Phương pháp Lagrange cho bài toán cực trị có điều kiện và ứng dụng

Lí do chọn đề tài Trong lý thuyết và ứng dụng ta thường gặp các bài toán cực trị có điều kiện tìm cực đại và cực tiểu.. Trong chương trình toán đại học, phương pháp này cũng đã được giớ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 1: TS Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12

tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong lý thuyết và ứng dụng ta thường gặp các bài toán cực trị

có điều kiện (tìm cực đại và cực tiểu) Khi giải một bài toán cực trị người ta thường tìm cách đưa nó về các bài toán đơn giản hơn: với số biến hoặc số ràng buộc ít hơn, thậm chí không có ràng buộc Ý tưởng này được thể hiện rõ nét trong phương pháp nhân tử Lagrange và trong một số phương pháp tối ưu khác

Phương pháp nhân tử Lagrange là một phương pháp tìm cực trị của hàm số với các ràng buộc cho bởi phương trình Phương pháp tương đối hiệu quả, dễ áp dụng Trong chương trình toán đại học, phương pháp này cũng đã được giới thiệu và áp dụng để giải một số bài toán cực trị có điều kiện Tuy nhiên, hầu hết các giáo trình tiếng việt, chưa trình bày một cách đầy đủ về cơ sở lý thuyết của phương pháp nhân tử Lagrange Trong chương trình toán phổ thông, bài toán cực trị có điều kiện cũng xuất hiện dưới dạng tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức với các điều kiện nào đó cho các ẩn

số Các bài toán dạng này thường xuất hiện trong các tài liệu, trong các kỳ thi dành cho học sinh giỏi

Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và các phương pháp giải là cần thiết cho giáo viên và có thể đưa vào giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh trường chuyên, giúp học sinh có cái nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề cực trị của hàm nhiều biến Góc nhìn này sẽ giúp các học sinh THPT giải các bài cực trị trong các kì thi học sinh giỏi và các đề thi Đại học Việc nắm chắc cơ sở lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và các phương pháp giải cũng giúp cho giáo viên có khả năng giải và sáng tạo ra các bài toán mới, điều này đặc biệt quan trọng khi ra đề thi học sinh giỏi

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán cực trị có điều

kiện, các phương pháp giải cũng như cách sáng tạo ra các bài toán

mới, tôi chọn đề tài “ Phương pháp Lagrange cho bài toán cực trị

có điều kiện và ứng dụng” để làm đề tài cho luận văn cao học của

mình

2 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

- Nắm được bài toán cực trị có điều kiện, định nghĩa và điều kiện cần và đủ của cực trị

- Phương pháp nhân tử Lagrange và ứng dụng để giải bài toán cực trị của hàm nhiều biến

- Sáng tạo được bài toán mới vận dụng phương pháp này

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Sử dụng Phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực trị trong hình học và đại số trong chương trình toán ở cấp phổ thông

và ở cấp đại học

- Sáng tạo ra một số bài toán mới

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích, tổng hợp các tài liệu trong nước và ngoài nước để tìm hiểu những vấn đề liên quan đến đề tài

- Hệ thống hóa lý thuyết đã thu thập

- Thảo luận, trao đổi

- Dựa trên các kết quả đã đạt được để sáng tạo và giải một số bài toán mới

5 Cấu trúc luận văn:

Phần mở đầu

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương 2 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Chương 3 ỨNG DỤNG VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 KHÔNG GIAN n VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN

 Một số khái niệm và tính chất cơ bản:

- Với mỗi số nguyên không âm n, tập n là tập tất cả các

hoặc không gian n cho ngắn gọn

- Không gian vectơ n có một cơ sở chính tắc:

n i i

Định nghĩa 1.1.1 (Hình cầu mở và hình cầu đóng)

- Hình cầu mở tâm tại điểm x0 n và bán kính 0 là tập các điểm trong n

Định nghĩa 1.1.8 (Tập bị chặn trong n) Tập n

S đƣợc gọi là bị chặn nếu nó chứa đƣợc trong một hình cầu (mở hay đóng) bán kính  nào đó

Định lý 1.1.9 (Cận trên và cận dưới của một tập trong )

