Phương pháp lagrange cho bài toán cực trị có điều kiện và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ ÁI PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ ÁI PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE CHO BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƢỜI Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chƣa đƣợc công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Ái MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN n VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN 1.2 HÀM NHIỀU BIẾN 1.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO 1.3.1 Đạo hàm riêng 1.3.2 Đạo hàm hàm hợp 10 1.3.3 Vi phân hàm nhiều biến 11 1.4 HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM 13 1.5 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 15 1.5.1 Cực trị tự 15 1.5.2 Cực trị có điều kiện 22 CHƢƠNG BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI 28 2.1 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 28 2.2 CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI 34 2.2.1 Chuyển tốn khơng dùng phƣơng pháp nhân tử Lagrange 34 2.2.2 Phƣơng pháp nhân tử Lagrange 38 CHƢƠNG ỨNG DỤNG VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN 49 3.1 GIẢI TOÁN TRONG CHƢƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG 49 3.1.1 Các tốn tìm giá trị nhỏ nhất, lớn 49 3.1.2 Các toán bất đẳng thức 54 3.1.3 Các tốn hình học 59 3.2 SÁNG TẠO BÀI TOÁN 65 KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong lý thuyết ứng dụng ta thƣờng gặp tốn cực trị có điều kiện (tìm cực đại cực tiểu) Khi giải toán cực trị ngƣời ta thƣờng tìm cách đƣa toán đơn giản hơn: với số biến số ràng buộc hơn, chí khơng có ràng buộc Ý tƣởng đƣợc thể rõ nét phƣơng pháp nhân tử Lagrange số phƣơng pháp tối ƣu khác Phƣơng pháp nhân tử Lagrange phƣơng pháp tìm cực trị hàm số với ràng buộc cho phƣơng trình Phƣơng pháp tƣơng đối hiệu quả, dễ áp dụng Trong chƣơng trình tốn đại học, phƣơng pháp đƣợc giới thiệu áp dụng để giải số toán cực trị có điều kiện Tuy nhiên, hầu hết giáo trình tiếng việt, chƣa trình bày cách đầy đủ sở lý thuyết phƣơng pháp nhân tử Lagrange Trong chƣơng trình tốn phổ thơng, tốn cực trị có điều kiện xuất dƣới dạng tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức với điều kiện cho ẩn số Các toán dạng thƣờng xuất tài liệu, kỳ thi dành cho học sinh giỏi Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết tốn cực trị có điều kiện phƣơng pháp giải cần thiết cho giáo viên đƣa vào giảng dạy bồi dƣỡng học sinh giỏi học sinh trƣờng chuyên, giúp học sinh có nhìn tổng quan mạch lạc vấn đề cực trị hàm nhiều biến Góc nhìn giúp học sinh THPT giải cực trị kì thi học sinh giỏi đề thi Đại học Việc nắm sở lý thuyết tốn cực trị có điều kiện phƣơng pháp giải giúp cho giáo viên có khả giải sáng tạo toán mới, điều đặc biệt quan trọng đề thi học sinh giỏi Với mong muốn tìm hiểu sâu tốn cực trị có điều kiện, phƣơng pháp giải nhƣ cách sáng tạo tốn mới, tơi chọn đề tài “ Phƣơng pháp Lagrange cho tốn cực trị có điều kiện ứng dụng” để làm đề tài cho luận văn cao học Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Nắm đƣợc toán cực trị có điều kiện, định nghĩa điều kiện cần đủ cực trị Phƣơng pháp nhân tử Lagrange ứng dụng để giải toán cực trị hàm nhiều biến Sáng tạo đƣợc toán vận dụng phƣơng pháp Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Sử dụng Phƣơng pháp nhân tử Lagrange để giải tốn cực trị hình học đại số chƣơng trình tốn cấp phổ thơng cấp