Khung gabor trong l2 (z)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ THU KHUNG GABOR TRONG l2(Z) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ THU KHUNG GABOR TRONG l2(Z) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Quỳnh Nga HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Tôi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc cô, người giao đề tài tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, trang bị kiến thức phương pháp nghiên cứu để hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Nam Tiền Hải, toàn thể cán giáo viên môn Toán tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành chương trình cao học Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp Toán giải tích K18 (đợt 1)-trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Bùi Thị Thu Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Khung Gabor l2 (Z)" hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Bùi Thị Thu Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian, phép biến đổi Fourier chuỗi Fourier 1.2 Khung tổng quát không gian Hilbert 1.3 Khung Gabor L2 (R) 19 1.4 Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát L2 (R) 28 Chương Khung Gabor l2 (Z) 42 2.1 Phép tịnh tiến phép biến điệu l2 (Z) 42 2.2 Các hệ Gabor rời rạc thông qua lấy mẫu 43 2.3 Các khung Gabor CL 58 2.4 Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát l2 (Z) 60 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong nghiên cứu không gian véctơ, khái niệm quan trọng khái niệm sở, nhờ véctơ không gian viết tổ hợp tuyến tính phần tử sở Tuy nhiên, điều kiện để trở thành sở chặt: phụ thuộc tuyến tính phần tử sở Điều làm cho khó tìm chí không tìm sở thỏa mãn số điều kiện bổ sung Đây lý để tìm công cụ khác linh hoạt khung công cụ Khung cho không gian Hilbert cho phép ta biểu diễn phần tử không gian tổ hợp tuyến tính phần tử khung không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính phần tử khung Khung giới thiệu vào năm 1952 Duffin Schaeffer [5] nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Cộng đồng toán học không nhận tầm quan trọng khái niệm này, phải gần 30 năm trước công trình xuất Vào năm 1980, Young viết sách có kết khung, lại ngữ cảnh chuỗi Fourier không điều hòa Năm 1986, báo Daubechies, Grossmann Meyer [4] đời, lý thuyết khung bắt đầu quan tâm rộng rãi Khung có nhiều ứng dụng xử lí tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén liệu [4] Khung Gabor khung có cấu trúc đặc biệt tạo thành từ hàm qua phép tịnh tiến biến điệu Nó công cụ để phân tích xử lý tín hiệu giọng nói âm nhạc Với mong muốn hiểu biết nhiều lý thuyết khung nói chung khung Gabor nói riêng, định chọn “Khung Gabor l2 (Z)” làm đề tài luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan khung Gabor l2 (Z) Nhiệm vụ nghiên cứu - Nắm vững kiến thức lý thuyết