Phương pháp Lagrange cho bài toán cực trị có điều kiện và ứng dụng

Header Page of 145 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ ÁI PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 Footer Page of 145 Header Page of 145 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƯỜI Phản biện 1: TS Lê Hoàng Trí Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 145 Header Page of 145 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong lý thuyết ứng dụng ta thƣờng gặp toán cực trị có điều kiện (tìm cực đại cực tiểu) Khi giải toán cực trị ngƣời ta thƣờng tìm cách đƣa toán đơn giản hơn: với số biến số ràng buộc hơn, chí ràng buộc Ý tƣởng đƣợc thể rõ nét phƣơng pháp nhân tử Lagrange số phƣơng pháp tối ƣu khác Phƣơng pháp nhân tử Lagrange phƣơng pháp tìm cực trị hàm số với ràng buộc cho phƣơng trình Phƣơng pháp tƣơng đối hiệu quả, dễ áp dụng Trong chƣơng trình toán đại học, phƣơng pháp đƣợc giới thiệu áp dụng để giải số toán cực trị có điều kiện Tuy nhiên, hầu hết giáo trình tiếng việt, chƣa trình bày cách đầy đủ sở lý thuyết phƣơng pháp nhân tử Lagrange Trong chƣơng trình toán phổ thông, toán cực trị có điều kiện xuất dƣới dạng tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức với điều kiện cho ẩn số Các toán dạng thƣờng xuất tài liệu, kỳ thi dành cho học sinh giỏi Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết toán cực trị có điều kiện phƣơng pháp giải cần thiết cho giáo viên đƣa vào giảng dạy bồi dƣỡng học sinh giỏi học sinh trƣờng chuyên, giúp học sinh có nhìn tổng quan mạch lạc vấn đề cực trị hàm nhiều biến Góc nhìn giúp học sinh THPT giải cực trị kì thi học sinh giỏi đề thi Đại học Việc nắm sở lý thuyết toán cực trị có điều kiện phƣơng pháp giải giúp cho giáo viên có khả giải sáng tạo toán mới, điều đặc biệt quan trọng đề thi học sinh giỏi Với mong muốn tìm hiểu sâu toán cực trị có điều Footer Page of 145 Header Page of 145 kiện, phƣơng pháp giải nhƣ cách sáng tạo toán mới, chọn đề tài “ Phƣơng pháp Lagrange cho toán cực trị có điều kiện ứng dụng” để làm đề tài cho luận văn cao học Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu đề tài - Nắm đƣợc toán cực trị có điều kiện, định nghĩa điều kiện cần đủ cực trị - Phƣơng pháp nhân tử Lagrange ứng dụng để giải toán cực trị hàm nhiều biến - Sáng tạo đƣợc toán vận dụng phƣơng pháp Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Sử dụng Phƣơng pháp nhân tử Lagrange để giải toán cực trị hình học đại số chƣơng trình toán cấp phổ thông cấp đại học - Sáng tạo số toán Phƣơng pháp nghiên cứu - Phân tích, tổng hợp tài liệu nƣớc nƣớc để tìm hiểu vấn đề liên quan đến đề tài - Hệ thống hóa lý thuyết thu thập - Thảo luận, trao đổi - Dựa kết đạt đƣợc để sáng tạo giải số toán Cấu trúc luận văn: Phần mở đầu Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chƣơng BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI Chƣơng ỨNG DỤNG VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN Footer Page of 145 Header Page of 145 CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN n VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN  Một số khái niệm tính chất bản: - Với số nguyên không âm n, tập n n số thực có thứ tự Một phần tử tập tất đƣợc viết là: n x  ( x1 , x2 , xn ), xi  , i  1, n - Trên   ta định nghĩa phép cộng phép nhân nhƣ sau: với n với x  ( x1 , x2 ,, xn ), y  ( y1, y2 ,, yn )  n , x  y  ( x1  y1 , x2  y2 , , xn  yn ) ,  x  ( x1 , x2 , , xn ) - Tập n với hai phép toán cộng nhân vô hƣớng tạo thành không gian vectơ n chiều thƣờng đƣợc gọi không gian vectơ n không gian - Không gian vectơ e1  1;0;0; ;0  , đó, vectơ n n n cho ngắn gọn có sở tắc: e2   0;1;0; ;0  , , en   0;0; ;0;1 Khi đƣợc viết dƣới dạng: x  n x e i i i 1 - Tích vô hƣớng định x, y  n x y i i n ánh xạ: , : n  n  xác  x1 y1  x2 y2   xn yn i 1 - Độ dài (hay gọi chuẩn) vectơ x đƣợc định nghĩa bởi: x  x, x  n x i i 1 - Không gian không gian Hilbert Footer Page of 145 n với tính vô hƣớng , tạo thành Header Page of 145 Định nghĩa 1.1.1 (Hình cầu mở hình cầu đóng) - Hình cầu mở tâm điểm x0  điểm R n định nghĩa  B( x0 ,  )  x  n n - Hình cầu đóng tâm điểm x0  tập điểm n bán kính   tập  x  x0   n bán kính   định nghĩa   B[x0 ,  ]  x  R n x  x0   Định nghĩa 1.1.2 (Tập mở n ) Tập S  n mở với x  S tồn   cho hình cầu mở B( x0 ,  )  S Định lý 1.1.3 (Định lý tập mở Tập rỗng tập mở n ) n tập mở Hợp tập mở tập mở Giao hữu hạn tập mở tập mở Định lý 1.1.4 (Mọi tập mở họ hình cầu mở) Giả sử S n tập mở Với x  S chọn  x  cho B ( x,  x ) B( x,  x )  S Khi S  xS Định nghĩa 1.1.5 (Tập đóng phần bù S n :( n n ) S n đóng \ S ) tập mở Định lý 1.1.6 Ta có số tính chất sau tập đóng: Tập rỗng tập đóng Toàn không gian n tập đóng Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng Giao tập đóng tập đóng Định lí 1.1.7 (Các tập đóng khoảng đóng) Giả sử S tập đóng Khi đó: Footer Page of 145 Header Page of 145 S ((, ]  [bi , )) , với số thực  bi tập số I iI Định nghĩa 1.1.8 (Tập bị chặn n ) Tập S  n đƣợc gọi bị chặn chứa đƣợc hình cầu (mở hay đóng) bán kính  Định lý 1.1.9 (Cận cận tập ) Giả sử S  tập mở bị chặn giả sử a cận lớn S b cận nhỏ S Khi đó, a  S b  S Giả sử S  tập đóng bị chặn giả sử a cận lớn S b cận nhỏ S Khi đó, a  S b  S Định nghĩa 1.1.10 (Heine – Tập Compact n ) Tập đƣợc gọi Compact S đóng bị chặn S 1.2 HÀM NHIỀU BIẾN n Định nghĩa 1.2.11 Cho   A  f : A p n Khi đó, ánh xạ p xác định x  ( x1 , x2 , , xn )  A  f ( x1 , x2 , , xn )  - Khi p  , f đƣợc gọi hàm thực nhiều biến - Khi p  , f đƣợc gọi hàm vectơ nhiều biến Tập A đƣợc gọi miền xác định hàm số, số x1 , x2 , , xn đƣợc gọi biến số hàm f Định nghĩa 1.2.12 (Giới hạn hàm vectơ n biến) Cho hàm vectơ f : A  n  p điểm a  A Ta nói hàm f tiến đến giới hạn b  p x tiến đến a , hay b giới hạn hàm f a , với   cho trƣớc tồn   (  phụ thuộc vào  ) cho với x  A thỏa mãn Footer Page of 145 Header Page of 145  x  a   ta có f ( x)  b   Khi ta viết lim f ( x)  b hay x a f ( x)  b x  a với Vì hội tụ không gian n hội tụ theo tọa độ nên ta dùng kí hiệu x  ( x1 , , xn ), a  (a1 , , an ) lim f ( x1 , , xn )  b x1  a1 xn an Định nghĩa 1.2.13 (Hàm liên tục nhiều biến) a Hàm f : A  n  p đƣợc gọi liên tục điểm x0 A lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 b Hàm f : A  n  p đƣợc gọi liên tục A f liên tục điểm a  A c.Hàm f đƣợc gọi liên tục A với   tồn    ( )  (chỉ phụ thuộc vào  ) cho với x, x'  A thỏa mãn x  x'   ta có f ( x)  f ( x' )   d Hàm f  ( f1 , , f p ) : A  n  p liên tục a  A hàm thành phần liên tục a Định nghĩa 1.2.14 (Hàm liên tục theo biến) Hàm f : A n  p đƣợc gọi liên tục theo biến xi điểm a  (a1 , , an ) với   tồn   cho với xi  Ai  xi  (a1 , , 1 , xi , 1 , an )  A thỏa mãn xi    ta có f (a1 , , 1 , xi , 1 , , an )  f (a1, , an )   Định lí 1.2.15 Cho hàm f : A  A Nếu A tập Compact trong p Footer Page of 145 n n  p hàm liên tục f ( A) tập Compact Header Page of 145 Định lí 1.2.16 Nếu f : A  A tập Compact n n  hàm liên tục A hàm f đạt cận cận A Định nghĩa 1.2.17 (Hàm bị chặn) Hàm f : A  đƣợc gọi bị chặn A f ( A) tập bị chặn n  p , tức p tồn số M  cho f ( x)  M với x  A 1.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO 1.3.1 Đạo hàm riêng Giả sử e1 , e2 , , en sở tắc không gian tập hợp mở n f : U  n ,U hàm số n biến số, x  ( x1 , , xn ) U Định nghĩa 1.3.18 Đạo hàm riêng cấp một: Xét giới hạn f ( x  tei )  f ( x) , lim t 0 t Nếu tồn đƣợc gọi đạo hàm riêng thứ i hàm f x hay đạo hàm riêng theo biến xi hàm f x kí hiệu Di f ( x) hay f ( x) f x'i ( x) xi Định nghĩa 1.3.19 Đạo hàm riêng cấp cao: Cho tập hợp mở U n điểm a U Giả sử f : U  tồn với Di f ( x) hàm số cho x U Nhƣ ta có ánh xạ Di f : U  , x  Di f ( x) Nếu hàm số Di f có đạo hàm theo biến thứ j a tức tồn D j ( Di )(a) đạo hàm đƣợc gọi đạo hàm riêng cấp hai f a theo biến thứ biến thứ i thứ j hay theo biến xi xj Footer Page of 145 đƣợc kí hiệu Di , j f (a) hay Header Page 10 of 145 2 f 2 f     (a), (a)  f  (a)  xi x j xi x j x j  xi  Định nghĩa 1.3.20 (Gradien f ): hàm vectơ mà thành phần đạo hàm riêng theo biến f Kí hiệu grad f f xác định f  ( f f f , , , ) x1 x2 xn 1.3.2 Đạo hàm hàm hợp * Công thức tính đạo hàm riêng hàm hợp Cho hàm f , g : A  n   ( g f )(a)  x j m p : g fi i j  y (b) x i 1 (a),( j  1, , n) * Công thức Taylor hàm nhiều biến Giả sử U tập mở n , a U f : U  Ta kí hiệu toán tử Ta ()  ( x1  a1 )    ,  ( x2  a2 )   ( xn  an ) x1 x2 xn xác định nhƣ sau Ta ( f )  f n  ( x  a ) x (a) , a  (a , , a ) , 1 i 1 Và Tak () n i luỹ thừa hình thức k Tak ()       ( x1  a1 )  ( x2  a2 )   ( xn  an )  x1 x2 xn   Định lí 1.3.21 (Công thức Taylor) Giả sử U tập mở n , a U r  cho B(a, r )  U Cho f  C k (U ) , với x  B(a, r ) tồn    a, x  cho Footer Page 10 of 145 Header Page 12 of 145 tuyến tính từ n  10 n  xác định ma trận đƣợc gọi đạo hàm cấp hai f a , kí hiệu D2 f (a) hay f '' (a) Nếu lấy k  h biểu thức D f (a)(h, h)  2 f (a)hi h j i , j 1 xi x j n  Đƣợc gọi vi phân cấp hai f a , kí hiệu d f (a) Thông thƣờng ta kí hiệu hi  dxi , vi phân cấp hai đƣợc viết dƣới dạng d f (a)   f (a) dxi dx j i , j 1 xi x j n  Tƣơng tự nhƣ ta định nghĩa đƣợc vi phân cấp cao f 1.4 HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM Định nghĩa 1.4.24 (Hàm lồi) Cho  tập lồi n Một hàm f xác định tập lồi  đƣợc gọi lồi với x1 , x2   ,0    , ta có: f  ax1  (1   ) x2   af ( x1 )  (1   ) f ( x2 ) Hơn nữa, với  ,0    x1  x2 , ta có: f  ax1  (1   ) x2   af ( x1 )  (1   ) f ( x2 ), f đƣợc gọi lồi chặt Định nghĩa 1.4.25 (Hàm lõm) Một hàm g xác định tập lồi  đƣợc gọi lõm hàm f   g lồi Hàm g lõm chặt  g lồi chặt Định nghĩa 1.4.26 (Ma trận xác định)  Ma trận A n  n đƣợc gọi xác định dƣơng (tƣơng ứng xác định âm; không xác định), với vectơ x  toàn phƣơng xác định Q( x)  xT A x Footer Page 12 of 145 n , x  dạng Header Page 13 of 145 11 nhận giá trị dƣơng (tƣơng ứng nhận giá trị âm; nhận giá trị âm giá trị dƣơng), tức xT Ax  0, x  n ,x   Nếu dạng toàn phƣơng nhận giá trị không âm (tƣơng ứng nhận giá trị không dƣơng), ma trận đƣợc gọi nửa xác định dƣơng (tƣơng ứng nửa xác định âm) ma trận không xác định xác không ma trận nửa xác định dƣơng ma trận nửa xác định âm Mệnh đề 1.4.27 Cho f1 f hàm lồi tập lồi  Khi hàm f1  f lồi  Mệnh đề 1.4.28 Cho f hàm lồi tập lồi  Khi af hàm lồi với a  Từ hai mệnh đề nhận thấy tổ hợp a1 f1  a2 f   am f m hàm lồi lồi Cuối cùng, xét tập xác định bất đẳng thức ràng buộc cho hàm lồi Mệnh đề 1.4.29 Cho f hàm lồi tập lồi  Tập c  x x , f ( x)  c lồi với số thực c Ta thấy rằng, giao tập lồi tập lồi nên tập điểm đồng thời thỏa mãn f1 ( x)  c1 , f ( x)  c2 , , f m  cm , Sao cho với f i hàm lồi, xác định tập lồi Điều quan trọng toán học, tập ràng buộc thường định nghĩa cách Mệnh đề 1.4.30 (Tính chất hàm lồi khả vi) Cho f  C1 Khi f lồi tập lồi  f ( y)  f ( x)  f ( x)( y  x) , với x, y  Đối với hàm khả vi cấp hai liên tục có đặc tính khác tính lồi Mệnh đề 1.4.31 Cho f  C Khi f lồi tập lồi  Footer Page 13 of 145 Header Page 14 of 145 12 chứa điểm ma trận Hessian F (ma trận đạo hàm riêng cấp hai) nửa xác định dương  1.5 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1.5.1 Cực trị tự Cho hàm f : x0  n n  Bài toán cực trị tự toán: tìm cho f ( x0 )  inf f ( x) f ( x0 )  sup f ( x) xD xD Nhƣ vậy, toán cực trị tự toán tìm x0 để hàm f đạt giá trị nhỏ giá trị lớn n Những giá trị gọi cực trị toàn cục (xem định nghĩa bên dƣới) Định nghĩa 1.5.32 (Cực trị địa phƣơng) Một điểm x*  n đƣợc gọi điểm cực tiểu địa phƣơng f tồn   cho f ( x)  f ( x*) với x  B( x*,  ) Nếu f ( x)  f ( x*) với x  B( x*,  ) , x  x * x * đƣợc gọi điểm cực tiểu địa phƣơng thực f B( x*,  ) Một điểm x*  n đƣợc gọi điểm cực đại địa phƣơng f tồn   cho f ( x)  f ( x*) với x  B( x*,  ) Nếu f ( x)  f ( x*) với x  B( x*,  ) , x  x * x * đƣợc gọi điểm cực tiểu địa phƣơng thực f B( x*,  ) Định nghĩa 1.5.33 (Cực trị toàn cục) Một điểm x*  f : n  n đƣợc gọi điểm cực tiểu toàn cục f ( x)  f ( x*) với x  Nếu f ( x)  f ( x*) với x  n Footer Page 14 of 145 n , x  x * x * đƣợc gọi điểm cực tiểu toàn cục thực f Một điểm x*  n n đƣợc gọi điểm cực đại toàn cục Header Page 15 of 145 f : n  13 f ( x)  f ( x*) với x  Nếu f ( x)  f ( x*) với x  n n , x  x * x * đƣợc gọi