Tổng hợp bài toán cực trị oxyz hay ra đề thi

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) TUYỂN TẬP MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG (P2) https://www.facebook.com/ThuongToan.hocmai Biên soạn: Lƣu Huy Thƣởng HT Trong không Oxyz, cho gian đường thẳng d: x  y 1 z 1   2 hai điểm A(3; 2;1), B(2; 0; 4) Gọi  đường thẳng qua A, vuông góc với d cho khoảng cách từ B tới  nhỏ Gọi u  a; b;c  vec-tơ phương  với a,b,c  Gía trị P  a  b2  c giá trị đây? A 11 B C D Hƣớng dẫn B d H' H P A  Dựng hình: Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với d   P  mặt phẳng Khi đó,    P  Gọi H hình chiếu vuông góc B lên (P) Khi đó, ta chứng minh đường thẳng  qua A H thỏa yêu cầu toán  Chứng minh: Ta có: BH   P   BH    d  B;    BH Xét:  '   qua A nằm  P  Khi đó, gọi H' hình chiếu vuông góc B  ' Trong tam giác vuông BHH' ta có: BH'  BH  BH đoạn nhỏ Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng)  Tính: d có vec-tơ phương ud  (1; 2; 2) Ta có, mặt phẳng  P  qua A vuông góc với d   P  :  x     y     z  1   x  2y  2z   Đường thẳng BH qua B song song với d x   t   BH :  y  2t  H   t; 2t;  2t  thay tọa độ vào phương trình  P  ta được: z   2t   t  4t    2t     t  1  H 1; 2;  Ta có: AH   2; 0;1 vec-tơ phương   Chọn đáp án D HT Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  : x1 y z 1   hai điểm 1 A(1; 2; 1), B(3; 1; 5) Gọi d đường thẳng qua điểm A cắt đường thẳng  cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn Khi đó, gọi M a; b;c  giao điểm d  Giá trị P  a  b  c A 2 B C D Hƣớng dẫn B d A H P M  Dựng hình chứng minh Gọi H hình chiếu vuông góc B d  BH  BA Vậy, để khoảng cách từ B đến d lớn BH  BA  H  A  d  BA  AM  AB  Tính Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) Ta có: M   M(1  2t; 3t; 1  t) , AM  ( 2  2t; 3t  2; t),AB  (2; 3; 4) AM.AB   2(2  2t)  3(3t  2)  4t   t   M(3; 6; 3)  P     Chọn đáp án C HT Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường thẳng : x 1 y 1 z   Gọi d đường thẳng qua điểm B cắt đường thẳng  điểm C 1 cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng sau đây? x  1  t  A  y  2t z   t  x  1  t  B  y  2t z   t  x  1  t  C  y  2t z   t  x  1  t  D  y  2t z   t  Hƣớng dẫn A B C d  Ý tƣởng: Công thức tính diện tích tam giác S ABC  1 AB; AC   2 Trong đó, C  ẩn số Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm ẩn  Thực x  1  2t  Phương trình tham số :  y   t z  2t  Điểm C   nên C(1  2t;1  t; 2t) AC  (2  2t; 4  t; 2t); AB  (2; 2; 6) ; AC,AB   ( 24  2t;12  8t;12 2t) Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng)  AC,AB  18t  36t  216  S   AC, AB = 18(t  1)2  198 ≥ 198 (Học sinh xét hàm số: f  t   18t  36t  216 để tìm giá trị nhỏ hàm số) Vậy: Min S = 198 t  hay C(1; 0; 2) BC   2; 3; 4  Chọn đáp án B HT Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho mặt phẳng (P) : x  3y  z   điểm A(1;0;0) ; B(0; 2; 3) Gọi d đường thẳng nằm (P) qua A cách B khoảng lớn Gọi u vec-tơ phương d u vuông góc với vec-tơ sau đây? A n1  1; 4;1 B n   1; 