khung tổng quát không gian Hilbert, khung Gabor L2 (R), hệ dịch chuyển bất biến tổng quát L2 (R); - Nghiên cứu khung Gabor l2 (Z), phép tịnh tiến biến điệu l2 (Z), hệ Gabor rời rạc qua lấy mẫu, khung Gabor CL , hệ dịch chuyển bất biến tổng quát l2 (Z) Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Khung Gabor l2 (Z); - Phạm vi nghiên cứu: Các báo, tài liệu nước liên quan đến khung Gabor l2 (Z) Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề; - Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề mà luận văn đề cập tới Đóng góp luận văn Luận văn hy vọng tài liệu tổng quan khung Gabor l2 (Z) Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian, phép biến đổi Fourier chuỗi Fourier Trong mục nhắc lại số khái niệm, ký hiệu kết dùng phần sau Nội dung mục tham khảo tài liệu [1] +∞ p L (R) := {f : R → C| f đo |f (x)|p dx < +∞}, ≤ p < ∞ −∞ Lp (R) với ≤ p < ∞ không gian Banach với chuẩn  +∞ 1/p f = |f (x)|p dx −∞ Đặc biệt, L2 (R) không gian Hilbert với tích vô hướng +∞ f (x) g (x)dx, f, g ∈ L2 (R) f, g = −∞ chuẩn  21  +∞ |f (x)|2 dx với f ∈ L2 (R) f = −∞ L2 (a, b) :=   b f : (a, b) → C|f đo  a   |f (x)| dx < +∞  L (a, b) không gian Hilbert với tích vô hướng b f (x) g (x)dx,f, g ∈ L2 (a, b) f, g = a chuẩn   21 b |f (x)|2 dx với f ∈ L2 (a, b) f = a Bổ đề 1.1.1 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân) b   b |f (x)|2 dx  f (x) g (x)dx ≤  a a Xét không gian L2 0,  b |g (x)|2 dx , f, g ∈ L2 (a, b) a b b > Các hàm √ ek (x) = be2πikbx , k ∈ Z tạo thành sở trực chuẩn L2 0, 1 Do f ∈ L2 0, b b có khai triển f= ck ek (1.1) f (x) e−2πikbx dx (1.2) k∈Z b √ ck = f, ek = b Khai triển (1.1) gọi chuỗi Fourier f số ck gọi hệ số Fourier Bổ đề 1.1.2 Cho f, g ∈ L2 (0, 1/b) với b > cho chuỗi Fourier f= ck e k , g = k∈Z dk ek , k∈Z với ek (x) = b1/2 e2πikbx , k ∈ Z Khi f, g = ck dk k∈Z Phiên rời rạc L2 (R) l2 (I) I tập đếm l2 (I) := |xk |2 < ∞ {xk } ⊂ C| k∈I 50 So sánh hai biểu diễn ta suy (2.8) ta chứng minh 2ε n∈Z ε Em/M TnN g (x + j)Em/M TnN g (x + k) dx − 12 ε → Em/M TnN g (j)Em/M TnN g (k) ε → n∈Z với m = 0, , M − j, k ∈ Z (nhắc lại tổng theo j, k hữu hạn) Ta có 2ε ε E Mm TnN g (x + j)E Mm TnN g (x + k) dx − E Mm TnN g (j)E Mm TnN g (k) − 12 ε 2ε ≤ ε E Mm TnN g (x + j)E Mm TnN g (x + k) − E Mm TnN g (j)E Mm TnN g (k) dx − 12 ε 2ε = ε g (x + j − nN )g (x + k − nN ) − g (j − nN )g (k − nN ) dx − 12 ε 2ε ≤ ε g (x + j − nN ) − g (j − nN ) |g (x + k − nN )| dx − 12 ε 2ε + ε g (j − nN ) |g (x + k − nN ) − g (k − nN )|dx − 12 ε 51 Từ 2ε n∈Z ε E Mm TnN g (x + j)E Mm TnN g (x + k) dx − E Mm TnN g (j)E Mm TnN g (k) n∈Z − 12 ε 2ε ≤ ε g (x + j − nN ) − g (j − nN ) |g (x + k − nN )| dx (2.9) n∈Z −2ε 2ε + ε g (j − nN ) |g (x + k − nN ) − g (k − nN )| dx (2.10) n∈Z −2ε Cả (2.9) (2.10) hội tụ tới ε → Thật vậy, ta chứng minh cho (2.9) hội tụ đến Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz