03 chuyên đề hai tam giác bằng nhau

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN HÌNH HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC BẰNG NHAU A LÝ THUYẾT Hai tam giác Hai tam giác hai tam giác có cạnh tường ứng nhau, góc tương ứng AB  A 'B' ; AC = A'C' ; BC = B'C' ABC = A’B’C’    A ' ; B   B'  ;C   C'  A Các trường hợp tam giác a) Trường hợp : cạnh – cạnh – cạnh Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác b) Trường hợp : cạnh – góc – cạnh Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác c) Trường hợp : góc – cạnh – góc Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Các trường hợp tam giác vuông a) Trường hợp : hai cạnh góc vuông (cạnh – góc - cạnh) Nếu hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông b) Trường hợp : cạnh huyền – góc nhọn (góc – cạnh – góc) Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông hai tam giác vuông c) Trường hợp : cạnh huyền – cạnh góc vuông (cạnh – cạnh – cạnh) Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN HÌNH HỌC Ứng dụng Chúng ta thường vận dụng trường hợp tam giác để : - Chứng minh : hai tam giác nhau, hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau; hai đường thẳng vuông góc ; hai đường thẳng song song; ba điểm thẳng hàng ; … - Tính : độ dài đoạn thẳng ; tính số đo góc ; tính chu vi ; diện tích ; … - So sánh : độ dài đoạn thẳng ; so sánh góc ; … B CÁC VÍ DỤ A Ví dụ Cho tam giác ABC Chứng minh :  C  ; a) Nếu AB = AC B  C  AB = AC b) Nếu B Giải : a) (Hình 1) B Cách Gọi M trung điểm BC Xét AMB AMC có : AB = AC (gt) ; BM = CM (cách dựng) ; AM chung Do : AMB = AMC (c – c – c)  C  Suy : B Cách Xét ABC ACB có : AB = AC (gt) ; BC chung ; AC = AB (gt)  C  Do : ABC = ACB (c – c – c)  B b) (Hình 2) Kẻ AH  BC (H  BC) Tam giác AHB AHC vuông H nên : 1  B   900  A  C  (gt) nên suy : A 1  A 2 , mà B  2 C   90  A Xét AHB AHC có :   AHC   900 ; AH chung ; A 1  A  (chứng minh trên) AHB Do : AHB = AHC (g – c - g)  AB = AC (đpcm) B M Hình C A 12 H Hình C Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M điểm nằm tam giác cho MB = MC ; N trung điểm BC Chứng minh : a) AM tia phân giác góc BAC ; b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng ; c) MN đường trung trực đoạn thẳng BC Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN HÌNH HỌC Giải : (Hình 3) a) Xét AMB AMC có : AB = AC (gt) ; AM chung ; MB = MC (gt)   CAM  Do : AMB = AMC (c – c – c)  BAM Vậy AM phân giác góc BAC (đpcm) A M b) Xét ANB ANC có : AB = AC (gt) ; AN chung ; NB = NC (gt)   CAN  Do : ANB = ANC (c – c – c)  BAN C B N Hay AN phân giác góc BAC (đpcm) Hình Vì AM, AN phân giác góc BAC nên hai tia AM AN trùng Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng   ANC  c) Theo câu b) ANB = ANC (c – c – c)  ANB   ANC   BNC   1800  ANB   ANC   900  AN  BC hay MN  BC Mà ANB Mặt khác NB = NC (gt) nên MN đường trung trực BC Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm AC, AB Trên tia đối tia MB MC lấy tương ứng hai điểm D E cho MB = MD NC = NE Chứng minh : A E D a) AD = AE ; b) Ba điểm A, E, D thẳng hàng Giải : (hình 4) M N a) Xét MAD MCB có : MB = MD (gt)   CMB  (hai góc đối đỉnh) AMD B Hình MA = MC (gt) Do MAD = MCB (c – g – c), suy AD = BC (1) Chứng minh tương tự ta có AE = BC (2) Từ (1) (2) suy AD = AE   MCB  b) Vì MAD = MCB (chứng minh trên) nên MAD C Hai góc vị trí so le nên AD // BC Chứng minh tương tự ta có AE // BC Qua điểm A có hai đường thẳng AD AE song song với BC Theo tiên đề Ơcơlit hai đường thẳng trùng Hay ba điểm A, E, D thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC vuông B AC = 2AB Kẻ phân giác AE (E  BC) a) Chứng minh EA = EC ; b) Tính góc A C tam giác ABC Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN HÌNH HỌC Giải : (hình 5) a) Gọi D trung điểm AC Nối ED Vì AC = 2AB (gt) AC = 2AD (vì D trung điểm AC) nên AB = AD = CD   900 ABC vuông B nên B A Xét AEB AED có : 12 AE chung D   A1  A (vì AE phân giác góc BAC) AB = AD (chứng minh trên) C