Khung Gabor

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ KHUNG GABOR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ KHUNG GABOR Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN QUỲNH NGA Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Các khái niệm kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép biến đổi Fourier 1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn 1.3 Khung không gian Hilbert 1.4 Định lý Balian-Low 13 Khung Gabor L2 (R) 16 2.1 Khung Gabor 16 2.2 Điều kiện cần 21 2.3 Điều kiện đủ 23 2.4 Không gian Wiener 32 2.5 Các hệ dời chỗ bất biến tổng quát 36 2.6 Các biểu diễn toán tử khung Gabor 44 2.7 Các đối ngẫu khung Gabor 49 2.8 Biến đổi Zak 57 2.9 Khung Gabor chặt 61 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc TS Nguyễn Quỳnh Nga Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến cô giáo Tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010 - 2012, người đem hết tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy trang bị cho nhiều kiến thức sở Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường Đại học Hải Phòng nơi công tác giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt khóa học trình làm luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, người động viên chia sẻ, giúp trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Vũ Thị Thu Hà 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nghiên cứu không gian véctơ, khái niệm quan trọng khái niệm sở, nhờ véctơ không gian viết tổ hợp tuyến tính phần tử sở Tuy nhiên, điều kiện để trở thành sở chặt: phụ thuộc tuyến tính phần tử sở Điều làm cho khó tìm chí không tìm sở thỏa mãn số điều kiện bổ sung Đây lý để tìm công cụ khác linh hoạt khung công cụ Khung cho không gian Hilbert cho phép ta biểu diễn phần tử không gian tổ hợp tuyến tính phần tử khung không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính phần tử khung Khung giới thiệu vào năm 1952 Duffin Schaeffer [3] nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Cộng đồng toán học không nhận tầm quan trọng khái niệm này, phải gần 30 năm trước công trình xuất Vào năm 1980, Young viết sách có kết khung, lại ngữ cảnh chuỗi Fourier không điều hòa Năm 1986, báo Daubechies, Grossmann Meyer [2] đời, lý thuyết khung bắt đầu quan tâm rộng rãi Khung có nhiều ứng dụng xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén liệu [4] Lý thuyết toán học giải tích Gabor L2 (R) dựa hai lớp toán tử L2 (R) là: 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phép tịnh tiến với a ∈ R, Ta : L2 (R) → L2 (R) , (Ta f ) (x) = f (x − a) , Phép biến điệu với b ∈ R, Eb : L2 (R) → L2 (R) , (Eb f ) (x) = e2πibx f (x) Giải tích Gabor nhằm biểu diễn hàm f ∈ L2 (R) chồng chất tịnh tiến biến điệu hàm cố định g ∈ L2 (R) Bài báo năm 1986 Daubechies, Grossmann Meyer lần kết hợp giải tích Gabor với lý thuyết khung Các tác giả xây dựng khung L2 (R) có dạng {Emb Tna g}m,n∈Z Từ sau báo có nhiều công trình nghiên cứu đời Với mong muốn hiểu biết nhiều lý thuyết khung nói chung khung Gabor nói riêng, định chọn " Khung Gabor " làm đề tài luận văn cao học 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các khái niệm kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép biến đổi Fourier Cho f ∈ L1 (R), biến đổi Fourier fˆ định nghĩa ∞ fˆ (γ) := f (x) e−2πixγ dx, γ ∈ R −∞ Ta thường ký hiệu biến đổi Fourier f Ff Nếu L1 ∩ L2 (R) trang bị chuẩn L2 (R), biến đổi Fourier phép đẳng cự từ L1 ∩ L2 (R) đến L2 (R) Nếu f ∈ L2 (R) {fk }∞ k=1 dãy hàm L1 ∩ L2 (R) hội tụ đến f không ∞ gian L2 , dãy fˆk hội tụ L2 (R), với giới hạn độc k=1 lập với lựa chọn {fk }∞ k=1 Định nghĩa fˆ := lim fˆk k→∞ Ta mở rộng biến đổi Fourier thành ánh xạ unita từ L2 (R) lên L2 (R) Ta dùng ký hiệu tương tự để ký hiệu mở rộng Đặc biệt ta có đẳng thức Plancherel fˆ, gˆ = f, g , ∀f, g ∈ L2 (R) , fˆ = f (1.1) Nếu f ∈ L1 (R), fˆ liên tục Nếu hàm f fˆ thuộc vào L1 (R), công thức nghịch đảo mô tả cách có hàm f từ giá trị fˆ (γ) : 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.1.1: Giả sử f, fˆ ∈ L1 (R), ∞ fˆ (γ) e2πixγ dγ, hầu khắp x ∈ R f (x) = (1.2) −∞ Công thức điểm (1.2) với điểm Lebesgue f 1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn Ta bắt đầu cách đưa động thúc đẩy xuất phép biến đổi Fourier thời gian ngắn Cho tín hiệu f (x) , biến số x thường giải thích thời gian, biến đổi Fourier fˆ (γ) cung cấp thông tin độ dao động với tần số γ Trong thực tế xuất vấn đề thông tin thời gian bị biến đổi Fourier, nghĩa là, thông tin tần số xuất thời gian Một cách để vượt qua khó khăn “xem xét tín hiệu khoảng thời gian ngắn lấy biến đổi Fourier đây” Phát biểu có nghĩa toán học ta nhân tín hiệu f với hàm cửa sổ g, số khoảng bé, giảm nhanh, trơn khoảng nhỏ này; cách lấy biến đổi Fourier tích số này, ta có ý tưởng tần số f khoảng thời gian nhỏ Để có thông tin f toàn trục thời gian ta lặp trình với phép tịnh tiến hàm cửa sổ Thảo luận dẫn đến định nghĩa biến đổi Fourier thời gian ngắn, gọi biến đổi Gabor liên tục Định nghĩa 1.2.1 ([1], [4]) Cố định hàm g ∈ L2 (R) \ {0} Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn hàm f ∈ L2 (R) tương ứng với hàm cửa sổ g tính cách lấy ∞ f (x) g (x − y)e−2πixγ dx, y, γ ∈ R Ψg (f ) (y, γ) = −∞ Chú ý viết theo toán tử biến điệu toán tử tịnh tiến 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ψg (f ) (y, γ) = f, Eγ Ty g Biến đổi Fourier thời gian ngắn chìa khoá để có phép biểu diễn kiểu : ∞ ∞ cf (a, b) e2πibx g (x − a) dbda f (x) = −∞ −∞ 1.3 Khung không gian Hilbert Đặc trưng chủ yếu sở không gian Hilbert H f ∈ H biểu diễn tổ hợp tuyến tính (vô hạn) phần tử fk sở: ∞ ck (f )fk f= (1.3) k=1 Hệ số ck (f ) Bây giới thiệu khái niệm khung [1] Khung dãy phần tử {fk }∞ k=1 H, mà cho phép f ∈ H viết công thức (1.3) Tuy nhiên, hệ số tương ứng không thiết Vì khung sở Sự xuất khung ví dụ phát triển toán học Khung giới thiệu vào năm 1952 Duffin Schaeffer báo quan trọng họ [3]; họ sử dụng khung công cụ việc nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa, tức là, chuỗi thiết lập từ eiλn x n∈Z , {λn }n∈Z họ số thực số phức Rõ ràng là, cộng đồng toán học không nhận tầm quan trọng khái niệm này; phải gần 30 năm trước công trình xuất Vào năm 1980, Young viết sách có kết khung Khung giới thiệu cách trừu tượng, lại sử dụng ngữ cảnh chuỗi Fourier không điều hòa Sau vào năm 1986 bắt đầu kỷ nguyên sóng nhỏ, Daubechies, Grossmann, Meyer [2] quan sát thấy khung 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn sử dụng để tìm khai triển chuỗi hàm L2 (R) tương tự việc khai triển sử dụng sở trực chuẩn Đây thời điểm nhiều nhà toán học bắt đầu nhận thấy tiềm khung Điều trở nên rõ ràng qua báo quan trọng Daubechies, sách bà báo trình bày tổng quan nghiên cứu Heil Walnut [5] Kể từ đó, số lượng báo liên quan tới khung gia tăng đáng kể Định nghĩa 1.3.1 Một dãy {fk }∞ k=1 phần tử H khung cho H tồn số A, B > cho: ∞ A f | f, fk |2 B f , ∀f ∈ H (1.4) k=1 Các số A, B cận khung Chúng Cận khung tối ưu cận tất cận khung trên, cận khung tối ưu cận trên tất cận khung dưới, lưu ý cận tối ưu cận khung Chúng ta tập trung vào vài định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3.2 (i) Một khung chặt chọn A = B cận khung (ii) Nếu khung không khung phần tử tùy ý bị lấy gọi khung Khi nói cận khung cho khung chặt điều có nghĩa giá trị A vừa cận vừa cận Lưu ý điều khác với thuật ngữ khung tổng quát, ví dụ, cận số thỏa mãn điều kiện Bessel Trong trường hợp không gian Hilbert H hữu hạn chiều dãy m {fk }m k=1 khung cho H span {fk }k=1 = H Thật vậy, giả sử {fk }m k=1 khung cho H, tức tồn số A, B > cho: 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... cận khung Chúng ta tập trung vào vài định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3.2 (i) Một khung chặt chọn A = B cận khung (ii) Nếu khung không khung phần tử tùy ý bị lấy gọi khung Khi nói cận khung cho khung. .. dựng khung L2 (R) có dạng {Emb Tna g}m,n∈Z Từ sau báo có nhiều công trình nghiên cứu đời Với mong muốn hiểu biết nhiều lý thuyết khung nói chung khung Gabor nói riêng, định chọn " Khung Gabor. .. phần tử H khung cho H tồn số A, B > cho: ∞ A f | f, fk |2 B f , ∀f ∈ H (1.4) k=1 Các số A, B cận khung Chúng Cận khung tối ưu cận tất cận khung trên, cận khung tối ưu cận trên tất cận khung dưới,