Tiết 65: Hàm số liên tục

2 Hàm số liên tục trên một khoảnga Định nghĩa: -Hàm số fx xác định trên khoảng a,b được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảøng đó - Hàm số fx xác định t

Kiểm tra bài cũ





x2-1 ≠ 1

x-12x2

Câu 2: Cho hàm số

nếu x = 1 a)Tính limf(x) và tính f(1)

x → 1 b)Nhận xét gì về lim f(x) và f(1)

x → 1

Ta có lim f(x) =lim (x2+1) = 1

x → 0+ x → 0+

Do đó:

Giải:

Giải:

a)Ta có:

lim f(x) = lim =lim (x +1) = 2

x→1 x→1 xx − 1 →1

x2-1

Và f(1)= 2.12 = 2 b) Vậy lim f(x) = f(1)

x→1

lim f(x) = lim x = 0

x → 0- x→ 0-

lim f(x) lim f(x) = 1

x ⇒ → 0+ x≠ → 0+







x

2+1 nếu x > 0

nếu x 0

Câu 1: Cho hàm số

Xét sự tồn tại giới hạn của

hàm số tại x=0

≤

Hàm số không có giới hạn tại x=0

lim f (x) = f (x0)

Tiết 65:

1)Hàm số liên tục tại một điểm

a)Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên (a,b) ; x0 ∈ (a,b)

-Hàm số f(x) gọi là liên tục tại x0 nếu lim f(x) = f(x0)

x→ x0 -Hàm số f(x) gọi là liên tục bên trái x0 nếu nếu lim f(x) = f(x0)

x → x0+ -Hàm số f(x) gọi là liên tục bên phải x0 nếu lim f(x) = f(x0)

x → x0

-Lưu ý:

 Hàm số f(x) liên tục tại

x0 Nghĩa là lim f(x) = lim f(x) = f(x0)

x → x0+ x → x0-

 Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì gọi hàm số gián đoạn tại x0

Giải: Ta có: lim f(x)

x→1 = lim x

2-1

x→1 x-1 = lim (x+1) = 2 x→1 Và f(1)=a

Nếu a=2 thì lim f(x) = f(1) thì hàm số liên tục tại x0=1

x→1

Nếu a 2 thì lim f(x) f(1) thì hàm số gián đoạn tại x=1

x≠ →1 ≠

b) Ví dụ 1:

x2-1

nếu x 1 ≠

nếu x = 1







a

x -1

Xét tính liên tục tại x=0

Giải: Ta có: lim f(x) = lim (x2 + 1) =1

x → 0+ x → 0+ lim f(x) = lim x = 0

x → 0- x → 0

-⇒ lim f(x) lim x = 0

x → 0+ ≠x → 0

-Suy ra: lim f(x) không tồn tại,

jkgjdjgdo đó hàm số đã cho không liên tục tại x0=0

Lưu ý: Hàm số f(x) gián đoạn tại x0 nếu

 Hoặc f(x) không xác định tại x0

 Hoặc lim f(x) ≠ f(x0)

x → x0

 Hoặc không tồn tại lim f(x)

x → x0

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x)=







x

x2 + 1 nếu x>0

nếu x 0≤

c) Đặc trưng khác của tính liên tục tại một điểm

Định lý: Hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K, là liên tục tại

điểm x0 ∈ K nếu và chỉ nếu : lim y = 0

x → 0

(với x = x- x0

y = y – y0= f(x) = f (x0) ) Chứng minh:

2) Hàm số liên tục trên một khoảng

a) Định nghĩa:

-Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảøng đó

- Hàm số f(x) xác định trên [a,b] gọi là liên tục trên đoạn đó nếu nó là liên tục trên khoảng (a,b) và lim f(x) = f(a)

x→ a+

; lim f (x) = f (b)

x→ b

-Chú ý: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên

khoảng đó

b) Một số định lý về hàm số liên tục

Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) của những hàm

số liên tục là những hàm số liên tục

Định lý 2: Các hàm đa thực , hàm hữu tỷ, hàm lượng giác là liên tục

trên tập xác định của chúng

Ví dụ: Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên R

a) y=2x2 + 3sin x b) y =

1

4

−

x

x2

c) y=tgx d) Cả a,b,c

Giải: * Khi x>1 f(x) = ax + 2: liên tục ⇒

* Khi x<1 f(x) = x⇒ 2 + x - 1: liên tục Để f(x) liên tục trên R thì chỉ cần f(x) liên tục tại x = 1

Ta có: f(1) = a+2

lim f(x) = lim (ax+2) = a + 2

x →1+ x →1+ lim f(x) = lim (x2 + x - 1 ) = 12 + 1 – 1 = 1

x →1- x →1 -Vậy f(x) liên tục tại x = 1 lim f (x) =lim f(x) =f(1)

x ⇔ →1+ x →1

-⇔a + 2 =1

⇔ a = -3

Ví dụ:Cho hàm số f(x) =





 +ax 2

x2+x-1 nếu x<1

nếu x 1≥

Hướng dẫn về nhà:

1) Nắm vững định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm; hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn

2) Làm các bài tập 1,2,3 (sgk)

3) Bài tập làm thêm

Câu1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0 đã chỉ ra:

2

x

x Cos x

Cos − (x ≠ o)

3/2 (x = o) x0 = o

Câu 2: Định a để hàm số sau liên tục trên R

2 2 3

3

−

−

+

x

x (x >2)

ax + 1 (x ≤ 2)

Hướng dẫn bài mới:

+ Tìm hiểu về sự tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

+ Sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng

ĐÚNG

SAI

Chứng minh:

Ta có: x → x0 ⇔ x - x0 →0 hay x → 0

Vì hàm số f(x) liên tục tại x0 nên

lim f(x) = f(x0)

x->x0

⇔ lim [f(x) – f(x0)] =0 x->0

lim y =0 (đpcm)

⇔