hai lần, lần đầu tích phân sau tổng, 2ε ε g (x + j − nN ) − g (j − nN ) |g (x + k − nN )| dx n∈Z −2ε  ≤ ε  |g (x + j − nN ) − g (j − nN )|2 dx   n∈Z   21 2ε − 12 ε  12 2ε  |g (x + k − nN )|2 dx  × − 21 ε  1 ≤  ε   21 2ε  |g (x + j − nN ) − g (j − nN )|2 dx n∈Z −2ε 2ε  21  |g (x + k − nN )|2 dx = (∗)  × n∈Z −2ε 52 Thông qua (2.5) số hạng thứ (∗) ước lượng   21 2ε BN ε; M  |g (x + k − nN )|2 dx ≤   n∈Z −2ε Vì  BN   M ε (∗) ≤  12 2ε  |g (x + j − nN ) − g (j − nN )|2 dx n∈Z −2ε hội tụ tới ε → điều kiện (R) Tương tự ta chứng minh (2.10) hội tụ đến Từ chứng minh hoàn thành Với kĩ thuật tương tự, Janssen [7] chứng minh kết sau Bổ đề 2.2.4 Giả sử g ∈ L2 (R) thỏa mãn điều kiện (R) Em/M TnN g dãy Bessel với cận B L2 (R) với M, N ∈ m,n∈Z N Khi đó, hàm có dạng cmn Em/N TnM g {cmn } ∈ l1 Z2 φ= (2.11) m,n∈Z thỏa mãn điều kiện (R) hệ Em/M TnN φ |cmn | cận B m,n m,n∈Z dãy Bessel với 53 Chứng minh Sử dụng Bổ đề 1.3.1, với f ∈ L2 (R), ta có  f, Em/M TnN φ f, Em/M TnN  = m,n∈Z m,n∈Z  ckl Ek/N TlM g  k,l∈Z ckl f, Em/M TnN Ek/N TlM g = m,n∈Z k,l∈Z ckl f, Ek/N TlM Em/M TnN g = m,n∈Z k,l∈Z ckl T−lM E−k/N f, Em/M TnN g = m,n∈Z k,l∈Z ckl e− = 2πiklM N E−k/N T−lM f, Em/M TnN g m,n∈Z k,l∈Z  ≤ |ckl | E−k/N T−lM f, Em/M TnN g m,n k,l∈Z  ≤ |ckl | B f 2 2  k,l∈Z 2  = B f 2 |ckl | k,l Từ Em/M TnN φ m,n∈Z |cmn | dãy Bessel với cận B m,n 2  54 Ta có 2ε +∞ ε j=−∞ |φ (j + u) − φ (j)|2 du − 12 ε +∞ = 2ε ε j=−∞ ckl Ek/N TlM g (j + u) − Ek/N TlM g (j) du − 12 ε k,l∈Z    ≤   |ckl |  k,l∈Z 2ε +∞ ε j=−∞  12 2   Ek/N TlM g (j + u) − Ek/N TlM g (j) du   − 12 ε (2.12) Ta có đánh giá Ek/N TlM g (j + u) − Ek/N TlM g (j) = |g (j + u − lM ) − g (j − lM )| Do đó, +∞ ε j=−∞ +∞ = 2ε Ek/N TlM g (j + u) − Ek/N TlM g (j) du − 12 ε ε j=−∞ 2ε |g (j + u − lM ) − g (j − lM )|2 du − 12 ε hội tụ đến ε → g thỏa mãn điều kiện (R) Từ suy vế phải (2.12) hội tụ đến ε → hay nói cách khác φ thỏa mãn điều kiện (R) Chú ý hàm φ (2.11) tổ hợp tuyến tính hệ Gabor dàn đối ngẫu {(nM, m/M )}m,n∈Z Do hàm Gauss g (x) = e− x thỏa mãn điều kiện (R) {Em Tn g}m,n∈Z đầy đủ L2 (R), Bổ đề 55 2.2.4 cho lập luận khác cho điều kiện (R) thỏa mãn tập trù mật hàm L2 (R) Bổ đề 2.2.4 có ứng dụng thú vị cho việc lấy mẫu toán tử khung S liên kết với khung Em/M TnN g m,n∈Z L2 (R) Để chứng minh sử dụng kết sau Janssen Bổ đề 2.2.5 Cho g ∈ L2 (R) , M, N ∈ N giả sử hệ Gabor Em/M TnN g m,n∈Z khung cho L2 (R) Nếu thỏa mãn điều kiện (A) Em/M TnN S −1 g Em/M TnN g m,n∈Z thỏa mãn điều m,n∈Z kiện (A) Mệnh đề 2.2.6 Cho g ∈ L2 (R) , M, N ∈ N giả sử Em/M TnN g dãy Bessel thỏa mãn điều kiện (A) Khi đó, với f ∈ L2 (R) mà thỏa mãn điều kiện (R) Em/M TnN f Sf (j) = M N m,n∈Z dãy Bessel, g, Em/N TnM g Em/N TnM f (j), j ∈ Z (2.13) m,n∈Z Nếu thêm vào g thỏa mãn điều kiện (R) ta kí hiệu toán tử khung cho Em/M TnN g D n∈Z,m=0, ,M −1 S D : l2 (Z) → l2 (Z) , (Sf )D = S D f D (2.14) Nếu ta thêm giả thiết Em/M TnN g S −1 g D = SD m,n∈Z khung −1 D g (2.15) Chứng minh Toán tử khung có biểu diễn Sf = M N g, Em/N TnM g Em/N TnM f , f ∈ L2 (R) m,n∈Z Nếu f thỏa mãn điều kiện (R) Em/M TnN f Sf thỏa mãn điều kiện (R) Bổ đề 2.2.4 m,n∈Z dãy Bessel m,n∈Z 56 Nói riêng ta lấy mẫu Sf số nguyên điều dẫn đến (2.13) với hội tụ tuyệt đối chuỗi g, Em/N TnM g m,n∈Z ∈ l1 Z2 Bây giả sử g thỏa mãn điều kiện (R) Ta viết lại (2.13) dạng ∞ M Sf (j) = N N −1 ∞ g, Er+m/N TnM g Em/N TnM f (j) (2.16) n=−∞ m=0 r=−∞ Ta chứng minh với n ∈ Z, m = 0, , N − , ta có ∞ g, Er+m/N TnM g = g D , Em/N TnM g D (2.17) r=−∞ Ta xét hàm tuần hoàn với chu kỳ ∞ g (j + u) g (j + u − nM )e−2πim(j+u)/N ψ (u) = (2.18) j=−∞ Hàm ψ bị chặn chủ yếu với hội tụ tuyệt đối chuỗi bên vế phải Ta có 2ε ε |ψ (u) − ψ (0)| du − 21 ε 2ε ≤ ε ∞ g (j + u) g (j + u − nM )e−2πimu/N − g (j) g (j − nM ) du − 12 ε 2ε ≤ ε j=−∞ ∞ g (j + u) g (j + u − nM ) e−2πimu/N − du − 12 ε 2ε + ε j=−∞ ∞ g (j + u) g (j + u − nM ) − g (j) g (j − nM ) du − 12 ε (2.19) j=−∞ Cả hai số hạng vế phải (2.19) dẫn tới ε → Do u điểm 57 Lebesgue ψ Hơn ψ có hệ số Fourier 1 −2πiru ψ (u) e ∞ g (j + u) g (j + u − nM )e−2πim(j+u)/N × e−2πiru du du = 0 j=−∞ ∞ g (j + u) g (j + u − nM )e−2πim(j+u)/N e−2πiru du = j=−∞ j+1 ∞ g (x) g (x − nM )e−2πimx/N e−2πir(x−j) dx = j=−∞ j ∞ g (x) g (x − nM )e−2πi(r+m/N )x dx = −∞ = g, gnM,r+m/N Từ ψ có khai triển Fourier ∞ g, gnM,r+m/N e2πiru ψ (u) ∼ (2.20) r=−∞ Vế phải (2.20) hàm liên tục u trùng với ψ điểm Lebesgue ψ Do u = điểm Lebesgue nên ta có ∞ ∞ g (j) g (j − nM )e−2πimj/N g, gnM,r+m/N = r=−∞ j=−∞ D = g D , gnM,m/N tức ta chứng minh xong (2.17) Từ (2.16) (2.17) suy M Sf (j) = N ∞ N −1 D g D , gnM,m/N fnM,m/N (j) = (S D f D ) (j) n=−∞ m=0 Từ (Sf )D = S D f D Bây giờ, giả sử Em/M TnN g m,n∈Z khung Theo Mệnh đề 58 1.3.11 ta có S −1 g = M N Do Em/M TnN S −1 g Em/M TnN S −1 g S −1 g, Em/N TnM S −1 g Em/N TnM g m,n∈Z m,n∈Z m,n∈Z thỏa mãn điều kiện (A) theo Bổ đề 2.2.5 dãy Bessel, ta áp dụng (2.14) với hàm f := S −1 g ta suy (2.15) Bằng lời, (2.14) nghĩa ta thu thông tin toán tử khung cho hệ Gabor L2 (R) dựa vào toán tử khung hệ Gabor l2 (Z) Khung đối ngẫu tắc khung Em/M TnN g D cho Em/M TnN S D −1 D g n∈Z,m=0, ,M −1 n∈Z,m=0, ,M −1 , nghĩa khung Gabor L2 (R) bao gồm chuyển dịch thời gian tần số hàm đơn 2.3 Các khung Gabor CL Trong xử lí tín hiệu hình ảnh xử lí dãy hữu hạn {ck }k∈Z ∈ l2 (Z) cần phải sử dụng hệ Gabor hữu hạn Trong mục ta nghiên cứu vài tính chất khung Gabor CL Để liên kết với kết cho khung l2 (Z) ta viết dãy g ∈ CL sau: g = (g (0) , g (1) , , g (L − 1)) Định nghĩa toán tử biến điệu l2 (Z) cho (2.1) định nghĩa Eb toán tử CL Tuy nhiên định nghĩa (2.2) toán tử tịnh tiến Tn không thực có nghĩa CL j − n không luôn thuộc vào {0, 1, , L − 1} Một cách tự nhiên để giải vấn