Khung Gabor trong l2 (Z)

Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ THU KHUNG GABOR TRONG l2(Z) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 258 Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ THU KHUNG GABOR TRONG l2(Z) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Quỳnh Nga HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 258 Header Page of 258 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Tôi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc cô, người giao đề tài tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, trang bị kiến thức phương pháp nghiên cứu để hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Nam Tiền Hải, toàn thể cán giáo viên môn Toán tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành chương trình cao học Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp Toán giải tích K18 (đợt 1)-trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Bùi Thị Thu Footer Page of 258 Header Page of 258 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Khung Gabor l2 (Z)" hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Bùi Thị Thu Footer Page of 258 Header Page of 258 Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian, phép biến đổi Fourier chuỗi Fourier 1.2 Khung tổng quát không gian Hilbert 1.3 Khung Gabor L2 (R) 19 1.4 Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát L2 (R) 28 Chương Khung Gabor l2 (Z) 42 2.1 Phép tịnh tiến phép biến điệu l2 (Z) 42 2.2 Các hệ Gabor rời rạc thông qua lấy mẫu 43 2.3 Các khung Gabor CL 58 2.4 Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát l2 (Z) 60 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Footer Page of 258 Header Page of 258 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong nghiên cứu không gian véctơ, khái niệm quan trọng khái niệm sở, nhờ véctơ không gian viết tổ hợp tuyến tính phần tử sở Tuy nhiên, điều kiện để trở thành sở chặt: phụ thuộc tuyến tính phần tử sở Điều làm cho khó tìm chí không tìm sở thỏa mãn số điều kiện bổ sung Đây lý để tìm công cụ khác linh hoạt khung công cụ Khung cho không gian Hilbert cho phép ta biểu diễn phần tử không gian tổ hợp tuyến tính phần tử khung không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính phần tử khung Khung giới thiệu vào năm 1952 Duffin Schaeffer [5] nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Cộng đồng toán học không nhận tầm quan trọng khái niệm này, phải gần 30 năm trước công trình xuất Vào năm 1980, Young viết sách có kết khung, lại ngữ cảnh chuỗi Fourier không điều hòa Năm 1986, báo Daubechies, Grossmann Meyer [4] đời, lý thuyết khung bắt đầu quan tâm rộng rãi Khung có nhiều ứng dụng xử lí tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén liệu [4] Khung Gabor khung có cấu trúc đặc biệt tạo thành từ hàm qua phép tịnh tiến biến điệu Nó công cụ Footer Page of 258 Header Page of 258 để phân