B  B   900 E Do : AEB = AED (c – g – c)  ADE  hai góc kề bù nên ADE   CDE   900  CDE Hình Vì ADE Xét EDA EDC có : DE chung   CDE  (chứng minh trên) ADE AD = DC (vì D trung điểm AC) Do : EDA = EDC (c – g – c)  EA = EC 2  C  Suy BAC   2C  b) Vì EDA = EDC (chứng minh trên) nên A   BAC  C   1800 hay : 900  2C  C   1800 ABC có : B   300 ; BAC   2C   600 C   600 ; C   300 Vậy A   900 AB = 2AC Kẻ BD CE tương ứng vuông Ví dụ Cho tam giác ABC có A góc với AC AB (D  AC, E  AB) Gọi O giao điểm BD CE Chứng minh rằng: a) BD = CE ; A b) OE = OD OB = OC ; c) AO tia phân giác góc BAC Giải : a) Xét ADB AEC có :  D   900  chung ; E AB = AC (gt) ; A Do : ADB = AEC (cạnh huyền – góc nhọn) Suy : BD = CE B b) Vì ADB = AEC (cmt) nên AD = AE Xét ADO AEO có :  D   900 AD = AE (gt) ; AO chung ; E Do : ADB = AEC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)   OAE  Suy : OD = OE OAD Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh D E O C Hình CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN HÌNH HỌC Lại có : BD = CE hay OB + OD = OC + OE  OB = OC (vì OD = OE) Vậy OD = OE OB = OC   OAE   AO tia phân giác góc BAC c) Theo câu b), OAD BÀI TẬP Trường hợp cạnh – cạnh - cạnh Cho ABC = A’B’C’ Gọi M M’ tương ứng trung điểm BC B’C’ Bết AM = A’M’ Chứng minh :  A  'M 'C' a) AMB = A’M’B’ ; b) AMC Cho ABC Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB, cung tròn tâm B bán kính AC Hai cung tròn cắt D (A D thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ BC) Chứng minh CD // AB BD // AC Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox, Oy lấy tương ứng hai điểm A B cho OA = OB Vẽ đường tròn tâm A tâm B có bán kính cho chúng cắt hai điểm M, N nằm góc xOy Chứng minh : a) OMA = OMB ONA = ONB ; b) Ba điểm O, M, N thẳng hàng ; c) AMN = BMN ; d) MN tia phân giác góc AMB Cho ABC có AB = AC Gọi H trung điểm cạnh BC a) Chứng minh AH vuông góc với BC tia phân giác góc BAC ; b) Trên tia đối HA lấy điểm K cho HK = HA Chứng minh CK // AB Cho ABC có AB = AC Gọi D E hai điểm BC cho BD = DE = EC   DAC  ; a) Chứng minh EAB b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tia phân giác góc DAE ;   600 Có nhận xét góc AED c) Giả sử DAE Cho ABC Vẽ đoạn AD vuông góc với AB (C D nằm hai nửa mặt phẳng đối  bờ AC), AE = AC Biết DE = BC Tính BAC Cho đoạn thẳng AB Hai điểm C D nằm khác phía AB cho C D cách hai điểm A B a) Chứng minh CD tia phân giác góc ACB ; b) Kết câu a có không C D nằm phía AB ? Trường hợp cạnh – góc - cạnh Cho góc xOy nhọn tia Oz tia phân giác góc Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B cho OA = OB Gọi C điểm tia Oz Chứng minh :   yBC  ; a) AC = BC xAC b) AB vuông góc với Oz Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN HÌNH HỌC Cho ABC vuông A Gọi M trung điểm cạnh AC Trên tia đối tia MB lấy điểm N cho MB = MN Chứng minh : a) CN  AC CN = AB ; b) AN = BC AN // BC 10 Cho ABC vuông A AB < AC Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = AB Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh DE = BC; b) Chứng minh DE  BC;   5C  Tính AED  c) Biết 4B 11 Cho đoạn thẳng AB trung điểm O đoạn thẳng Trên nửa mặt phẳng đối   ABy;  lấy tia Ax hai điểm C E bờ AB, kẻ hai tia Ax, By cho BAx (E nằm A C), By lấy hai điểm D F (F nằm B D) cho AC = BD, AE = BF Chứng minh : a) OC = OD, OE = OF ; b) Ba điểm C, O, D thẳng hàng; c) ED = CF 12 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm hai điểm A B không trùng với trung điểm đoạn thẳng AB Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AB kẻ hai tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy hai điểm M, M’, tia By lấy hai điểm N, N’ cho AM = BN’ = BC, BN = AM’ = AC Chứng minh : a) MC = NC, AN = BM’, AN’ = BM ; b) AN // BM’ AN’ // BM ; b) MN’ M’N cắt trung điểm đoạn thẳng AB 13 Cho ABC có góc A nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ tia Ax tia lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phảng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Ay lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh BE = CD BE  CD ; b) Các đường thẳng AC ED vuông góc với không ? c) Các kết có không góc A tù ? 