Khung sinh bởi họ B-Spline

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN MẠNH HÙNG KHUNG SINH BỞI HỌ B-SPLINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN MẠNH HÙNG KHUNG SINH BỞI HỌ B-SPLINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS.Bùi Kiên Cường HÀ NỘI , 2017 Mục lục Mở đầu Chương Khung không gian Hilbert 1.1 Toán tử không gian Hilbert 1.1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert 1.1.2 Phép chiếu trực giao phần bù trực giao 1.2 Cơ sở không gian Hilbert 1.2.1 Hệ trực chuẩn 1.2.2 Cơ sở trực chuẩn 1.3 Khung không gian Hilbert 11 1.3.1 Dãy Bessel không gian Hilbert 11 1.3.2 Cơ sở Riesz 14 1.3.3 Khung tính chất Khung 18 1.3.4 Khung sở Riesz 22 Chương Khung sinh họ hàm B-Spline 26 2.1 Họ B-Spline 26 2.2 Khung Gabor 28 2.2.1 Lý thuyết sở khung Gabor 28 2.2.2 Khung Gabor chặt 34 2.2.3 Đối ngẫu Khung Gabor 37 2.2.4 Xây dựng dạng cặp khung Gabor đối ngẫu nhờ B-spline 38 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường Thầy tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tôi, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy cô giáo phòng Sau đại học, thầy cô giáo khoa Toán thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K19 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội đem hết tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy, trang bị cho tác giả nhiều kiến thức sở giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Tổ Toán -Tin trường THPT Ngô Quyền - Ba Vì giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Mạnh Hùng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS.Bùi Kiên Cường, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Khung sinh họ BSpline" hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Mạnh Hùng Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết Khung Duffin Schaeffer đưa từ năm 1952 nỗ lực tìm kiếm thay khái niệm sở Tuy nhiên, phải đến nhu cầu việc ứng dụng công nghệ thông tin xử lý ảnh cần công cụ toán học linh hoạt sở không gian lý thuyết Khung phát triển Thời điểm đánh dấu trở lại lý thuyết Khung năm 1986 công trình Mallat Đến nay, lý thuyết Khung có phát triển rộng rãi, đáp ứng tốt yêu cầu không khoa học công nghệ mà công cụ để nghiên cứu Toán lý thuyết giải tích điều hòa, lý thuyết giả vi phân Từ lý thuyết Khung tổng quát không gian Hilbert trừu tượng, người ta tạo Khung dựa vào lớp hàm cụ thể để có lớp Khung khác nhau, chẳng hạn Khung Gabor , Khung B-Spline Với mong muốn hiểu biết sâu sắc lý thuyết Khung, đồng ý hướng dẫn thầy giáo -Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, lựa chọn đề tài " Khung sinh họ B-Spline " để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa kiến thức lý thuyết Khung tổng quát Trình bày kết nghiên cứu gần Khung sinh hàm B-Spline Nhiệm vụ nghiên