1 Giả sử S là một tập mở bị chặn và giả sử a là một cận dưới lớn nhất của S và b là cận trên nhỏ nhất của S Khi đó, a S

và bS

2 Giả sử S là một tập đóng bị chặn và giả sử a là một cận dưới lớn nhất của S và b là cận trên nhỏ nhất của S Khi đó,

- Khi p1, f đƣợc gọi là hàm thực nhiều biến

- Khi p1, f đƣợc gọi là hàm vectơ nhiều biến

Tập A đƣợc gọi là miền xác định của hàm số, các số

1, 2, , n

x x x đƣợc gọi biến số của hàm f

Định nghĩa 1.2.12 (Giới hạn của hàm vectơ n biến) Cho hàm

0  x a  ta có f x( ) b  Khi đó ta viết lim ( )

x a f x b

( )

f x b khi xa

Vì sự hội tụ trong không gian n

là sự hội tụ theo tọa độ nên với x( , ,x1 x n),a( , ,a1 a n) ta còn dùng kí hiệu

Định nghĩa 1.2.13 (Hàm liên tục nhiều biến)

a Hàm f A:  n  p đƣợc gọi là liên tục tại một điểm x 0

d Hàm f ( , ,f1 f p) :A n p liên tục tại aA khi

và chỉ khi các hàm thành phần của nó liên tục tại a

Định nghĩa 1.2.14 (Hàm liên tục theo từng biến) Hàm

 hoặc

'( )

Nếu hàm số D f có đạo hàm theo biến thứ j tại a tức là nếu i

tồn tại D D j( i)( )a thì đạo hàm này đƣợc gọi là đạo hàm riêng cấp hai

của f tại a theo các biến thứ các biến thứ i và thứ j hay theo các

biến x i và x j và đƣợc kí hiệu là D f a i j, ( ) hay

Định nghĩa 1.3.20 (Gradien của f ): là hàm vectơ mà thành

phần là các đạo hàm riêng theo từng biến của f Kí hiệu grad f hoặc f xác định bởi

i i

Định lí 1.3.21 (Công thức Taylor) Giả sử U là một tập mở

trong n , a U và r0 sao cho B a r( , )U Cho fC U k( ), khi đó với mọi xB a r( , ) tồn tại  a x, sao cho

1.3.3 Vi phân hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.3.22 (Vi phân cấp một)



 là một ánh xạ từ U vào Vì i

f x

tuyến tính từ n n xác định bởi ma trận này được gọi là đạo

hàm cấp hai của f tại a , kí hiệu là 2

( )

D f a hay f''( )a

Nếu lấy k h thì biểu thức

2 2

, 1

( )( )

Tương tự như trên thì ta sẽ định nghĩa được các vi phân cấp

cao hơn của f

chỉ nhận các giá trị dương (tương ứng chỉ nhận các giá trị âm; nhận cả giá trị âm và giá trị dương), tức là x Ax T   0, x n,x0

 Nếu dạng toàn phương chỉ nhận giá trị không âm (tương ứng chỉ nhận giá trị không dương), ma trận được gọi là nửa xác định dương (tương ứng nửa xác định âm) và ma trận không xác định chính xác khi nó không là ma trận nửa xác định dương hoặc ma trận nửa xác định âm

Mệnh đề 1.4.27 Cho f và 1 f là những hàm lồi trên tập lồi 2

 Khi đó hàm f1 f2 là lồi trên 

Mệnh đề 1.4.28 Cho f là một hàm lồi trên tập lồi  Khi

Mệnh đề 1.4.29 Cho f là một hàm lồi trên tập lồi  Tập

    là lồi với mỗi số thực c Ta thấy rằng, vì giao của các tập lồi cũng là tập lồi nên tập các điểm đồng thời thỏa mãn f x1( )c f x1, 2( )c2, ,f mc m , Sao cho với mỗi f là một i hàm lồi, xác định một tập lồi Điều này rất quan trọng trong toán học, bởi vì tập ràng buộc thường được định nghĩa bằng cách này

Mệnh đề 1.4.30 (Tính chất của hàm lồi khả vi) Cho 1

fC Khi đó f là lồi trên một tập lồi  nếu và chỉ nếu

chứa một điểm trong nếu và chỉ nếu ma trận Hessian F (ma trận của đạo hàm riêng cấp hai) là nửa xác định dương trong 

1.5 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Như vậy, bài toán cực trị tự do là bài toán tìm x để hàm f đạt 0

giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất trên n Những giá trị đó chúng

ta gọi là cực trị toàn cục (xem định nghĩa ở bên dưới)

Định nghĩa 1.5.32 (Cực trị địa phương)

1 Một điểm x* n được gọi là một điểm cực tiểu địa

phương của f nếu tồn tại 0 sao cho f x( ) f x( *)với mọi ( *, )

xB x 

Nếu ( )f x  f x( *) với mọi xB x( *, ) , xx* thì *x được

gọi là điểm cực tiểu địa phương thực sự của f trên ( *, ) B x 

2 Một điểm *x  n được gọi là một điểm cực đại địa phương

của f nếu tồn tại 0 sao cho ( )f x f x( *) với mọi xB x( *, ) Nếu ( )f x  f x( *) với mọi xB x( *, ) , xx*thì x* được

gọi là điểm cực tiểu địa phương thực sự của f trên ( *, ) B x 

Định nghĩa 1.5.33 (Cực trị toàn cục)