14 Cho ABC có M trung điểm BC Kẻ AH  BC (H  BC) Biết AH, AM chia góc đỉnh A thành ba góc Tính góc ABC 15 Cho ABC vuông A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC điểm D Trên cạnh BC lấy điểm H cho BH = BA    1100 , tính ADH a) Chứng minh DH  BC ; b) Biết ADH 16 Cho ABC, D trung điểm AC, E trung điểm AB Trên tia đối tia DB lấy điểm N cho DN = DB Trên tia đối tia EC lấy điểm M cho EM = EC Chứng minh A trung điểm đoạn thẳng MN 17 Cho điểm A nằm góc nhọn xOy Vẽ tia AH vuông góc với Ox lấy điểm B tia đối tia HA cho HB = HA Vẽ AK vuông góc với Oy lấy điểm C tia đối tia KA cho KC = KA Chứng minh :   , tính góc BOC a) OB = OC ; b) Biết xOy Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN HÌNH HỌC 18 Cho ABC có AC > AB, tia phân giác góc A cắt BC D Trên AC lấy điểm E cho AE = AB Chứng minh AD  BE 19 Cho d đường trung trực đoạn thẳng AB, C điểm thuộc d Gọi Cx tia đối tia CA, Cy tia phân giác góc BCx Chứng minh Cy  d 20 Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt tạo trung điểm O đoạn thẳng Lấy điểm E, F theo thứ tự AD BC cho AE = BF Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng 21 Cho ABC Kẻ BD vuông góc với AC ; kẻ CE vuông góc với AB Trên tia đối tia BD lấy điểm H cho BH = AC ; tia đối tia CE lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh AH = AK 22 Cho ABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm C, vẽ tia Ax vuông góc với AB lấy điểm D tia cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Ay vuông góc với AC lấy điểm E tia cho AE = AC Chứng minh : DE a) AM  ; b) AM  DE Trường hợp góc – cạnh - góc  C  Gọi I trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D, tia 23 Cho ABC có B DI lấy điểm E cho I trung điểm DE Chứng minh : a) BD = CE ; b) CB tia phân giác góc ACE 24 Cho ABC vuông A có AB = AC Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm phía xy) Kẻ BD CE vuông góc với xy (D, E  xy) a) Chứng minh DE = BD + CE ; b) Kết câu a) thay đổi B, C nằm khác phía xy ? 25 Cho ABC vuông A có AB = AC Trên cạnh AB, AC lấy tương ứng hai điểm D E cho AD = AE Từ A D kẻ đường vuông góc với BE cắt BC theo thứ tự M N Tia ND cắt tia CA I Chứng minh : a) A trung điểm CI ; b) CM = MN 26 Cho ABC vuông A Gọi M trung điểm cạnh BC Trên tia AM lấy điểm N cho M trung điểm AN Chứng minh : a) CN = AB CN // AB ; b) BC = 2AM 27 Cho ABC Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ AF  AB AF = AB; nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ AH  AC AH = AC Gọi D trung điểm cạnh BC, I điểm tia đối tia DA cho DI = DA Chứng minh : a) AI = FH ; b) DA  FH Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN HÌNH HỌC 28 Cho ABC, D trung điểm cạnh AB, E trung điểm cạnh AC Vẽ điểm F cho E trung điểm DF Chứng minh : a) BD = CF ; b) DE // BC DE = BC 29 Cho ABC Gọi M trung điểm BC , I trung điểm AM Tia CI cắt cạnh AB D Chứng minh : a) BD = 2AD ; b) CD = 4ID 30 Cho ABC có AB = AC Gọi M trung điểm AB Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BA = BD Chứng minh CD = 2CM 31 Cho ABC Kẻ BD CE tương ứng vuông góc với AC AB (D  AC, E  AB) Gọi M, N trung điểm BC, DE Chứng minh MN  DE 32 Cho ABC có góc A nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C vẽ AD  AB AD = AB ; nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B vẽ AE  AC AE = AC Kẻ AH  ED (H  ED) Chứng minh đường thẳng AH qua trung điểm M cạnh BC   600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C 33 Cho ABC có A cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh BE + CD = BC   600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C 34 Cho ABC có A cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh ID = IE 35 Cho đoạn thẳng AB, O trung điểm AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax By vuông góc với AB Gọi C điểm thuộc tia Ax Đường