tích xử lý tín hiệu giọng nói âm nhạc Với mong muốn hiểu biết nhiều lý thuyết khung nói chung khung Gabor nói riêng, định chọn “Khung Gabor l2 (Z)” làm đề tài luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan khung Gabor l2 (Z) Nhiệm vụ nghiên cứu - Nắm vững kiến thức lý thuyết khung tổng quát không gian Hilbert, khung Gabor L2 (R), hệ dịch chuyển bất biến tổng quát L2 (R); - Nghiên cứu khung Gabor l2 (Z), phép tịnh tiến biến điệu l2 (Z), hệ Gabor rời rạc qua lấy mẫu, khung Gabor CL , hệ dịch chuyển bất biến tổng quát l2 (Z) Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Khung Gabor l2 (Z); - Phạm vi nghiên cứu: Các báo, tài liệu nước liên quan đến khung Gabor l2 (Z) Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề; - Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề mà luận văn đề cập tới Footer Page of 258 Header Page of 258 Đóng góp luận văn Luận văn hy vọng tài liệu tổng quan khung Gabor l2 (Z) Footer Page of 258 Header Page of 258 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian, phép biến đổi Fourier chuỗi Fourier Trong mục nhắc lại số khái niệm, ký hiệu kết dùng phần sau Nội dung mục tham khảo tài liệu [1] +∞ p L (R) := {f : R → C| f đo |f (x)|p dx < +∞}, ≤ p < ∞ −∞ Lp (R) với ≤ p < ∞ không gian Banach với chuẩn  +∞ 1/p f = |f (x)|p dx −∞ Đặc biệt, L2 (R) không gian Hilbert với tích vô hướng +∞ f (x) g (x)dx, f, g ∈ L2 (R) f, g = −∞ chuẩn  21  +∞ |f (x)|2 dx với f ∈ L2 (R) f = −∞ L2 (a, b) :=   b f : (a, b) → C|f đo  a   |f (x)| dx < +∞  L (a, b) không gian Hilbert với tích vô hướng b f (x) g (x)dx,f, g ∈ L2 (a, b) f, g = a Footer Page of 258 Header Page 10 of 258 chuẩn   21 b |f (x)|2 dx với f ∈ L2 (a, b) f = a Bổ đề 1.1.1 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân) b   b |f (x)|2 dx  f (x) g (x)dx ≤  a a Xét không gian L2 0,  b |g (x)|2 dx , f, g ∈ L2 (a, b) a b b > Các hàm √ ek (x) = be2πikbx , k ∈ Z tạo thành sở trực chuẩn L2 0, 1 Do f ∈ L2 0, b b có khai triển f= ck ek (1.1) f (x) e−2πikbx dx (1.2) k∈Z b √ ck = f, ek = b Khai triển (1.1) gọi chuỗi Fourier f số ck gọi hệ số Fourier Bổ đề 1.1.2 Cho f, g ∈ L2 (0, 1/b) với b > cho chuỗi Fourier f= ck e k , g = k∈Z dk ek , k∈Z với ek (x) = b1/2 e2πikbx , k ∈ Z Khi f, g = ck dk k∈Z Phiên rời rạc L2 (R) l2 (I) I tập đếm l2 (I) := |xk |2 < ∞ {xk } ⊂ C| k∈I Footer Page 10 of 258 Header Page 55 of 258 50 So sánh hai biểu diễn ta suy (2.8) ta chứng minh 2ε n∈Z ε Em/M TnN g (x + j)Em/M TnN g (x + k) dx − 12 ε → Em/M TnN g (j)Em/M TnN g (k) ε → n∈Z với m = 0, , M − j, k ∈ Z (nhắc lại tổng theo j, k hữu hạn) Ta có 2ε ε E Mm TnN g (x + j)E Mm TnN g (x + k) dx − E Mm TnN g (j)E Mm TnN g (k) − 12 ε 2ε ≤ ε E Mm TnN g (x + j)E Mm TnN g (x + k) − E Mm TnN g (j)E Mm TnN g (k) dx − 12 ε 2ε = ε g (x + j − nN )g (x + k − nN ) − g (j − nN )g (k − nN ) dx − 12 ε 2ε ≤ ε g (x + j − nN ) − g (j − nN ) |g (x + k − nN )| dx − 12 ε 2ε + ε g (j − nN ) |g (x + k − nN ) − g (k − nN )|dx − 12 ε Footer Page 55 of 258 Header Page 56 of 258 51 Từ 2ε n∈Z ε E Mm TnN g (x + j)E Mm TnN g (x + k) dx − E Mm TnN g (j)E Mm TnN g (k) n∈Z − 12 ε 2ε ≤ ε g (x + j − nN ) − g (j − nN ) |g (x + k − nN )| dx (2.9) n∈Z −2ε 2ε + ε g (j − nN ) |g (x + k − nN ) − g (k − nN )| dx (2.10) n∈Z −2ε Cả (2.9) (2.10) hội tụ tới ε → Thật vậy, ta chứng minh cho (2.9) hội tụ đến Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz hai lần, lần đầu tích phân sau tổng, 2ε ε g (x + j − nN ) − g (j − nN ) |g (x + k − nN )| dx n∈Z −2ε  ≤ ε  |g (x + j − nN ) − g (j − nN )|2 dx   n∈Z   21 2ε − 12 ε  12 2ε  |g (x + k − nN )|2 dx  × − 21 ε  1 ≤  ε   |g (x + j − nN ) − g (j − nN )|2 dx n∈Z −2ε 2ε  21  |g (x + k − nN )|2 dx = (∗)  × n∈Z −2ε Footer Page 56 of 258  21 2ε Header Page 57 of 258 52 Thông qua (2.5) số hạng thứ (∗) ước lượng   21 2ε BN ε; M  |g (x + k − nN )|2 dx ≤   n∈Z −2ε Vì  BN   M ε (∗) ≤  12 2ε  |g (x + j − nN ) − g (j − nN )|2 dx n∈Z −2ε hội tụ tới ε → điều kiện (R) Tương tự ta chứng minh (2.10) hội tụ đến Từ chứng minh hoàn thành Với kĩ thuật tương tự, Janssen [7] chứng minh kết sau Bổ đề 2.2.4 Giả sử g ∈ L2 (R) thỏa mãn điều kiện (R) Em/M TnN g dãy Bessel với cận B L2 (R) với M, N ∈ m,n∈Z N Khi đó, hàm có dạng cmn Em/N TnM g {cmn } ∈ l1 Z2 φ= (2.11) m,n∈Z thỏa mãn điều kiện (R) hệ Em/M TnN φ |cmn | cận B m,n Footer Page 57 of 258 m,n∈Z dãy Bessel với Header Page 58 of 258 53 Chứng minh Sử dụng Bổ đề 1.3.1, với f ∈ L2 (R), ta có  f, Em/M TnN φ f, Em/M TnN  = m,n∈Z m,n∈Z  ckl Ek/N TlM g  k,l∈Z ckl f, Em/M TnN Ek/N TlM g = m,n∈Z k,l∈Z ckl f, Ek/N TlM Em/M TnN g = m,n∈Z k,l∈Z ckl T−lM E−k/N f, Em/M TnN g = m,n∈Z k,l∈Z ckl e− = 2πiklM N E−k/N T−lM f, Em/M TnN g m,n∈Z k,l∈Z  ≤ |ckl | E−k/N T−lM f, Em/M TnN g m,n k,l∈Z  ≤ |ckl | B f 2 2  k,l∈Z 2  = B f 2 |ckl | k,l Từ Em/M TnN φ Footer Page 58 of 258 m,n∈Z |cmn | dãy Bessel với cận B m,n 2  Header Page 59 of 258 54 Ta có 2ε +∞ ε j=−∞ |φ (j + u) − φ (j)|2 du − 12 ε +∞ = 2ε ε j=−∞ ckl Ek/N TlM g (j + u) − Ek/N TlM g (j) du − 12 ε k,l∈Z    ≤   |ckl |  k,l∈Z 2ε +∞ ε j=−∞  12 2   Ek/N TlM g (j + u) − Ek/N TlM g (j) du   − 12 ε (2.12) Ta có đánh giá Ek/N TlM g (j + u) − Ek/N TlM g (j) = |g (j + u − lM ) − g (j − lM )| Do đó, +∞ ε j=−∞ +∞ = 2ε Ek/N TlM g (j + u) − Ek/N TlM g (j) du − 12 ε ε j=−∞ 2ε |g (j + u − lM ) − g (j − lM )|2 du − 12 ε hội tụ đến ε → g thỏa mãn điều kiện (R) Từ suy vế phải (2.12) hội tụ đến ε → hay nói cách khác φ thỏa mãn điều kiện (R) Chú ý hàm φ (2.11) tổ hợp tuyến tính hệ Gabor dàn đối ngẫu {(nM, m/M )}m,n∈Z Do hàm Gauss g (x) = e− x thỏa mãn điều kiện (R) {Em Tn g}m,n∈Z đầy đủ L2 (R), Bổ đề Footer Page 59 of 258 Header Page 60 of 258 55 2.2.4 cho lập luận khác cho điều kiện (R) thỏa mãn tập trù mật hàm L2 (R) Bổ đề 2.2.4 có ứng dụng thú vị cho việc lấy mẫu toán tử khung S liên kết với khung Em/M TnN g m,n∈Z L2 (R) Để chứng minh sử dụng kết sau Janssen Bổ đề 2.2.5 Cho g ∈ L2 (R) , M, N ∈ N giả sử hệ Gabor Em/M TnN g m,n∈Z khung cho L2 (R) Nếu thỏa mãn điều kiện (A) Em/M TnN S −1 g Em/M TnN g m,n∈Z thỏa mãn điều m,n∈Z kiện (A) Mệnh đề 2.2.6 Cho g ∈ L2 (R) , M, N ∈ N giả sử Em/M TnN g dãy Bessel thỏa mãn điều kiện (A) Khi đó, với f ∈ L2 (R) mà thỏa mãn điều kiện (R) Em/M TnN f Sf (j) = M N m,n∈Z dãy Bessel, g, Em/N TnM g Em/N TnM f (j), j ∈ Z (2.13) m,n∈Z Nếu thêm vào g thỏa mãn điều kiện (R) ta kí hiệu toán tử khung cho Em/M TnN g D n∈Z,m=0, ,M −1 S D : l2 (Z) → l2 (Z) , (Sf )D = S D f D (2.14) Nếu ta thêm giả thiết Em/M TnN g S −1 g D = SD m,n∈Z khung −1 D g (2.15) Chứng minh Toán tử khung có biểu diễn Sf = M N g, Em/N TnM g Em/N TnM f , f ∈ L2 (R) m,n∈Z Nếu f thỏa mãn điều kiện (R) Em/M TnN f Sf thỏa mãn điều kiện (R) Bổ đề 2.2.4 Footer Page 60 of 258 m,n∈Z dãy Bessel m,n∈Z Header Page 61 of 258 56 Nói riêng ta lấy mẫu Sf số nguyên điều dẫn đến (2.13) với hội tụ tuyệt đối chuỗi g, Em/N TnM g m,n∈Z ∈ l1 Z2 Bây giả sử g thỏa mãn điều kiện (R) Ta viết lại (2.13) dạng ∞ M Sf (j) = N N −1 ∞ g, Er+m/N TnM g Em/N TnM f (j) (2.16) n=−∞ m=0 r=−∞ Ta chứng minh với n ∈ Z, m = 0, , N − , ta có ∞ g, Er+m/N TnM g = g D , Em/N TnM g D (2.17) r=−∞ Ta xét hàm tuần hoàn với chu kỳ ∞ g (j + u) g (j + u − nM )e−2πim(j+u)/N ψ (u) = (2.18) j=−∞ Hàm ψ bị chặn chủ yếu với hội tụ tuyệt đối chuỗi bên vế phải Ta có 2ε ε |ψ (u) − ψ (0)| du − 21 ε 2ε ≤ ε ∞ g (j + u) g (j + u − nM )e−2πimu/N − g (j) g (j − nM ) du − 12 ε 2ε ≤ ε j=−∞ ∞ g (j + u) g (j + u − nM ) e−2πimu/N − du − 12 ε 2ε + ε j=−∞ ∞ g (j + u) g (j + u − nM ) − g (j) g (j − nM ) du − 12 ε (2.19) j=−∞ Cả hai số hạng vế phải (2.19) dẫn tới ε → Do u điểm Footer Page 61 of 258 Header Page 62 of 258 57 Lebesgue ψ Hơn ψ có hệ số Fourier 1 −2πiru ψ (u) e ∞ g (j + u) g (j + u − nM )e−2πim(j+u)/N × e−2πiru du du = 0 j=−∞ ∞ g (j + u) g (j + u − nM )e−2πim(j+u)/N e−2πiru du = j=−∞ j+1 ∞ g (x) g (x − nM )e−2πimx/N e−2πir(x−j) dx = j=−∞ j ∞ g (x) g (x − nM )e−2πi(r+m/N )x dx = −∞ = g, gnM,r+m/N Từ ψ có khai triển Fourier ∞ g, gnM,r+m/N e2πiru ψ (u) ∼ (2.20) r=−∞ Vế phải (2.20) hàm liên tục u trùng với ψ điểm Lebesgue ψ Do u = điểm Lebesgue nên ta có ∞ ∞ g (j) g (j − nM )e−2πimj/N g, gnM,r+m/N = r=−∞ j=−∞ D = g D , gnM,m/N tức ta chứng minh xong (2.17) Từ (2.16) (2.17) suy M Sf (j) = N ∞ N −1 D g D , gnM,m/N fnM,m/N (j) = (S D f D ) (j) n=−∞ m=0 Từ (Sf )D = S D f D Bây giờ, giả sử Em/M TnN g Footer Page 62 of 258 m,n∈Z khung Theo Mệnh đề Header Page 63 of 258 58 1.3.11 ta có S −1 g = M N Do Em/M TnN S −1 g Em/M TnN S −1 g S −1 g, Em/N TnM S −1 g Em/N TnM g m,n∈Z m,n∈Z m,n∈Z thỏa mãn điều kiện (A) theo Bổ đề 2.2.5 dãy Bessel, ta áp dụng (2.14) với hàm f := S −1 g ta suy (2.15) Bằng lời, (2.14) nghĩa ta thu thông tin toán tử khung cho hệ Gabor L2 (R) dựa vào toán tử khung hệ Gabor l2 (Z) Khung đối ngẫu tắc khung Em/M