cứu • Làm báo cáo tổng quan thể đầy đủ mục đích nghiên cứu, nội dung phương pháp nghiên cứu • Báo cáo tài liệu tham khảo tốt cho người quan tâm lý thuyết Khung, đặc biệt Khung sinh lớp hàm B-Spline Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết Khung, Khung Gabor, B-Spline việc tạo Khung từ họ hàm B-Spline • Phạm vi nghiên cứu: Các báo, tài liệu nước liên quan đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm, phương pháp nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề mà luận văn đề cập tới Đóng góp luận văn Luận văn công trình nghiên cứu tổng quan lý thuyết Khung Khung sinh họ hàm B-Spline Chương Khung không gian Hilbert Trong chương này, nhắc lại số khái niệm kết bổ trợ cần thiết sử dụng chương sau 1.1 Toán tử không gian Hilbert 1.1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K liên tục bị chặn, nghĩa tồn số C > cho T x ≤ C x , x ∈ H (1.1) Ký hiệu B(H, K) tập tất toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K Khi H = K B(H, K) ký hiệu đơn giản B(H) Chuẩn T định nghĩa số C nhỏ thỏa mãn (1.1) Nói cách tương đương T = sup{ T x : x ∈ H, x ≤ 1} = sup{ T x : x ∈ H, x = 1} Mệnh đề 1.1 Giả sử H, K, L không gian Hilbert Khi đó, Nếu T ∈ B (H, K) tồn phần tử T ∗ ∈ B (K, H) cho T ∗ x, y = x, T y , ∀x ∈ K, ∀y ∈ H Hơn i) (a S + bT )∗ = a.S ∗ + b.T ∗ ii) (RS)∗ = S ∗ R∗ iii) (T ∗ )∗ = T iv)I ∗ = I v) Nếu T khả nghịch T ∗ khả nghịch T −1 ∗ = (T ∗ )−1 , S, T ∈ B (H, K) , R ∈ B (K, L) , a, b ∈ C Toán tử T ∗ Mệnh đề 1.1 gọi toán tử liên hợp toán tử T Mệnh đề 1.2 Giả sử T ∈ B(H, K) , S ∈ B(K, L) Khi ta có: i) T x ≤ T x , ∀x ∈ H ii) ST ≤ S T iii) T = T ∗ iv) T ∗ T = T Nếu T ∈ B (H) , x, y ∈ H, ta có đồng thức phân cực sau: T x, y = { T (x + y) , x + y − T (x − y) , x − y + i T (x + iy) , x + iy − i T (x − iy) , x − iy Cho T ∈ B (H) Khi đó: T gọi toán tử tự liên hợp T ∗ = T T gọi toán tử unita T ∗ T = T T ∗ = I T gọi toán tử trực giao hay toán tử chuẩn tắc T ∗ T = T T ∗ T gọi toán tử dương (ký hiệu T ≥ 0) T x, x ≥ , ∀x ∈ H Nếu T, K ∈ B (H) ta nói T ≥ K T − K toán tử dương cách đồng thời Thảo luận thúc đẩy việc phân tích xây dựng khung Gabor Như thấy, khung dẫn đến khai triển tương tự mở rộng thu thông qua sở, hạn chế lên khung chặt khung mà đối ngẫu tìm thấy dễ dàng Trong phần trình bày cách biểu diễn Bây nêu mệnh đề cung cấp cho điều kiện cần cho {Emb Tna g}m,n∈Z khung L2 (R) phụ thuộc vào tương tác hàm g tham số a thể hàm |g (x) − na|2 , x ∈ R G (x) := (2.10) n∈Z Mệnh đề 2.1 Giả sử g ∈ L2 (R) a > 0, b > cho trước giả thiết hệ gồm hàm {Emb Tna g}m,n∈Z khung với cận A, B Khi |g (x − na)|2 ≤ bB với hầu khắp x ∈ R bA ≤ (2.11) n∈Z Rõ hơn: cận (2.11) bị vi phạm {Emb Tna g}m,n∈Z dãy Besel; cận bị vi phạm {Emb Tna g}m,n∈Z không thỏa mãn điều kiện khung Phép chứng minh Mệnh đề 2.1 Bổ đề 2.1 trình