 n n < 1 Hết Sở GD&ĐT Thanh hoá hớng dẫn chấm Họ tên: . SBD: : . Trờng THPT Cẩm Thuỷ 3 Thi chọn HSG Năm học: 2008 2009. Môn thi: Toán Câu Nội dung Điểm 1.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 * TXĐ: R * Giới hạn: = y x lim *Bảng biến thiên: y = 2(x+1)(2-x) (x+1) 2 = (x+1)(3-3x) y = 0 = = 1 1 x x x - -1 1 + y - 0 + 0 - y + *Vẽ đồ thị: y= - 6x; y= 0 x = 0 y = 2. Đồ thị nhận I(0; 2) làm tâm đối xứng. Giao với Ox: (-1; 0) và (2 ; 0). 0.5 0.5 0.5 0.5 1.2 Biện luận số nghiệm của phơng trình 2 Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị trên và đờng thẳng y = (m +1) 2 (2 m) Dựa vào đồ thị ta có: Khi (m +1) 2 (2 - m) > 4 m < -2 thì có 1nghiệm. Khi (m +1) 2 (2 - m) = 4 m = -2 hoặc m =1 thì có 2 nghiệm. Khi { } 1;1\)2;2( 0 m) - (21) (m 4m) - (21) (m 2 2 >+ <+ m thì phơng trình có 4 nghiệm. Khi (m +1) 2 (2 - m) = 0 m = -1 hoặc m = 2 thì có 2 nghiệm. Khi (m +1) 2 (2 - m) < 0 m > 2 thì có 1nghiệm. 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 2 Giải hệ phơng trình 2.0 Đặt =+ =+ v y y u x x 1 1 , Điều kiện: 2;2 vu . 0.5 0.5 4 - 0 O y x -1 1 2 4 2 -2 Tacó hệ =+ =+ 1533 5 33 vvuu vu = = = = = =+ 2 3 3 2 6 5 v u v u uv vu Suy ra các nghiệm là: + 1; 2 53 1; 2 53 + 2 53 ;1 2 53 ;1 0.5 0.5 3 Tìm số nguyên dơng n 2 Xét hàm số: 12 )1()( + += n xxf = 1212 12 44 12 33 12 22 12 1 12 0 12 ++ ++++++ ++++++ nn nnnnnn xCxCxCxCxCC . Ta có n xnxf 2 )1)(12()(' ++= = = nn nnnnn xCnxCxCxCC 212 12 34 12 23 12 2 12 1 12 )12(432 + +++++ ++++++ . Do đó =+= 12)2(' nf = 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12 2)12(2.42.32.2 + +++++ ++++ n n n nnnn CnCCCC Suy ra: 20092)12(2.42.32.2 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12 =++++ + +++++ n n n nnnn CnCCCC 2n + 1 = 2009 n = 1004 0.5 0.5 0.5 0.5 4 Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định. mxxxx ++ 2)6)(4( 2 2 Đặt txx =+ )6)(4( t 2 = -x 2 + 2x + 24 Do 64 x suy ra 50 t Khi đó ta có bất phơng trình: t 2 + t 24 m.(*) Xét hàm số 24)( 2 += tttg trên đoạn [0 ; 5]. Có bảng biến thiên: t 0 5 g(t) + g(t) 2 -24 Để bpt đã cho nghiệm đúng mọi x thuộc TXĐ thì bpt (*) phải nghiệm đúng với mọi t thoả mãn 50 t . Từ bảng biến thiên suy ra: 2 m . 