TnN g D cho Em/M TnN S D −1 D g n∈Z,m=0, ,M −1 n∈Z,m=0, ,M −1 , nghĩa khung Gabor L2 (R) bao gồm chuyển dịch thời gian tần số hàm đơn 2.3 Các khung Gabor CL Trong xử lí tín hiệu hình ảnh xử lí dãy hữu hạn {ck }k∈Z ∈ l2 (Z) cần phải sử dụng hệ Gabor hữu hạn Trong mục ta nghiên cứu vài tính chất khung Gabor CL Để liên kết với kết cho khung l2 (Z) ta viết dãy g ∈ CL sau: g = (g (0) , g (1) , , g (L − 1)) Định nghĩa toán tử biến điệu l2 (Z) cho (2.1) định nghĩa Eb toán tử CL Tuy nhiên định nghĩa (2.2) toán tử tịnh tiến Tn không thực có nghĩa CL j − n không luôn thuộc vào {0, 1, , L − 1} Một cách tự nhiên để giải vấn đề mở rộng g ∈ CL thành dãy tuần hoàn đánh số Z Nghĩa Footer Page 63 of 258 Header Page 64 of 258 59 định nghĩa g (j + kL) = g (j) với j = 0, , L − 1, k ∈ Z Với quy ước ta áp dụng toán tử tịnh tiến với dãy CL Định lí sau kết Qiu Feichtinger toán tử khung Gabor Định lí 2.3.1 Cho g ∈ CL M, N, N ∈ N Giả sử M, N ≤ L Khi phần tử thứ jk biểu diễn ma trận toán tử khung S : CL → CL M −1,N −1 Em/M TnN g m=0,n=0 cho    N −1   M j − k ∈ M Z  n=0 TnN g (k)TnN g (j)   Sek , ej =      j − k ∈ / MZ   L−1 Chứng minh Kí hiệu {ek }k=0 sở trực chuẩn tắc cho CL , phần tử thứ jk biểu diễn ma trận cho S : CL → CL N −1 M −1 Sek , ej = ek , Em/M TnN g Em/M TnN g, ej n=0 m=0 N −1 M −1 = Em/M TnN g (k)Em/M TnN g (j) n=0 m=0 N −1 = M −1 e2πim(j−k)/M TnN g (k)TnN g (j) n=0 m=0 Do M −1 m=0 e2πim(j−k)/M ta có điều phải chứng minh Footer Page 64 of 258 =      M           nếu j − k ∈ MZ j−k ∈ / MZ Header Page 65 of 258 60 Bằng lời, Định lí 2.3.1 nói đường chéo thứ m ma trận S khác không Janssen quan sát thấy quan hệ khung l2 (Z) CL sau Cho g ∈ l2 (Z) M, N ∈ N cho Em/M TnN g n∈Z,m=0, ,M −1 khung Gabor l2 (Z), gọi L bội số chung nhỏ M N , ta viết L = M M = N N ước số chung lớn M N Giả sử g ∈ l1 (Z), ta định nghĩa phần tử CL g p (j) = g (j − nL), j = 0, , L − n∈Z Janssen [7] Em/M TnN g p cận khung giống cận khung M −1,N −1 m=0,n=0 Em/M TnN g khung CL với n∈Z,m=0, ,M −1 l2 (Z) 2.4 Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát l2(Z) Như trường hợp L2 (R) hệ Gabor rời rạc l2 (Z) trường hợp đặc biệt hệ dịch chuyển bất biến tổng quát có dạng {gnm (j)}n∈Z,m=0, ,M −1 = {gm (j − nN )}n∈Z,m=0, ,M −1 ; gm dãy l2 (Z) Ta cho m, n chạy tập số cho trên, ta không ghi tập số đơn giản viết {gnm } với hệ dịch chuyển bất biến Các kết cho hệ dịch chuyển bất biến liên tục có phiên Footer Page 65 of 258 Header Page 66 of 258 61 rời rạc Để thiết lập kết quả, định nghĩa biến đổi Fourier dãy h ∈ l2 (Z) ˆ (v) = h h (j)e−2πijv , hầu khắp v ∈ R j∈Z Cho hệ dịch chuyển bất biến {gnm } ta định nghĩa tương tự hàm giá trị ma trận H (v) = (gˆm (v − k/N ))k=0, ,N −1,m=0, ,M −1 , hầu khắp v ∈ R ý ma trận N × M Định lí 2.4.1 Với kí hiệu bên khẳng định sau đúng: (i) {gnm } dãy Bessel l2 (Z) với cận B H(v) xác định hầu khắp v ánh xạ tuyến tính bị chặn từ CM vào √ CN với