1 Một điểm *x  n được gọi là một điểm cực tiểu toàn cục của : n

f  nếu ( )f x  f x( *) với mọi x n

Nếu ( )f x f x( *) với mọi x n,xx* thì *x được gọi là

một điểm cực tiểu toàn cục thực sự của f trên n

2 Một điểm *x  n được gọi là một điểm cực đại toàn cục

của : n

f  nếu ( )f x  f x( *) với mọi x n

Nếu ( )f x f x( *) với mọi x n, xx* thì *x được gọi là

một điểm cực đại toàn cục thực sự của f trên n

i Điều kiện cần cấp một

Định lý 1.5.34 (Định lý Fermat) Cho hàm 1

fC xác định trên n Nếu * x là một điểm cực trị địa phương của f trên n thì

( *) 0

f x

 

Định nghĩa 1.5.35 Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng của f

đều bằng 0 được gọi là điểm dừng của hàm Hàm f chỉ có thể đạt

cực trị tại các điểm dừng Tuy nhiên đây chỉ là điều kiện cần để có

cực trị, nên điểm dừng chưa chắc là điểm cực trị

Điều kiện cần cho điểm cực trị địa phương dẫn đến n phương

trình (mỗi một phương trình cho mỗi thành phần của f ) với n ẩn

(các thành phần của *x ), trong nhiều trường hợp có thể giải để xác

định nghiệm Chúng ta minh họa bằng ví dụ sau:

ii Điều kiện cần cấp hai

Mệnh đề 1.5.36 Giả sử * x là một điểm cực tiểu địa phương

trên n của hàm fC2: n  Khi đó,

i f x( *)0,

ii d T2f x d( *) 0, với mọi d (1.5.2)

Để đơn giản chúng ta thường kí hiệu 2

Giả sử điểm * x thỏa mãn các điều kiện

1 f x( *)0,

2 F x( *) xác định dấu

Khi đó * x là một điểm cực tiểu địa phương thực sự của f nếu ( *) F x xác định dương và * x là một điểm cực đại địa phương thực sự của f nếu ( *) F x xác định âm Nếu F x( *) không xác định thì * x không phải là cực trị của f

Nhận xét 1.5.38 Chúng ta có thể dùng tiêu chuẩn sau để

nhận biết ma trận ( *) F x là xác định dương hay xác định âm:

1 Nếu tất cả các định thức con chính của F x( *) đều dương thì điểm dừng * x là điểm cực tiểu của nó

2 Nếu F x( *) có các định thức con chính cấp lẻ âm và tất cả các định thức con chính cấp chẵn dương thì điểm dừng * x là điểm cực đại của nó

Nhận xét 1.5.39 Đối với trường hợp hàm hai biến, chúng ta

có tiêu chuẩn chi tiết hơn như sau: Giả sử hàm f C2 đi từ

2 có điểm dừng (x y0, 0) Gọi  là định thức của ma trận

 (x y0, 0) là điểm cực đại nếu f xx'' 0,

 (x y0, 0) là điểm cực tiểu nếu f xx'' 0

2 Nếu  0 thì (x y0, 0) không phải cực trị của hàm f

3 Nếu  0 ta không kết luận gì về cực trị tại (x y0, 0) (Muốn có được kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác)

1.5.2 Cực trị có điều kiện

Cho tập n

D

   , hàm f D:  Bài toán cực trị có điều kiện là bài toán: tìm x0D sao cho

0( ) inf ( )

hàm f đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất trên tập D Những giá

trị đó chúng ta gọi là cực trị toàn cục có điều kiện (xem định nghĩa ở bên dưới)

Định nghĩa 1.5.40 (Cực trị địa phương có điều kiện)

Cho f liên tục trên một tập Compact D Lúc đó, bài toán có

ít nhất một nghiệm

1 Một điểm *x được gọi là một điểm cực tiểu địa phương có

điều kiện của :f D nếu có tồn tại 0 sao cho ( )f x f x( *)với mọi xB x( *, ) D

Nếu ( )f x  f x( *) với mọi xB x( *, ) D, xx* thì *x

được gọi là một điểm cực tiểu địa phương có điều kiện thực sự của

f trên ( *, ) B x  D

2 Một điểm *x được gọi là một điểm cực đại địa phương có điều kiện của :f DR nếu có tồn tại 0 sao cho f x( )f x( *)với mọi xB x( *, ) D

