Khung và cơ sở Riesz

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC TÚ KHUNG VÀ CƠ SỞ RIESZ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC TÚ KHUNG VÀ CƠ SỞ RIESZ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN QUỲNH NGA Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Lời cảm ơn Lời luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Quỳnh Nga hướng dẫn bảo tận tình suốt trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K4B quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, ngày 25 tháng 09 năm 2012 Tác giả Nguyễn Ngọc Tú 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Mục lục Lời cảm ơn i Mở đầu Nội dung Cơ sở 1.1 Một số khái niệm kết chuẩn bị 1.2 Cơ sở không gian Banach 1.3 Dãy Bessel không gian Hilbert 10 1.4 Cơ sở hệ song trực giao không gian Hilbert 14 1.5 Cơ sở trực chuẩn 18 1.6 Cơ sở Riesz 22 1.7 Một số hạn chế sở 27 Khung không gian Hilbert 31 2.1 Khung tính chất 31 2.2 Khung toán tử 38 2.3 Khung sở 41 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 2.4 Các đặc trưng khung 47 2.5 Khung đối ngẫu 52 2.6 Khung xử lý tín hiệu 57 Khung sở Riesz 61 3.1 Các điều kiện để khung trở thành sở Riesz 61 3.2 Các khung chứa sở Riesz 64 3.3 Sự tồn khung không chứa sở 66 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 71 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cơ sở đóng vai trò thiết yếu nghiên cứu không gian vector trường hợp hữu hạn chiều vô hạn chiều Ý tưởng giống hai trường hợp, cụ thể họ phần tử cho vector không gian xét biểu diễn cách tổ hợp tuyến tính phần tử Trong không gian vô hạn chiều, tình trở nên phức tạp hơn: buộc phải làm việc với chuỗi vô hạn Có số khái niệm sở khác không gian Hilbert sở trực chuẩn, sở Schauder, sở Riesz Tuy nhiên sở có số hạn chế hạn chế thiếu tính linh hoạt Trong số trường hợp điều kiện để trở thành sở mạnh đến mức dường ta xây dựng sở với tính chất đặc biệt thay đổi nhỏ sở làm cho không sở Một hạn chế khác sở thiếu tính ổn định tác động toán tử Những hạn chế vừa đưa số lý khiến nghiên cứu khái niệm khung mà nhiều trường hợp sở tồn khung sử dụng hữu hiệu Khái niệm khung đưa năm 1952 Duffin Schaeffer họ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa, tức chuỗi thiết lập từ eiλn x n∈Z λn ∈ R λn ∈ C, ∀n ∈ Z Tuy nhiên phải đến năm 1986 sau báo Daubechies, Grossmann Meyer khung 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn quan tâm rộng rãi Khung sử dụng nhiều xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày hệ thống khái niệm sở tính chất Chương 2: Trình bày tổng quan lý thuyết khung không gian Hilbert Chương 3: Trình bày số mối liên hệ khung sở Riesz Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô toàn thể bạn đọc Thái Nguyên, ngày 25 tháng 09 năm 2012 Tác giả Nguyễn Ngọc Tú 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Cơ sở 1.1 Một số khái niệm kết chuẩn bị Trong mục nhắc lại vài khái niệm kết cần đến phần Các kết tham khảo [1] Định nghĩa 1.1.1 Giả sử H không gian Hilbert, toán tử bị chặn U : H → H gọi toán tử unita U U ∗ = U ∗ U = I Khi U x, U y = x, y , ∀x, y ∈ H Định nghĩa 1.1.2 Cho họ không gian Hilbert {Hn }∞ n=1 , tổng trực tiếp chúng ký hiệu : ∞ H= ⊕Hn n=1 (1.1) l2 bao gồm tất dãy g = (g1 , g2 , ), với gn ∈ Hn , ∀n ∈ N ∞ gn < ∞ n=1 ∞ H không gian Hilbert tương ứng với tích f, g = f, g ∈ H, với chuẩn g ∞ = fn , gn n=1 Hn , gn n=1 Bổ đề 1.1.3 Giả sử µ độ đo dương σ - đại số M Giả thiết 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn {An }∞ n=1 ⊂ M A1 ⊇ A2 ⊇ ⊇ An ⊇ Nếu µ (A1 ) < ∞ µ ∞ ∩ An n=1 = lim µ (An ) n→∞ Định lý 1.1.4 Giả sử Un : X → Y, n ∈ N dãy toán tử bị chặn, Un hội tụ điểm đến ánh xạ U : X → Y Khi U tuyến tính, bị chặn Ngoài ra, dãy chuẩn Un bị chặn U ≤ lim inf Un Toán tử U : X → Y khả nghịch U toàn ánh đơn ánh Định lý 1.1.5 Một toán tử song ánh, bị chặn không gian Banach có nghịch đảo bị chặn Định lý 1.1.6 Nếu U : X → X bị chặn I − U < U khả nghịch U −1 ∞ = (I − U )k Ngoài ra, U −1 ≤ k=0 1− I−U Bổ đề 1.1.7 Cho H, K không gian Hilbert Giả sử U : K → H toán tử bị chặn Khi có khẳng định sau: (i) U = U ∗ U U ∗ = U (ii) RU đóng H RU ∗ đóng K (iii) U toàn ánh tồn số C > cho U ∗ y ≥ C y , ∀y ∈ H Định lý 1.1.8 Giả sử H không gian Hilbert f : H → C ánh xạ tuyến tính liên tục Khi tồn y ∈ H cho f (x) = x, y Định lý 1.1.9 Giả sử U1 , U2 , U3 toán tử tự liên hợp Nếu U1 ≤ U2 , U3 ≥ U3 giao hoán với U1 , U2 U1 U3 ≤ U2 U3 Bổ đề 1.1.10 Giả sử H không gian Hilbert Mọi toán tử dương, bị chặn U : H → H có bậc hai dương bị chặn W Nếu U tự liên hợp W tự liên hợp Nếu U khả nghịch W 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn khả nghịch W biểu thị giới hạn dãy đa thức U giao hoán với U Bổ đề 1.1.11 Giả sử H không gian Hilbert Khi : (i) Mọi toán tử bị chặn, khả nghịch U : H → H có biểu diễn U = WP mà U toán tử unita, P dương (ii) Giả thiết H phức Khi toán tử dương P H với P ≤ viết trung bình toán tử unita, tức √ P = 21 (W + W∗ ) ; W = P + i I − P Bổ đề 1.1.12 Giả sử H, K không gian Hilbert, giả thiết U : K → H toán tử bị chặn với miền giá trị đóng RU Khi tồn toán tử bị chặn U † : H → K mà U U † f = f, ∀f ∈ RU Toán tử U † gọi giả nghịch đảo U Ta thường thấy giả nghịch đảo toán tử U với miền giá trị đóng định nghĩa toán tử thỏa mãn : ⊥ † NU † = R⊥ U , RU † = NU U U f = f, f ∈ RU (1.2) Bổ đề 1.1.13 Giả sử H, K không gian Hilbert U : K → H toán tử bị chặn với miền giá trị đóng Khi đó: (i) Hình chiếu trực giao H lên RU cho U U † (ii) Hình chiếu trực giao H lên RU † cho U † U ∗ (iii) U ∗ có miền giá trị đóng (U ∗ )† = U † (iv) Trên RU , toán tử U † cho U † = U ∗ (U U ∗ )−1 Định lý 1.1.14 Giả sử H, K không gian Hilbert U : K → H toán tử toàn ánh, bị chặn Cho y ∈ H, phương trình U x = y có nghiệm có chuẩn nhỏ x = U † y 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... 2.5 Khung đối ngẫu 52 2.6 Khung xử lý tín hiệu 57 Khung sở Riesz 61 3.1 Các điều kiện để khung trở thành sở Riesz 61 3.2 Các khung chứa sở Riesz. .. Hilbert 14 1.5 Cơ sở trực chuẩn 18 1.6 Cơ sở Riesz 22 1.7 Một số hạn chế sở 27 Khung không gian Hilbert 31 2.1 Khung tính chất... Có số khái niệm sở khác không gian Hilbert sở trực chuẩn, sở Schauder, sở Riesz Tuy nhiên sở có số hạn chế hạn chế thiếu tính linh hoạt Trong số trường hợp điều kiện để trở thành sở mạnh đến mức