điểm cực đại toàn cục thực f n i Điều kiện cần cấp Định lý 1.5.34 (Định lý Fermat) Cho hàm f  C1 xác định n Nếu x * điểm cực trị địa phương f n f ( x*)  Định nghĩa 1.5.35 Điểm mà đạo hàm riêng f đƣợc gọi điểm dừng hàm Hàm f đạt cực trị điểm dừng Tuy nhiên điều kiện cần để có cực trị, nên điểm dừng chƣa điểm cực trị Điều kiện cần cho điểm cực trị địa phƣơng dẫn đến n phƣơng trình (mỗi phƣơng trình cho thành phần f ) với n ẩn (các thành phần x * ), nhiều trƣờng hợp giải để xác định nghiệm Chúng ta minh họa ví dụ sau: ii Điều kiện cần cấp hai Mệnh đề 1.5.36 Giả sử x * điểm cực tiểu địa phương n hàm f  C : n  Khi đó, i f ( x*)  , ii d T 2 f ( x*)d  , với d Để đơn giản thường kí hiệu 2 f ( x) , ma trận n  n đạo hàm riêng cấp hai f , ma trận Hessian f kí hiệu F ( x) Điều kiện (1.5.2) tương đương với ma trận F ( x*) nửa xác định dương iii Điều kiện đủ cấp hai Mệnh đề 1.5.37 Cho f  C hàm xác định Footer Page 15 of 145 n Header Page 16 of 145 14 Giả sử điểm x * thỏa mãn điều kiện f ( x*)  , F ( x*) xác định dấu Khi x * điểm cực tiểu địa phương thực f F ( x*) xác định dương x * điểm cực đại địa phương thực f F ( x*) xác định âm Nếu F ( x*) không xác định x * cực trị f Nhận xét 1.5.38 Chúng ta dùng tiêu chuẩn sau để nhận biết ma trận F ( x*) xác định dương hay xác định âm: Nếu tất định thức F ( x*) dương điểm dừng x * điểm cực tiểu Nếu F ( x*) có định thức cấp lẻ âm tất định thức cấp chẵn dương điểm dừng x * điểm cực đại Nhận xét 1.5.39 Đối với trường hợp hàm hai biến, có tiêu chuẩn chi tiết sau: Giả sử hàm f  C từ  có điểm dừng ( x0 , y0 ) Gọi  định thức ma trận  F ( x0 , y0 ) , tức   f xy'' ( x0 , y0 )   f xx'' ( x0 , y0 ) f yy'' ( x0 , y0 ) Nếu   điểm dừng ( x0 , y0 ) điểm cực trị hàm số:  ( x0 , y0 ) điểm cực đại f xx''  ,  ( x0 , y0 ) điểm cực tiểu f xx''  Nếu   ( x0 , y0 ) cực trị hàm f Nếu   ta không kết luận cực trị ( x0 , y0 ) (Muốn có kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác) 1.5.2 Cực trị có điều kiện Footer Page 16 of 145 Header Page 17 of 145 15 Cho tập   D  n , hàm f : D  Bài toán cực trị có điều kiện toán: tìm x0  D cho f ( x0 )  inf f ( x) f ( x0 )  sup f ( x) xD xD Nhƣ vậy, toán cực trị có điều kiện toán tìm x0 để hàm f đạt giá trị nhỏ giá trị lớn tập D Những giá trị gọi cực trị toàn cục có điều kiện (xem định nghĩa bên dƣới) Định nghĩa 1.5.40 (Cực trị địa phƣơng có điều kiện) Cho f liên tục tập Compact D Lúc đó, toán có nghiệm Một điểm x * đƣợc gọi điểm cực tiểu địa phƣơng có điều kiện f : D  có tồn   cho f ( x)  f ( x*) với x  B( x*,  )  D Nếu f ( x)  f ( x*) với x  B( x*,  )  D , x  x * x * đƣợc gọi điểm cực tiểu địa phƣơng có điều kiện thực f B( x*,  )  D Một điểm x * đƣợc gọi điểm cực đại địa phƣơng có điều kiện f : D  R có tồn   cho f ( x)  f ( x*) với x  B( x*,  )  D Nếu f ( x)  f ( x*) với , x  x * x * đƣợc gọi điểm cực tiểu địa phƣơng có điều kiện thực f B( x*,  )  D Định nghĩa 1.5.41 (Cực trị toàn cục có điều kiện) Một điểm x * đƣợc gọi điểm cực tiểu toàn cục có điều kiện f : D  có tồn   cho f ( x)  f ( x*) với x  D Nếu f ( x)  f ( x*) với x  D , x  x * x * đƣợc Footer Page 17 of 145 Header Page 18 of 145 16 gọi điểm cực tiểu toàn cục thực có điều kiện f D Một điểm x * đƣợc gọi điểm cực đại toàn cục có điều kiện f : D  f ( x)  f ( x*) với x  D Nếu f ( x)  f ( x*) với x  D, x  x * x * đƣợc gọi điểm cục đại toàn cục thực có điều kiện f D * Sự tồn nghiệm Định lý 1.5.42 Điều kiện đủ để tồn nghiệm (tối ưu) (P) tồn t  cho tập F  ( D)  x  : f ( x)  t , x  D khác  , đóng bị chặn Định lý 1.5.43 Cho f hàm lồi xác định tập lồi D Ký hiệu  tập tất điểm cực tiểu hàm f Khi  tập lồi, điểm cực tiểu địa phương f cực tiểu toàn cục Định lý 1.5.44 Cho f  C1 hàm lồi tập lồi D Nếu có điểm x*  D cho, với y  D , f ( x*)( y  x*)  , x * điểm cực tiểu toàn cục có điều kiện f D Định nghĩa 1.5.45 (Hƣớng chấp nhận đƣợc) Cho x  D ( D tập lồi), vectơ d hƣớng chấp nhận đƣợc x có   thỏa mãn x   d  D với  ,     Mệnh đề 1.5.46 (Điều kiện cần cấp ) Cho D tập hợp R n cho f  C1 hàm D Nếu x * điểm cực tiểu địa phương có điều kiện f D , với d  n mà d hướng chấp nhận x * , ta có f ( x*)d  Footer Page 18 of 145 Header Page 19 of 145 17 Mệnh đề 1.5.47 (Điều kiện cần cấp 2) Cho D   tập lồi n cho f  C hàm D Nếu x * điểm cực tiểu địa phương có điều kiện f D , với d  n mà d hướng chấp nhận x * Ta có: i f ( x*)d  (1.5.4) ii Nếu f ( x* )d  d T 2 f ( x* )d  Mệnh đề 1.5.48 (Điều kiện đủ) Cho D   tập lồi n cho f  C hàm D Nếu x0  D thỏa mãn: i f ( x*)d  ; ii d Tf ( x*)d  0, d thỏa mãn f ( x*) d  x* cực tiểu địa phương có điều kiện f D CHƢƠNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI 2.1 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Chúng ta xem xét Bài toán phi tuyến dạng:  f ( x)  h ( x)  0,   h2 ( x)  0,    hm ( x)  0,  n  x  D  , (2.2.1) m  n hàm f , hi ,(i  1, 2, , m) liên tục, có Footer Page 19 of 145 Header Page 20 of 145 18 đạo hàm riêng cấp hai liên tục Để kí hiệu đơn giản, giới thiệu hàm giá trị vectơ h  (h1 , h2 , , hm ) (2.2.1) đƣợc viết lại min f ( x)   h( x )  x  D   n (2.2.2) Với h( x)  đƣợc xem nhƣ hàm điều kiện, điều kiện x  D  n điều kiện cố định Bỏ qua điều kiện cố định, chƣơng này, giả sử D không gian n nghiệm (2.2.2) nằm phần D Một điểm x  D mà thỏa mãn tất hàm điều kiện đƣợc gọi điểm chấp nhận đƣợc Tập tất điểm chấp nhận đƣợc gọi tập điểm chấp nhận đƣợc Bài toán (2.2.2) trƣờng hợp đặc biệt toán tìm  cực trị tổng quát mục 1.5.2 Vì   x  n : h( x)  0, x  D , ta có toán (2.2.2) tƣơng đƣơng với toán tìm f ( x) x Định nghĩa 2.1.1 (Điểm quy) Một điểm x * thỏa mãn điều kiện h( x*)  đƣợc gọi điểm quy điều kiện vectơ gradient h1 ( x*), h2 ( x*), , hm ( x*) độc lập tuyến tính Chú ý h affine, h( x)  Ax  b quy tƣơng đƣơng với A có hạng m Tại điểm quy x * mặt S định nghĩa h( x)  không gian tiếp xúc mặt M   y : h( x*) y  0 2.1.1 Điều kiện cần cấp Định lý 2.1.2 Cho x * điểm quy điều Footer Page 20 of 145 Header Page 21 of 145 19 kiện h( x)  điểm cực trị địa phương có điều kiện (một điểm cực tiểu cực đại) f thỏa mãn điều kiện Khi tất y  n thỏa mãn h( x*) y  , (2.2.3) f ( x*) y  phải thỏa mãn (2.2.4) Định lý 2.1.3 Cho x * điểm cực trị địa phương có điều kiện f với điều kiện h( x)  x * điểm quy điều kiện Khi đó, có   m cho f ( x*)   h( x*)  T Từ Định lý 2.1.2 trước x * nghiệm toán (2.2.2) có   m thỏa mãn f ( x*)   T h( x*)  với điều kiện h( x*)  cho ta hệ gồm n  m phương trình với n  m ẩn gồm x*,  Từ đó, thuận lợi để giới thiệu hàm Lagrange kết hợp với toán có điều kiện Định nghĩa hàm Lagrange sau  ( x,  )  f ( x)   T h( x) Khi đó, điều kiện cần biểu diển dạng  x ( x,  )  ,  ( x,  )  Cách biểu diễn trình bày đơn giản điều kiện cần 2.1.2 Điều kiện cần cấp hai Trong suốt phần này, giả sử f , h  C Định lí 2.1.4 Giả sử x * cực tiểu địa phương có điều kiện f với h( x)  x * điểm quy điều Footer Page 21 of 145 Header Page 22 of 145 20 kiện Khi đó, tồn   m cho f ( x*)   T h( x*)  Nếu M không gian tiếp xúc M   y : h( x*) y  0 , ma trận L( x*)  F ( x*)   T H ( x*) (ở F, H ma trận Hessian f, h) nửa xác định dương M , tức yT L( x*) y  với y  M 2.1.3 Điều kiện đủ cấp hai Định lý 2.1.5 Giả sử có điểm x * thỏa mãn h( x*)  ,   R m cho f ( x*)   T h( x*)  (2.2.14) Cũng giả sử ma trận L( x*)  F ( x*)   H ( x*) xác T định dương M  y  n : h( x*) y  0 , nghĩa với y  M , y  ta có yT L( x*) y  Khi đó, x * cực tiểu địa phương có điều kiện thực f với h( x)  2.2 CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI 2.2.1 Chuyển toán không dùng phƣơng pháp nhân tử Lagrange Với công cụ cấp trung học phổ thông, phƣơng pháp giải toán nhiều biến số làm giảm dần biến số cách tìm cực trị theo phƣơng Nếu (2.2.1), từ điều kiện ràng buộc ta biểu diễn lần lƣợt biến xi , i  1, n dƣới dạng hàm ẩn xi  i ( x1 , x2 , , xi 1 , xi 1 , , xn ) thay vào (2.2.1) ta đƣợc toán có n  biến,… lần lƣợt nhƣ hết điều kiện ràng buộc, toán cực tiểu có điều kiện nêu quy toán cực trị tự n  m biến Footer Page 22 of 145 Header Page 23 of 145 21 2.2.2 Phƣơng pháp nhân tử Lagrange Trƣớc tiên ta nhắc lại Bài toán (P): f ( x) (2.3.1)  hi ( x)  0, i  1, m,  n  x  D  Với (2.3.2) f , hi ; i  1, n hàm có đạo hàm riêng cấp liên tục Hàm Lagrange hàm n  m biến số với nhân tử Lagrange i  R n , i  1, m : L( x,  )  f ( x)  i hi ( x), i  1, m Theo điều kiện cần nhắc phần trƣớc Nếu toán đạt cực trị x*   x1 , x2 , , xn  tồn số 1 , 2 , , m cho m  n số  x , x , , x ,  ,  , ,   n nghiệm hệ phƣơng m hm h1 h2  L f  x  x  1 x  2 x   m x  0, i  1, n i i i i  i h  0, j  1, m  j trình: Nói cách khác điều kiện cần để toán đạt cực trị x*   x1 , x2 , , xn  tồn số 1 , 2 , , m cho  x , x , , x ,  ,  , ,   điểm dừng hàm Lagrange n m Dùng điều kiện đủ cấp hai để kiểm tra xem điểm dừng  x , x , , x ,  ,  , ,   có điểm cực trị hay không n m Từ ta có phương pháp nhân tử Lagrange tổng quát sau:  Bƣớc 1: Xây dựng hàm Lagrange L( x,  )  f ( x)  .h( x), x  Footer Page 23 of 145 n Header Page 24 of 145 22  Bƣớc 2: Tính L'xi  f x'i   hx' i Và giải hệ phƣơng trình sau để tìm điểm dừng ( xi )in1 với giá trị i tƣơng ứng '   Lxi  0,   h j ( x)  0, i  1, n; j  1, m  Bƣớc 3: Xác định vi phân cấp d 2L  