Nếu f x( ) f x( *) với mọi , xx* thì x* được gọi là một điểm cực tiểu địa phương có điều kiện thực sự của f trên

( *, )

B x  D

Định nghĩa 1.5.41 (Cực trị toàn cục có điều kiện)

1 Một điểm x* được gọi là một điểm cực tiểu toàn cục có điều kiện của f D:  nếu có tồn tại  0 sao cho

( ) ( *)

f x  f x với mọi xD

Nếu f x( ) f x( *) với mọi xD, xx* thì x* được

gọi là một điểm cực tiểu toàn cục thực sự có điều kiện của f trên

D

2 Một điểm x*được gọi là một điểm cực đại toàn cục có điều kiện của f D:  nếu f x( ) f x( *) với mọi xD

Nếu f x( ) f x( *) với mọi xD x, x* thì x* được gọi

là một điểm cục đại toàn cục thực sự có điều kiện của f trên D

* Sự tồn tại nghiệm

Định lý 1.5.42 Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm (tối ưu) của

(P) là tồn tại t sao cho tập F( ) D   x  : ( ) f x  t x ,  D 

khác , đóng và bị chặn dưới

Định lý 1.5.43 Cho f là một hàm lồi xác định trên tập lồi

D Ký hiệu  là tập tất cả các điểm cực tiểu của hàm f Khi đó

 là tập lồi, và bất kì điểm cực tiểu địa phương nào của f cũng là cực tiểu toàn cục

Định lý 1.5.44 Cho 1

f  C là hàm lồi trên tập lồi D Nếu

có một điểm x*D sao cho, với mọi yD , f x( *)(yx*)0, thì x* là một điểm cực tiểu toàn cục có điều kiện của f trên D

Định nghĩa 1.5.45 (Hướng chấp nhận được)

Cho xD (D là một tập lồi), một vectơ d là một hướng chấp nhận được tại x nếu có một   0 thỏa mãn xdD với mọi  , 0    

Mệnh đề 1.5.46 (Điều kiện cần cấp một ) Cho D là tập hợp con của n

R và cho f  C1 là một hàm trên D Nếu x* là một điểm cực tiểu địa phương có điều kiện của f trên D , khi đó với bất

kì d n mà d là một hướng chấp nhận được tại x*, ta có

( *) 0

f x d

Mệnh đề 1.5.47 (Điều kiện cần cấp 2) Cho D  là một

tập con lồi của n

và cho f C2 là một hàm trên D Nếu x* là một điểm cực tiểu địa phương có điều kiện của f trên D , khi đó với

bất kì n

d mà d là một hướng chấp nhận được tại x* Ta có:

i f x d( *) 0 (1.5.4)

ii Nếu f x d( )* 0 thì khi đó d T2f x d( )* 0 (1.5.5)

Mệnh đề 1.5.48 (Điều kiện đủ) Cho D  là một tập con

PHÁP GIẢI

2.1 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Chúng ta xem xét Bài toán phi tuyến dạng:

1

2

min ( ) ( ) 0, ( ) 0,

đạo hàm riêng cấp hai liên tục Để kí hiệu đơn giản, chúng ta giới thiệu hàm giá trị vectơ h( ,h h1 2, ,h m) và (2.2.1) được viết lại

min ( ) ( ) 0

x D là một điều kiện cố định Bỏ qua điều kiện cố định, trong chương này, chúng ta giả sử rằng D là cả không gian

n

hoặc nghiệm của (2.2.2) nằm ở phần trong của D Một điểm

xD mà thỏa mãn tất cả các hàm điều kiện thì được gọi là điểm chấp nhận được Tập tất cả các điểm chấp nhận được gọi là tập điểm chấp nhận được

Bài toán (2.2.2) là một trường hợp đặc biệt của bài toán tìm cực trị tổng quát ở mục 1.5.2 Vì    x  n: ( ) h x  0, x  D ,

ta có bài toán (2.2.2) tương đương với bài toán tìm min ( )

x f x

Định nghĩa 2.1.1 (Điểm chính quy) Một điểm x* thỏa mãn điều kiện h x ( *)  0 được gọi là điểm chính quy của điều kiện nếu các vectơ gradient h x1( *),h x2( *), ,h x m( *) là độc lập tuyến tính

Chú ý rằng nếu h là affine, h x( )Ax b thì sự chính quy tương đương với A có hạng là m Tại một điểm chính quy x* của mặt S định nghĩa bởi h x( )0 thì không gian tiếp xúc là mặt