đại học Sáng tạo số tốn Phƣơng pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp tài liệu nƣớc nƣớc để tìm hiểu vấn đề liên quan đến đề tài Hệ thống hóa lý thuyết thu thập Thảo luận, trao đổi Dựa kết đạt đƣợc để sáng tạo giải số toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung luận văn đƣợc chia làm chƣơng, đó: Chƣơng Trình bày số khái niệm Topo n , kết tập hợp, ánh xạ khái niệm cực trị tự do, cực trị có điều kiện Chúng ta bỏ qua hầu hết chứng minh định lý mệnh đề, chứng minh kết tham khảo tài liệu [1], [3], [4] Chƣơng Phát biểu tốn cực trị có điều kiện cho phƣơng trình, tồn nghiệm điều kiện cần đủ để có cực trị có điều kiện Từ sở lý thuyết ta đƣa phƣơng pháp để giải toán cực trị có điều kiện Đặc biệt trình bày cụ thể Phƣơng pháp nhân tử Lagrange cho n phƣơng trình m điều kiện ràng buộc Chứng minh định lý mệnh đề tƣơng tự nhƣ tài liệu tham khảo [2], [5], [7] Chƣơng Ứng dụng phƣơng pháp nhân tử Lagrange cho toán cực trị có điều kiện chƣơng trình phổ thơng số hƣớng sáng tạo số toán CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phần trình bày số khái niệm n , kết tập hợp, ánh xạ khái niệm cực trị tự do, cực trị có điều kiện Chúng ta bỏ qua hầu hết chứng minh định lý mệnh đề, chứng minh kết tham khảo tài liệu [1], [3], [4] n 1.1 KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN Trước tiên ta nhắc lại khái niệm trường số thực n Một số khái niệm định lý tập mở, tập đóng, tập bị chặn, tập Compact đưa sở cho việc nghiên cứu toán cực trị trình bày cuối chương  Một số khái niệm tính chất bản: Với số ngun khơng âm n, tập có thứ tự Một phần tử n n tập tất n số thực đƣợc viết là: x  ( x1 , x2 , xn ), xi  , i  1, n Trên  n ta định nghĩa phép cộng phép nhân nhƣ sau: với với x  ( x1 , x2 ,, xn ), y  ( y1 , y2 ,, yn )  n , x  y  ( x1  y1 , x2  y2 , , xn  yn ) ,  x  ( x1 , x2 , , xn ) Tập n với hai phép tốn cộng nhân vơ hƣớng tạothành không gian vectơ n chiều không gian vectơ n không gian Không gian vectơ n n thƣờng đƣợc gọi cho ngắn gọn có sở tắc: e1  1;0;0; ;0  , e2   0;1;0; ;0  , , en   0;0; ;0;1 Khi đó, vectơ n n đƣợc viết dƣới dạng: x   xi ei i 1 Tích vơ hƣớng n ánh xạ: , : n  n  xác định n x, y   xi yi  x1 y1  x2 y2   xn yn i 1 Độ dài (hay gọi chuẩn) vectơ x đƣợc định nghĩa bởi: x  n x x, x  i i 1 Không gian n với tính vơ hƣớng , tạo thành khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 (Hình cầu mở hình cầu đóng) Hình cầu mở tâm điểm x0  n bán kính   tập điểm R n định nghĩa  B( x0 ,  )  x  n Hình cầu đóng tâm điểm x0  n  x  x0   n bán kính   tập điểm định nghĩa   B[x0 ,  ]  x  R n x  x0   Định nghĩa 1.1.2 (Tập mở n ) Tập S  x  S tồn   cho hình cầu mở B( x0 ,  )  S Định lý 1.1.3 (Định lý tập mở Tập rỗng tập mở n tập mở Hợp tập mở tập mở Giao hữu hạn tập mở tập mở n ) n mở với 58 L''aa  3.2  , (1  a) L''bb  3.2  , (1  b) L''cc  3.2  , (1  c) L''dd  3.2  , (1  b) L''ab   cd  , L''ac  bd  , L''ad  bc  , L''ca  bd  , L''cb   ad  , L''cd   ab  , L''ba   cd  , L''bc   ad  , L''bd   ac  , L''da  bc  , L''db   ac  , L''dc   ab  Lại có: dh  bcd da  acd db  abd dc  abc dd  da  db  dc  dd  Từ đó: d L  ( d a  d 2b  d c  d d )  (2.da.db  2.da.dc  2.da.db  2.db.dc  2.db.dd  2.dc.dd )  (d a  d 2b  d 2c  d d )  ((da.db  da.dc  da.dd ) (db.da  db.dc  db.dd )  (dc.da  dc.db  dc.dd )  ( dd da  dd dc  dd db))  (d a  d 2b  d 2c  d d )  (da(db  dc  dd )  db(da  dc  dd ) dc(da  db  dd )  dd (da  db  dc)) 59  ( d a  d 2b  d c  d d )  (  d a  d 2b  d c  d d )  (d a  d 2b  d 