0.5 0.5 0.5 0.5 5 Giải phơng trình: xxxxxxxx 432432 coscoscoscossinsinsinsin +++=+++ (*) 2 (*) (sinx - cosx)[2 +2(sinx+ cosx) + sinxcosx] = 0 =+++ = )2(0cossin)cos(sin22 )1(0cossin xxxx xx )( 4 1tan)1( Zkkxx +== GiảI (2): Đặt 2) 4 sin(2cossin +=+= txxxt 0.5 0.5 0.5 0.5 2 1 cossin 2 = t xx . Tacó t 2 + 4t +3 = 0 t = -1 v t = -3(loại) Với t = -1 ) 4 sin( 2 2 ) 4 sin( ==+ x += += )(2 )(2 2 Znnx Zmmx 6.1 Khi mp(P)//BD, hãy tính tỷ số thể tích V V 1 . 2 Gọi O là giao điểm của 2đờng chéo. I là giao điểm của AK và SO. Do (P)//BD, qua I kẻ đờng song song với BD cắt SB và SD tại M và M. Trong tam giác SAC có I là trọng tâm Suy ra: 3 2 = SB SM ; 3 2 = SD SN . Vì SABCD là hbh nên V s.ABC = V s.ADC = 2 1 V. Ta có VV SC SK SB SM V V AMKS ABCS AMKS 6 1 3 1 2 1 . 3 2 . . . . ==== Tơng tự ta có VV ANKS 6 1 . = Mà V = V s.ABC + V s.ADC và V 1 = V S.AMK + V S.ANK Suy ra 3 1 1 = V V 0.5 0.5 0.5 0.5 6.2 Đặt x = SB SM , y= SD SN . Tính V V 1 theo x và y. 2 Ta có V x Vx SC SK SB SM V V AMKS ABCS AMKS 42 1 . . . . === Tơng tự ta có V y V ANKS 4 . = Suy ra 4 1 yx V V + = (1) 1.0 0.5 0.5 6.3 Chứng minh rằng: 8 3 3 1 1 V V 2 Do V 1 = V S.AMN + V S.MNK và V s.ABC = V s.ADC = 2 1 V Mà V xy Vxy SD SN SB SM V V AMKS ABDS AMNS 2 . . . . === V xy Vxy SC SK SD SN SB SM V V KMKS CBDS KMNS 42 1 . . . === Suy ra 4 3 1 xy V V = (2) Từ (1) và (2) suy ra 13 = x x y 0,25 0,25 0,25 S C A B D N K M O I Do x>0; y> 0 nên x> 3 1 Vì 2 1 1 13 1 x x x y . Vậy ta có 1; 2 1 x Xét hàm số f(x) = 4 3 1 xy V V = = )13(4 3 2 x x với 1; 2 1 x . Có f(x) = 2 )13(4 )23(3 x xx . BBT: x 2 1 3 2 1 f(x) - 0 + f(x) 8 3 8 3 3 1 Từ BBT suy ra 8 3 3 1 1 V V 0,25 0,25 0,25 0,5 7 Cho n là số nguyên dơng lẻ và n 3, .0, R Chứng minh rằng: ++++ !!2 1 2 n n < 1 1 Đặt F(x) = ++++ !!2 1 2 n xx x n và G(x) = ++ !!3!2 1 32 n xxx x n Ta có: F(x) = ++++ )!1(!2 1 12 n xx x n = F(x) - !n x n G(x) = ++ )!1(!3!2 1 132 n xxx x n = Đặt f(x) = F(x). G(x). f(x) = F(x).G(x) + F(x).G(x) = [F(x) - !n x n ].G(x)+ F(x). [- G(x) - !n x n ] =- !n x n [F(x)+G(x)] =- 2 !n x n +++ )!1(!4!2 1 142 n xxx n Do n lẻ nên với mọi x khác 0 ta có: +++ )!1(!4!2 1 142 n xxx n >0 Suy ra bảng biến thiên: x 0 + f(x) + 0 - f(x) 1 0,25 0.25 0.25 Tõ BBT suy ra f(x)< 1 0 ≠∀ x , suy ra (®pcm) 0,25 . nn nnnnn xCnxCxCxCC 212 12 34 12 23 12 2 12 1 12 )12( 432 + +++++ ++++++ . Do đó =+= 12) 2(' nf = 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12 2 )12( 2.42.32.2 + +++++. n 2 Xét hàm số: 12 )1()( + += n xxf = 121 2 12 44 12 33 12 22 12 1 12 0 12 ++ ++++++ ++++++ nn nnnnnn xCxCxCxCxCC . Ta có n xnxf 2 )1) (12( )(' ++=