ứng dụng phương pháp tọa độ vectơ,tọa độ điểm vào việc giải bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Trường THPT Phú Lộc SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ TRƯỜNG THPT PHÚ LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI : ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ,TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀO VIỆC GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Lĩnh vực : TOÁN HỌC Giáo viên : Trần Minh Cường Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Phú Lộc, tháng năm 2015 GV : Trần Minh Cường Page Trường THPT Phú Lộc MỤC LỤC : TT Nội dung Trang ĐỀ TÀI 01 MỤC LỤC 02 PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ 03 I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 03 II.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 04 III.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 04 IV.ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 04 V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 04 PHẦN II : GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 05 I CƠ SỞ LÍ LUẬN 05 II CƠ SỞ THỰC TIỄN 06 III NỘI DUNG CỤ THỂ 06 Vấn đề : Dạng toán chứng minh bất đẳng thức 06 – 09 Vấn đề : Dạng toán giải phương trình, bất phương trình, 09 – 14 hệ phương trình Vấn đề : Bài toán cực trị 14 PHẦN III: KẾT LUẬN 15 NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ 16 PHIẾU CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 17 GV : Trần Minh Cường Page Trường THPT Phú Lộc I PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh, toán giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình v.v … Đa số học sinh lúng túng giải toán Có nhiều phương pháp để giải Học sinh phải biết phối hợp cách khéo léo phương pháp : phương pháp đại số, phương pháp hình học, phương pháp tọa độ vectơ tọa độ điểm v.v…để giải Sau Tôi xin trình bày phương pháp tọa độ vectơ tọa độ điểm vào việc giải số toán : Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chương trình cấp trung học phổ thông hành - Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình - Giải toán chứa tham số - Giải toán bất đẳng thức - Giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ v.v… Đề tài giúp học sinh nắm phương pháp, có kĩ ứng dụng công cụ phương pháp tọa độ để giải vấn đề Ví dụ : (A – 2014 ) Giải Hệ Phương trình  x 12 − y + y (12 − x ) = 12 (1)  (2)  x − x − = y − Ví dụ : Cho a,b,c > ab + bc + ca = abc Chứng minh a + 2b b + 2c c + 2a + + ≥ ab bc ca GV : Trần Minh Cường Page Trường THPT Phú Lộc II.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Giúp học sinh hiểu sâu phương pháp tọa độ - Giúp học sinh thấy tầm quan trọng lý thuyết Véctơ phương pháp tọa độ - Giúp học sinh hứng thú việc tiệm cận với môn học hình học giải tích III.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Giúp học sinh rèn luyện kĩ ứng dụng phương pháp vecto phương pháp tọa đô vào giải toán IV.ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 12, học sinh dự thi vào trường Đại học Cao đẳng - Kiến thức phương pháp vecto phương pháp tọa đô cấp học lớp10 cấp học lớp 12 phổ thông trung học Phạm vị nghiên cứu : - Hình học lớp 10 lớp 12 phổ thông trung học - Sách giáo khoa tài liệu tham khảo luyện thi đại học, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi đề thi vào trường Đại học Cao đẳng V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp nghiên cứu thông qua thực tiễn giảng dạy \ GV : Trần Minh Cường Page Trường THPT Phú Lộc PHẦN II : GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÍ LUẬN Khái niệm vecto Các phép toán vecto Tọa độ điểm tọa độ vecto Phương pháp tọa độ mặt phẳng Phương pháp tọa độ không gian TÍNH CHẤT 1: BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC, CA, AB tương ứng a,b,c Ta có : + b − c < a < b + c hay AC − AB < BC < AC + AB + AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A ) Như ta chọn A,B,C có tọa độ thích hợp để giải toán TÍNH CHẤT 2: BẤT ĐẲNG THỨC VECTƠ r r uur Cho u = (a; b), v = ( x; y ), w = (m; n) Ta có r r r r r r + u − v ≤ u+v ≤ u + v r r dấu xảy u , v phương ⇔ ax = by r r uur r r uur u + +v+w ≤ u + v + w a b y = x r r uur  dấu xảy u , v , w phương ⇔  m = n  y x rr r r r r + u.v ≤ u v , dấu xảy u , v hướng Chú ý : Tính chất mở rộng không gian GV : Trần Minh Cường Page Trường THPT Phú Lộc II CƠ SỞ THỰC TIỄN 1.Thông qua dạy học, thông qua tình có vấn đề, số toán giải công cụ phương pháp vecto phương pháp tọa đô khéo léo Thông qua dạng toán thường gặp lớp học 12, đề thi đại học III NỘI DUNG CỤ THỂ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ & TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀO VIỆC GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề : Dạng toán chứng minh bất đẳng thức BÀI : Chứng minh : a − 2a + + a + 2a + ≥ (1) Cách giải : (1) ⇔ (a − 1)2 + 22 + (a + 1) + 22 ≥ r r r r Đặt a = (1 − a; 2), b = (a + 1; 2) ⇒ a + b = (2; 4) r r r r Ta có : (a − 1)2 + 22 + (a + 1) + 22 = a + b ≥ a + b = (đpcm) rr Dấu xảy : a; b hướng 1-a = a+1 ⇔ a = BÀI : Chứng minh : x + xy + y + y + yz + z ≥ z + zx + x , ∀x, y, z ∈ R (1) Cách giải : Ta có 2 x   z     2 x + xy + y =  y + ÷ +  x÷ ; y + yz + z = y + z÷  ÷ +  ÷ 2  ÷ 2       r  2  r   r r  x−z    ; (x + z) ÷ Xét a =  y + ; x ÷÷, b =  −  y + ÷; z ÷÷⇒ a + b =  ÷ 2  2       x z r r ( x − z ) 3( x + z ) ⇒ a+b = + = z + zx + x 4 GV : Trần Minh Cường Page Trường THPT Phú Lộc r r r r Do a + b ≥ a + b nên x + xy + y + y + yz + z ≥ z + zx + x , ∀x, y, z ∈ R ( đpcm ) rr Dấu xảy : a; b hướng x = z = x = z = r r r r x = z =  a + b ≥ a+b ⇔ x ⇔  x −2 y − x ⇔  y + x  =−  =  xy + yz + zx = 2y + z 2y  z  z x = z = ⇔  x = kz , y = − k z, k ≠ −1 1+ k  BÀI : Cho a,b,c > ab + bc + ca = abc Chứng minh a + 2b b + 2c c + 2a + + ≥ ab bc ca Cách giải : r 1  r 1  uur  2 r r uur  1 2 2 + ÷ Chọn u =  ; ÷÷; v =  ; ÷÷; w =  ; ÷÷ ⇒ u + v + w =  + + ; + b c ÷ b a  c b  a c  a b c a  Ta có 2 2 2 r r uur r r uur 1   1   1  2 1 1 u + v + w ≥ u + v + w ⇔  ÷ +  ÷ +  ÷ +  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥ 3 + + ÷ b  a ÷  c   b ÷  a   c ÷ a b c  ⇔ a + 2b b + 2c c + 2a + + ≥ ( đpcm ) ab bc ca Dấu xảy : a = b = c = BÀI : Chứng minh x + + y + + z + ≤ 3, ∀x, y, z ≥ − , x + y + z = Cách giải : r r Xét hai vectơ : u = ( 1;1;1) v = ( x + 2; y + 2; z + ) r r Ta có u = 3, v = 5( x + y + z ) + = rr u.v = x + + y + + z + GV : Trần Minh Cường Page Trường THPT Phú Lộc rr r r Áp dụng bất đẳng thức u.v ≤ u v ta có x + + y + + z + ≤ 3, ∀x, y, z ≥ − r r Dấu xảy : u = ( 1;1;1) , v = ( x + 2; y + 2; z + ) hướng ⇔ 5y + 5x + 5z + = = ⇔x= y=z=2 1 2 BÀI : Chứng minh s inx + − s in x + s inx − s in x ≤ 3, ∀x Cách giải : r ) ( r ( 2 Xét hai vectơ : u = sin x;1; − sin x v = 1; − sin x ;sin x ) rr r r u Áp dụng bất đẳng thức v ≤ u v ta có ⇔ s inx + − s in x + s inx − s in x ≤ sin x + + − sin x + + − sin x + sin x ≤ 3, ∀x r ) ( r ( 2 Dấu xảy : u = sin x;1; − sin x v = 1; − sin x ;sin x ) hướng ⇔ sin x = sin x − sin x π = = ⇔ sin x = − sin x ⇔  ⇔ x = + kπ sin x 2 − sin x sin x = −2 BÀI : Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( x + 1) + y + + x + ( y + 1) + 1, ∀x, y Cách giải : r r r r Xét hai vectơ : u = ( x + 1; y; 2), v = (− x; − y − 1;1) ⇒ u + v = (1; −1;3) r r r r Do a + b ≥ a + b ta có : A = ( x + 1) + y + + x + ( y + 1) + ≥ 11 r r Dấu xảy : u = ( x + 1; y; 2), v = (− x; − y − 1;1) hướng x +1 y 2 Tức : − x = − y − = ⇔ x = − , y = − GV : Trần Minh Cường Page Trường THPT Phú Lộc Vậy A đạt giá trị nhỏ 11 x = − , y = − BÀI : Chứng minh ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) + ( x + 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ 2, ∀x, y, z Cách giải : Trong không gian Oxyz, lấy điểm A(1;1;-1), B(-1;1;1),M(x;y;z) Khi AB = 2 MA = ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z + 1) , MB = ( x + 1)2 + ( y − 1) + ( z − 1) Từ bất dẳng thức MA + MB ≥ AB , ta suy ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) + ( x + 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ 2, ∀x, y, z uuuur uuur Dấu xảy : M nằm AB ⇔ AM = t AB, t ∈ [ 0;1]  x = − 2t  ⇔ y =1 t ∈ [ 0;1]  z = −1 + 2t  Vấn đề : Dạng toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình BÀI : Giải phương trình (4 − x) x − + − x = 85 − 57 x + 13x − x3 (1) Cách giải : Ta có : (1) ⇔ (4 − x) x − + − x = (5 − x)( x − x + 17)  7 ⇔ (4 − x) x − + − x = (5 − x) ( − x ) + 1 , x ∈ 2;     2 r r rr Xét a = ( − x;1) , b = ( x − 2; − x ) ⇒ a.b = (4 − x) x − + − x r r Và a = (4 − x) + 1, b = ( x − 2) + (7 − x) = − x rr r r rr Khi (1) ⇔ a.b = a b ⇔ cos ( a, b ) = ⇔ 4− x = x−2 − 2x ⇔ (4 − x) (7 − x) = x − ⇔ x = GV : Trần Minh Cường Page Trường THPT Phú Lộc Vậy phương trình có nghiệm x = BÀI : (A – 2014 ) Giải Hệ Phương trình  x 12 − y + y (12 − x ) = 12 (1)  (2)  x − x − = y − Cách giải : Điều kiện : ≤ y ≤ 12, x ≤ ( ) ( r r a = x ; (12 − x ) , b = Xét 12 − y ; y ) phương trình (1) có dạng rr r r rr a.b = a b ⇔ a, b hướng nên (1) ⇔ x y = (12 − x ) 12 − y ⇔ y = 12 − x , x ≥ thay vào phương trình (2) Ta có : x3 − x − = 10 − x ⇔ x3 − x − = 2( 10 − x − 1) ⇔ ( x − 3)( x + x + 1) = 2(9 − x ) 10 − x +  2( x + 3)  ⇔ ( x − 3)  x + x + + ÷= 10 − x +   x = ⇔  x + x + + 2( x + 3) = 0(VN )  10 − x + x= suy y = Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (3;3)  x + y + z = BÀI : Giải hệ phương trình :  2  x + y + z = Cách giải : Gọi ( x0 ; y0 ; z0 ) nghiệm tùy ý hệ có Xét hai vectơ sau không gian : GV : Trần Minh Cường Page 10 Trường THPT Phú Lộc r r u = ( x0 ; y0 ; z0 ), v = (1;1; 2) r r rr u = x0 + y0 + z0 = 1, v = , ta có u.v = x0 + y0 + z0 = rr rr u.v Mặt khác : cos(u, v) = r r = > vô lý u.v Vậy hệ cho vô nghiệm  x2 + y = − y( x + z)  BÀI : Giải hệ phương trình :  x + x + y = −2 yz 3 x + y + xy + yz = x + z +  Cách giải : Hệ phương trình cho viết lại :  x( x + y ) + y ( y + z ) = (1)  (2)  x ( x + 1) + y (2 z + 1) =  4( x + y ) + 4( y + z ) = ( x + 1) + (2 z + 1) (3)  Xét véctơ trục r r uur u = ( x; y ), v = ( x + y; y + z ), w = ( x + 1; z + 1) ur.vr =  r uur  Khi hệ viết lại : u.w = uur r  r uur  v = w ⇔ w = v (4) (5) (6) Chỉ có hai khả xảy : r r r r Khả 1: Nếu u = ta có x = y = u = ⇒ z = − r 1  Ta có nghiệm  0;0; − ÷  2 r Khả 2: u ≠ x +1 = uur r r  z + = TH1 : w = v = ⇔  vô lý x + y =  y + z = GV : Trần Minh Cường Page 11 Trường THPT Phú Lộc r uur r uur r TH2 : Nếu v, w khác , (4) (5) v, w hai vectơ cộng tuyến , (6) ta có uur r uur r w = 2v w = −2v x = uur r x + = 2x + y  ⇔ + Nếu w = 2v ⇔  thay vào (1) ta có z = − 2 z + = y + z  y = −1 − x  y=  x + = − x − y uur r   ⇔ + Nếu w = −2v ⇔  2 z + = −2 y − z  z = 3x  Thay vào (1) ta có : x + (1 + x) + 3x x = ⇔ 5x2 + 5x + = 4 Phương trình vô nghiệm 1  1  Vậy hệ cho có hai nghiệm :  0;0; − ÷,  0; ; − ÷ 2  2  x + y + z =  2 BÀI : Giải hệ phương trình :  x + y + z =  x3 + y + z =  Cách giải : r r Xét hai vectơ u = ( x0 ; y0 ; z0 ); v = ( x0 ; y0 ; z0 ) ( x0 ; y0 ; z0 ) nghiệm hệ rr Ta có u.v = x03 + y03 + z03 = (1) r Lại có u = x0 + y0 + z0 = r v = x0 + y0 + z0 = (x + y0 + z0 ) − ( x0 y0 + y0 z0 + z0 x0 ) = − ( x0 y0 + y0 z0 + z0 x0 ) ≤ r r u Vậy v ≤ (2) GV : Trần Minh Cường Page 12 Trường THPT Phú Lộc  x0 y0 =  2 2 2 2 Dấu (2) xảy ⇔ x0 y0 + y0 z0 + z0 x0 = ⇔  y0 z0 =  2  z0 x0 = rr r r Vì u.v ≤ u v r r Nên từ (1) (2) suy điều kiện cần : u v =  x0 y0 = y z =  0 Nên ta có   z0 x0 =  x0 + y0 + z0 = suy phải có ba số x0 ; y0 ; z0 có hai số 0, số Thử vào hệ thỏa mãn Vậy hệ cho có ba nghiệm sau (1;0;0), (0;1;0),(0;0;1) BÀI : Giải phương trình : x − x + + x + x + 10 = 29 (1) Cách giải : Tập xác định D = R (1) ⇔ ( x − 1) + 22 + ( x + 1)2 + 32 = 29 r r Đặt u = ( x − 1; 2) ⇒ u = ( x − 1) + 22 r r v = (− x − 1;3) ⇒ v = ( x + 1) + 32 r r r r Suy u + v = (−2;5) ⇒ u + v = 29 r r r r rr Như ( ) ⇔ u + v = u + v ⇔ u, v hướng ⇔ 3( x − 1) − 2(− x − 1) = ⇔ x = 5 Vậy phương trình có nghiệm x = BÀI 7: Giải bất phương trình : 2( x − 3)2 + x − ≤ x − + x − (1) Cách giải : GV : Trần Minh Cường Page 13 Trường THPT Phú Lộc Điều kiện : x ≥ (1) ⇔ ( x − 3) + ( x − 1) ≤ x − + x − r r r r Đặt u = ( x − 3; x − 1) ⇒ u = ( x − 3) + ( x − 1) , v = (1;1) ⇒ v = r r rr Suy u.v = x − + x − u v = ( x − 3) + ( x − 1) r r r r rr r r u v = ( x − 3) + ( x − 1) (1) ⇔ u v ≥ u.v ⇔ u, v hướng ⇔ x − = x −1 ⇔ x = Vấn đề : Bài toán cực trị BÀI 1: Cho hai điểm A(1;1;0), B(3;-1;4) đường thẳng (d) : x +1 y −1 z + = = −1 Tìm điểm M đường thẳng (d) cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Cách giải : Do điểm M đường thẳng (d), ta có : M(-1+t; 1-t; -2+2t) Khi : MA = (2 − t ) + t + (2 − 2t ) = 6t − 12t + MB = (4 − t ) + (t − 2) + (6 − 2t ) = 6t − 36t + 56 Khi 2  1     2 MA + MB = 6t − 12t + + 6t − 36t + 56 =  (t − 1) +  ÷ + (3 − t ) +  ÷  3 3      2 r   r   Xét hai vectơ u =  t − 1; ÷, v =  − t; ÷ 3 3   ( r r ) ( r r ) Ta có MA + MB = u + v ≥ u + v = r   r   u = t − 1; Dấu xảy khi  ÷, v =  − t ; ÷ hướng 3 3   ⇔ t −1 = ⇔ t = ⇒ M (1; −1; 2) 3−t GV : Trần Minh Cường Page 14 Trường THPT Phú Lộc Vậy điểm M cần tìm : M (1; −1; 2) PHẦN III : KẾT LUẬN : Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình toán khó Muốn giải toán đó, trước hết học sinh phải có kiến thức bản, phương pháp giải phương trình hệ phương trình Có nhiều phương pháp giải phương trình hệ phương trình Việc sử dụng phương pháp vecto phương pháp tọa độ thường áp dụng để giải toán đề thi đại học thi học sinh giỏi Qua chuyên đề này, học sinh sẻ có nhiều kĩ kinh nghiệm việc giải phương trình hệ phương trình nói riêng giải toán nói chung Phú Lộc, tháng năm 2015 Người viết Trần Minh Cường GV : Trần Minh Cường Page 15 Trường THPT Phú Lộc NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN NHẬN XÉT:………………………………… Phú Lộc, ngày 12 tháng năm 2015 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… Trần Minh Cường ĐIỂM:………………………………… XẾP LOẠI: …………………………… TỔ TRƯỞNG NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KH-SK CỦA ĐƠN VỊ NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KH-SK NGÀNH GD&ĐT NHẬN XÉT:………………………………… NHẬN XÉT:………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ĐIỂM:………………………………… ĐIỂM:………………………………… XẾP LOẠI: …………………………… XẾP LOẠI: …………………………… CHỦ TỊCH HĐ KH-SK CỦA ĐƠN VỊ GV : Trần Minh Cường CHỦ TỊCH HĐ KH-SK NGÀNH GD&ĐT Page 16 Trường THPT Phú Lộc SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT PHÚ LỘC CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập- Tự do- Hạnh phúc PHIẾU CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Họ tên tác giả: Trần Minh Cường Chức vụ (nhiệm vụ đảm nhiệm) : Tổ trưởng Tổ Toán Đơn vị công tác : Trường THPT Phú Lộc Tên đề tài (SKKN): Ứng dụng phương pháp tọa độ vectơ điểm vào việc giải bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình hệ phương trình Lĩnh vực (SKKN): Toán học STT Nội dung Điểm tối Điểm GK đa thống Lý chọn đề tài (đặt vấn đề, thực trạng, tính cấp thiết, tính 10 đổi đề tài…) Giải vấn đề, nội dung đề tài nêu 80 2.1 Tính sáng tạo 25 a) Hoàn toàn mới, áp dụng lần 21-25 b) Có cải tiến so với phương pháp trước với mức độ tốt 16-20 c) Có cải tiến so với phương pháp trước với mức độ 11-15 d) Có cải tiến so với phương pháp trước với mức độ TB 6-10 e) Có cải tiến so với phương pháp trước với mức độ thấp 1-5 2.2 Khả áp dụng nhân rộng 25 a) Có khả áp dụng nhân rộng mức độ tốt 21-25 b) Có khả áp dụng nhân rộng mức độ 16-20 GV : Trần Minh Cường Page 17 Trường THPT Phú Lộc c) Có khả áp dụng nhân rộng mức độ TB 11-15 d) Ít có khả áp dụng nhân rộng 1-10 2.3 Hiệu áp dụng phạm vi đề tài 30 a) Có hiệu phạm vi áp dụng mức độ tốt 26-30 b) Có hiệu phạm vi áp dụng mức độ 16-25 c) Có hiệu phạm vi áp dụng mức độ TB 11-15 d) Ít có hiệu áp dụng 1-10 Hình thức trình bày (cấu trúc, ngôn ngữ, tả, văn 10 phong, thể thức văn bản…….) TỔNG ĐIỂM: Xếp loại: Nhận xét chung: Giám khảo GV : Trần Minh Cường Giám khảo Phú Lộc, ngày… tháng năm 2015 Chủ tịch Hội đồng Page 18 ... số, phương pháp hình học, phương pháp tọa độ vectơ tọa độ điểm v.v…để giải Sau Tôi xin trình bày phương pháp tọa độ vectơ tọa độ điểm vào việc giải số toán : Chứng minh bất đẳng thức, giải phương. .. phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chương trình cấp trung học phổ thông hành - Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình - Giải toán chứa tham số - Giải. .. đề tài (SKKN): Ứng dụng phương pháp tọa độ vectơ điểm vào việc giải bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình hệ phương trình Lĩnh vực (SKKN): Toán học STT Nội dung Điểm tối Điểm GK đa thống