L( x ) n L i , j 1 " xi x j dxi dx j , tính ràng buộc: dh j ( x)  h  n i 1 ' j x i dxi  0, j  1, m Với điểm dừng x *   0 tìm đƣợc Bƣớc 2, xét A  d L( x*) (phụ thuộc dxi , i  1, n )  Nếu A  với dxi , i  1, n không đồng thời thỏa dh j ( x*)  hàm số đạt cực tiểu có điều kiện x *  Nếu A  với dxi , i  1, n không đồng thời thỏa dh j ( x*)  hàm số đạt cực đại có điều kiện x *  Nếu dấu A không xác định xét theo dxi , i  1, n không đồng thời thỏa dh j ( x*)  hàm f không đạt cực trị x * Footer Page 24 of 145 Header Page 25 of 145 23 CHƢƠNG ỨNG DỤNG VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN 3.1 GIẢI TOÁN TRONG CHƢƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG 3.1.1 Các toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn Ý tưởng chung là:  Bước 1: Chuyển toán giá trị lớn nhất, nhỏ toán cực trị có điều kiện  Bước 2: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để giải toán cực trị có điều kiện Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ giải nhiều phương pháp khác Ở với mục đích luận văn trình bày số ứng dụng phương pháp nhân tử Lagrange nên trình bày phương pháp đưa toán cực trị có điều kiện 3.1.2 Các toán bất đẳng thức Ý tưởng chung:  Bước 1: Từ bất đẳng thức ta đưa dạng f ( x)   , x  n ,   (với "  " dấu bất đẳng thức đó)  Bước 2: Chuyển toán cực trị có điều kiện cho hàm f  Bước 3: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để giải toán cực trị có điều kiện cho giá trị nhỏ tìm phải lớn  , giá trị lớn tìm phải nhỏ  3.2 SÁNG TẠO BÀI TOÁN Ý tưởng để sáng tạo toán sau:  Bước 1: Chọn hàm f hàm ràng buộc cụ thể  Bước 2: Giải toán cực trị có điều kiện tương ứng  Bước 3: Trên sở bước 2, đặt toán tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức,… Footer Page 25 of 145 Header Page 26 of 145 24 KẾT LUẬN Luận văn “Phương pháp Lagrange cho toán cực trị có điều kiện ứng dụng” thực đƣợc vấn đề sau: Hệ thống, phân loại kiến thức liên quan để trình bày khái niệm cực trị, điều kiện để tồn cực trị Trình bày toán cực trị có điều kiện cho phƣơng trình xây dựng giải thuật: phƣơng pháp Nhân tử Lagrange với nhiều ví dụ minh họa Tìm hiểu ứng dụng phƣơng pháp Nhân tử Lagrange toán đại số hình học từ góp phần sáng tạo số toán khác Hy vọng thời gian tới, nội dụng luận văn đƣợc bổ sung hoàn thiện nhằm chứng tỏ ứng dụng đa dạng hiệu Phƣơng pháp Nhân tử Lagrange Footer Page 26 of 145 ... Chuyển toán giá trị lớn nhất, nhỏ toán cực trị có điều kiện  Bước 2: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để giải toán cực trị có điều kiện Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ giải nhiều phương. .. Chuyển toán cực trị có điều kiện cho hàm f  Bước 3: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để giải toán cực trị có điều kiện cho giá trị nhỏ tìm phải lớn  , giá trị lớn tìm phải nhỏ  3.2 SÁNG TẠO BÀI... hiểu sâu toán cực trị có điều Footer Page of 145 Header Page of 145 kiện, phƣơng pháp giải nhƣ cách sáng tạo toán mới, chọn đề tài “ Phƣơng pháp Lagrange cho toán cực trị có điều kiện ứng dụng