4;1 C n  1; 4;1 D n   1; 4;1 Hƣớng dẫn B d A H P  Dựng hình chứng minh Gọi H hình chiếu vuông góc B d  BH  BA Vậy, để khoảng cách từ B đến d lớn BH  BA  H  A Khi đó, đường thẳng d qua A, nằm  P  vuông góc với AB  Tính Ta có: AB  ( 1; 2; 3) ; nP  1; 3; 1 vec-tơ pháp tuyến  P  Gọi u d vec-tơ phương d  d   P   ud  n P   ud   n P ; AB   7; 2;1 Ta có:    d  AB  ud  AB  Ta có: ud  n Chọn đáp án C Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) HT Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho mặt phẳng (P) : x  3y  z   điểm A(1;0;0) ; B(0; 2; 3) Gọi d đường thẳng nằm (P) qua A cách B khoảng nhỏ Gọi u vec-tơ phương d u vuông góc với vec-tơ sau đây? A n1   1; 3;1 B n   1; 3;1 C n  1; 3;1 D n   1; 3; 1 Hƣớng dẫn B H' H d P A Cách 1: Phƣơng pháp hình học  Dựng hình Gọi H hình chiếu vuông góc B lên (P) Khi đó, ta chứng minh đường thẳng d qua A H thỏa yêu cầu toán  Chứng minh: Ta có: BH   P   BH    d  B;    BH Xét:  '   qua A nằm  P  Khi đó, gọi H' hình chiếu vuông góc B  ' Trong tam giác vuông BHH' ta có: BH'  BH  BH đoạn nhỏ  Tính BH qua B vuông góc với  P  x  t   Phương trình tham số BH là:  y  2  3t z   t  H  BH  H  t; 2  3t;  t  Thay tọa độ điểm H vào phương trình mặt phẳng  P  ta được: t   9t   t    t  10 11  10 23   H ; ;   11 11 11  Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng)  23   AH    ; ;   11 11 11  d có vec-tơ phương ud   1; 8; 23  ud  n1  Chọn đáp án A Cách 2: Phƣơng pháp đại số Đặt: u   a; b; c  vecto phương d với a  b2  c2  Ta có: d   P   u  nP  u.nP   a  3b  c   c  a  3b  u   a; b; a  3b  Công thức tính khoảng cách từ B đến d :  AB; u    d  B; d   u Ta có:  AB; u    2a  9b; 4a  3b; 2a  b     AB; u     d  B; d    u   2a  9b    4a  3b    2a  b  a  b   a  3b  2 2 2 24a  56ab  91b2 2a  6ab  10b2 TH1: b   d  B;d   TH2: b  chia tử mẫu cho b ta được:  AB; u  24a  56ab  91b   d  B; d     u 2a  6ab  10b Xét hàm số: f  t   a 24a 56a t b   91 24t  56t  91 b b  2t  6t  10 2a 6a   10 b b2 24t  56t  91 2t  6t  10  t  32t  116t  14 f 't  0 t   2t  6t  10    Bảng biến thiên: Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) t -∞ + f'(t) - - - +∞ + 14 12 f(t) 100 12 11 Dựa vào bảng biến thiên ta có: Min f  t    f  t   100 11 100 2 11 Vậy, d  B; d   100 a t      b 11 a   c  23  u  1; 8; 23  Chọn   b  8 Chọn đáp án A Nhận xét: Phương pháp đại số vừa cho ta biết khoảng cách lớn nhỏ từ B đến d mà tính thì… HT Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,gọi d đường thẳng qua A(0; 1; 2) , cắt đường thẳng 1 : x 1 y z 2 x5 y z     lớn cho khoảng cách d đường thẳng  : 1 2 Đường thẳng d song song với mặt phẳng sau đây? A  P1  : 2x  y  17z   B  P2  : 2x  y  17z   C  P3  : 2x  y  17z   D  P  : 2x  y  17z   Hƣớng dẫn Cách 1: Phƣơng pháp hình học  Dựng hình chứng minh H N H 2 1 d M d A P Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt A P Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) Gọi H hình chiếu vuông góc A  Gọi MN đoạn vuông góc chung d  Khi đó, d  d;    MN  AH  Khoảng cách d