chuẩn nhiều N B (ii) {gnm } khung l2 (Z) với cận khung A, B N AI ≤ H (v) H(v)∗ ≤ N BI, hầu khắp v (iii) {gnm } khung chặt l2 (Z) có số c > cho M −1 gˆm (v − k/N ) gˆm (v) = cδk,0 , k ∈ Z, hầu khắp v m=0 (iv) Hai hệ dịch chuyển bất biến {gnm } {hnm } tạo dãy Bessel l2 (Z) khung đối ngẫu M −1 ˆ m (v) = N δk,0 , k ∈ Z, hầu khắp v gˆm (v − k/N ) h m=0 Footer Page 66 of 258 Header Page 67 of 258 Kết luận Nội dung luận văn nghiên cứu khung Gabor l2 (Z) Luận văn trình bày cách hệ thống, có bổ sung chi tiết vấn đề cụ thể sau: - Một số không gian, phép biến đổi Fourier chuỗi Fourier; - Khung tổng quát không gian Hilbert số ví dụ minh họa cụ thể; - Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát L2 (R) trường hợp đặc biệt khung Gabor L2 (R); - Khung Gabor l2 (Z), hệ Gabor rời rạc thu nhờ lấy mẫu khung Gabor L2 (R); - Các khung Gabor CL ; - Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát l2 (Z) Footer Page 67 of 258 62 Header Page 68 of 258 Tài liệu tham khảo [1] O Christensen (2003), An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser , Boston [2] I Daubechies (1990), “The wavelet transformation, time – frequency localization and signal analysis”, IEEE Trans Inform Theory, Vol.36, 961-1005 [3] I Daubechies (1992), Ten lectures on wavelets, SIAM, Philadelphia [4] I Daubechies, A Grossmann and Y Meyer (1986), “Painless nonorthogonal expansions”, J Math Phys., Vol 27, 1271 - 1283 [5] R J Duffin and A C Schaeffer (1952), “A class of nonharmonic Fourier series”, Trans Amer Math Soc., Vol 72, 341 - 366 [6] C.Heil and D Walnut (1989), “ Continuous and discrete wavelet transforms", SIAM Review, Vol.31, 628-666 [7] A J E M Jansen (1995), "Duality and biorthogonality for Weyl Heisenberg frames", J Fourier Anal Appl., Vol 1, No 4, 403-436 [8] A J E M Jansen (1994), "Duality and biorthogonality for disrete time Weyl – Heisenberg frame ", Nat Lab UR002/94 [9] A J E M Jansen (1997), “ From continuous to discrete Weyl – Heisenberg frames through sampling”, J Fourier Anal Appl., Vol 3, No.5, 583- 596 [10] S Qian and D Chen (1993), "Discrete Gabor transform", IEEE Trans Signal Processing, Vol 41, 2429 - 2438 Footer Page 68 of 258 63 Header Page 69 of 258 64 [11] J Wexler and S Raz (1990), "Discrete Gabor expansions", Signal Processing, Vol 21, 207 - 220 Footer Page 69 of 258 ... thức lý thuyết khung tổng quát không gian Hilbert, khung Gabor L2 (R), hệ dịch chuyển bất biến tổng quát L2 (R); - Nghiên cứu khung Gabor l2 (Z), phép tịnh tiến biến điệu l2 (Z), hệ Gabor rời rạc... biết nhiều lý thuyết khung nói chung khung Gabor nói riêng, định chọn Khung Gabor l2 (Z) làm đề tài luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan khung Gabor l2 (Z) Nhiệm vụ nghiên... 1.2 Khung tổng quát không gian Hilbert 1.3 Khung Gabor L2 (R) 19 1.4 Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát L2 (R) 28 Chương Khung Gabor l2 (Z)