2c  d d )   (1,1,1,1) cực tiểu f 1 1     4 4 f (a, b, c, d )   f  f (1;1;1;1)  a, b, c, d  R  3.1.3 Các tốn hình học Các tốn hình học xét chủ yếu tìm giá trị nhỏ lớn độ dài, diện tích, thể tích hình Vậy ý tưởng chung là:  Bước 1: Chuyển toán giá trị lớn nhỏ toán cực trị có điều kiện  Bước 2: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để giải tốn cực trị có điều kiện Ví dụ 3.1.7 Cho đƣờng thẳng d: 3x  y   Tìm điểm M d cho khoảng cách từ M đến điểm A(3; 1) bé Lời giải Tọa độ điểm M: M ( x, y) Khoảng cách từ M đến A là: MA  ( x  3)2  ( y  1)2 Đặt z  f ( x, y)  ( x  3)2  ( y  1)2 h( x, y)  3x  y   Lập hàm Lagrange: L( x, y,  )  ( x  3)2  ( y  1)2    3x  y   60 x3  '  Lx ( x, y,  )  ( x  3)  ( y  1)  3  0,   y 1   L'y ( x, y,  )     0, 2 ( x  3)  ( y  1)  h( x, y )  x  y     Giải hệ ta có: x3 ( x  3)2  ( y  1)  3y  ( x  3)  ( y  1)  x  3y  Thay vào h( x, y)  3x  y   ta có: 3(3 y  6)  y    y  2  x     Điểm dừng (0; 2)   10 10 Lại có: dh  hx' dx  hy' dy  3dx  dy   ( x  3)  ( x  3)  ( y  1)  ( x  3)  '' ( x  3)  ( y  1) L   xx ( x  3)  ( y  1)  y 1  ( x  3)  ( y  1)  ( y  1)  2 ( x  3)  ( y  1)  L''  yy  ( x  3)  ( y  1)  ( y  1)  ( x  3)  ( x  3)  ( y  1)  L''xy  ( x  3)  ( y  1)  61 3dx  dy  1  L''xx (0;2; ) 10 10 10     '' L (0;2; )   yy  10 10 10   L'' (0;2; )    xy 10 10 10   d x  2  dxdy  d2y  10 10 10 10  10 10  1  d2y  d2y  d2y  90 10 10 10 10  d 2L  Vậy (0; 2) cực tiểu f Mà f (0; 2)  10 Vậy điểm M cần tìm là: M (0; 2) Ví dụ 3.1.8 Tìm điểm mặt cầu x  y  z  mà khoảng cách từ tới điểm  3,1, 1 gần xa Lời giải Tọa độ điểm M: M ( x, y, z ) Khoảng cách từ M đến A là: MA  ( x  3)2  ( y  1)2  ( z  1)2 Suy ra: MA2  ( x  3)2  ( y  1)2  ( z  1)2 Đặt L( x, y, z )  ( x  3)2  ( y  1)2  ( z  1) h( x, y, z )  x  y  z   Lập hàm Lagrange: L( x, y, z,  )  ( x  3)2  ( y  1)  ( z  1)   ( x  y  z  4) 62  L'x ( x, y, z ,  )  2( x  3)  x  0,  '  Ly ( x, y, z ,  )  2( y  1)  y  0,  '  Lz ( x, y, z ,  )  2( z  1)  z  0, h( x, y, z )  x  y  z    Giải hệ ta có:  1 ( 11 2 có giá trị x, y, z tƣơng ứng ( , , ) 11 11 11 6 2 , , ) 11 11 11 Lại có: dh  hx' dx  hy' dy  hz' dz  xdx  ydy  zdz   ''  Lxx   2  ''  Lyy   2  ''  Lzz   2  L''xy  L''yx  L''yz  L''zy  L''xz  L''zx   Xét ( 2 , , ) ta có: 11 11 11 2 xdx  ydy  zdz   ''  Lxx  11  ''  Lyy  11  ''  Lzz  11  L''  L''  L''  L''  L''  L''  yx yz zy xz zx  xy  d L  11d x  11d y  11d z  Từ suy ( 2 , , ) cực tiểu f 11 11 11 63 Vậy điểm M cần tìm là: ( 2 , , ) mà khoảng cách tới điểm 11 11 11 (3;1;-1) gần Tƣơng tự M ( 6 2 , , ) điểm cần tìm mà khoảng cách đến 11 11 11 điểm (3;1;-1) xa Ví dụ 3.1.9 Một khối hộp chữ nhật khơng nắp đƣợc làm từ 12m2 Tính thể tích lớn hộp Lời giải Gọi x, y, z số đo độ dài, độ rộng, chiều cao Ta Tìm giá trị lớn thể tích V  xyz với ràng buộc h( x, y, z )  xz  yz  xy  12  Đặt L( x, y, z)  xyz h( x, y, z )  xz  yz  xy  12  Lập hàm Lagrange: L( x, y, z,  )  xyz   (2 xz  yz  xy  12)  L'x ( x, y, z ,  )  yz   (2 z  y )  0,  '  Ly ( x, y, z ,  )  xz   (2 z  x)  0,  '  Lz ( x, y, z ,  )  xy   (2 x  y )  0, h( x, y, z )  xz  yz  xy  12   Giải hệ ta có:  Lại có: có giá trị x, y, z tƣơng ứng (2,2,1) 64 dh  hx' dx  hy' dy  hz' dz  (2 z  y )dx  (2 z  x )dy  (2 x  y )dz   '' '' ''  Lxx  Lyy  Lzz   L''  z    xy  L''  z   yx  '' L  x    yz  ''  Lzy  x  2  L''  y  2  ''xz  Lzx  y  2 Xét (2,2, 1) ta có: d L  ( z   )dxdy  ( z   )dydx  ( y  2 )dxdz  ( y  2 )dzdx  ( x  2 )dydz  ( x  2 )dzdy = 1 dxdy  dydx  dxdz  dzdx  dydz  dzdy 2 Với dx  dy  2dz  nên d L