bày [2] Bổ đề 2.1 Giả sử f hàm đo được, bị chặn với giá compact 31 hàm G định nghĩa (2.10) bị chặn Khi +∞ m,n∈Z | f, Emb Tna g |2 = b |f (x)|2 |g (x − na)|2 dx n∈Z −∞ +∞ + b x− f (x)f k=0 −∞ k b g (x − na) g x − na − n∈Z k dx b Bổ đề 2.1 có vài hệ quan trọng Chẳng hạn, điều kiện đủ để {Emb Tna g}m,n∈Z thành khung Định lý 2.5 Cho g ∈ L2 (R) , a > 0, b > giả sử B := sup b x∈[0;a] g (x − na) g (x − na − k/b) < ∞ (2.12) k∈Z n∈Z Khi {Emb Tna g}m,n∈Z dãy Bessel với cận B Nếu   k |g (x − na)|2 − A := inf g (x − na) g x − na − b x∈[0,a]  b x∈Z k=0 n∈Z    (2.13) {Emb Tna g}m,n∈Z khung L2 (R) với cận A, B Phép chứng minh Định lý xem [2] Điều kiện (2.12) dẫn tới điều kiện đủ dễ dàng để {Emb Tna g}m,n∈Z dãy Bessel Hệ 2.2 Cho g ∈ L2 (R) bị chặn có giá compact Khi hệ hàm {Emb Tna g}m,n∈Z dãy Bessel với a, b > Hệ 2.3 Cho a > 0, b > giả sử g ∈ L2 (R) có giá compact khoảng có độ dài b hàm G thỏa mãn (2.11) với A > 0, B > 32 >0 Khi {Emb Tna g}m,n∈Z khung L2 (R) với cận khung A, B Toán tử khung S nghịch đảo S −1 cho Sf = b G f ; S −1 f = f ; f ∈ L2 (R) b G Chứng minh Sự kiện {Emb Tna g}m,n∈Z khung suy trực tiếp từ Bổ đề 2.1 Định lý 2.5 g (x − na) g x − na − n∈Z k b = 0, ∀k = Cho hàm f liên tục với giá compact, Bổ đề 2.1 suy | f, Emb Tna g | = b Sf, f = m,n∈Z +∞ −∞ |f (x)|2 G (x) dx = G f, f b Do tính liên tục S biểu thức với f ∈ L2 (R) Từ suy điều phải chứng minh Hệ 2.4 Giả sử g ∈ L2 (R) hàm liên tục với giá compact khoảng I g(x) > I Khi {Emb Tna g}m,n∈Z khung với (a, b) ∈ (0; |I|) × (0; 1/|I|) Đặc biệt, áp dụng kết họ B-spline, để tránh hiểu lầm với ký hiệu hệ Gabor, ký hiệu spline B N , ∈ N∗ thay cho Bn Nn Hệ 2.5 Cho ∈ N∗ B-spline B N tạo khung Gabor với (a, b) ∈ (0; ) × (0; 1/ ] Định lý 2.6 Cho g ∈ L2 (R) a, b > Khi ta có khẳng định sau Nếu ab > {Emb Tna g}m,n∈Z khung L2 (R) 33 Nếu {Emb Tna g}m,n∈Z khung ab = ⇔ {Emb Tna g}m,n∈Z sở Riesz (2.14) 2.2.2 Khung Gabor chặt Trong ứng dụng khung thật bất tiện phân tích khung nêu Định lý 1.7, đòi hỏi lấy nghịch đảo toán tử khung Như thấy lý thuyết khung chung, cách để tránh vấn đề xem xét khung chặt May mắn thay Khung Gabor chặt tồn đặc trưng, sau trình bày khung Gabor chặt Định lý 2.7 Cho g ∈ L2 (R) a, b > Khi có khẳng định sau tương đương {Emb Tna g}m,n∈Z khung chặt L2 (R) với cận A = Với hầu khắp x ∈ R, điều kiện sau thỏa mãn: |g (x − na)|2 = b; a) G (x) := n∈Z g (x − na) g x − na − b) Gk (x) := n∈Z k b = 0, ∀k = Chứng minh ⇒ 2.: Giả sử {Emb Tna g}m,n∈Z khung chặt L2 (R) với cận khung A = Khi Mệnh đề 2.1 G (x) = b với hầu khắp x ∈ R Do +∞ | f, Emb Tnag m,n∈Z | = b |f (x)|2 G (x)dx với f ∈ L2 (R) −∞ 34 Sử dụng Bổ đề 2.1, kết luận rằng, với hàm bị chặn, có giá compact f ∈ L2 (R): +∞ b f (x)f (x − k/b) g (x − na) g (x − na − k/b)dx = n∈Z k=0 −∞ Một phép đổi biến số rằng, đóng góp tổng