đường thẳng  lớn AH đoạn vuông góc chung d   Tính Tìm vec-tơ AH Ta có: H  2  H  2t  5; 2t; t  AH   2t  5; 2t  1; t   ; u2   2; 2;1  vec-tơ phương  AH  2  AH.u2   4t  10  4t   t    t    11   AH   ; ;    3 3 Tìm vec-tơ pháp tuyến  P  Gọi  P  mặt phẳng chứa  d M  1; 0;   1 ; AM   1;1;  ; u1   2;1; 1  vec-tơ phương 1 Mặt phẳng  P  có vec-tơ pháp tuyến là: nP  AM; u1    1; 1; 3    Tìm vec-tơ phƣơng d   29 41  d  AH  u  AH  d  ud   AH; n P     ; ;   Khi đó,    3  3 d   P  ud  n P    d song song với  P4  Chọn đáp án D Cách 2: Phƣơng pháp đại số Gọi M  d  1 Giả sử M(1  2t; t;  t) VTCP d : ud  AM  (2t  1; t  1; t)  qua N(5; 0; 0) có VTCP v   (2; 2;1) ; AN  (5;1; 2) ; v  ; ud   (t  1; 4t  1; 6t)  d(  ,d)   v  , ud  AN  v  , ud  Xét hàm số f(t)   (2  t)2  f(t) 53t  10t  (2  t)2 26 Ta suy max f(t)  f( )  37 53t  10t  Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng)  max(d( ,d)) 26tại t  37  29 41 26   ud    ; ;     3 Chọn đáp án D HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đường thẳng qua A(1; 1; 2) , song song với mặt phẳng (P) : 2x  y  z   Gọi  ,  góc lớn nhỏ d đường thẳng  : x 1 y 1 z   Trong khẳng định sau, khẳng định 2 cos    B  cos    cos    A  cos     cos   C  cos     cos   D  cos    Hƣớng dẫn  có VTCP u  (1; 2; 2) Gọi VTCP đường thẳng d u  (a; b; c) d (P)  u.nP   c  2a  b Gọi góc hai mặt phẳng   cos   5a  4b (5a  4b)2  2 5a  4ab  2b2 5a  4ab  2b + TH1: Nếu b = cos   + TH2: Nếu b  Đặt t  Xét hàm số f(t)  a (5t  4)2  cos    f(t) b 5t  4t  (5t  4)2 Ta suy được:  cos   f(t)  5t  4t  So sánh TH1 TH2, ta suy ra:  cos     Trong 0;  hàm cosin hàm nghịch biến, góc nhỏ, giá trị cosin lớn  2 cos     Chọn đáp án B cos     Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) HT Trong không gian với hệ toạ độ đường thẳng 1 : x 1 y  z    Gọi  ,  góc lớn nhỏ d 1 đường thẳng  : x3 y2 z3 Trong khẳng định sau, khẳng định   1 2 cos    B  cos    cos    A  cos    O x y zgọi , d đường thẳng qua A(1; 0; 1) , cắt cos    C  cos    cos    D  cos    Hƣớng dẫn Gọi M  d  1 Giả sử M(1  2t;  t; 2  t) VTCP d : ud  AM  (2t  2; t  2; 1  t) Gọi   (d,  ) t2  cos    f(t) 6t  14t  Xét hàm số f(t)  t2 6t  14t   9 Ta suy max f(t)  f     ; f(t)  f(0)   7   cos     Trong 0;  hàm cosin hàm nghịch biến, góc nhỏ, giá trị cosin lớn  2 cos     cos     Chọn đáp án C Đón xem phần 3: “TUYỂN TẬP MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ - ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN” Giáo viên: Lƣu Huy Thƣởng Nguồn Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 : Hocmai - Trang | 10 - ...  hàm cosin hàm nghịch biến, góc nhỏ, giá trị cosin lớn  2 cos     cos     Chọn đáp án C Đón xem phần 3: “TUYỂN TẬP MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ - ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN” Giáo viên: Lƣu... 10    Bảng biến thi n: Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy... trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) HT Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho