ĐỊNH LÍ TALÉT TRONG TAM GIÁC

CHƯƠNG III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC – TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Tỉ số hai đoạn thẳng  Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo  Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB CD có tỉ lệ thức: AB A′B′ = CD C′D′ AB CD = A′B′ C ′D′ hay Định lí Ta-lét tam giác Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ B’C’//BC Định lí Ta-lét đảo Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác //BC Hệ Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho Nếu //BC Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng song song với cạnh cắt phần kéo dài hai cạnh lại A B’ B C’ C Tính chất đường phân giác tam giác Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn DB AB EB = = AD, AE phân giác góc  DC AC EC ad = bc a b  = c d a c = ⇒ a ± b c ± d b d  b = d a c a + c a − c  = = = b d b + d b − d Nhắc lại số tính chất tỉ lệ thức Dạng Tính độ dài đoạn thẳng Bài Cho tam giác ABC, G trọng tâm Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt cạnh AB, BC D E Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết DA+EC=16cm chu vi tam giác ABC 75cm HD: Vẽ DN // BC  DNCE hbh  DE = NC Và DB=2DA, DE = 18 cm Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD M, cắt cạnh BC N cho MD = 3MA NB a) Tính tỉ số NC b) Cho AB = 8cm, CD = 20cm Tính MN NB = HD: a) Vẽ AQ // BC, cắt MN P  ABNP, PNCQ hbh  NC b) Vẽ PE // AD  MPED hbh  MN = 11 cm AB′ AC′ = Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm B, C cho AB AC Qua B vẽ đường thẳng a song song với BC, cắt cạnh AC C a) So sánh độ dài đoạn thẳng AC AC b) Chứng minh BC // BC HD: a) AC = AC b) C trùng với C  BC // BC Bài Cho tam giác ABC, đường cao AH Đường thẳng a song song với BC cắt cạnh AB, AC đường cao AH B, C, H AH ′ B′C′ = BC a) Chứng minh AH b) Cho HD: b) AH ′ = AH diện tích tam giác ABC 67,5cm Tính diện tích tam giác ABC S AB′C ′ = S ABC = 7,5cm2 Bài Cho tam giác ABC Gọi D điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD = 13,5cm, DB = 4,5cm Tính tỉ số khoảng cách từ điểm D B đến cạnh AC DN = 0,75 HD: Vẽ BM  AC, DN  AC  BM Bài Cho tam giác ABC có BC = 15cm Trên đường cao AH lấy điểm I, K cho AK = KI = IH Qua I K vẽ đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M  AB; F, N  AC) a) Tính độ dài đoạn thẳng MN EF b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết diện tích tam giác ABC 270cm SMNFE = S ABC = 90cm HD: a) EF = 10 cm, MN = 5cm b) Bài Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo Qua điểm I thuộc đoạn OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh AB, BC tia DA, DC theo thứ tự điểm M, N, P, Q IM IB IM IB OD = = a) Chứng minh: OA OB IP ID OB IM IN = b) Chứng minh: IP IQ HD: Sử dụng định lí Ta-lét Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm cạnh AB, F trung điểm cạnh CD Chứng minh hai đoạn thẳng DE BF chia đường chéo AC thành ba đoạn HD: Gọi M, N giao điểm DE BF với AC Chứng minh: AM = MN = NC Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD M, cắt cạnh BC N DM CN m mAB + nCD = = MN = m+n Biết MA NB n Chứng minh rằng: EN = HD: Gọi E giao điểm MN với AC Tính Bài 10 m n AB, ME = CD m+n m+n Cho tứ giác ABCD có góc B D góc vuông Từ điểm M đường chéo AC, vẽ MN  BC, MN MP + =1 MP  AD Chứng minh: AB CD MN MP ; HD: Tính riêng tỉ số AB CD , cộng lại Bài 11 Cho hình bình hành ABCD Một cát tuyến qua D, cắt đường chéo AC I cắt cạnh BC N, cắt đường thẳng AB M a) Chứng minh tích AM.CN không phụ thuộc vào vị trí cát tuyến qua D b) Chứng minh hệ thức: ID = IM IN HD:a) b) Bài 12 Chứng minh: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm B, C S ABC AB AC = SAB′C ′ AB′ AC′ AC CH = HD: Vẽ đường cao CH CH  AC ′ C′H ′ Bài 13 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CD lấy điểm D, E, F cho BE = HD: AB , 1 BC CF = CA 2 4 , Tính diện tích tam giác DEF, biết diện tích tam giác ABC a (cm ) SBED = SCEF = SADF = Bài 14 AD = S ABC SDEF = a2 (cm2 ) 16 16  AK = BK Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm K cho Trên cạnh BC lấy điểm L cho CL = BL Gọi Q giao điểm đường thẳng AL CK Tính diện tích tam giác ABC, biết diện tích tam giác 2 BQC a (cm ) SBLQ HD: Vẽ LM // CK Bài 15 SBLA = SCLQ SCLA = S ABC =  7 SBQC = a2 (cm2 ) 4 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm D, E, F cho: AD BE CF = = = AB BC CA Tính diện tích tam giác tạo thành đường thẳng AE, BF, CD, biết diện tích tam giác ABC S HD: Gọi M, P, T giao điểm AE CD, AE BF, BF CD 2 SCMA = SCAD = S ABC = S DD′ CM 7 = ⇒ = CD  Qua D vẽ DD// AE Tính ME SMPT = S ABC − (SCMA + S APB + SBTC ) = S Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song Bài Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H