sinh giá trị k ∈ Z liên hợp phức đóng góp từ giá trị −k Bởi  +∞ ∞ g (x − na) g (x − na − k/b)dx = f (x)f (x − k/b) Re  k=1  k∈Z −∞ (2.15) Bây cố định k0 ≥ cho I khoảng R với độ dài lớn 1/b Xác định hàm f ∈ L2 (R) bởi:    e−i arg(Gk0 (x)) ; x ∈ I   f (x) = x ∈ I + k0 /b    0 lại Khi đó, nhờ (2.15)  +∞  ∞ 0= Re  k=1  +∞−∞ = Re  f (x)f (x − k/b) g (x − na) g (x − na − k/b)dx k∈Z  f (x)f (x − k0 /b) Gk0 (x) dx = −∞ |Gk0 (x)| dx I Từ suy Gk0 (x) = với hầu khắp x ∈ I Vì I khoảng có độ dài lớn 1/b nên kết luận Gk0 = Để giải Gk với k < 0, tính toán trực tiếp G−k0 (x) = Gk0 (x + k0 /b) = 35 Điều chứng tỏ Mệnh đề 2b) với k = ⇒ 1.: Với giả thiết ta suy ra, theo Bổ đề 2.1 rằng, với hàm bị chặn có giá compact f ∈ L2 (R), +∞ | f, Emb Tna g | = b m,n∈Z |f (x)|2 |g (x − na)|2 dx = f n∈Z −∞ Vì hàm bị chặn,giá compact trù mật L2 (R), Bổ đề 1.3 {Emb Tna g}m,n∈Z khung chặt với cận khung A = Định lý chứng minh Nói chung, không dễ dàng xây dựng hàm g cho điều kiện Định lý 2.7 (2) thỏa mãn với a, b > cho trước Sự đơn giản hóa xảy giả thiết hàm g có giá compact: trường hợp đó, điều kiện 2b) thỏa mãn cách tự nhiên với giá trị b đủ nhỏ Đặc biết thu hệ sau hữu ích, điều kiện đủ để {Emb Tna g}m,n∈Z khung Gabor chặt Hệ 2.6 Giả sử a, b > số cho Giả sử ϕ ∈ L2 (R) có giá trị thực, không âm có giá compact khoảng có độ dài 1/b có: ϕ (x + na) = 1; hầu khắp x ∈ R (2.16) n∈Z hàm g (x) := bϕ (x) tạo thành khung Gabor chặt {Emb Tna g}m,n∈Z với cận khung A = Nếu (2.16) thỏa mãn, nói hàm {Tna ϕ}n∈Z tạo thành phân hoạch đơn vị Đặc biệt ứng dụng kết vào hàm B-Spline: 36 Ví dụ 2.1 Với ∈ N∗ , hàm B-Spline ϕ = N xác định (2.1) thỏa mãn giả thiết Hệ 2.6 với a = b ∈ (0; 1/ ) Như vậy, với b ∈ (0; 1/ ) , hàm g (x) = bN (x) tạo khung Gabor chặt {Emb Tn g}m,n∈Z với cận khung A = Chúng ta ý khung tạo thành Ví dụ phù hợp với giải tích thời gian-tần số Chúng cho công thức rõ ràng, có giá compact lựa chọn với triệt tiêu kiểu đa thức bậc tùy ý để miền tần số, dễ dàng với tham số đủ lớn 2.2.3 Đối ngẫu Khung Gabor Cho khung Gabor {Emb Tna g}m,n∈Z với toán tử khung tương ứng S, khai triển theo khung (xem Định lý 1.7) f, S −1 Emb Tna g Emb Tna g, ∀f ∈ L2 (R) f= (2.17) m,n∈Z Để sử dụng khai triển khung, cần tính toán khung đối ngẫu tắc S −1 Emb Tna g m,n∈Z Điều thông thường khó Thông qua bổ đề sau, thu rút gọn hơn, mà phép chứng minh trình bày [2] Bổ đề 2.2 Cho g ∈ L2 (R) a, b > giả sử {Emb Tna g}m,n∈Z dãy Bessel với toán tử khung S Khi có tính chất sau đây: SEmb Tna = Emb Tna S, ∀m, n ∈ Z Nếu {Emb Tna g}m,n∈Z khung S −1 Emb Tna = Emb Tna S −1 , ∀m, n ∈ Z 37 Bổ đề 2.2 có vai trò quan trọng cho cấu trúc khung đối ngẫu tắc khung Gabor Định lý 2.8 Cho g ∈ L2 (R) a, b > giả sử tập hợp hàm {Emb Tna g}m,n∈Z khung Gabor Khi khung đối ngẫu tắc có cấu trúc Gabor xác định Emb