đề mở rộng g ∈ CL thành dãy tuần hoàn đánh số Z Nghĩa 59 định nghĩa g (j + kL) = g (j) với j = 0, , L − 1, k ∈ Z Với quy ước ta áp dụng toán tử tịnh tiến với dãy CL Định lí sau kết Qiu Feichtinger toán tử khung Gabor Định lí 2.3.1 Cho g ∈ CL M, N, N ∈ N Giả sử M, N ≤ L Khi phần tử thứ jk biểu diễn ma trận toán tử khung S : CL → CL M −1,N −1 Em/M TnN g m=0,n=0 cho    N −1   M j − k ∈ M Z  n=0 TnN g (k)TnN g (j)   Sek , ej =      j − k ∈ / MZ   L−1 Chứng minh Kí hiệu {ek }k=0 sở trực chuẩn tắc cho CL , phần tử thứ jk biểu diễn ma trận cho S : CL → CL N −1 M −1 Sek , ej = ek , Em/M TnN g Em/M TnN g, ej n=0 m=0 N −1 M −1 = Em/M TnN g (k)Em/M TnN g (j) n=0 m=0 N −1 = M −1 e2πim(j−k)/M TnN g (k)TnN g (j) n=0 m=0 Do M −1 m=0 e2πim(j−k)/M ta có điều phải chứng minh =      M           nếu j − k ∈ MZ j−k ∈ / MZ 60 Bằng lời, Định lí 2.3.1 nói đường chéo thứ m ma trận S khác không Janssen quan sát thấy quan hệ khung l2 (Z) CL sau Cho g ∈ l2 (Z) M, N ∈ N cho Em/M TnN g n∈Z,m=0, ,M −1 khung Gabor l2 (Z), gọi L bội số chung nhỏ M N , ta viết L = M M = N N ước số chung lớn M N Giả sử g ∈ l1 (Z), ta định nghĩa phần tử CL g p (j) = g (j − nL), j = 0, , L − n∈Z Janssen [7] Em/M TnN g p cận khung giống cận khung M −1,N −1 m=0,n=0 Em/M TnN g khung CL với n∈Z,m=0, ,M −1 l2 (Z) 2.4 Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát l2(Z) Như trường hợp L2 (R) hệ Gabor rời rạc l2 (Z) trường hợp đặc biệt hệ dịch chuyển bất biến tổng quát có dạng {gnm (j)}n∈Z,m=0, ,M −1 = {gm (j − nN )}n∈Z,m=0, ,M −1 ; gm dãy l2 (Z) Ta cho m, n chạy tập số cho trên, ta không ghi tập số đơn giản viết {gnm } với hệ dịch chuyển bất biến Các kết cho hệ dịch chuyển bất biến liên tục có phiên 61 rời rạc Để thiết lập kết quả, định nghĩa biến đổi Fourier dãy h ∈ l2 (Z) ˆ (v) = h h (j)e−2πijv , hầu khắp v ∈ R j∈Z Cho hệ dịch chuyển bất biến {gnm } ta định nghĩa tương tự hàm giá trị ma trận H (v) = (gˆm (v − k/N ))k=0, ,N −1,m=0, ,M −1 , hầu khắp v ∈ R ý ma trận N × M Định lí 2.4.1 Với kí hiệu bên khẳng định sau đúng: (i) {gnm } dãy Bessel l2 (Z) với cận B H(v) xác định hầu khắp v ánh xạ tuyến tính bị chặn từ CM vào √ CN với chuẩn nhiều N B (ii) {gnm } khung l2 (Z) với cận khung A, B N AI ≤ H (v) H(v)∗ ≤ N BI, hầu khắp v (iii) {gnm } khung chặt l2 (Z) có số c > cho M −1 gˆm (v − k/N ) gˆm (v) = cδk,0 , k ∈ Z, hầu khắp v m=0 (iv) Hai hệ dịch chuyển bất biến {gnm } {hnm } tạo dãy Bessel l2 (Z) khung đối ngẫu M −1 ˆ m (v) = N δk,0 , k ∈ Z, hầu khắp v gˆm (v − k/N ) h m=0 Kết luận Nội dung luận văn nghiên cứu khung Gabor l2 (Z) Luận văn trình bày cách hệ thống, có bổ sung chi tiết vấn đề cụ thể sau: - Một số không gian, phép biến đổi Fourier chuỗi Fourier; - Khung tổng quát không gian Hilbert số ví dụ minh họa cụ thể; - Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát L2 (R) trường hợp đặc biệt khung