cho AE AH CF CG = = = AB AD CB CD a) Chứng minh tứ giác EFGH hình bình hành b) Chứng minh hình bình hành EFGH có chu vi không đổi PEFGH = 2( AI + IJ + JC ) = AC HD: b) Gọi I, J giao điểm AC với HE GF  Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC a) Chứng minh IK // AB b) Đường thẳng IK cắt AD, BC E F Chứng minh EI = IK = KF MI MK = ⇒ IK P AB KB HD: a) Chứng minh IA Bài Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D, vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt AC M AB K Từ C, vẽ đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt cạnh đáy AB F Qua F, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh bên BC P Chứng minh rằng: a) MP song song với AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy HD: b) Gọi I giao điểm DB với CF Chứng minh P, I, M thẳng hàng Bài Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng song song với BC qua O, cắt AB E đường thẳng song song với CD qua O, cắt AD F a) Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD b) Từ O vẽ đường thẳng song song với AB AD, cắt BC DC G H Chứng minh hệ thức: CG.DH = BG.CH AE AF = HD: a) Chứng minh AB AD b) Dùng kết câu a) cho đoạn GH Dạng Tính chất đường phân giác tam giác AK = Bài Cho tam giác ABC cân A, BC = 8cm, phân giác góc B cắt đường cao AH K, AH a) Tính độ dài AB b) Đường thẳng vuông góc với BK cắt AH E Tính EH HD: a) AB = 6cm b) EH = 8,94 cm Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = m, AC = n; AD đường phân giác góc A Tính tỉ số diện tích tam giác ABD tam giác ACD HD: S ABD m = S ACD n Bài Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD, BC = 10cm, AB = 15cm a) Tính AD, DC b) Đường phân giác góc B tam giác ABC cắt đường thẳng AC D Tính DC HD: a) DA = 9cm, DC = 6cm b) DC = 10cm Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM đường phân giác AD a) Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) diện tích ABC S b) Cho n = 7cm, m = 3cm Diện tích tam giác ADM chiếm phần trăm diện tích tam giác ABC? HD: a) S ADM = n−m S 2(m + n) ABC S = 20%S ABC b) ADM Bài Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Gọi G trọng tâm tam giác ABC, O giao điểm hai đường phân giác BD, AE a) Tính độ dài đoạn thẳng AD b) Chứng minh OG // AC HD: a) AD = 2,5cm b) OG // DM  OG // AC Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đường phân giác góc cắt AB D, đường phân giác góc cắt cạnh AC E Chứng minh DE // BC DA EA = ⇒ DE P BC HD: DB EC Bài Cho tam giác ABC (AB < AC), AD phân giác góc A Qua trung điểm E cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC F, cắt đường thẳng AB G Chứng minh CF = BG BG BE.CD.BA CD AB = = =1 HD: CF BD.CE AC BD AC Bài Cho tam giác ABC ba đường phân giác AM, BN, CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4, 7, a) Tính MC, biết BC = 18cm b) Tính AC, biết NC – NA = 3cm OP c) Tính tỉ số OC MB NC PA =1 d) Chứng minh: MC NA PB 1 1 1 + + > + + e) Chứng minh: AM BN CP BC CA AB HD: a) MC = 10cm b) AC = 11cm OP = c) OC 1 1  >  + ÷ AC AB AM  AB AC  AM < AC + AB  e) Vẽ BD // AM  BD < 2AB  1 1  1 1  >  + >  + ÷ ÷ Tương tự: BN  AB BC  , CP  AC BC   đpcm Bài Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC Đường phân giác góc AIB cắt cạnh AB M Đường phân giác góc AIC cắt cạnh AC N a) Chứng minh MM // BC b) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN = AI? c) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN  AI? AM AN = HD: a) Chứng minh BM CN Bài 10 Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn DC, góc Đường phân giác góc D cắt đường chéo AC I, chia AC thành hai đoạn theo tỉ số 11 cắt đáy AB M Tính cạnh đáy AB, DC, biết MA – MB = 6cm MB = HD: Chứng minh DC = AB + AD  DC = AB + AM  MA  DC = 66cm, AB = 42cm Bài 11 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt AB E, AD F cắt đường chéo AC G Chứng AB AD AC + = minh hệ thức: AE AF AG HD: Vẽ DM // EF, BN // EF Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADM, ABN Bài 12 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh CD lấy điểm N cho DN = BM Chứng minh ba đường thẳng MN, DB, AC đồng quy HD: ... cm Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = m, AC = n; AD đường phân giác góc A Tính tỉ số diện tích tam giác ABD tam giác ACD HD: S ABD m = S ACD n Bài Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD, BC... Đường phân giác góc B tam giác ABC cắt đường thẳng AC D Tính DC HD: a) DA = 9cm, DC = 6cm b) DC = 10cm Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM đường phân giác AD a) Tính diện tích tam giác ADM,... tích tam giác ADM chiếm phần trăm diện tích tam giác ABC? HD: a) S ADM = n−m S 2(m + n) ABC S = 20%S ABC b) ADM Bài Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Gọi G trọng tâm tam giác