Tna S −1 g m,n∈Z Thông qua Định lý 2.8, phân tích khung (2.17) liên kết với khung Gabor {Emb Tna g}m,n∈Z có dạng f, Emb Tna S −1 g Emb Tna g, ∀f ∈ L2 (R) f= (2.18) m,n∈Z Trong thực tế, phiên khai triển theo khung thuận tiện nhiều (2.17): Thay tính toán họ vô hạn kép S −1 Emb Tna g m,n∈Z ta tìm S −1 g, sau áp dụng toán tử biến điệu tịnh tiến Hàm S −1 g gọi hàm cửa sổ đối ngẫu hay hàm sinh đối ngẫu Chúng ta để thảo luận khung đối ngẫu tắc kiểm tra câu hỏi làm khung đối ngẫu chung khung Gabor tìm thấy Kết chứng minh [2] Định lý 2.9 Cho g, h ∈ L2 (R) a, b > Hai dãy Bessel {Emb Tna g}m,n∈Z {Emb Tna h}m,n∈Z tạo thành khung đối ngẫu g (x − n/b − ka)h (x − ka) = bδn,0 ; với hầu khắp x ∈ [0; a] (2.19) k∈Z 2.2.4 Xây dựng dạng cặp khung Gabor đối ngẫu nhờ B-spline Cho đến bây giờ, thấy ví dụ khung Gabor khung đối ngẫu Sau chuẩn bị đầy đủ trên, 38 sẵn sàng cung cấp cấu trúc dạng số khung Gabor số đối ngẫu đặc biệt thuận lợi Giả thiết làm riêng cho tính chất B-spline Để thuận tiện, ta xét trường hợp có tham số a = Định lý 2.10 Cho N ∈ N∗ g ∈ L2 (R) giá trị thực bị chặn với suppg ⊆ [0; N ] thỏa mãn g (x − k) = 1; x ∈ R (2.20) k∈Z Cho b ∈ (0, 1/(2N − 1)] Khi hàm g h xác định N −1 g (x + k) h (x) = bg (x) + 2b (2.21) k=1 tạo khung đối ngẫu {Emb Tn g}m,n∈Z {Emb Tn h}m,n∈Z L2 (R) Chứng minh Giả sử hàm g có giá compact bị chặn Từ (2.21) ta thấy hàm h thỏa mãn tính chất Theo Hệ 2.2 ta có {Emb Tn g}m,n∈Z {Emb Tn h}m,n∈Z dãy Bessel Để chứng minh dãy tạo thành khung đối ngẫu, dựa vào Định lý 2.9: Theo (2.19), ta phải kiểm tra xem với x ∈ [0; 1] , g (x − n/b − k) h (x − k) = bδn,0 (2.22) k∈Z Hàm g có giá compact [0; N ], cách xây dựng hàm h có giá [ − N + 1; N ] Như (2.22) thỏa mãn với n = b ≥ 2N − nghĩa b ∈ (0; 1/(2N − 1)] Với n = điều kiện (2.22) có nghĩa g (x − n/b − k) h (x − k) = b; x ∈ [0; 1]; k∈Z 39 Vì hàm g có giá compact nên điều tương đương với N −1 g (x + k) h (x + k) = b; x ∈ [0; 1] (2.23) k=0 Điều kiện (2.23) cần phải thỏa mãn Để thấy điều đó, ta thấy với x ∈ [0; 1], có N −1 g (x + k) 1= k=0 Điều suy rằng, với x ∈ [0; 1] N −1 1= g (x + k) k=0 = (g (x) + g (x + 1) + + g (x + N − 1))2 = g (x) [g (x) + 2g (x + 1) + + 2g (x + N − 1) ] + g (x + 1) [g (x + 1) + 2g (x + 2) + + 2g (x + N − 1) ] + g (x + 2) [g (x + 2) + 2g (x + 3) + + 2g (x + N − 1) ] + + + g (x + N − 1) g (x + N − 1) = b N −1 g (x + k)h (x + k) k=0 Như vậy, điều kiện (2.23) thỏa mãn Các giả thiết Định lý 2.17 thiết lập riêng cho tính chất B-Spline N xác định (2.1) Hệ 2.7 Đối với ∈ N∗ b ∈ (0; 1/(2 − 1)] , hàm N 40 −1 N (x + k) h (x) := bN (x) + 2b (2.24) k=1 sinh khung đối ngẫu {Emb Tn N }m,n∈Z {Emb Tn h }m,n∈Z cho L2 (R) Một số tính chất quan trọng cặp đối ngẫu cặp hàm sinh (N ; h ) Hệ 2.7 sau: Các hàm N h Spline với lựa chọn ∈ N∗ N h hàm xác định có giá compact