Gabor L2 (R); - Khung Gabor l2 (Z), hệ Gabor rời rạc thu nhờ lấy mẫu khung Gabor L2 (R); - Các khung Gabor CL ; - Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát l2 (Z) 62 Tài liệu tham khảo [1] O Christensen (2003), An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser , Boston [2] I Daubechies (1990), “The wavelet transformation, time – frequency localization and signal analysis”, IEEE Trans Inform Theory, Vol.36, 961-1005 [3] I Daubechies (1992), Ten lectures on wavelets, SIAM, Philadelphia [4] I Daubechies, A Grossmann and Y Meyer (1986), “Painless nonorthogonal expansions”, J Math Phys., Vol 27, 1271 - 1283 [5] R J Duffin and A C Schaeffer (1952), “A class of nonharmonic Fourier series”, Trans Amer Math Soc., Vol 72, 341 - 366 [6] C.Heil and D Walnut (1989), “ Continuous and discrete wavelet transforms", SIAM Review, Vol.31, 628-666 [7] A J E M Jansen (1995), "Duality and biorthogonality for Weyl Heisenberg frames", J Fourier Anal Appl., Vol 1, No 4, 403-436 [8] A J E M Jansen (1994), "Duality and biorthogonality for disrete time Weyl – Heisenberg frame ", Nat Lab UR002/94 [9] A J E M Jansen (1997), “ From continuous to discrete Weyl – Heisenberg frames through sampling”, J Fourier Anal Appl., Vol 3, No.5, 583- 596 [10] S Qian and D Chen (1993), "Discrete Gabor transform", IEEE Trans Signal Processing, Vol 41, 2429 - 2438 63 64 [11] J Wexler and S Raz (1990), "Discrete Gabor expansions", Signal Processing, Vol 21, 207 - 220 [...]... (R) Định nghĩa 1.3.2 Một khung Gabor trong L2 (R) là khung có dạng {Emb Tna g}m,n∈Z khi a, b > 0 và g ∈ L2 (R) là một hàm cố định Khung có dạng này còn được gọi là khung Weyl-Heisenberg Hàm g được gọi là hàm cửa sổ hay là phần tử sinh Ta có thể viết lại như sau: Emb Tna g (x) = e2πimbx g (x − na) (1.13) Vậy làm thế nào để có được khung Gabor {Emb Tna g}m,n∈Z trong L2 (R) Một trong những kết quả cơ bản... tiến và biến điệu Nội dung của mục này được tham khảo từ các tài liệu [1], [3] 1.3 Khung Gabor trong L2 (R) Lý thuyết toán học của giải tích Gabor trong L2 (R) được dựa trên 2 lớp toán tử trên L2 (R), đó là: Phép tịnh tiến với a ∈ R, Ta : L2 (R) → L2 (R) , (Ta f ) (x) = f (x − a) , Phép biến điệu với b ∈ R, Eb : L2 (R) → L2 (R) , (Eb f ) (x) = e2πibx f (x) Bổ đề sau cho ta một số tính chất của phép tịnh... đó {Emb Tna g}m,n∈Z là một khung Gabor trong L2 (R) Định lý sau cho ta một ví dụ cụ thể về khung Gabor 2 Định lí 1.3.6 Cho a, b > 0 và hàm g (x) = e−x Khi đó hệ Gabor {Emb Tna g}m,n∈Z là một khung trong L2 (R) khi và chỉ khi ab < 1 25 Ví dụ 3 Ta có thể kiểm tra rằng e2πikx χ[0,1] (x) k∈Z là một cơ sở trực chuẩn của L2 (0, 1); bằng cách tịnh tiến, với mỗi n ∈ Z, không gian L2 (n, n + 1) có cơ sở trực... Chúng không phải duy nhất Cận khung trên tối ưu là cận dưới đúng trên tất cả các cận khung trên, và cận khung dưới tối ưu là cận trên đúng trên tất cả các cận khung dưới Một khung được gọi là chặt nếu chúng ta có thể chọn A = B như các cận khung Nếu A = B = 1 thì khung được gọi là khung Parseval Trong trường hợp không gian Hilbert H là hữu hạn chiều thì dãy m {fk }m k=1 là khung cho H khi và chỉ khi span... g}m,n∈Z có thể là một khung trong L2 (R) không 22 Định lí 1.3.3 Giả sử g ∈ L2 (R) và cho a, b > 0 Khi đó nếu ab > 1 thì {Emb Tna g}m,n∈Z không là khung trong L2 (R) Do đó, điều kiện cần để {Emb Tna g}m,n∈Z là khung là ab ≤ 1 Tuy nhiên, giả thiết ab ≤ 1 không đủ để {Emb Tna g}m,n∈Z là một khung, 1 cho dù g = 0 Ví dụ, nếu a ∈ , 1 , b = 1, các hàm Em Tna χ[0, 1 ] 2 2 m,n∈Z 2 không đầy đủ trong L (R) và không... Fourier là một phép đẳng cự từ L1 ∩ L2 (R) đến L2 (R) Nếu f ∈ L2 (R) và {fk }∞ k=1 là một dãy của các hàm trong L1 ∩ L2 (R) và hội tụ đến f trong không 2 gian L (R) thì dãy fˆk ∞ cũng hội tụ trong L2 (R), tới một giới hạn k=1 độc lập với lựa chọn của {fk }∞ k=1 Bằng cách định nghĩa fˆ := lim fˆk k→∞ ta có thể mở rộng biến đổi Fourier thành một ánh xạ Unita từ L2 (R) lên L2 (R) Ta sẽ dùng ký hiệu tương... thì mọi f ∈ L2 (R), Sf = 1 ab g, E ma T nb g E ma T nb f, m,n∈Z với sự hội tụ không điều kiện trong L2 (R) 28 1.4 Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát trong L2 (R) Các hệ Gabor chúng ta nghiên cứu ở mục trước là một trường hợp đặc biệt của các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát, đối tượng nghiên cứu ở mục này Cho {gm }m∈I là một họ các hàm trong L2 (R) và a > 0 Hệ dịch chuyển bất biến trong L2 (R) sinh... Bổ đề 1.2.11 Cho {fk }∞ k=1 là một khung Khi đó các khẳng định sau là tương đương 19 1) {fk }∞ k=1 là khung chặt với cận khung C; 1 2) {fk }∞ k=1 có khung đối ngẫu có dạng gk = c fk với c là một hằng số dương Chứng minh Giả sử {fk }∞ k=1 là khung chặt với cận khung C Chọn gk = S −1 fk trong đó S là toán tử khung của {fk } | f, fk |2 = Sf, f với mọi f ∈ H nên S = CI trong đó 1 1 I là toán tử đồng nhất... tương tự A có cận dưới 16 Khung S −1 fk ∞ k=1 được gọi là đối ngẫu chính tắc của {fk }∞ k=1 Khai triển khung được phát biểu ở bên dưới, là một trong những kết quả khung quan trọng nhất Nó chỉ ra rằng nếu {fk }∞ k=1 là một khung trong H, thì mỗi phần tử trong H có một biểu diễn như là một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung Do đó một cách tự nhiên ta có thể coi khung như là một dạng “cơ... tin về f ∈ H nằm trong dãy f, S −1 fk ∞ k=1 Các số f, S −1 fk được gọi là các hệ số khung Bổ đề sau chỉ ra rằng ta chỉ cần kiểm tra điều kiện khung trong một trù mật 17 Bổ đề 1.2.9 Giả sử rằng {fk }∞ k=1 là dãy các phần tử trong H và tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho ∞ A f 2 | f, fk |2 ≤ B f ≤ 2 (1.11) k=1 với mọi f trong tập con trù mật V của H Khi đó {fk }∞ k=1 là một khung trong H với các cận