vuông góc với OC O cắt tia By D Chứng minh CD = AC + BD 36 Trên cạnh BC ABC lấy điểm E F cho BE = CF Qua E F, vẽ đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự G H Chứng minh AB = EG + FH 37 Cho ABC vuông A, AB = AC Qua A vẽ đường thẳng d cho B C nằm phía đối với đường thẳng d Kẻ BH CK vuông góc với d Chứng minh : a) AH = CK ; b) HK = BH + CK 38 Cho ABC Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB (D C nằm kahsc phái AB) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với BC Đường thẳng HA cắt DE K Chứng minh DK = KE Các trường hợp tam giác vuông 39 Cho ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Kẻ Bh  AD (H  AD), kẻ CK  AE (K  AE) CMR : a) BH = CK ; b) AHB = AKC ; c) BC // HK Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN HÌNH HỌC 40 Cho ABC cân A, góc A nhọn Kẻ BD  AC (D  AC), kẻ CE  AB (E  AB) Gọi I giao điểm BD CE Chứng minh : a) AD = CE ; b) AI phân giác góc BAC 41 Cho ABC vuông A Từ A kẻ AH  BC Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA Kẻ EK  AC (K  AC) Chứng minh AK = AH 42 Cho ABC vuông cân A, M trung điểm BC, điểm E nằm M C Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H K thuộc đường thẳng AE) Chứng minh : a) BH = AK ; b) MBH = MAK ; c) MHK vuông cân 43 Cho ABC vuông A (AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH  BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vuông góc với AE cắt tia DH K Chứng minh :   450 a) BA = BH ; b) DBK 44 Cho ABC vuôn cân A Một đường thẳng d qua A Kẻ BH CK vuông góc với d Chứng minh tổng BH2 + CK2 có giá trị không đổi BÀI TẬP TỔNG HỢP 45 Cho ABC cân A Trên tia đối tia BC CB lấy thứ tự hai điểm D E cho BD = CE Gọi M trung điểm BC Chứng minh : a) ADE cân ; b) AM tia phân giác góc DAE ; c) BH = CK, với H K theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ B, C đến AD AE d) Ba đường thẳng AM, BH CK gặp điểm 46 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác ACD BEC Gọi M N trung điểm AE BD Chứng minh : a) AE = BD ; b) MCN tam giác 47 Cho ABC cân A, phân giác CD Qua D kẻ tia DF vuông góc với DC tia DE song song với BC (F  BC, E  AC) Gọi M giao điểm DE với tia phân giác góc BAC Chứng minh : a) CF = 2BD ; b) CF = 4DM 48 Cho ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh : a) DM = EN ; b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN ; c) Đường thẳng vuông góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN HÌNH HỌC 49 Cho ABC nhọn Về phía tam giác vẽ tam giác ABD ACE vuông cân A Gọi M N trung điểm BD CE, P trung điểm BC Chứng minh PMN vuông cân   800 I điểm nằm tam giác cho IAC   100 50 ABC cân B, có B   300 Tính AIB  ICA   200 Từ B C kẻ đường thẳng cắt cạnh đối diện 51 Cho ABC cân A có A    600 , BCE   500 Tính BDE D E Biết CBD   1200 , phân giác AD Kẻ DE DF tương ứng vuông góc với AB 52 Cho ABC có A AC Trên đoạn thẳng BE FC đặt EK = FI a) Chứng minh DEF ; b) Chứng minh DIK cân ; c) Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt BA M Chứng minh AMC ; d) Tính độ dài AD biết CM = m CF = n 53 Cho góc vuông xOy Vẽ cung tròn tâm O, bán kính tuỳ ý cắt Ox A, cắt Oy B Từ điểm C tuỳ ý cung AB (C khác A B) kẻ đường thẳng song song với Ox A’ cắt Oy B’ Chứng minh tổng CA’2 + CB’2 không phụ thuộc vào vị trí điểm C cung AB Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh 10 ...CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN – PHẦN HÌNH HỌC Ứng dụng Chúng ta thường vận dụng trường hợp tam giác để : - Chứng minh : hai tam giác nhau, hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau; hai đường... thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC vuông B AC = 2AB Kẻ phân giác AE (E  BC) a) Chứng minh EA = EC ; b) Tính góc A C tam giác ABC Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN... điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác ACD BEC Gọi M N trung điểm AE BD Chứng minh : a) AE = BD ; b) MCN tam giác 47 Cho ABC cân A, phân giác CD Qua D kẻ tia DF vuông góc với DC