nghĩa chúng hoàn hảo tính địa phương hóa thời gian Bằng cách lựa chọn ∈ N∗ đủ lớn, triệt tiêu kiểu đa thức bậc tùy ý N h đạt Ví dụ 2.2 Với B-spline    x ; x ∈ [0; 1)   N2 (x) = − x ; x ∈ [1; 2)    0 ;x ∈ / [0; 2), sử dụng Hệ (2.18) với b ∈ (0; 1/3] với b = 1/3 ta thu hàm sinh đối ngẫu    ; x ∈ [−1;0)  (x + 1)  1 h2 (x) = N2 (x) + N2 (x + 1) = (2.25) (2 − x) ; x ∈ [0; 2)  3   0 ;x ∈ / [−1; 2) Hình 2.2 cách xây dựng tương tự N3 41 Nhờ phép thang bậc, người ta có dạng khác Định lý 2.10 cho tham số dịch chuyển a > Chú ý rằng, B-Spline N đối xứng, hàm sinh đối ngẫu xây dựng lại tính chất Định lý 2.11 Cho N ∈ N∗ g ∈ L2 (R) hàm giá trị thực bị chặn với supp g ⊂ [0; N ] Khi g (x − n) = n∈Z −1 Cho b ∈ (0; 1/(2N − 1)] Xét dãy vô hướng (an )N n=−N +1 mà a0 = b; an + a−n = 2b; n = 1, 2, N − (2.26) hàm h ∈ L2 (R) định nghĩa N −1 h (x) = an g (x + n) n=−N +1 42 (2.27) Khi g h tạo cặp khung đối ngẫu {Emb Tn g}m,n∈Z {Emb Tn h}m,n∈Z L2 (R) Đặc biệt, g đối xứng xây dựng hàm sinh đối xứng Hệ 2.8 Dưới giả thiết Định lý 2.11, hàm N −1 h (x) = b g (x + n) (2.28) n=−N +1 tạo khung đối ngẫu {Emb Tn g}m,n∈Z Khi hàm h thỏa mãn h = b giá hàm g Hơn nữa, g hàm đối xứng h hàm đối xứng Xem Hình 2.3 minh họa hàm sinh đối ngẫu, dựa B-Spline N2 N3 43 Kết luận Luận văn nghiên cứu tổng quan dựa tài liệu tham khảo số [3] lý thuyết khung tổng quát không gian Hilbert, hệ hàm B-spline khung Gabor với ứng dụng họ hàm B-spline việc tìm kiếm khung có tính chất tốt so với lý thuyết khung tổng quát Các kết luận văn bao gồm Trình bày ngắn gọn vấn đề giải tích hàm liên quan đến đề tài luận văn: lý thuyết toán tử, lý thuyết sở lý thuyết khung không gian Hilbert tổng quát Khung Gabor tính chất khung Gabor, với khung sinh họ hàm B-spline 44 Tài liệu tham khảo [1] K Grochening (2001), Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhauser, Boston [2] Ole Christensen (2016), An Introduction to Frames and Riesz Bases, Second Edition, Springer International Publishing Switzerland [3] Brigitte Forster, Peter Massopust (editer)(2010), Four Short Courses on Harmonic Analysis, Wavelets, Frames, Time-Frequency Methods and Applications to Signal and Image Analysis, Birkh¨auser Boston, a part of Springer Science+Business Media, LLC 45 ... quan tâm lý thuyết Khung, đặc biệt Khung sinh lớp hàm B-Spline Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết Khung, Khung Gabor, B-Spline việc tạo Khung từ họ hàm B-Spline • Phạm... không gian Hilbert Trong chương để xem xét Khung cụ thể L2 (R) sinh họ B-spline 2.1 Họ B-Spline Trong mục này, trình bày tính chất hàm họ B-spline Họ B- Spline định nghĩa quy nạp Ban đầu đơn... ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN MẠNH HÙNG KHUNG SINH BỞI HỌ B-SPLINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS.Bùi Kiên